专题11三角函数实际应用2024-2025学年九年级中考复习数学试题（重庆专用）

专题11 三角函数实际应用（解析版） （4大类型精选50题） 1．春节某天，小德和小阳相约爬山到山顶点A处观景（图为山的截面图，山脚处的点B、C在水平直线上）．、、都为斜坡，为水平道路．在D点处分别测得山顶A的仰角为，山脚点C的俯角（C、D、A不在同一条直线上）；点E处测得点A的仰角为，在B点处测得点A的仰角为．，H为垂足，等于220米，斜坡米（参考数据：，，，）． (1)求水平道路的长度（结果保留整数）； (2)小德从点B出发，沿以35米/分的速度爬山到达山顶A．小阳从点C同时出发，先75米/分的速度爬到点D处，再以85米/分的速度快走到点E，最后以30米/分的速度爬到山顶A处．请问谁先到达山顶A处？请通过计算说明理由（结果精确到0.1）． 【答案】(1)85米 (2)小阳先到山顶见解析 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，仰角，俯角的计算，解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）延长，交于点M，交于点F，设点G是射线上一点， 根据题意，得，后里利用解直角三角形的基本知识解答即可； （2）过点D作于点Q，则四边形是矩形，解直角三角形，计算各自所需要的时间，比较大小解答即可． 【详解】（1）解：延长，交于点M，交于点F，设点G是射线上一点， 根据题意，得， ∵， ∴，， ∵， ∴ ∴． （2）解：根据题意，得．，， ∴， ∴小德爬到山顶用时为：． 过点D作于点Q， 则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ， ， 故小阳的总用时为： 小德用时多， 故小阳先到山顶． 【点睛】 2．如图，某铁塔附近有一建筑物，建筑物高米，一旅游爱好者站在建筑物一楼地面墙角处测得塔顶仰角为在楼顶处测得塔顶的仰角为，点在同一平面内． (1)求塔的高度；（结果保留两位小数） (2)若一无人机速度为米/秒，此无人机从楼顶沿方向飞行到塔顶，再立即沿方向飞回处，此过程一共需要多少秒？（结果保留整数．参考数据 【答案】(1)塔的高度为米 (2)秒 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键； （1）过点作于点，则四边形是矩形，在，中，分别求得，进而根据，即可求解； （2）根据（1）的结论求得的长，进而根据路程除以速度等于时间，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，则四边形是矩形， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴ 解得： 答：塔的高度为米； （2）解：由（1）可得 ∴， ∴米 ∴秒 答：此过程一共需要秒 3．重庆市位于我国西南部、四川盆地东部，地处我国中西结合部，是承东启西、左右传递的枢纽，在我国经济发展总格局和西部大开发中，具有重要的战略地位和作用；重庆主城为三面环水的半岛，位于长江与嘉陵江汇合处，是由大江托起的中国最著名的山城．如图，为了测量斜坡上的建筑物的高度，一个数学兴趣小组，站在山脚点处测得建筑物底部点的仰角为，然后沿水平方向走了米到达点，再沿坡度为：的斜坡走了米到达点，继续向前走了米到达了一个比较好的测量点，在点测得建筑物底部的仰角为，建筑物顶部的仰角为（测量员身高与测角仪高度均忽略不计，且、、、、、在同一平面内）． (1)求点到山脚的水平距离； (2)求建筑物的的高度．（精确到，参考数据：，，，，） 【答案】(1)点到山脚的水平距离为米 (2)建筑物的的高度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题． （1）过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得米，，先由斜坡的坡度为：，设米，米，从而利用勾股定理求出，再根据米，求出的值，从而求出，的长，进行计算即可解答； （2）延长交的延长线于点，延长交的延长线于点，根据题意可得米，，先米，从而表示出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义表示出的长，从而表示出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义，列出关于的方程，即可求出的值，从而求出，的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答． 【详解】（1）过点作，垂足为，过点作，垂足为， 则米，， 斜坡的坡度为：， ， 设米，米， （米）， 米， ， ， （米），（米）， 米， （米）， 点到山脚的水平距离为米； （2）延长交的延长线于点，延长交的延长线于点， 则米，， 设米， 米， 在中，， （米）， 米， 在中，， ， ， 经检验：是原方程的根， 米，米， 在中，， （米）， （米）， 建筑物的的高度为米． 4．某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验，如图，两台测角仪分别放在A、B位置，且离地面高均为1米（即米），两台测角仪相距60米（即米），在某一时刻无人机位于点C（点C与点A、B在同一平面内），A处测得其仰角为，B处测得其仰角为． 【参考数据：，，，，】 (1)求该时刻无人机的离地高度；（单位：米，结果保留整数） (2)无人机沿水平方向向左飞行2秒后到达点F（点F与点A、B、C在同一平面内），此时A处测得无人机的仰角为，求无人机水平飞行的平均速度．（单位：米/秒，结果保留整数） 【答案】(1)23米 (2)6米/秒 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题， （1）连接，过点C作，垂足为G，根据题意可得：，设米，则米，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答； （2）过点F作，垂足为H，根据题意可得： 米，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再利用（1）的结论求出的长，从而利用线段的和差关系求出米，最后进行计算即可解答． 【详解】（1）解：连接，过点C作，垂足为G， 由题意得：， 设米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴米， ∴， 解得：， ∴米， ∵米， ∴（米）， ∴该时刻无人机的离地高度约为23米； （2）过点F作，垂足为H， 由题意得：米，， 在中，， ∴（米）， ∵米，米， ∴米， ∴（米）， ∴（米/秒）， ∴无人机水平飞行的平均速度为6米/秒． 5．如图，山坡上有一座古塔，为了测量古塔的高度，从点B处看塔顶P的仰角为，向前移动到达C点，从点处看塔顶的仰角为． (1)求点D与塔顶P的距离； (2)若在点D处看塔底E的仰角为，且测得点E到塔中心F的距离为．求古塔的高度（参考数据：，，，，结果精确到米）． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，三角函数的定义，熟练运用三角函数求出，的值是解题的关键， （1）根据，，可得，利用等腰三角形的判定定理“等角对角边”即可得到，从而即可得到答案； （2）过点作的垂线，分别交的延长线于点，在中易得的长，在中，根据三角函数可得的长，进而即可得到的高度． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 答：点D与塔顶P的距离为． （2）解：过点作的垂线，分别交的延长线于点，如图 ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：古塔的高度为． 6．某校组织初三学生到张家界国家森林公园开展研学旅行，同学们来到入口A观测到山顶D在仰角的地方（学生身高忽略不计），然后水平前行了27米，到达一个岔路口B处，从这里上山有两条路线．路线一：沿着一个坡度的斜坡步行到索道口C，然后乘坐一条长500米，且与水平线夹角为的索道上山；路线二：继续沿水平路线前行到山脚E，然后乘坐山体电梯直达山顶D（山体电梯与水平地面垂直）．（参考数据：，，，，） (1)求山顶D离水平地面的高度为多少米？（结果精确到1米） (2)若师生的步行速度为50米分，索道的运行速度为70米分，山体电梯的运行速度为180米分．张老师带领部分同学选择路线一，李老师带领另一部分同学选择路线二，两队从B点一起出发，请问哪个队伍先到山顶？（结果精确到个位） 【答案】(1) (2)张老师所带队伍先到山顶 【分析】（1）设过点的水平线交于点，过点作于点，易证得四边形为矩形，故可设米，则米，在中，可求得米，米，进而可得米，米，米，由，可得，进而可得，由等角对等边可得，即，解方程即可求得的长，然后根据即可求出山顶离水平地面的高度； （2）由（1）可知米，进而可得米，米，米，再列式求出路线一所需时间和路线二所需时间，比较即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，设过点的水平线交于点，过点作于点， 则四边形为矩形， ； 设米， ， （米）， 在中， （米）， （米）， 米， 米， 米， 米， ，， ， ， ， 即：， 解得：（米）， （米）， 答：山顶离水平地面的高度约为米； （2）解：由（1）可知：米， 米， （米）， （米）， 路线一所需时间（分钟）， 路线二所需时间（分钟）， ， 选择线路一的队伍先到山顶， 答：张老师带领部分同学选择路线一先到山顶． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用（坡度坡比问题），解直角三角形的应用（仰角俯角问题），矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的相关计算是解题的关键． 7．重庆南川金佛山因其优美的自然风光、独特的地形地貌吸引了众多游客．甲乙两名游客选择两种不同的方式游览景区，如图，甲从山脚处乘坐缆车到达景点处，同时乙开车从山脚处前行到达处，此时遇一斜坡，坡度，沿着斜坡前行到达停车场处，停车后，再跑步到达景点处（汽车行驶在平路和上坡的速度相等，停车时间忽略不计）．甲在处观测景点的仰角为，乙在处观测景点的仰角为． (1)求景点的高度；（结果精确到） (2)甲乘坐缆车的速度为，乙的车速为，乙的跑步速度为，谁先到达景点？ （参考数据：，，，，） 【答案】(1)； (2)乙先到达景点． 【分析】本题主要考查了矩形的判定及性质，平行线的性质，解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）过点作，于，，延长交于点，在中，由，得，，进而得，，再证明，得， ，，设，进而，在中，由，构造方程求解即可； （2）利用解直角三角形分别求出及，进而求得甲、乙的运动时间，从而比较即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作，于，，延长交于点， ∵在中，由， ∴，， ∴，， ∵为的边上的高， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ∴，，设， ∴， 在中，，即， 解得，经检验是原方程的解， ∴； （2）解：由（）得，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴乙先到达景点． 8．山城重庆，虽然山多坡多，但是很多重庆人都喜欢爬山望远．“会当凌绝顶，一览众山小”，能让人心境开阔．小育、小才和小庆三位同学相约周末爬山，因小庆临时有事，要晚一点来，小育和小才先在山脚处集合，此时测得山顶的仰角是，两人边走边聊，沿着倾斜角为的斜坡前进到达凉亭，在凉亭测得山顶的仰角为．（参考数据：，，） (1)求山的高度（结果保留根号）． (2)随着山路越来越陡，小育和小才两人的速度也越来越慢．若从凉亭出发的后一段，两人的行进速度为千米/时．当他们从凉亭出发的同时，小庆在山脚处乘坐观光缆车到山顶与小育小才会合．已知观光缆车的速度为千米/时，是小育小才还是小庆先到达山顶？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)小庆先到达山顶 【分析】过点作于点，过点作于点，可得四边形是正方形，是等腰三角形，利用锐角三角形函数分别求出、的长度，利用全等三角形的性质可昨：、，从而可得； 利用，小育、小才的速度是，可以求出小育小才用的时间是，根据，可以求出，根据观光车的速度是，求出小庆到山顶需要的时间为，通过比较可得小庆先到山顶． 【详解】（1）解：如下图所示， 过点作于点，过点作于点， 由题意得，，，，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 于点，于点， 四边形是正方形， ，     在中，，， ， ，， ，     答：山高度为； （2）小庆先到达山顶， 理由如下： 可知     由得， ，， ，         ，         小庆先到达山顶．         答：小庆先到达山顶． 【点睛】本题主要考查仰俯角、勾股定理与行程问题，三角函数的计算的综合，掌握仰俯角求路程，勾股定理的运用，三角函数的计算方法是解题的关键． 9．我市为满足广大市民的锻炼需求，拟将郊区的一座山打造为健身公园，山体的横截面示意图如图1，计划修建两段登山步道、和两段平台、．其中，平台、均与水平地面平行，平台长75米，在点处观察点的仰角为（即），步道的坡角为，平台距离地面的竖直高度为900米，步道的坡度．（参考数据：，，，） (1)求步道的长度； (2)为方便市民徒步登山，市规划局预备将步道全部修建成石梯，石梯的修建方式及尺寸（包括踏步高和踏步宽）均如图2所示．每一步石梯的安全标准是踏步高不小于，不大于，且踏步宽不小于，不大于．若计划修建3600个相同尺寸的连续石梯，请你通过计算说明这样修建的石梯是否符合安全标准？ 【答案】(1) (2)这样修建的石梯是不符合安全标准． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用：仰俯角问、解直角三角形的应用：坡度坡角问题以及矩形的性质， （1）过点D作，延长交于点N，设，在中，，，，列出方程并求解即可； （2）过点B作，可得四边形是矩形，在中，的坡度，求出的长，再求出每一段踏步高和踏步宽，最后进行判断即可． 【详解】（1）解：过点D作，延长交于点N，设， ，， ∴， 由题意得在中，， ∴，， 在中，，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， （2）如图，过点B作，可得四边形是矩形， ∵，， ∴，即， 由题意得在中，的坡度， ∴， ∴， ∵计划在上修建3600个相同尺寸的连续石梯， ∴如图，， ∴，， ∵每一步石梯的安全标准是踏步高不小于，不大于，且踏步宽不小于，不大于． ∴这样修建的石梯是不符合安全标准． 10．如图，在建筑物的左边有一个小山坡，坡底B、C同建筑底端F在同一水平线上，斜坡的坡比为，小李从斜坡底端B沿斜坡走了26米到达坡顶A处，在坡顶A处看建筑物的顶端D的仰角为，然后小李沿斜坡走了米到达底部C点，已知建筑物上有一点E，在C处看建筑物E点的仰角为，（点A、B、C、D、E、F在同一平面内）建筑物顶端D到E的距离长度为米．（参考数据：，，，） (1)求小李从斜坡B走到A处高度上升了多少米． (2)求建筑物的高度． 【答案】(1)10米 (2)约为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，也考查了勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）过作，根据比例设，结合勾股定理求出，即可得到答案； （2）延长角的水平边交于则，由勾股定理求出，设，然后利用解直角三角形，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：过作， ∵的坡比， 设， ∴在中，， ∴， ∴； 答：小李从斜坡走到处高度上升了10米． （2）解：延长角的水平边交于则， 在中，， 设， 在中，， ， ∵四边形是矩形， ， 又∵， 在中，， ， ， ， 答：建筑物的高度为米． 11．去年，第9号台风“苏拉”登陆我国沿海地区，风力强、影响范围广，有极强的破坏力．如图，台风中心从A地由南向北移动，1小时后到达B地．已知点C为一海港，在C港测得：A地在C地南偏东方向、距离为300千米处；B地在C地东南方向上．（参考数据：，，，） (1)当台风中心到达B地时距海港C还有多远？（结果保留根号） (2)当台风中心到达B地后方向立即发生了改变，沿北偏西方向快速移动，风速比之前增强了，影响范围进一步扩大，以台风中心为圆心，周围千米以内为受影响区域，此时C港接到紧急通知：要求所有人员在30分钟内撤离海港．请通过计算说明C港人员能否在受台风影响前及时撤离？ 【答案】(1) (2)能在受台风影响前及时撤离 【分析】本题考查了解直角三角形的应用在实际生活中的运用，正确理解题意，添加辅助线是解决本题的关键． （1）过点C作于D，在中，求出，， 在中，即可求出； （2）假设30分钟台风行驶到点F处，过点F作于点H，连接，在中，，，， 最后对运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：过点C作于D， 由题意得：，，， 在中，，， 在中，（千米）， 答：当台风中心到达B地时距海港C还有千米． （2）解：过点F作于点H，连接． 在，，∴， ∴， ∴， ∴台风速度为， ∴现在台风在直线l上的速度为 假设30分钟台风行驶到点F处，则， ∵， ∴在中，，， ∴， ∴在中，， 而， ∵， ∴不会收到影响，能及时撤离． 12．长寿湖是西南地区最大的人工湖，五一小长假期间，游客络绎不绝．八年级学生小巴乘游艇在长寿湖中游览，当游艇在处时，小巴发现岸边处的农家乐和岸上处的游客中心都在东北方向，当游艇向正东方向行驶到达处时，小巴发现游客中心在北偏西方向，当游艇继续向正东方向行驶到达处时，游客发现农家乐在北偏西方向．（参考数据：） (1)求处到农家乐处的距离（结果保留根号）； (2)小巴到达处时，好友小川在游客中心处，他们相约在农家乐处汇合，二人同时出发，小巴从处沿乘游艇前往，速度是，小川从游客中心沿步行前往，速度是，请通过计算说明两人谁先到达？ 【答案】(1)A处到农家乐处的距离为． (2)小川从游客中心沿步行前往先到达，理由见解析 【分析】本题主要考查了直角三角形的计算，一般的三角形可以通过作高线转化为解直角三角形的计算，计算时首先计算直角三角形的公共边是常用的思路． （1）如图，作于M，设，在两个直角三角形中，利用三角函数即可x表示出与，根据即可列方程，从而求得的长，进一步求得的长； （2）先求解可得小巴从处沿乘游艇前往的时间，作于N，在两个直角三角形中，利用三角函数即可求出与，根据（1）的结果求得，从而求得，可得小川从游客中心沿步行前往的时间，再比较即可． 【详解】（1）解：作于M，设， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ∴ ∴ 即A处到农家乐处的距离为． （2）由（1）可得：， ∴，小巴从处沿乘游艇前往的时间为： ， 作于N， 在中， ， 在中， ． ∴小川从游客中心沿步行前往的时间为 ， ∵ 而，， ∴， ∴， ∴小川从游客中心沿步行前往先到达． 13．如图，五边形是一个公园沿湖的健身步道（步道可以骑行），是仅能步行的跨湖小桥．经勘测，点在点的正北方935米处，点在点的正东方，点在点的北偏东，且在点的正北方；，米，米．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果精确到米）； (2)小明和爸爸在健身步道锻炼，小明以200米/分的速度从点出发沿路线的方向骑行，爸爸以150米/分的速度从点出发沿路线的方向跑步前行．两人约定同时出发，那么小明和爸爸谁先到达点？请说明理由． 【答案】(1)960米 (2)小明先到达点，理由见详解 【分析】（1）过点作于点，首先求得米，，再在中利用三角函数解得米，然后证明四边形为矩形，由矩形的性质即可获得答案； （2）首先求得的值，再分别求得小明和爸爸到达点所经过的路程，然后计算两人用时，比较即可获得答案． 【详解】（1）解：过点作于点，如下图， 则， 根据题意可知，米，，， ∵，米，米， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∴在中，米， ∵， ∴四边形为矩形， ∴米； （2）小明先到达点，理由如下： 在中，米， 由（1）可知，四边形为矩形，米， ∴米， ∴米， ∴米， 米， ∴小明到达点用时为：分钟， 爸爸到达点用时为：分钟， ∵， ∴小明先到达点． 【点睛】本题主要考查了三角函数的应用、方位角问题、勾股定理、矩形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，熟练运用相关知识，并正确作出辅助线是解题关键． 14．如图，海岸边上有三个观测站，观测站在观测站的东北方向，观测站在观测站的正东方向，观测站之间的距离为30海里．某天，观测站同时收到一艘轮船在处发出的求救信号，经分析，在观测站的南偏东方向，在观测站的东南方向，在观测站的正东方向． (1)求的长度．（结果精确到个位） (2)目前只有观测站与配备了搜救艇，搜救艇航速为30海里/时．收到求救信号后，因观测站的搜救艇在检修，接到任务后不能马上出发，需30分钟后才能出发，而且必须先去处，才能再去处（在处停留时间可忽略不计）；而观测站的搜救艇接到任务后可马上出发，并直接到达处．请问哪一个观测站的搜救艇可以更快到达处？（参考数据：） 【答案】(1)42（海里）； (2)观测站搜救艇可以更快到达处． 【分析】（1）本题主要考查锐角三角函数的实际应用，解答本题的关键在于找到相应边与角的对应关系，会正确处理是解答本题的重点也是难点，再用已知条件结合勾股定理去求解即可． （2）本题考查运用锐角三角函数解决问题的实际应用，解答本题的关键在于运用小问（1）的信息和结论，求出两观测站的搜救艇所经过的路程，及所用时间即可解答本题． 【详解】（1）解：预备知识：如图1，在以，，的中，作． ∵ ∴ ∴在中，， ∴由锐角三角函数可得， ， ∴， 在中， ． 如图，过点作于点，由题意可得， ， ． 设， 则， ∴在中， ， ∴ ∴ ， ∴， ． 由勾股定理得， ∴（海里）． （2）由（1）知，， ∴从观测站行驶距离：（海里） 时间：（小时）； 从观测站行驶距离（海里） 时间：（小时） ∵， ∴观测站的搜救艇可以更快到达处． 15．物流中心与三个菜鸟驿站、、的平面示意图如下图．在的正南方，在的东南方向上且在的北偏东方向上，在的正东方且，已知．（参考数据：，，，）． (1)求驿站、之间的距离； (2)派送员小外计划从出发沿着的路线派送快递到三个驿站，上午完成快递派送．但导航显示路段拥堵严重，于是他改变路线（出发），沿着的路线派送快递到三个驿站．若路段行驶的平均速度为，其余路段的平均行驶速度为且小外在每个驿站均停留存放快递．请通过计算说明他能否在之前完成派送． 【答案】(1)驿站、之间的距离约为； (2)他能在之前完成派送，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用； （1）过点作于点，设，则，根据，，得出，，进而建立方程，解方程得出，在中，根据即可求解； （2）过点作于点，求得，进而可得所需时间，分别求得所需时间，加上每个驿站均停留的时间，与分钟比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， 设，则 ∵在的东南方向上，在的正东方且， ∴，， ∴， ∴ 解得： 在中， 答：驿站、之间的距离约为； （2）解：如图所示，过点作于点， ∴四边形是矩形， 又∵ ∴四边形是正方形， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵路段行驶的平均速度为， ∴所需时间为小时， 其余路段的平均行驶速度为 ∴所需时间为小时 所以总共用时为：小时 分钟分钟 ∴他能在之前完成派送． 16．今年国庆假期时，贝贝和月月约定去云南雨崩一风景区徒步，她们同时从出发，到终点集合，贝贝先沿点的北偏西方向爬坡600米后到达，再沿点的东北方向爬坡到，月月沿与平行的方向由爬坡到，再沿点的北偏西方向爬坡到． (1)求到的距离；（结果保留根号） (2)已知贝贝的爬山速度平均为25米/分钟，月月的爬山速度平均为30米/分钟，通过计算说明谁先到达．（参考数据：，，） 【答案】(1)米 (2)月月先到达 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题关键． （1）过点作于点，在中，由三角函数解得，的值，然后在中，解得，的值，即可确定到的距离； （2）过点作于点，首先确定的值，再在和中，分别解得，，，的值，结合贝贝和月月的爬山速度求得贝贝和月月到达点的时间，比较即可获得答案． 【详解】（1）解：如下图，过点作于点， 根据题意，米，，， ∴在中，米， 米， 在中，米， 米， ∴到的距离为米； （2）过点作于点，如图， 由（1）可知，米，米，米， ∴米， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，米， 米， 在中，米， 米， ∴米， 根据题意，贝贝的爬山速度平均为25米/分钟，月月的爬山速度平均为30米/分钟， ∴贝贝到达点的时间为分钟， 月月到达点的时间为分钟， ∵， ∴月月先到达． 17．周末，小宏和小帆准备相约去湖边景点钓鱼．如图，为同一平面内的四个景点．已知景点位于景点的正东方向，景点位于景点的正东方向，景点位于景点的西南方向3000米处，景点位于景点的南偏西方向，景点位于景点的北偏东方向．（参考数据：，） (1)求景点到景点的距离。（结果保留根号） (2)小宏选择路线以米/秒前往景点处，小帆选择路线以米/秒前往景点，两人在各景点处停留的时间忽略不计。已知两人同时出发且匀速前进，请通过计算说明谁先到达景点．（结果保留1位小数） 【答案】(1)米 (2)小宏 【分析】本题考查了解直角三角形，方位角的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义． （1）过作于，过作于，根据，求出结果即可； （2）分别求出小宏所用时间（秒），小帆所用时间（秒），然后进行比较即可． 【详解】（1）解：过作于，过作于，如图所示： 由题意得：， 在中，， ， 在中，， ， 答：景点D到景点的距离为米． （2）解：由（1）知：四边形为矩形 ， 在中，， ， ， ∴， 在中，， ， ∴， ， 小宏：（秒）， 小帆：（秒）， ， 小宏先到达景点． 答：小宏先到达景点． 18．如图，A为海上一供给站，小岛B在供给站A的正西方向，灯塔D在供给站A的正南方向，另一供给站C在灯塔D的西南方向，与灯塔D相距海里，在供给站C处测得小岛B在北偏西方向，且海里． (1)求供给站C到的距离；（结果精确到个位） (2)一游艇在小岛B处突发故障滞留并发出求救信号，此时从D处派出了两艘救援船甲、乙前往B处救援，甲选择的路线为，乙选择的路线为，若甲的速度为每小时海里，乙的速度为每小时海里，请通过计算说明甲、乙两艘救援船谁先到达B处？（参考数据：，，，，，） 【答案】(1)61海里 (2)甲先到达B处 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用、矩形的判定和性质： （1）作于点E，利用三角函数解即可； （2）作于点F，构造矩形，推出，；再利用三角函数解和，计算出路线和的路程，进而根据速度计算出甲、乙两艘救援船到达B处的时间，即可求解． 【详解】（1）解：如图，作于点E， 由题意知，， （海里）， 即供给站C到的距离为61海里； （2）解：如图，作于点F，则， 四边形是矩形， ，； 在中，，， （海里）， （海里）， 在中，，， （海里）， （海里）， （海里），（海里）， （海里）， （海里）， 甲的速度为每小时海里，乙的速度为每小时海里， 甲到达B处用时：（小时）， 乙到达B处用时：（小时）， ， 甲先到达B处． 19．如图，为沙坪坝区物流中心，，，为三个菜鸟驿站，在的正南方向处，在的正东方向，在的南偏西方向处，在南偏西方向．（，，，，，） (1)求驿站，驿站之间的距离（结果精确到）； (2)“双11”期间，派送员从沙坪坝区物流中心出发，以的速度沿着的路线派送快递到各个驿站，派送员途径，两个驿站各停留存放快递，请计算说明派送员能否在内到达驿站？ 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【分析】本题考查解直角三角形的应用，将实际问题转化成解直角三角形的问题，利用解直角三角形的 知识求解是解题的关键． （1）过点P作于A，于B，先解，求得，再证明，从而得出，然后解，即可求解． （2）求出派送员所需总时间，再与比较即可得出答案． 【详解】（1）解：过点P作于A，于B，如图， 根据题意，得，，，， 在中，∵， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， 答：驿站，驿站之间的距离约为． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴派送员能在内到达驿站． 20．如图，海上有一座小岛，一艘游艇在海中自东向西航行，游艇在A处测得小岛在北偏西方向，半小时后游艇到达离小岛处60海里的处，测得小岛在西北方向．（参考数据：，，） (1)求游艇每小时航行多少海里？（结果保留整数） (2)由于游艇在处突发故障，只能减速前行，于是立即以每小时30海里的速度沿北偏西方向航行，此航线记为，与此同时，在航线上处的救援船立即以每小时40海里的速度沿北偏东方向前往小岛取维修材料（救援船取维修材料的时间忽略不计），当游艇在航线上航行到离小岛最近的处时停下来等待，救援船取到维修材料后立即以原速沿最近的路线前往处．游艇到达处后，再过多少小时救援船能到达处？（结果精确到0.01） 【答案】(1)62海里 (2)0.08小时 【分析】本题主要考查了解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作的垂线交延长线于点，由题意可知，．根据三角函数的定义可求出和的长，进而可得S的长，再除以时间，即可求出的速度． （2）过点作于点，由题意可知，．根据三角函数的定义可求出, , 的长，再分别求出潜艇和救援船到达M点所用的时间，再求出它们的差即可． 【详解】（1）解：过点作的垂线交延长线于点， 由题意可知：，， 在中，，， ，    在中，， ，   ，     （海里）．   答：游艇每小时航行62海里． （2）解：过点作于点． 由题意可知：，， 在中，， ， ，       在中，，    ，    ， ，          （小时）．    答：游艇到达处，再过0.08小时救援船就能到达处． 21．打铁花，是流传于豫晋地区民间传统的烟火，国家级非物质文化遗产之一，铁花飞溅，寓意着生活多姿多彩．春节前夕，在渝北区龙湖天街广场举行了一次打铁花表演．小明家在点A处，表演场地C在小明家北偏东．小明有两种方式去看表演，路线①从A经过一段楼梯到达点D，，再沿到达C处，已知点C在点D的东北方向处；路线②从A出发沿正东方向到达点B，再沿正北方向到点C处．（A、B、C、D在同一平面内）（参考数据：，，， (1)求楼梯的长度； (2)小明计划出门，如果选择路线①只能走路，走路的最快速度是，如果选择路线②则可以跑步，跑步的平均速度是，表演正式开始时间是，小明能赶在表演前到达点C处吗？如果能，选择哪条路线，如果不能，具体说明原因（数据保留1位小数）． 【答案】(1)楼梯的长度为； (2)选择路线①能赶在表演前到达点C处 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握三角函数的意义，勾股定理是解题的关键． （1）取点，过作于，于，设，根据三角函数的定义得到，求得，再利用勾股定理求解即可； （2）根据“时间路程速度”列式计算． 【详解】（1）解：如图：取点，过作于，于，连接，， 由题意得：，，，， ，四边形为矩形， ， 设， ， ，， ， 解得：， ，， ， 答：楼梯的长度为； （2）解：选择路线①能赶在表演前到达点处． 理由：按照路线①需要：， 选择路线①不能赶在表演前到达点处， 按照路线②需要：， 选择路线①能赶在表演前到达点处． 22．舞龙俗称舞龙灯，源自古人对龙的崇拜，每逢佳节人们都会舞龙，以此方式来祈求平安和丰收，春节前夕在某广场举行了一次舞龙表演．如图，表演场地在点C处，已知小明家A在表演场地C南偏西方向上．小明有两条路线去看表演，路线①：从小明家A穿过一公园D，再沿到达表演场地C，其中点D在点A的东北方向上，点C在点D的北偏东方向上且距离点D米处；路线②：从小明家A出发沿正东方向到达十字路口B，再沿正北方向到达表演场地C． （A、B、C、D在同一平面内，参考数据：，，，，，） (1)求小明家A到公园D的距离；（结果保留根号） (2)小明和爸爸一起去看表演，他们计划出门，爸爸选择路线①步行前往，步行的平均速度，小明选择路线②骑自行车前往，骑车的平均速度是，若表演正式开始的时间是，小明和爸爸能否在表演正式开始前到达表演场地C，请通过计算说明理由．（结果保留1位小数） 【答案】(1)米； (2)爸爸不能在表演正式开始前到达表演场地C，理由见解析；小明能在表演正式开始前到达表演场地C，理由见解析． 【分析】此题考查了解直角三角形的应用． （1）过点D作于点F，作于点E，证明四边形是矩形，则，求出，米，，则米，，设，得到米，，则米，，， 解得即可； （2）分别计算出二人的路程，根据路程除以速度得到各自的时间，比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：过点D作于点F，作于点E，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，米， ∴（米），（米）， ∴（米）， 设米， 在中，， ∴米， ∴米， 在中，， ∴， ∴， 解得， 即小明家A到公园D的距离为米； （2）爸爸不能在表演正式开始前到达表演场地C，理由如下： 由（1）可知，米， ∴， 即爸爸的时间为， ∵， ∴爸爸不能在表演正式开始前到达表演场地C； 小明能在表演正式开始前到达表演场地C，理由如下： 由（1）可知， 米， ∴， 即小明的时间为， ∵， ∴小明能在表演正式开始前到达表演场地C； 23．今年校庆期间，小南和小开相约从宿舍大门出发去参观学校的津之南美术馆．如图，小南选择路线1：，小开选择路线．经勘测，A，D，E三点共线，且点，点在点的北偏东方向上，点在点的正西方向，且在点的北偏西方向；点在点的正北方向，且在点的正东方向，所有点A，B，C，M，D，E都在同一平面内．测量得知，点恰好为中点，米，米． (1)求A，E两地之间的距离（结果保留根号）； (2)已知小南的速度为每分钟50米，小开的速度为每分钟60米，小南和小开同时从宿舍大门A出发沿着各自选择的路线匀速前往津之南美术馆M，请通过计算时间说明他们俩谁先到达M（时间精确到0.1）？（参考数据：） 【答案】(1)米 (2)小开先到达M 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定和性质： （1）作于N，交于H，先证四边形是矩形，推出．设，则，利用锐角三角函数解和求出x的值，进而求出，再解即可； （2）通过解直角三角形分别计算出和的长度，再结合二人速度求出二人所用时间，比较大小即可． 【详解】（1）解：如图，作于N，交于H， 由题意知， ， ， 四边形是矩形， ． 设，则， 在中，， 在中，， ， 解得，即， ， ， 在中，， A，E两地之间的距离为米； （2）解：在中，， 由（1）知四边形是矩形， ， 在等腰中，， ， ， （米）， （米）， 小南所用时间为：（分钟）， 小开所用时间为：（分钟）， ， 小开先到达M． 24．如下图，、、、是某个景区的四个游客休息区（只有，可骑行），在的正西方向，在的正北方向；在的北偏东方向，在的北偏西方向，且在的东北方向，米．（参考数据：，，，，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)周末小义和小飞相约一起去公园游玩，他们到达后发现有两条路线可到，小义选择路线①，步行速度为每分钟90米；小飞选择路线②，他租了一辆共享单车，骑行速度为每分钟240米，中途在处停留5分钟观赏风景，请你通过计算说明，小义和小飞谁先到达． 【答案】(1) (2)小飞先到达 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，矩形的判定和性质，正确地找出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过作交延长线于，交于，得到四边形是正方形，在中根据求出，，再在中求出，最后根据计算即可； （2）根据题意分别求出和的长，即可求出两人花费的时间，最后比较大小即可得到结论． 【详解】（1）解：过作交延长线于，交于， 由题意可得，，，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 在中，，， ∴， ∴，， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的长度为米； （2）解：由（1）得，，， ∵小义选择路线①，步行速度为每分钟90米， ∴小义到达用时（分钟）， ∵小飞选择路线②，他租了一辆共享单车，骑行速度为每分钟240米，中途在处停留5分钟观赏风景， ∴小飞到达用时（分钟）， ∴小飞先到达． 25．周末妈妈和小明在位于小明家西北方向的书店看书．回家时，小明想先沿去位于家的正西方向、距家米的菜鸟驿站处取包裹，然后再沿回家；妈妈想先沿去位于家的北偏西方向的干洗店取衣服．然后再沿回家．已知书店位于菜鸟驿站的北偏东方向、干洗店的南偏西方向．（参考数据：，） (1)求小明家与书店的距离（结果保留整效）； (2)小明和妈妈回家的路程相差多少米（结果保留整数）？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意，添加辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，则为等腰直角三角形， 则，可求，则，那么，继而； （2）由上知，则小明回家的路程为：，可得，，则，在中，由勾股定理得，那么妈妈的路程为，故路程差为：． 【详解】（1）解：由题意得，， 过点作于点， ∴， ∴ ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由上知， ∴小明回家的路程为：， ∵，， ∴， 由题意得， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴妈妈的路程为， ∴路程差为：， 答：路程差为． 26．如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资，甲货轮沿港的东北方向航行40海里到达港，再沿东南方向航行一定距离到达港．乙货轮沿港的南偏东方向航行后到达港，再沿北偏西方向航行一定距离到达港．（参考数据：，，） (1)求，两港之间的距离； (2)若甲货轮的速度为20海里/小时，乙货轮的速度为30海里/小时（停靠，两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明． 【答案】(1)，两港之间的距离约为40海里 (2)乙货轮先到达港，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题． （1）过点作，垂足为，先在中，利用锐角三角函数的定义求出，再在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，最后在中，根据求解即可； （2）分别求出甲货轮航行的路程，乙货轮航行的路程，再求出各自的航行时间后比较大小即可． 【详解】（1）解：过点作于点， ∵甲货轮沿港的东北方向航行40海里到达港，再沿东南方向航行一定距离到达港， ∴，，海里， ∴海里， ∴海里， ∵乙货轮沿港的南偏东方向航行后到达港，再沿北偏西方向航行一定距离到达港． ∴，， ∴， 在中，， （海里），（海里）， 在中，， （海里），海里， ，两港之间的距离约为40海里； （2）解：乙货轮先到达港，理由如下： ∵甲货轮航行的路程（海里）， ∴甲货轮航行的时间（小时）， ∵乙货轮航行的路程（海里）， ∴乙货轮航行的时间（小时）， ， 乙货轮先到达港． 27．如图，四边形是某公园的游览步道（步道可以骑行），把四个景点连接起来，为了方便，在景点的正东方设置了休息区，其中休息区在景点的南偏西方向米处，景点在景点的北偏东方向，景点和休息区两地相距米，景点分别在休息区、景点的正东方向和正南方向．（参考数据：） (1)求步道的长度； (2)周末小明和小宏相约一起去公园游玩，他们在景点一起向正东出发，不久到达休息区，他们发现有两条路线到达景点，于是小宏想比赛看谁先到达景点．他们分别租了一辆共享单车，两人同时在点出发，小明选择①路线，速度为每分钟米；小宏选择②路线，速度为每分钟米，其中两人在各个景点停留的时间不计．请你通过计算说明，小明和小宏谁先到达景点呢？ 【答案】(1)米 (2)小宏先到达景点 【分析】（）由题意得，，，，米，米，即得，过点作于，可得为等腰直角三角形，即得米，利用勾股定理可得米，进而即可求解； （）解直角可得米，米，再分别求出路程①和②的路程，进而求出小明和小宏到达景点的时间即可判断求解； 本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，，，，米，米， ∴， 过点作于，则， ∴为等腰直角三角形， ∴米， ∴米， ∴米； （2）解：∵，，， ∴米，米， ∴路线②的路程为米， ∴小宏到达景点的时间为分钟， ∵路线①的路程为米， ∴小明到达景点的时间为分钟， ∵， ∴小宏先到达景点． 28．哈尔滨旅游火爆全网，小西和小附两家前往哈尔滨冰雪大世界玩耍，如图，两家到达入口R处后分两条线路进行游玩，最后前往最大游玩项目B处集合．经测量，项目B在入口R的正北方向米处，项目A在入口R的北偏西方向，在项目B的南偏西方向，项目D在入口R的东北方米处，项目C在项目D的北偏西方向，在项目B的正东方向． (1)求项目C和项目D之间的距离；（结果保留根号） (2)已知小西家沿线路①进行游玩，小附家沿线路②进行游玩，请通过计算说明哪一条线路更短？（参考数据：，，） 【答案】(1)项目C和项目D之间的距离为米； (2)线路②更短 【分析】此题考查了解直角三角形的应用． （1）过D作于E，求出米，过C作于F，则四边形是矩形，得到米，则米，即可得到米； （2）求出线路②（米）,得到米，米，得到线路①（米），比较后即可得到结论． 【详解】（1）解：过D作于E， ∵米， ∴米， ∵米， ∴米， 过C作于F，则四边形是矩形， ∴米， ∵， ∴米， ∴米， 答：项目C和项目D之间的距离为米； （2）由（1）知， 米， ∴线路② （米）， ∵， ∴， ∴米，米， ∴线路①（米）， ∵， ∴线路②更短． 29．冬季是滑雪的最佳时节，亚布力滑雪场有初、中、高级各类滑雪道．如图，其中的两条初级滑雪道的线路为：①；②．点A是雪道起点，点D是雪道终点，点B、C、E是三个休息区．经勘测，点B在点A的南偏东方向1800米处，点C在点B的正南方向2000米处，点D在C的西南方向，点E在点A的西南方向1300米处，点E在点D的正北方向．（参考数据：，） (1)求的长度；（精确到1米） (2)小外一家周末去亚布力滑雪，小外沿滑雪道线路①全程以5米/秒的速度滑雪，且在途经的每个休息区都各休息了5分钟；小外的爸爸比小外晚出发2分钟，以3米/秒的速度沿滑雪道线路②滑完全程，且中途没有休息．请计算说明小外和爸爸谁先到达终点D． 【答案】(1)约2573米 (2)小外先到达终点D 【分析】本题考查解直角三角形的应用方向角的问题，关键是通过作辅助线构造直角三角形，由三角函数定义求出、的长． （1）过作于交于，过作于，过作于，由等腰直角三角形的性质求出米，由，，得到米，由矩形的性质，，，，求出米，得到米，由等腰直角三角形的性质米； （2）求出滑雪道线路①②的路程，求出两人所滑行的时间，即可解决问题． 【详解】（1）解：过作于交于，过作于，过作于， 点在点的西南方向， ， 是等腰直角三角形， （米）， ，， （米）， ，，，，， 四边形，是矩形， ，，，， （米）， 米， ， 是等腰直角三角形， （米）； （2）解：滑雪道线路①全程（米）， 小外滑行的时间是（秒）（分钟）， 小外途经的每个休息区都各休息了5分钟， 小外在滑雪道线路①共用时（分钟）， （米）， （米）， 米， （米）， 是等腰直角三角形， 米， 滑雪道线路②全程（米）， 小外的爸爸滑行的时间是（秒）（分钟）， 小外的把爸爸比小外又晚出发2分钟， 小外先到达终点． 30．如图，我国某海域里，一艘渔船正在A处停留，小岛B在A的正东方向．一艘渔政船在C处巡逻，这时测得渔船在它的北偏东方向上，渔政船的航行速度为每小时20海里，它从C处沿东北方向航行2小时后到达D处，这时测得渔船在它的西北方向．（参考数据：） (1)求当渔政船到达D处时，渔政船与渔船的距离；（结果精确到0.1） (2)若该渔政船在D处测得小岛B在它的北偏东方向上，这时渔船以每小时25海里的速度从A处向小岛B航行，同时渔政船以原速度由D向B航行，则哪艘船先到达小岛B？ 【答案】(1)渔政船与渔船的距离为海里； (2)渔政船先到达小岛． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，掌握锐角三角函数，添加辅助线构造直角三角形． （1），，在中，运用正切函数即可得； （2）过点作的垂线，垂足为点，可得，由题意知，在中，，运用三角函数得，，在中，，运用三角函数得，，即可得渔船的到达小岛的时间（小时），渔政船到达小岛的时间，比较即可得． 【详解】（1）解：由题意知，，，，，（海里）， ，， 在中， （海里）， 答：渔政船与渔船的距离为海里； （2）解：过点作的垂线，垂足为点， ， 由题意知， 在中，， （海里）， （海里）， 在中，， ， （海里）， 渔船的到达小岛的时间：（小时）， 渔政船到达小岛的时间：（小时）， ， 即渔政船先到达小岛． 31．为了方便市民出行，建委决定对某街道一条斜坡进行改造，计划将原斜坡坡角为的改造为坡角为的，已知米，点A，B，C，D，E，F在同一平面内． (1)求的距离；（结果保留根号） (2)一辆货车沿斜坡从C处行驶到F处，货车的高为6米，，若米，求此时货车顶端E到水平线的距离．（精确到0.1米，参考数据：，） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，矩形的判定与性质，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点C作交的延长线于点G，在中，求出，在中，求出，进而求出； （2）过点F作于点H，过点E作于点M，证明出，在中，求出，在中，求出，进而求出． 【详解】（1）解：如图，过点C作交的延长线于点G， 在中， 米， （米）， （米）， 在中， ， （米）， （米）， 答：的距离为米； （2）如图，过点F作于点H，过点E作于点M， 由题意，知， ∴四边形是矩形， ， 在中， 32米，， （米）， ， ， 又， ， 在中， 米， （米）， （米）， 米， 答：货车顶端E到水平线的距离约为米． 32．除夕夜小李和亮亮相约去看烟花，并测量烟花的燃放高度．如图，小李从点B处出发，沿坡度为的山坡走了到达坡顶点A处，亮亮则到达离点A水平距离为的点C处观看，此时烟花在与B，C同一水平线上的点D处点燃，一朵朵灿烂的烟花在点D的正上方点E处绽放，小李在坡顶A处看烟花绽放处E的仰角为，亮亮在C处测得点E的仰角为．（点A，B，C，D，E在同一平面内；参考数据：，） (1)小李从斜坡B处走到A处，高度上升了多少米？ (2)烟花燃放结束后，小李和亮亮来到烟花燃放地帮忙清理现场的垃圾，他们清理时发现说明书上写着烟花的燃放高度为，请你帮他们计算一下，说明书上写的烟花燃放高度与实际燃放高度（图中）是否相符？ 【答案】(1)高度上升了100米 (2)烟花燃放高度与实际燃放高度相符 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用： （1）过点作，解直角三角形即可； （2）过点作于点，设，分别解，进行求解即可． 【详解】（1）解：过点作， 由题意，得：， 设，则， ∴， ∴， ∴； 答：高度上升了100米； （2）过点作于点， 由题意得：四边形为矩形，， ∴，，， 设，则：， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴； ∵烟花的燃放高度为，即为， 故烟花燃放高度与实际燃放高度相符． 33．“养生黑山谷，梦幻奥陶纪”，闻名遐迩的奥陶纪悬崖大秋千惊险刺激，颇受年轻人追捧．下图是其简化截面图，线段是其主支柱，垂直于地面．游客体验该项目时，机械装置将21米的摆臂拉至主支柱左侧，将其释放，摆动到主支柱右侧FH处，摆动过程中，摆臂保持笔直．平台下悬崖高度（点M与悬崖底部水平面距离）约为280米． 某日小明去体验此项目，他先从A出发沿坡度的斜坡向上2．5米到平台上的B点，然后水平向右2米到达点C的位置，此时看向支柱顶点F的仰角为，已知米，小明眼睛与平台的距离米，（参考数据：，，，，） (1)请计算主支柱的高度（结果保留整数）． (2)由于高空项目风险大，为保障安全，国家制定了相关规定，高空秋千项目属于大型游乐设备，最大单侧摆角（摆臂与主支柱夹角）不超过75度，同时，运营方将秋千坐人端在运行路线上的平均速度定为不超过20米/秒时为安全可控，体验该项目时，若小明从与支柱夹角为的位置运行到在支柱另一侧夹角为的位置所用时间为3秒，请判断小明的平均速度是否安全可控且说明理由，并计算出此时H点与悬崖底部水平面的垂直高度（结果保留整数）． 【答案】(1)支柱的高度约为24米 (2)小明的平均速度安全可控，理由见解析；所求垂直高度约为297米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键． （1）过点B作于点P，过点D作于点Q，根据坡度的定义可求出，在中，求出米，进而可求出的高度； （2）求出秋千运行的弧长可判断是否安全可控，在中求出米，进而可求出H点与悬崖底部水平面的垂直高度． 【详解】（1）过点B作于点P，过点D作于点Q，则四边形是矩形， ∴． ∵的坡度为， ∴ 又∵     ∴     ∵ ∴米 在中， ∴米 ∴米 答：支柱的高度约为24米 （2）由题意可知，小明坐秋千的运动轨迹如图为以F为圆心，21米为半径的圆弧 ∵ ∴小明坐秋千的运动路程为： ∴     ∵ ∴小明的速度在安全可控范围过点H作于点S， 在中，米 ∴H点距悬崖底部的垂直距离为：米 答：所求垂直高度约为297米 34．小明准备测量学校旗杆的高度，他发现斜坡正对着太阳时，旗杆的影子恰好落在水平地面和斜坡面上，测得旗杆在水平地面上的影长，在斜坡坡面上的影长，太阳光线与水平线所成的角为． (1)若斜坡的坡度是，求点到旗杆的距离； (2)若太阳光线与斜坡坡面的夹角为，求旗杆的高度；（精确到1m）．（参考数据：，，，，） 【答案】(1)点到旗杆的距离约为 (2)旗杆的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；含直角三角形的性质； （1）过点作交于点，过点作交于点，利用，，可求出的长度，即可确定点到旗杆的距离； （2）利用，，可得，在中利用三角函数即可求出、、的长度，在中求出的长度，即可确定旗杆的高度； 【详解】（1）解：如图， 过点作交于点，过点作交于点， 则四边形是矩形， ∴，． ∵斜坡的坡度是， 即：， 设，， 在中，根据勾股定理得，解得， ∴， ∴点到旗杆的距离约为． （2） 根据平行线的性质得：， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 在中， ∵， ∴． ∴． ∴旗杆的高度约为． 35．周末，小明和小红相约爬山到山顶点C处观景（山脚处的点A、B在同一水平线上）．小明在A点处测得山顶点C的仰角为，他从点A出发，沿爬山到达山顶C．小红从点B出发，先爬长为米的山坡到达点D，的坡度为，然后沿水平观景步道走了900米到达点E，此时山顶C正好在点E的东北方向1800米处，最后爬山坡到达山顶C（点A、B、C、D、E在同一平面内，小明、小红的身高忽略不计）．（参考数据：，） (1)求山顶C到 的距离（结果保留整数）； (2)若小明和小红分别从点A、点B同时出发，小明的爬山速度为70米/分，小红的爬山速度为60米/分（小红在山坡 、山坡 段的速度相同），小红的平路速度为90米/分，请问谁先到达山顶C处？请通过计算说明理由． 【答案】(1)山顶C到的距离约为1873米 (2)小红先到达山顶C处，理由见解析 【分析】（1）过点D作于点H，过点C作于点M，交延长线于点K．由的坡度为，得到，在和中，利用特殊三角函数值分别求出，，即可求出； （2）在中，，得到，分别计算出小明，小红所用的时间比较即可． 【详解】（1）解：过点D作于点H，过点C作于点M，交延长线于点K． 由题意得，，， ∵的坡度为， ∴， 在中，，米， ∴米， 在中，，米， ∴米， ∴（米） 答：山顶C到的距离约为1873米． （2）解：小红先到达山顶C处，理由如下： 由题意得，在中，， ∴米， ∴小明到达山顶所需时间为：（分），小红到达山顶所需时间为：（分）， ∵， ∴小红先到达山顶C处． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 36．如图，斜坡长130米，坡度，，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡． (1)若修建的斜坡的坡角为，求平台的长；（结果保留根号） (2)斜坡正前方一座建筑物上悬挂了一幅巨型广告，小明在D点测得广告顶部M的仰角为，他沿坡面走到坡脚A处，然后向大楼方向继续行走10米来到P处，测得广告底部N的仰角为，此时小明距大楼底端Q处30米．已知B、C、A、M、Q在同一平面内，C、A、P、Q在同一条直线上，求广告的长度．（参考数据：，，，，） 【答案】(1)米 (2)35米 【分析】（1）若修建的斜坡的坡角为，求平台的长；（结果保留根号） （2）延长交于点H，解直角三角形，解直角三角形，求得，，根据计算解答即可． 本题考查了解直角三角形，熟练运用坡比，特殊角的函数值，锐角三角函数是解题的关键，构造高这条辅助线也是解题的一个关键. 【详解】（1）解：延长交于点F， ∵斜坡长130米，坡度，， ∴， 设， 则， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故米． 答：平台的长米． （2）解：延长交于点H， 则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（米）． 答：广告高约为35米． 37．“天高云淡秋风炎，正是人间好游赏”，周末小明和小华决定到某地登山游玩，如图，他们同时从地出发，到达终点地集合，点在点的正北方向，小明先沿着坡度为的斜坡前进米后达到地，再沿地的北偏东的方向爬坡到地，小华沿着地北偏东的方向的爬坡到地，再沿地的北偏西方向爬坡到地．（参考数据：，，） (1)求点到点的距离：（结果保留根号） (2)已知小明的爬山平均速度为25米/分钟，小华的爬山平均速度为30米/分钟，请通过计算说明：小明和小华谁先到达终点处． 【答案】(1)米 (2)小华先到达终点处 【分析】（1）过点作，交于点，设水平线为，根据坡度比求出，进而易得的长度，然后利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求解； （2）过点作于点，过点作于点，利用（1）求出，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出和的长度，进而求得，再分别求出小明和小华所走的总路程，然后比较它们的大小来求解． 【详解】（1）解：过点作，交于点，设水平线为， 如下图． ，的坡度为， 则, ． 点在的正北方向， ， ， ． ， ， ， ，， ． 地在地北偏东方向上， ， ， ， ． （2）解：过点作于点，过点作于点，如下图 地在地北偏东方向上， ． 由（1）可知，， ． ，， ， ， ． ， ， ． 地在地北偏西方向上， ， ， ， ， ， ． ， ， ． ， ， ． 小明的爬山平均速度为25米/分钟，小华的爬山平均速度为30米/分钟， 小明到终点所用的时间为（分钟）， 小华到终点所用的时间为（分钟）． ， 小华先到达终点处． 【点睛】本题考查了坡度比，方位角，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，特殊角的三角函数值，作出图形是解答关键． 38．如图，在河流两边有甲、乙两座山，现在从甲山处的位置向乙山处拉电线．已知甲山上点到的垂直高度米；乙山的坡比为，乙山上点到河边的距离米，从处看处的俯角为．（在同一平面内，参考值：） (1)求乙山处到河边的垂直距离； (2)求河的宽度（结果保留整数）． 【答案】(1)乙山B处到河边的垂直距离为520米 (2)河的宽度约为468米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题． （1）过点B作，垂足为E，根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答； （2）过点A作，垂足为F，根据题意可得：米，，从而可得，再利用（1）的结论可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进行计算即可解答． 【详解】（1）过点B作，垂足为E， ∵乙山的坡比为， ∴， ∴设米，则米， 在中，（米）， ∵米， ∴， ∴， ∴米，米， ∴乙山B处到河边的垂直距离为520米； （2）如图：过点A作，垂足为F， 由题意得：米，， ∴， ∵米， ∴（米）， 在中，（米）， ∴米， ∴（米）， ∴河的宽度约为468米． 39．某长500米的水库大坝的横截面是的四边形，坝顶与坝底平行，已知坝高24米，背水坡的坡度．为提高大坝防洪能力，现需要在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝顶加宽6米（即米），．（参考数据：）    (1)求坝底加宽的宽度；（保留根号） (2)据相关部门统计，现有填筑土石方83130立方米，请问是否足够加固大坝所需？ 【答案】(1) (2)现有填筑土石方83130立方米，不够加固大坝所需 【分析】（1）过点F作交于点H，过点F作于点G，则，证明四边形是平行四边形，可得，，从而可得，由题意可得，，利用解直角三角形求得，，从而求得，即可求解； （2）过点D作于点M，由题意可得，，，解直角三角形求得，从而求得，由题意可得，加固大坝的体积是以四边形为上底和下底面，棱长为500米的四棱柱，利用，求得四边形的面积，从而求得四棱柱的体积，再与填筑土石方的体积进行比较即可求解． 【详解】（1）解：过点F作交于点H，过点F作于点G， 则， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 由题意可得，，， 在中，，即， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴；    （2）解：过点D作于点M， 由题意可得，，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴加固大坝的体积为， 答：现有填筑土石方83130立方米，不够加固大坝所需．    【点睛】本题考查解直角三角形、平行四边形的判定与性质，理解题意，正确构造直角三角形是解题的关键． 40．如图，为了测量山脚到塔顶的高度（即的长），某同学在山脚处用测角仪测得塔顶的仰角为，再沿坡度为的小山坡前进400米到达点，在处测得塔顶的仰角为. （1）求坡面的铅垂高度（即的长）； （2）求的长.（结果保留根号，测角仪的高度忽略不计）. 【答案】（1）200；（2）. 【分析】(1) 根据AB的坡度得，再根据∠BAH的正弦和斜边长度即可解答；（2）过点作于点，得到矩形，再设米，再由∠DBE=60°的正切值，用含x的代数式表示DE的长，而矩形中，CE=BH=200米，可得DC的长，米，最后根据△ADC是等腰三角形即可解答. 【详解】解：（1）在中，，∴ ∴米 （2）过点作于点，如图： ∴四边形是矩形，∴米 设米 ∴在中，米 ∴米 在中 ∴米 在中，，∴ 即 解得 ∴米 （本题也可通过证明矩形是正方形求解.） 【点睛】本题考查解直角三角形，解题关键是构造直角三角形，利用三角函数表示出相关线段的长度． 41．如图是某风车平面示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点在旋转中心的正下方，某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，，此时各叶片影子在点右侧形成线段，的对应点为，测得，，此时太阳的与地面的夹角为30°（即）． (1)求旋转中心到地面的距离的值；（结果保留根号） (2)风车转动时，要求叶片外端离地面的最低高度高于2.5米，请判断此风车是否符合要求．（结果保留1位小数）（，） 【答案】(1) (2)此风车符合要求 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，平行线分线段成比例，及勾股定理和矩形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）由平行线分线段成比例定理求得，再利用三角形函数的定义求解即可； （2）过点C作，垂足为F，则四边形为矩形，利用特殊角的三角函数值求得，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图，过点C作，垂足为F，则四边形为矩形． ∵， ∴，即， ∴叶片外端离地面的最低高度为， ∵． ∴此风车符合要求． 42．近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了如图1所示的护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图2所示，其中灯柱，灯臂，灯罩，分别可以绕点C、D上下调节一定的角度．    (1)若将绕点C转动使得，与之间的夹角，求点C与点E之间的水平距离； (2)经使用发现：当E点到水平桌面的距离为时，台灯光线最佳．当，且时，试通过计算说明此时光线是否最佳．（精确到，参考数值：，，） 【答案】(1) (2)此时光线最佳 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用： （1）过点D作，过点B作，过点C作，求得，，进一步求出点C和点E之间的水平距离是； （2）过点D作，过点C作，得四边形为矩形，求出，再求出，从而可求出，再进行比较大小即可得出结论 【详解】（1）解：过点D作，过点B作，过点C作    ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴点C和点E之间的水平距离是； （2）解：过点D作，过点C作，    ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴此时光线最佳 43．如图，考古人员在古墓大门A处探测到一青铜古物O，由于大门A正北方向有间墓室，考古人员无法沿直线直接挖掘前往．经勘测，考古人员发现有两条线路可以挖掘前往青铜古物O：线路①；线路②．其中点C在点A的正东方10米处，点O在点C北偏西 方向，点D在点C正北方，点O在点D西北方向20米处，点B在点A正西方向，点O在点B北偏东方向．（参考数据：，）    (1)求的长度；（结果保留根号） (2)受周围环境的影响，考古人员在线路①挖掘的平均速度为3米/小时，在线路②挖掘的平均速度为3.2米/小时，请通过计算说明选择哪条线路能更快挖掘到古物O． 【答案】(1) (2)线路①，见详解 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是构造直角三角形． （1）过点O作延长线的垂线，垂足为点E，先解，再解即可； （2）过点O作于点F，发现为等腰三角形，解算出，最后利用利用时间等于路程除以速度，求出两条路线所需的时间，比较即可． 【详解】（1）解：过点O作延长线的垂线，垂足为点E，    由题意得：，，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：的长度为； （2）解：过点O作于点F， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴线路②路程为：， ∴（小时），    线路①路程为：， ∴（小时） ∴，因此线路①能更快挖掘到古物O． 44．用某型号拖把去拖沙发底部地面的截面示意图如图所示，拖把头为矩形， ．该沙发与地面的空隙为矩形，，．拖把杆为线段，长为， O为的中点，与所成角的可变范围是 当大小固定时，若经过点G，或点A与点E重合，则此时的长即为沙发底部可拖最大深度． (1)如图1，当时，求沙发底部可拖最大深度的长．（结果保留根号） (2)如图2，为了能将沙发底部地面拖干净，将α减小到，请通过计算，判断此时沙发底部可拖最大深度的长能否达到？（， ） 【答案】(1) (2)不能 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及解直角三角形． （1）设与的延长线交于点，求出，解直角三角形，求出，再求出，即可求出． （2）设经过点，与的延长线交于点，解直角三角形求出，即可求出，则可做出判断． 【详解】（1）解：如图，设与的延长线交于点， 则， ∵四边形和四边都是矩形，且在上， ∴， ， ∴， ， ． 为的中点， ， （2）如图，设经过点，与的延长线交于点， ∵四边形和四边都是矩形，且在上， ∴， ， ∴， ， ． ． 所以此时最大可拖深度的长不能达到． 45．春节期间，白居寺长江大桥凭借其独特的造型、科幻的氛围、“星际穿越”的视感吸引众多游客纷纷前来打卡拍照．某校数学社团的同学们欲测量白居寺长江大桥桥塔的高度，如图2，他们在桥下地面上架设测角仪（测角仪垂直于地面放置），此时测得白居寺长江大桥桥塔最高点的仰角，然后将测角仪沿方向移动100.5米到达点处，并测出点的仰角，测角仪高度米．（点在同一水平线上，）      (1)白居寺长江大桥桥塔的高度约为多少米？（结果保留到个位，参考数据：，，，） (2)如图3，在（1）问条件下，小明在某大楼处测得白居寺长江大桥桥塔最高点的仰角，最低点的俯角，则小明所在地处与的水平距离约为多少米？（结果保留到个位，参考数据：，，，，，） 【答案】(1)236 (2)142 【分析】本题考查解直角三角形的应用，通过仰角俯角问题测量物体高度，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． （1）延长，交于点，设, 则，在中, ，可得，在中，，，求出，再根据得出答案； （2）延长交于点，由题意可知，，根据题意可得 ，设，则，根据，，可得，解得，从而可得的值． 【详解】（1）解：如图所示，延长，交于点，    由题意得, , 设, 则 在中, 在中，， 经检验是原方程的解且符合题意 米 白居寺长江大桥桥塔的高度约为米； （2）解：延长交于点，由题意可知，     ， 设，则 解得 故处与的水平距离约为米 46．仙女山大草原部分景点的道路分布如图所示，其中是骑行公路．经测量，点C在点B正南方，点D在点B正东方，，米，点A在点B的北偏西23°方向，米，点E在点D正北方且在点A正东方．（参考数据：，，，）    (1)求的距离；（结果精确到个位） (2)小华和小亮同时从游客中心点C出发，前往点E处的露营基地，小华沿路线步行到达基地，速度为；小亮以的速度沿到达点A后，立即骑行到达点E，骑行速度为，请计算说明小华和小亮谁先到达E点？ 【答案】(1)的距离约为550米 (2)小亮先到达E点 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键． （1）设的延长线交于点F，可得和都是直角三角形，四边形是矩形，，再利用锐角三角函数求解即可； （2）在中，求解米，在中，求解米，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：设的延长线交于点F，    由题意知：和都是直角三角形，四边形是矩形，， 在中， ∵，米， ∴（米）， ∴米， ∴在中， ∵，米， ∴（米）， ∴（米）， 答：的距离约为550米； （2）在中， ∵，米， ∴（米）， ∴在中， ∵，米， ∴（米）， ∴米， ∴小华到达E点所花时间为， 小亮到达E点所花时间为， ∵， ∴小亮先到达E点． 47．图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．    (1)求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离； (2)若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由． （结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】(1)车后盖最高点到地面的距离为 (2)没有危险,详见解析 【分析】（1）作，垂足为点，先求出的长，再求出的长即可； （2）过作，垂足为点，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面的距离为，最后比较即可． 【详解】（1）如图，作，垂足为点    在中 ∵， ∴ ∴ ∵平行线间的距离处处相等 ∴ 答：车后盖最高点到地面的距离为． （2）没有危险，理由如下： 过作，垂足为点    ∵， ∴ ∵ ∴ 在中， ∴． ∵平行线间的距离处处相等 ∴到地面的距离为． ∵ ∴没有危险． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 48．拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座固定，， 且，连杆长度为，机械臂长度为．点B，C是转动点，且与始终在同一平面内． (1)转动连杆，机械臂，使，，如图2，求机械臂端点D离操作台l的高度的长（精确到，参考数据：）． (2)物品在操作台l上，距离底座A端的点M处，转动连杆，机械臂， 机械臂端点D能否碰到点M？请说明理由． 【答案】(1)手臂端点离操作台的高度的长约为 (2)手臂端点不能碰到点，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、矩形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数及勾股定理是解题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，先根据矩形的判定与性质可得，，，再解直角三角形可得的长，由此即可得； （2）当点共线时，利用勾股定理求出的长，由此即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，过点作于点，    则四边形和四边形都是矩形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，， 则， 答：手臂端点离操作台的高度的长约为． （2）解：手臂端点不能碰到点，理由如下： 由题意可知，如图，当点共线时，手臂端点能碰到的距离最远，    ∴此时， ∵，， ∴， 即手臂端点不能碰到点． 49．如图，小巴和小量两位同学假期一起去科技馆参观，两人同时从出入口A出发，先一起沿A的北偏西方向走到国防科技厅C．接下来，小巴沿C的东南方向行走到达B继续参观交通科技厅，再沿B的北偏东方向走回出入口A；小量则对D展厅的青少年梦工厂活动更感兴趣，他从C出发先沿正东方向走到梦工厂D，参加活动后沿D的正南方向行走回到出入口A．（参考数据：，，） （1）求A，C两地之间的距离（结果保留整数）； （2）若小巴和小量匀速行走且速度相同（在B，D停留的时间相同），哪位同学先回到出入口A？请通过计算说明． 【答案】（1）820 （2）小量，理由见解析 【分析】对于（1），先确定各角的度数，作，再根据，，求出，，然后根据得出答案； 对于（2），过点B作的平行线，交的延长线于点G，作，交于点H， 再根据勾股定理求出，，然后结合，，求出，，即可求出小量行走的路程和小巴行走的路程，再比较可得答案． 【详解】（1）如图所示． 由题意可知， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 过点B作，交于点E， 在中，， ∴，， 即，． 在中，， ∴， ∴； （2）小量先到． 理由如下：过点B作的平行线，交的延长线于点G，过点C作，交于点H， ∴. 在中，， ∴， ∴， 根据勾股定理，得， 解得． 在中，， 根据勾股定理，得， 解得． 在中，， ∴，， 即，， ∴，， ∴小量行走的路程是， 小巴行走的路程是． ∵， ∴小量先回到入口． 【点睛】这是一道关于解直角三角形的应用的题目，主要考查了正弦，余弦，勾股定理，等角对等边等，作出辅助线是解题的关键． 50．如图1，公园草坪上安置了某款自动感应遮阳伞，其侧面示意图如图2所示．该遮阳伞由支架（）、悬托架（）、伞面（）和感应器组成．支架公垂直于地面，伞沿的支点在上滑动．悬托架支点在上．感应器根据太阳光线的角度自动调整伞面与悬托架之间的角度（即的大小）使得伞面与太阳光线始终保持垂直，从而达到最佳遮阳效果．已知米，米，且． (1)某天下午15点时太阳光线与地面的夹角，此时伞沿支点离地面多高？（结果精确到米） (2)如图3，一把铁椅固定在离支架5米处的点，小明坐在铁椅上的高度（头顶到地面的距离）为1米．若当天点时太阳光线与地面的夹角，请判断此时小明的头部是否会被太阳光照射到？（参考数据：，） 【答案】(1)米 (2)不会，见解析 【分析】（1）本题考查解直角三角形的应用问题，根据题意得到，结合三角函数求解即可得到答案； （2）本题考查解直角三角形的应用问题，过作交于点，过作交于点，过作交于点，根据三角函数直接求解即可得到答案； 【详解】（1）解：当时，， ∴， ， ， ， ， ∵， ， 答： 此时伞沿支点离地面米； （2）解：当时，， ∴， 过作交于点， 在中，，， ， ，，， ， ∵， ， 在中，，， ， 过作交于点， 在中，，， ， ， 过作交于点， 在中，，， ， 答：小明的头不会被太阳光照射到． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 三角函数实际应用（原卷版） （4大类型精选50题） 类型一：仰角俯角问题 1．春节某天，小德和小阳相约爬山到山顶点A处观景（图为山的截面图，山脚处的点B、C在水平直线上）．、、都为斜坡，为水平道路．在D点处分别测得山顶A的仰角为，山脚点C的俯角（C、D、A不在同一条直线上）；点E处测得点A的仰角为，在B点处测得点A的仰角为．，H为垂足，等于220米，斜坡米（参考数据：，，，）． (1)求水平道路的长度（结果保留整数）； (2)小德从点B出发，沿以35米/分的速度爬山到达山顶A．小阳从点C同时出发，先75米/分的速度爬到点D处，再以85米/分的速度快走到点E，最后以30米/分的速度爬到山顶A处．请问谁先到达山顶A处？请通过计算说明理由（结果精确到0.1）． 2．如图，某铁塔附近有一建筑物，建筑物高米，一旅游爱好者站在建筑物一楼地面墙角处测得塔顶仰角为在楼顶处测得塔顶的仰角为，点在同一平面内． (1)求塔的高度；（结果保留两位小数） (2)若一无人机速度为米/秒，此无人机从楼顶沿方向飞行到塔顶，再立即沿方向飞回处，此过程一共需要多少秒？（结果保留整数．参考数据 3．重庆市位于我国西南部、四川盆地东部，地处我国中西结合部，是承东启西、左右传递的枢纽，在我国经济发展总格局和西部大开发中，具有重要的战略地位和作用；重庆主城为三面环水的半岛，位于长江与嘉陵江汇合处，是由大江托起的中国最著名的山城．如图，为了测量斜坡上的建筑物的高度，一个数学兴趣小组，站在山脚点处测得建筑物底部点的仰角为，然后沿水平方向走了米到达点，再沿坡度为：的斜坡走了米到达点，继续向前走了米到达了一个比较好的测量点，在点测得建筑物底部的仰角为，建筑物顶部的仰角为（测量员身高与测角仪高度均忽略不计，且、、、、、在同一平面内）． (1)求点到山脚的水平距离； (2)求建筑物的的高度．（精确到，参考数据：，，，，） 4．某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验，如图，两台测角仪分别放在A、B位置，且离地面高均为1米（即米），两台测角仪相距60米（即米），在某一时刻无人机位于点C（点C与点A、B在同一平面内），A处测得其仰角为，B处测得其仰角为． 【参考数据：，，，，】 (1)求该时刻无人机的离地高度；（单位：米，结果保留整数） (2)无人机沿水平方向向左飞行2秒后到达点F（点F与点A、B、C在同一平面内），此时A处测得无人机的仰角为，求无人机水平飞行的平均速度．（单位：米/秒，结果保留整数） 5．如图，山坡上有一座古塔，为了测量古塔的高度，从点B处看塔顶P的仰角为，向前移动到达C点，从点处看塔顶的仰角为． (1)求点D与塔顶P的距离； (2)若在点D处看塔底E的仰角为，且测得点E到塔中心F的距离为．求古塔的高度（参考数据：，，，，结果精确到米）． 6．某校组织初三学生到张家界国家森林公园开展研学旅行，同学们来到入口A观测到山顶D在仰角的地方（学生身高忽略不计），然后水平前行了27米，到达一个岔路口B处，从这里上山有两条路线．路线一：沿着一个坡度的斜坡步行到索道口C，然后乘坐一条长500米，且与水平线夹角为的索道上山；路线二：继续沿水平路线前行到山脚E，然后乘坐山体电梯直达山顶D（山体电梯与水平地面垂直）．（参考数据：，，，，） (1)求山顶D离水平地面的高度为多少米？（结果精确到1米） (2)若师生的步行速度为50米分，索道的运行速度为70米分，山体电梯的运行速度为180米分．张老师带领部分同学选择路线一，李老师带领另一部分同学选择路线二，两队从B点一起出发，请问哪个队伍先到山顶？（结果精确到个位） 7．重庆南川金佛山因其优美的自然风光、独特的地形地貌吸引了众多游客．甲乙两名游客选择两种不同的方式游览景区，如图，甲从山脚处乘坐缆车到达景点处，同时乙开车从山脚处前行到达处，此时遇一斜坡，坡度，沿着斜坡前行到达停车场处，停车后，再跑步到达景点处（汽车行驶在平路和上坡的速度相等，停车时间忽略不计）．甲在处观测景点的仰角为，乙在处观测景点的仰角为． (1)求景点的高度；（结果精确到） (2)甲乘坐缆车的速度为，乙的车速为，乙的跑步速度为，谁先到达景点？ （参考数据：，，，，） 8．山城重庆，虽然山多坡多，但是很多重庆人都喜欢爬山望远．“会当凌绝顶，一览众山小”，能让人心境开阔．小育、小才和小庆三位同学相约周末爬山，因小庆临时有事，要晚一点来，小育和小才先在山脚处集合，此时测得山顶的仰角是，两人边走边聊，沿着倾斜角为的斜坡前进到达凉亭，在凉亭测得山顶的仰角为．（参考数据：，，） (1)求山的高度（结果保留根号）． (2)随着山路越来越陡，小育和小才两人的速度也越来越慢．若从凉亭出发的后一段，两人的行进速度为千米/时．当他们从凉亭出发的同时，小庆在山脚处乘坐观光缆车到山顶与小育小才会合．已知观光缆车的速度为千米/时，是小育小才还是小庆先到达山顶？请通过计算说明． 9．我市为满足广大市民的锻炼需求，拟将郊区的一座山打造为健身公园，山体的横截面示意图如图1，计划修建两段登山步道、和两段平台、．其中，平台、均与水平地面平行，平台长75米，在点处观察点的仰角为（即），步道的坡角为，平台距离地面的竖直高度为900米，步道的坡度．（参考数据：，，，） (1)求步道的长度； (2)为方便市民徒步登山，市规划局预备将步道全部修建成石梯，石梯的修建方式及尺寸（包括踏步高和踏步宽）均如图2所示．每一步石梯的安全标准是踏步高不小于，不大于，且踏步宽不小于，不大于．若计划修建3600个相同尺寸的连续石梯，请你通过计算说明这样修建的石梯是否符合安全标准？ 10．如图，在建筑物的左边有一个小山坡，坡底B、C同建筑底端F在同一水平线上，斜坡的坡比为，小李从斜坡底端B沿斜坡走了26米到达坡顶A处，在坡顶A处看建筑物的顶端D的仰角为，然后小李沿斜坡走了米到达底部C点，已知建筑物上有一点E，在C处看建筑物E点的仰角为，（点A、B、C、D、E、F在同一平面内）建筑物顶端D到E的距离长度为米．（参考数据：，，，） (1)求小李从斜坡B走到A处高度上升了多少米． (2)求建筑物的高度． 类型二：方位角问题 11．去年，第9号台风“苏拉”登陆我国沿海地区，风力强、影响范围广，有极强的破坏力．如图，台风中心从A地由南向北移动，1小时后到达B地．已知点C为一海港，在C港测得：A地在C地南偏东方向、距离为300千米处；B地在C地东南方向上．（参考数据：，，，） (1)当台风中心到达B地时距海港C还有多远？（结果保留根号） (2)当台风中心到达B地后方向立即发生了改变，沿北偏西方向快速移动，风速比之前增强了，影响范围进一步扩大，以台风中心为圆心，周围千米以内为受影响区域，此时C港接到紧急通知：要求所有人员在30分钟内撤离海港．请通过计算说明C港人员能否在受台风影响前及时撤离？ 12．长寿湖是西南地区最大的人工湖，五一小长假期间，游客络绎不绝．八年级学生小巴乘游艇在长寿湖中游览，当游艇在处时，小巴发现岸边处的农家乐和岸上处的游客中心都在东北方向，当游艇向正东方向行驶到达处时，小巴发现游客中心在北偏西方向，当游艇继续向正东方向行驶到达处时，游客发现农家乐在北偏西方向．（参考数据：） (1)求处到农家乐处的距离（结果保留根号）； (2)小巴到达处时，好友小川在游客中心处，他们相约在农家乐处汇合，二人同时出发，小巴从处沿乘游艇前往，速度是，小川从游客中心沿步行前往，速度是，请通过计算说明两人谁先到达？ 13．如图，五边形是一个公园沿湖的健身步道（步道可以骑行），是仅能步行的跨湖小桥．经勘测，点在点的正北方935米处，点在点的正东方，点在点的北偏东，且在点的正北方；，米，米．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果精确到米）； (2)小明和爸爸在健身步道锻炼，小明以200米/分的速度从点出发沿路线的方向骑行，爸爸以150米/分的速度从点出发沿路线的方向跑步前行．两人约定同时出发，那么小明和爸爸谁先到达点？请说明理由． 14．如图，海岸边上有三个观测站，观测站在观测站的东北方向，观测站在观测站的正东方向，观测站之间的距离为30海里．某天，观测站同时收到一艘轮船在处发出的求救信号，经分析，在观测站的南偏东方向，在观测站的东南方向，在观测站的正东方向． (1)求的长度．（结果精确到个位） (2)目前只有观测站与配备了搜救艇，搜救艇航速为30海里/时．收到求救信号后，因观测站的搜救艇在检修，接到任务后不能马上出发，需30分钟后才能出发，而且必须先去处，才能再去处（在处停留时间可忽略不计）；而观测站的搜救艇接到任务后可马上出发，并直接到达处．请问哪一个观测站的搜救艇可以更快到达处？（参考数据：） 15．物流中心与三个菜鸟驿站、、的平面示意图如下图．在的正南方，在的东南方向上且在的北偏东方向上，在的正东方且，已知．（参考数据：，，，）． (1)求驿站、之间的距离； (2)派送员小外计划从出发沿着的路线派送快递到三个驿站，上午完成快递派送．但导航显示路段拥堵严重，于是他改变路线（出发），沿着的路线派送快递到三个驿站．若路段行驶的平均速度为，其余路段的平均行驶速度为且小外在每个驿站均停留存放快递．请通过计算说明他能否在之前完成派送． 16．今年国庆假期时，贝贝和月月约定去云南雨崩一风景区徒步，她们同时从出发，到终点集合，贝贝先沿点的北偏西方向爬坡600米后到达，再沿点的东北方向爬坡到，月月沿与平行的方向由爬坡到，再沿点的北偏西方向爬坡到． (1)求到的距离；（结果保留根号） (2)已知贝贝的爬山速度平均为25米/分钟，月月的爬山速度平均为30米/分钟，通过计算说明谁先到达．（参考数据：，，） 17．周末，小宏和小帆准备相约去湖边景点钓鱼．如图，为同一平面内的四个景点．已知景点位于景点的正东方向，景点位于景点的正东方向，景点位于景点的西南方向3000米处，景点位于景点的南偏西方向，景点位于景点的北偏东方向．（参考数据：，） (1)求景点到景点的距离。（结果保留根号） (2)小宏选择路线以米/秒前往景点处，小帆选择路线以米/秒前往景点，两人在各景点处停留的时间忽略不计。已知两人同时出发且匀速前进，请通过计算说明谁先到达景点．（结果保留1位小数） 18．如图，A为海上一供给站，小岛B在供给站A的正西方向，灯塔D在供给站A的正南方向，另一供给站C在灯塔D的西南方向，与灯塔D相距海里，在供给站C处测得小岛B在北偏西方向，且海里． (1)求供给站C到的距离；（结果精确到个位） (2)一游艇在小岛B处突发故障滞留并发出求救信号，此时从D处派出了两艘救援船甲、乙前往B处救援，甲选择的路线为，乙选择的路线为，若甲的速度为每小时海里，乙的速度为每小时海里，请通过计算说明甲、乙两艘救援船谁先到达B处？（参考数据：，，，，，） 19．如图，为沙坪坝区物流中心，，，为三个菜鸟驿站，在的正南方向处，在的正东方向，在的南偏西方向处，在南偏西方向．（，，，，，） (1)求驿站，驿站之间的距离（结果精确到）； (2)“双11”期间，派送员从沙坪坝区物流中心出发，以的速度沿着的路线派送快递到各个驿站，派送员途径，两个驿站各停留存放快递，请计算说明派送员能否在内到达驿站？ 20．如图，海上有一座小岛，一艘游艇在海中自东向西航行，游艇在A处测得小岛在北偏西方向，半小时后游艇到达离小岛处60海里的处，测得小岛在西北方向．（参考数据：，，） (1)求游艇每小时航行多少海里？（结果保留整数） (2)由于游艇在处突发故障，只能减速前行，于是立即以每小时30海里的速度沿北偏西方向航行，此航线记为，与此同时，在航线上处的救援船立即以每小时40海里的速度沿北偏东方向前往小岛取维修材料（救援船取维修材料的时间忽略不计），当游艇在航线上航行到离小岛最近的处时停下来等待，救援船取到维修材料后立即以原速沿最近的路线前往处．游艇到达处后，再过多少小时救援船能到达处？（结果精确到0.01） 21．打铁花，是流传于豫晋地区民间传统的烟火，国家级非物质文化遗产之一，铁花飞溅，寓意着生活多姿多彩．春节前夕，在渝北区龙湖天街广场举行了一次打铁花表演．小明家在点A处，表演场地C在小明家北偏东．小明有两种方式去看表演，路线①从A经过一段楼梯到达点D，，再沿到达C处，已知点C在点D的东北方向处；路线②从A出发沿正东方向到达点B，再沿正北方向到点C处．（A、B、C、D在同一平面内）（参考数据：，，， (1)求楼梯的长度； (2)小明计划出门，如果选择路线①只能走路，走路的最快速度是，如果选择路线②则可以跑步，跑步的平均速度是，表演正式开始时间是，小明能赶在表演前到达点C处吗？如果能，选择哪条路线，如果不能，具体说明原因（数据保留1位小数）． 22．舞龙俗称舞龙灯，源自古人对龙的崇拜，每逢佳节人们都会舞龙，以此方式来祈求平安和丰收，春节前夕在某广场举行了一次舞龙表演．如图，表演场地在点C处，已知小明家A在表演场地C南偏西方向上．小明有两条路线去看表演，路线①：从小明家A穿过一公园D，再沿到达表演场地C，其中点D在点A的东北方向上，点C在点D的北偏东方向上且距离点D米处；路线②：从小明家A出发沿正东方向到达十字路口B，再沿正北方向到达表演场地C． （A、B、C、D在同一平面内，参考数据：，，，，，） (1)求小明家A到公园D的距离；（结果保留根号） (2)小明和爸爸一起去看表演，他们计划出门，爸爸选择路线①步行前往，步行的平均速度，小明选择路线②骑自行车前往，骑车的平均速度是，若表演正式开始的时间是，小明和爸爸能否在表演正式开始前到达表演场地C，请通过计算说明理由．（结果保留1位小数） 23．今年校庆期间，小南和小开相约从宿舍大门出发去参观学校的津之南美术馆．如图，小南选择路线1：，小开选择路线．经勘测，A，D，E三点共线，且点，点在点的北偏东方向上，点在点的正西方向，且在点的北偏西方向；点在点的正北方向，且在点的正东方向，所有点A，B，C，M，D，E都在同一平面内．测量得知，点恰好为中点，米，米． (1)求A，E两地之间的距离（结果保留根号）； (2)已知小南的速度为每分钟50米，小开的速度为每分钟60米，小南和小开同时从宿舍大门A出发沿着各自选择的路线匀速前往津之南美术馆M，请通过计算时间说明他们俩谁先到达M（时间精确到0.1）？（参考数据：） 24．如下图，、、、是某个景区的四个游客休息区（只有，可骑行），在的正西方向，在的正北方向；在的北偏东方向，在的北偏西方向，且在的东北方向，米．（参考数据：，，，，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)周末小义和小飞相约一起去公园游玩，他们到达后发现有两条路线可到，小义选择路线①，步行速度为每分钟90米；小飞选择路线②，他租了一辆共享单车，骑行速度为每分钟240米，中途在处停留5分钟观赏风景，请你通过计算说明，小义和小飞谁先到达． 25．周末妈妈和小明在位于小明家西北方向的书店看书．回家时，小明想先沿去位于家的正西方向、距家米的菜鸟驿站处取包裹，然后再沿回家；妈妈想先沿去位于家的北偏西方向的干洗店取衣服．然后再沿回家．已知书店位于菜鸟驿站的北偏东方向、干洗店的南偏西方向．（参考数据：，） (1)求小明家与书店的距离（结果保留整效）； (2)小明和妈妈回家的路程相差多少米（结果保留整数）？ 26．如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资，甲货轮沿港的东北方向航行40海里到达港，再沿东南方向航行一定距离到达港．乙货轮沿港的南偏东方向航行后到达港，再沿北偏西方向航行一定距离到达港．（参考数据：，，） (1)求，两港之间的距离； (2)若甲货轮的速度为20海里/小时，乙货轮的速度为30海里/小时（停靠，两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明． 27．如图，四边形是某公园的游览步道（步道可以骑行），把四个景点连接起来，为了方便，在景点的正东方设置了休息区，其中休息区在景点的南偏西方向米处，景点在景点的北偏东方向，景点和休息区两地相距米，景点分别在休息区、景点的正东方向和正南方向．（参考数据：） (1)求步道的长度； (2)周末小明和小宏相约一起去公园游玩，他们在景点一起向正东出发，不久到达休息区，他们发现有两条路线到达景点，于是小宏想比赛看谁先到达景点．他们分别租了一辆共享单车，两人同时在点出发，小明选择①路线，速度为每分钟米；小宏选择②路线，速度为每分钟米，其中两人在各个景点停留的时间不计．请你通过计算说明，小明和小宏谁先到达景点呢？ 28．哈尔滨旅游火爆全网，小西和小附两家前往哈尔滨冰雪大世界玩耍，如图，两家到达入口R处后分两条线路进行游玩，最后前往最大游玩项目B处集合．经测量，项目B在入口R的正北方向米处，项目A在入口R的北偏西方向，在项目B的南偏西方向，项目D在入口R的东北方米处，项目C在项目D的北偏西方向，在项目B的正东方向． (1)求项目C和项目D之间的距离；（结果保留根号） (2)已知小西家沿线路①进行游玩，小附家沿线路②进行游玩，请通过计算说明哪一条线路更短？（参考数据：，，） 29．冬季是滑雪的最佳时节，亚布力滑雪场有初、中、高级各类滑雪道．如图，其中的两条初级滑雪道的线路为：①；②．点A是雪道起点，点D是雪道终点，点B、C、E是三个休息区．经勘测，点B在点A的南偏东方向1800米处，点C在点B的正南方向2000米处，点D在C的西南方向，点E在点A的西南方向1300米处，点E在点D的正北方向．（参考数据：，） (1)求的长度；（精确到1米） (2)小外一家周末去亚布力滑雪，小外沿滑雪道线路①全程以5米/秒的速度滑雪，且在途经的每个休息区都各休息了5分钟；小外的爸爸比小外晚出发2分钟，以3米/秒的速度沿滑雪道线路②滑完全程，且中途没有休息．请计算说明小外和爸爸谁先到达终点D． 30．如图，我国某海域里，一艘渔船正在A处停留，小岛B在A的正东方向．一艘渔政船在C处巡逻，这时测得渔船在它的北偏东方向上，渔政船的航行速度为每小时20海里，它从C处沿东北方向航行2小时后到达D处，这时测得渔船在它的西北方向．（参考数据：） (1)求当渔政船到达D处时，渔政船与渔船的距离；（结果精确到0.1） (2)若该渔政船在D处测得小岛B在它的北偏东方向上，这时渔船以每小时25海里的速度从A处向小岛B航行，同时渔政船以原速度由D向B航行，则哪艘船先到达小岛B？ 类型三：坡度坡角问题 31．为了方便市民出行，建委决定对某街道一条斜坡进行改造，计划将原斜坡坡角为的改造为坡角为的，已知米，点A，B，C，D，E，F在同一平面内． (1)求的距离；（结果保留根号） (2)一辆货车沿斜坡从C处行驶到F处，货车的高为6米，，若米，求此时货车顶端E到水平线的距离．（精确到0.1米，参考数据：，） 32．除夕夜小李和亮亮相约去看烟花，并测量烟花的燃放高度．如图，小李从点B处出发，沿坡度为的山坡走了到达坡顶点A处，亮亮则到达离点A水平距离为的点C处观看，此时烟花在与B，C同一水平线上的点D处点燃，一朵朵灿烂的烟花在点D的正上方点E处绽放，小李在坡顶A处看烟花绽放处E的仰角为，亮亮在C处测得点E的仰角为．（点A，B，C，D，E在同一平面内；参考数据：，） (1)小李从斜坡B处走到A处，高度上升了多少米？ (2)烟花燃放结束后，小李和亮亮来到烟花燃放地帮忙清理现场的垃圾，他们清理时发现说明书上写着烟花的燃放高度为，请你帮他们计算一下，说明书上写的烟花燃放高度与实际燃放高度（图中）是否相符？ 33．“养生黑山谷，梦幻奥陶纪”，闻名遐迩的奥陶纪悬崖大秋千惊险刺激，颇受年轻人追捧．下图是其简化截面图，线段是其主支柱，垂直于地面．游客体验该项目时，机械装置将21米的摆臂拉至主支柱左侧，将其释放，摆动到主支柱右侧FH处，摆动过程中，摆臂保持笔直．平台下悬崖高度（点M与悬崖底部水平面距离）约为280米． 某日小明去体验此项目，他先从A出发沿坡度的斜坡向上2．5米到平台上的B点，然后水平向右2米到达点C的位置，此时看向支柱顶点F的仰角为，已知米，小明眼睛与平台的距离米，（参考数据：，，，，） (1)请计算主支柱的高度（结果保留整数）． (2)由于高空项目风险大，为保障安全，国家制定了相关规定，高空秋千项目属于大型游乐设备，最大单侧摆角（摆臂与主支柱夹角）不超过75度，同时，运营方将秋千坐人端在运行路线上的平均速度定为不超过20米/秒时为安全可控，体验该项目时，若小明从与支柱夹角为的位置运行到在支柱另一侧夹角为的位置所用时间为3秒，请判断小明的平均速度是否安全可控且说明理由，并计算出此时H点与悬崖底部水平面的垂直高度（结果保留整数）． 34．小明准备测量学校旗杆的高度，他发现斜坡正对着太阳时，旗杆的影子恰好落在水平地面和斜坡面上，测得旗杆在水平地面上的影长，在斜坡坡面上的影长，太阳光线与水平线所成的角为． (1)若斜坡的坡度是，求点到旗杆的距离； (2)若太阳光线与斜坡坡面的夹角为，求旗杆的高度；（精确到1m）．（参考数据：，，，，） 35．周末，小明和小红相约爬山到山顶点C处观景（山脚处的点A、B在同一水平线上）．小明在A点处测得山顶点C的仰角为，他从点A出发，沿爬山到达山顶C．小红从点B出发，先爬长为米的山坡到达点D，的坡度为，然后沿水平观景步道走了900米到达点E，此时山顶C正好在点E的东北方向1800米处，最后爬山坡到达山顶C（点A、B、C、D、E在同一平面内，小明、小红的身高忽略不计）．（参考数据：，） (1)求山顶C到 的距离（结果保留整数）； (2)若小明和小红分别从点A、点B同时出发，小明的爬山速度为70米/分，小红的爬山速度为60米/分（小红在山坡 、山坡 段的速度相同），小红的平路速度为90米/分，请问谁先到达山顶C处？请通过计算说明理由． 36．如图，斜坡长130米，坡度，，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡． (1)若修建的斜坡的坡角为，求平台的长；（结果保留根号） (2)斜坡正前方一座建筑物上悬挂了一幅巨型广告，小明在D点测得广告顶部M的仰角为，他沿坡面走到坡脚A处，然后向大楼方向继续行走10米来到P处，测得广告底部N的仰角为，此时小明距大楼底端Q处30米．已知B、C、A、M、Q在同一平面内，C、A、P、Q在同一条直线上，求广告的长度．（参考数据：，，，，） 37．“天高云淡秋风炎，正是人间好游赏”，周末小明和小华决定到某地登山游玩，如图，他们同时从地出发，到达终点地集合，点在点的正北方向，小明先沿着坡度为的斜坡前进米后达到地，再沿地的北偏东的方向爬坡到地，小华沿着地北偏东的方向的爬坡到地，再沿地的北偏西方向爬坡到地．（参考数据：，，） (1)求点到点的距离：（结果保留根号） (2)已知小明的爬山平均速度为25米/分钟，小华的爬山平均速度为30米/分钟，请通过计算说明：小明和小华谁先到达终点处． 38．如图，在河流两边有甲、乙两座山，现在从甲山处的位置向乙山处拉电线．已知甲山上点到的垂直高度米；乙山的坡比为，乙山上点到河边的距离米，从处看处的俯角为．（在同一平面内，参考值：） (1)求乙山处到河边的垂直距离； (2)求河的宽度（结果保留整数）． 39．某长500米的水库大坝的横截面是的四边形，坝顶与坝底平行，已知坝高24米，背水坡的坡度．为提高大坝防洪能力，现需要在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝顶加宽6米（即米），．（参考数据：）    (1)求坝底加宽的宽度；（保留根号） (2)据相关部门统计，现有填筑土石方83130立方米，请问是否足够加固大坝所需？ 40．如图，为了测量山脚到塔顶的高度（即的长），某同学在山脚处用测角仪测得塔顶的仰角为，再沿坡度为的小山坡前进400米到达点，在处测得塔顶的仰角为. （1）求坡面的铅垂高度（即的长）； （2）求的长.（结果保留根号，测角仪的高度忽略不计）. 类型四：实际建模问题 41．如图是某风车平面示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点在旋转中心的正下方，某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，，此时各叶片影子在点右侧形成线段，的对应点为，测得，，此时太阳的与地面的夹角为30°（即）． (1)求旋转中心到地面的距离的值；（结果保留根号） (2)风车转动时，要求叶片外端离地面的最低高度高于2.5米，请判断此风车是否符合要求．（结果保留1位小数）（，） 42．近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了如图1所示的护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图2所示，其中灯柱，灯臂，灯罩，分别可以绕点C、D上下调节一定的角度．    (1)若将绕点C转动使得，与之间的夹角，求点C与点E之间的水平距离； (2)经使用发现：当E点到水平桌面的距离为时，台灯光线最佳．当，且时，试通过计算说明此时光线是否最佳．（精确到，参考数值：，，） 43．如图，考古人员在古墓大门A处探测到一青铜古物O，由于大门A正北方向有间墓室，考古人员无法沿直线直接挖掘前往．经勘测，考古人员发现有两条线路可以挖掘前往青铜古物O：线路①；线路②．其中点C在点A的正东方10米处，点O在点C北偏西 方向，点D在点C正北方，点O在点D西北方向20米处，点B在点A正西方向，点O在点B北偏东方向．（参考数据：，）    (1)求的长度；（结果保留根号） (2)受周围环境的影响，考古人员在线路①挖掘的平均速度为3米/小时，在线路②挖掘的平均速度为3.2米/小时，请通过计算说明选择哪条线路能更快挖掘到古物O． 44．用某型号拖把去拖沙发底部地面的截面示意图如图所示，拖把头为矩形， ．该沙发与地面的空隙为矩形，，．拖把杆为线段，长为， O为的中点，与所成角的可变范围是 当大小固定时，若经过点G，或点A与点E重合，则此时的长即为沙发底部可拖最大深度． (1)如图1，当时，求沙发底部可拖最大深度的长．（结果保留根号） (2)如图2，为了能将沙发底部地面拖干净，将α减小到，请通过计算，判断此时沙发底部可拖最大深度的长能否达到？（， ） 45．春节期间，白居寺长江大桥凭借其独特的造型、科幻的氛围、“星际穿越”的视感吸引众多游客纷纷前来打卡拍照．某校数学社团的同学们欲测量白居寺长江大桥桥塔的高度，如图2，他们在桥下地面上架设测角仪（测角仪垂直于地面放置），此时测得白居寺长江大桥桥塔最高点的仰角，然后将测角仪沿方向移动100.5米到达点处，并测出点的仰角，测角仪高度米．（点在同一水平线上，）      (1)白居寺长江大桥桥塔的高度约为多少米？（结果保留到个位，参考数据：，，，） (2)如图3，在（1）问条件下，小明在某大楼处测得白居寺长江大桥桥塔最高点的仰角，最低点的俯角，则小明所在地处与的水平距离约为多少米？（结果保留到个位，参考数据：，，，，，） 46．仙女山大草原部分景点的道路分布如图所示，其中是骑行公路．经测量，点C在点B正南方，点D在点B正东方，，米，点A在点B的北偏西23°方向，米，点E在点D正北方且在点A正东方．（参考数据：，，，）    (1)求的距离；（结果精确到个位） (2)小华和小亮同时从游客中心点C出发，前往点E处的露营基地，小华沿路线步行到达基地，速度为；小亮以的速度沿到达点A后，立即骑行到达点E，骑行速度为，请计算说明小华和小亮谁先到达E点？ 47．图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．    (1)求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离； (2)若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由． （结果精确到，参考数据：，，，） 48．拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座固定，， 且，连杆长度为，机械臂长度为．点B，C是转动点，且与始终在同一平面内． (1)转动连杆，机械臂，使，，如图2，求机械臂端点D离操作台l的高度的长（精确到，参考数据：）． (2)物品在操作台l上，距离底座A端的点M处，转动连杆，机械臂， 机械臂端点D能否碰到点M？请说明理由． 49．如图，小巴和小量两位同学假期一起去科技馆参观，两人同时从出入口A出发，先一起沿A的北偏西方向走到国防科技厅C．接下来，小巴沿C的东南方向行走到达B继续参观交通科技厅，再沿B的北偏东方向走回出入口A；小量则对D展厅的青少年梦工厂活动更感兴趣，他从C出发先沿正东方向走到梦工厂D，参加活动后沿D的正南方向行走回到出入口A．（参考数据：，，） （1）求A，C两地之间的距离（结果保留整数）； （2）若小巴和小量匀速行走且速度相同（在B，D停留的时间相同），哪位同学先回到出入口A？请通过计算说明． 50．如图1，公园草坪上安置了某款自动感应遮阳伞，其侧面示意图如图2所示．该遮阳伞由支架（）、悬托架（）、伞面（）和感应器组成．支架公垂直于地面，伞沿的支点在上滑动．悬托架支点在上．感应器根据太阳光线的角度自动调整伞面与悬托架之间的角度（即的大小）使得伞面与太阳光线始终保持垂直，从而达到最佳遮阳效果．已知米，米，且． (1)某天下午15点时太阳光线与地面的夹角，此时伞沿支点离地面多高？（结果精确到米） (2)如图3，一把铁椅固定在离支架5米处的点，小明坐在铁椅上的高度（头顶到地面的距离）为1米．若当天点时太阳光线与地面的夹角，请判断此时小明的头部是否会被太阳光照射到？（参考数据：，） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$