专题10动态几何应用2024-2025学年九年级中考复习数学试题（重庆专用）

专题10 动态几何应用（原卷版） （3大类型精选40题） 类型一：一次函数应用 1．如图1，在中，，，．动点M从点A出发，沿A→B→C方向匀速运动，速度为；同时，点N从B点出发，沿射线方向匀速运动，速度为．当点M和点N相遇即停止运动．若y表示的面积，设运动时间为． (1)请写出y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数y的图像，并写出函数y的一条性质； (3)结合函数图像，请写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 2．如图，在中，，，于点D．，点P为线段上一点（不与A，D两点重合），过点P作交于点M，交于点N．设的长度为x，点M、N之间的距离为，的周长与的周长之比为． (1)直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 3．在中，，，，点是的中点，动点从点出发，沿匀速运动，到点停止运动，点的运动速度为每秒个单位长度，点的运动时间为秒，的面积为． (1)直接写与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在图的直角坐标系中，画出的函数图象，并写出函数的一条性质； (3)若直线与该函数图象有两个交点，则的取值范围是______． 4．如图1，在Rt中，，，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，匀速运动到点B停止（与点B，C不重合），同时动点D在射线CA上匀速运动，当点P到达点B时，点D停止运动，的面积为3，设点P运动时间为x秒，BP的长度为，CD的长度为，请解答下列问题： (1)请直接写出，关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数和的函数图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直线与、的图象有两个交点时，求b的取值范围（误差不超过0.2）． 5．如图，在中，，是的中点，动点从点出发，沿着折线（含端点和）运动，速度为每秒1个单位长度，到达点停止运动．设点的运动时间为秒，点到的距离为个单位长度． (1)直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在直角坐标系中画出与的函数图象，并写出它的一条性质； (3)根据图象直接写出当时的取值范围． 6．如图，在中，，，，E为上一点，，动点P从点E出发，沿折线方向运动，到达点B时停止运动，连接，．设点P走过的路程为x，的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中．画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)一次函数的图像与y的图象有且仅有2个交点，请直接写出常数k的取值范围． 7．如图，在四边形中，，，，，，连接BD，动点P从点A出发沿折线方向运动，动点Q从点C出发沿方向运动，动点P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点D时，P，Q两点时同时停止运动，连接DP，BQ．设运动的时间为x秒，记的面积为，的面积与的面积之比为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 8．如图1，在矩形中，，，点E在边上，且，连接，动点P从E点出发沿折线运动，到达点C时停止，在运动过程中始终过点P作交矩形的另一边于点Q．设点P的运动的路程为，（表示线段与线段的和）． (1)请直接写出与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出的函数图象，并写出函数的一条性质； (3)反比例函数如图所示，请结合图像直接写出时的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 9．如图，已知在矩形中，，，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度运动，同时，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度运动，当点到达点时，、两点都停止运动．设动点运动的时间为秒，规定，．    (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，直接写出时的取值范围． 10．如图1，在平行四边形中，，，．点为边的中点，动点从点出发，沿折线方向运动，速度为每秒2个单位长度，到达点时停止运动，连接，．设点的运动时间为秒，记为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)一次函数与的图象有且仅有2个交点，请直接写出常数的取值范围． 类型一：反比例函数应用 11．如图1，正方形的边长为4，动点P从点C出发，沿路线向点A运动，设点P的运动路程是．点Q是射线上一动点，且，当点P到达终点A时，点Q停止运动，连接，．记的面积为，的面积为．    (1)请分别写出，关于x的函数解析式，并注明x的取值范围； (2)在图2中画出，关于x的函数图像，并分别写出，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时，x的取值范围． 12．如图1，在中，，，，为中点，动点以每秒1个单位长度的速度沿折线方向运动，当点运动到点时停止运动．设运动时间为秒（），的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给出的平面直角坐标系中画出的图象，并写出的一条性质； (3)如图2，的图象如图所示，结合函数图象，直接写出时的取值．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 13．如图，在中，，为边上的高，，，动点从点出发，沿运动，到达点时停止运动，设点运动的路程为，过点作交的边于点，点，的距离为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出点，的距离为3时的值． 14．如图1，在中，，，，点P为上一点（点P不与A，C重合），，过点P作交于点Q，连接．点P，Q的距离为，的面积与的面积之比为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 15．如图1，平行四边形ABCD中，，，，，动点P以每秒1个单位的速度从点B出发沿折线运动（含端点），到达A点停止运动．过点P作，交一边于点Q，并过点Q作QM垂直于直线CD于点M．设点P的运动时间为x秒，，请解答下列问题：    (1)直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； (2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围． 16．如图1，在中，为边上的高，，动点P从点B出发，沿运动，到达点C时停止运动，设点P运动的路程为x，过点P作交的边于点Q，点P，Q的距离为，的面积与点P运动的路程之比为 (1)请直接写出分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在如图2所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时，x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 17．如图1，在矩形中，，，对角线交于点O．动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着运动，同时动点Q从点B出发，以相同的速度沿运动，点E是线段上一动点，满足，设点P、Q运动的时间都为x（），点P到的距离与点P到的距离的和为，点E到的距离为． (1)请直接写出，关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 18．如图1，在平行四边形中，，，，点为边的中点，点沿着的方向每秒1个单位运动，到达点停止运动，同时点沿着的方向每秒个单位运动，一点停止时另一点也停止运动，连接、、，设的运动时间为秒，记的面积为，记的面积为． (1)请直接写出、关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在图2给定的平面直角坐标系中，画出函数、的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合、的函数图象，请直接写出时的取值范围． 19．如图1，在矩形中，点为中点，连接，，点沿着的方向运动，到点时停止运动，连接，设点运动的路程为，的面积为． (1)直接写出的解析式及自变量的取值范围； (2)在图2中画出的图象，并写出一条的性质； (3)反比例函数如图所示，请直接写出时，自变量的取值范围（结果保留1位小数，误差不超过）． 20．如图，在四边形中，，于点E，，，．动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点E出发，沿折线方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点Q到达点D时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的面积为4时x的值． 21．如图，在菱形中，，，动点从点出发，以的速度沿着方向运动，同时动点从点出发，以的速度沿着方向运动，一点停止时另一点立即停止运动．设动点的运动时间为，记的面积为，点到直线的最短距离与动点运动的路程之比为． (1)请直接写出，与之间的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)请在直角坐标系中画出，的函数图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时，自变量的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 22．如图1，在直角中，，，．点D为线段上一点（点D与端点A、B不重合），，过点D作于点E，点F在射线上，连接．的面积始终为3，线段的长为，线段的长为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 23．如图，在 中， ， ，， 点 D为的中点， 过点D作交于点E，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着折线(含端点) 运动，到达E点停止运动，过点P作交于点Q． 设点P的运动时间为x秒，的长度为，请解答下列问题： (1)直接写出关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)的函数图象如图所示，当时，请直接写出x的取值范围．(结果保留一位小数，误差不超过) 24．如图，在矩形中，，，点P为边上的一个动点，设，点M为射线上的一个动点，且，连接和，记的面积为，的面积为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 25．在直角三角形中，，，，点为上一动点，过点作交于点，再过点作交于点，设点的长度为，和的长度之和为，与的长度之比为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 26．如图1，在矩形中，，，动点P从点A出发，沿折线运动，当它运动到点C时停止运动，过点D作交于点Q．若，． (1)请直接写出y关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出y关于x的函数图象，并写出y的一条性质； (3)当时，请求出的值为多少? 27．如图，在中，，，，是边上的中线，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿着运动，同时动点P以相同的速度从点A出发，沿着运动，点P运动到点B处两点都停止，连接，．设点P、Q的运动时间为x．的面积为，的面积与面积之比为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 28．如图，中，，，，点D为的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿B→A方向匀速运动，至点A处停止；同时，点Q以相同的速度从点C出发，沿着折线方向匀速运动，至点A处停止．设点P运动时间为x秒（），的面积与的面积之比为，的面积为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质： (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 29．如图1，在矩形中，对角线、交于点，，．动点以每秒1个单位长度的速度沿着运动，动点同时从点出发以相同的速度沿着运动，过点作交于点，当点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒，点到的距离与到的距离之和为，与的周长之比为． (1)请直接写出，关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系（图2）中画出，的图像，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.1） 30．如图，在矩形中，，，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动，当它到达点时停止运动；同时，点从点出发，以每秒1个单位的速度沿射线运动，过点作直线平行于，点为直线上的一点，满足的面积为2，设点、点的运动时间为，的面积为，的长度为． (1)分别求出，与的函数关系，并注明的取值范围； (2)在坐标系中画出，的函数图象，并写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 类型三：二次函数应用 31．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段运动．当点到达点时，、停止运动，连接、．设点运动的时间为，的面积为， (1)直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出函数时的取值范围（保留一位小数，误差不超过）． 32．如图，在中，，，，动点以每秒的速度从点出发，沿折线方向运动，动点以每秒的速度从点同时出发，沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为，的面积为． (1)请直接写出关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)当的面积为时，请直接写出的值（保留一位小数，误差不得超过0.2）． 33．如图1，在中，．点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段BC运动．当点到达点时，P，Q停止运动．设点运动的时间为的面积为． (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在图2平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出这个函数的一条性质：____________； (3)若与的函数图象与直线有两个交点，则的取值范围是_____________． 34．如图，在矩形中，，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，点沿折线方向运动，点沿射线方向运动，当点追上点时，均停止运动．设运动时间为x秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围． (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质． (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 35．如图．在中，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点停止，过点作交两腰于点，连接，设点的运动时间为(秒)，的面积为 (1)直接写出与之间的函数关系式，并写出对应的的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质： (3)反比例函数的图象如下，直接写出时的取值范围．（误差小于) 36．如图1，在矩形中，，，对角线、交于点．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿着运动，同时动点从点出发，以相同的速度沿运动，设点、运动的时间都为，点到的距离与点到的距离的和为，的面积为． (1)请直接写出，关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 37．如图，在中，，，，点D为上的三等分点．动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点D出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，当其中任意一个动点到达终点时，两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，的长度为，的面积为． (1)请直接写出与分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数与的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 38．如图，在中，，，动点从点出发，以2个单位/秒沿折线方向运动，运动到点停止．设运动时间为，于点，设以为边长的正方形的面积为． (1)求关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，如果与该函数图象有两个不同的交点，请写出的取值范围． 39．如图1，在中，，，．点P从点A出发，以2的速度沿折线运动，同时点Q从点B出发，以1的速度沿线段运动，当点Q到达点C时，P，Q停止运动．设点P运动的时间为，的面积为． (1)请直接写出与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围（面积不取0）； (2)在图2平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出这个函数的一条性质：_______； (3)若与x的函数图象与直线有一个交点，则n的取值范围是________． 40．如图1，在四边形中，，，动点P从点D出发，按的顺序在边上运动，且点P运动到点B时停止运动，设点P的运动路程为x，动点Q在射线上，且，连接，设的面积为的面积为（当点P与点D，B重合时，的值为0）． (1)分别求出与x之间的函数关系式，并注明x的取值范围； (2)当x为何值时，？ (3)请在如图2所示的平面直角坐标系内直接画出和的函数图象；结合图象，直接写出当时，x的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 动态几何应用（解析版） （3大类型精选40题） 1．如图1，在中，，，．动点M从点A出发，沿A→B→C方向匀速运动，速度为；同时，点N从B点出发，沿射线方向匀速运动，速度为．当点M和点N相遇即停止运动．若y表示的面积，设运动时间为． (1)请写出y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数y的图像，并写出函数y的一条性质； (3)结合函数图像，请写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【知识点】一次函数与几何综合、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了函数图像与几何问题，涉及到一次函数的解析式，二次函数的解析式，一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质等知识．数形结合是解题的关键． （1）①当在线段时，如图过作交于点，②当在线段上时，过作交于点，这两种情况进行分析； （2）根据函数解析式画函数图象即可，然后根据y随t的变化情况作答即可； （3）作出图像并结合图象进行作答即可． 【详解】（1）解：①当在线段时，如图过作交于点， ，，， , 由题意可得，，， , ， 的面积； ②当在线段上时，过作交于点， 由题意可得，，， ， , ， 的面积， y关于t的函数表达式为：； （2）解:画函数图像如图： 性质：当时， y随t的增大而增大；当时， y随t的增大而减小； （3）解：如图： 时x的取值范围为：． 2．如图，在中，，，于点D．，点P为线段上一点（不与A，D两点重合），过点P作交于点M，交于点N．设的长度为x，点M、N之间的距离为，的周长与的周长之比为． (1)直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)， (2)见详解；当时，随x的增大而增大，随x的增大而减小 (3) 【知识点】一次函数与几何综合、y=ax²+bx+c的图象与性质、相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，比例的性质，一次函数和反比例函数的图像和性质．正确画出函数图像是解题的关键． （1）先由点P为线段上一点（不与A，D两点重合）， 可知，根据平行证明，根据相似三角形对应高的比等于相似比可得：，再由等比的性质解答即可； （2）画出图像，再根据上升或下降写出一条性质即可； （3）先算出两图像交点的横坐标，观察图像确定图像在图像上方时的取值即可，注意原本的取值范围． 【详解】（1）解： ，点P为线段上一点（不与A，D两点重合）， ， ，， ， ， ， ， ， ，，， ，， ，． （2） 解： 当时，随x的增大而增大，随x的增大而减小． （3） 解： 当与的相交时，有， 解得：或（不合题意，舍去） 观察图像，时x的取值范围为． 3．在中，，，，点是的中点，动点从点出发，沿匀速运动，到点停止运动，点的运动速度为每秒个单位长度，点的运动时间为秒，的面积为． (1)直接写与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在图的直角坐标系中，画出的函数图象，并写出函数的一条性质； (3)若直线与该函数图象有两个交点，则的取值范围是______． 【答案】(1)； (2)见解析； (3) 【知识点】一次函数与几何综合、其他问题(一次函数的实际应用)、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据勾股定理求出，因为点是的中点，可得，当点的运动速度为每秒个单位长度，可得：当时，，当时，； 根据分段函数的解析式画出函数图象即可； 当直线过点时，可得：，所以直线与该函数图象有两个交点，则的取值范围是． 【详解】（1）解：，，， ， 点是的中点， ， ，点的运动速度为每秒个单位长度， ， 当时，， ； ， ， 当时，过点作， 则， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ； 综上所述，； （2）解：画函数图象，如下图所示， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； （3）解：当直线过点时， 可得：， 解得：， 直线与该函数图象有两个交点，则的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合、勾股定理、相似三角形的判定与性质、求一次函数的解析式，解决本题的关键是根据三角形的面积公式分段求出与的函数关系式． 4．如图1，在Rt中，，，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，匀速运动到点B停止（与点B，C不重合），同时动点D在射线CA上匀速运动，当点P到达点B时，点D停止运动，的面积为3，设点P运动时间为x秒，BP的长度为，CD的长度为，请解答下列问题： (1)请直接写出，关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数和的函数图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直线与、的图象有两个交点时，求b的取值范围（误差不超过0.2）． 【答案】(1)， (2)图象见解析；函数的性质：当时，随x的增大而减小 (3)且 【知识点】一次函数与几何综合、反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的应用，画函数图象，数形结合是解答本题的关键． （1）根据，，即可得出，结合三角形的面积公式可得的解析式， （2）根据反比例函数图象与一次函数的性质画图即可，再根据图象可得函数的性质； （3）先求出、的交点坐标，结合图象即可求出b的取值范围． 【详解】（1）解：，，， 当时，，， ∴ ∵的面积为，即， ∴， ∴ （2）解：如图，，的图象如下： 函数的性质：当时，随的增大而减小； 函数的性质：当时，随的增大而减小． （3）解：解得， 当时，，把代入，得． 当时，，把代入，得，解得． 把代入，得，解得． 把代入，得，解得． ∴且． 5．如图，在中，，是的中点，动点从点出发，沿着折线（含端点和）运动，速度为每秒1个单位长度，到达点停止运动．设点的运动时间为秒，点到的距离为个单位长度． (1)直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在直角坐标系中画出与的函数图象，并写出它的一条性质； (3)根据图象直接写出当时的取值范围． 【答案】(1) (2)函数图象见详解； 性质：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． (3)或 【知识点】用描点法画函数图象、一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查一次函数和三角形的结合，涉及勾股定理、解直角三角形和解不等式，解题的关键是熟悉关键是分情况讨论． （1）根据勾股定理求得，结合题意可得，依据，即可求得点M在线段上；当点M在线段上时，结合和，即，求得y即可； （2）根据描点连线作图即可，结合图象写出性质即可； （3）结合解不等式的方法和分情况求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵点到的距离，动点从点出发，沿着折线（含端点和）运动，速度为每秒1个单位长度， ∴当点M在线段上时，，此时，， ∴，即，， 当点M在线段上时，如图， ∵， ∴，此时，， ∵， ∴，即， ∴，， 则 （2）解：画函数图象如图所示： 性质：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． （3）解：当时，解得，则； 当时，，解得，则； 故或 6．如图，在中，，，，E为上一点，，动点P从点E出发，沿折线方向运动，到达点B时停止运动，连接，．设点P走过的路程为x，的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中．画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)一次函数的图像与y的图象有且仅有2个交点，请直接写出常数k的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析， (3) 【知识点】一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）先由勾股定理得出，即可得出，再分两种情况：当，即点在上时；当时，即点在上时，分别求解即可； （2）利用描点法画出函数图象，结合函数图象即可得出性质； （3）求出当一次函数经过时，一次函数的图象与的图象有且仅有一个交点，即；当一次函数经过时，一次函数的图象与的图象有且仅有一个交点，即，结合题意即可得解． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当，即点在上时，过点作于， ， 由题意可得：，则，， ∴， 当时，即点在上时， 此时， ∴， 综上所述，； （2）解：列表得： 2 6 6 0 画出函数图象如图所示： ， 由函数图象可得：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． （3）解：当一次函数经过时，一次函数的图象与的图象有且仅有一个交点，即， 解得：， 当一次函数经过时，一次函数的图象与的图象有且仅有一个交点，即， ∵一次函数的图像与y的图象有且仅有2个交点， ∴． 7．如图，在四边形中，，，，，，连接BD，动点P从点A出发沿折线方向运动，动点Q从点C出发沿方向运动，动点P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点D时，P，Q两点时同时停止运动，连接DP，BQ．设运动的时间为x秒，记的面积为，的面积与的面积之比为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)， (2)见解析，当时，随的增大而增大 (3)或 【知识点】求一次函数解析式、画一次函数图象、一次函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，掌握一次函数与反比例函数综合应用是解题的关键． （1）由勾股定理得到，当点P在上时，， 当点P在上时，过点A作于E，根据等面积法求出，则，再求出，，由此可求出； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再写出对应函数的性质即可； （3）求出两函数的交点坐标，根据函数图象找到函数图象在函数图象下方方时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵， ∴ 在中，，， ∴, 如图1，当时，如图1， ∴，即； 当时，如图2，过点A作 ∵， ∴； 而 ∴，即 综上，； ∵ ∴，， ∴； （2）解：①画的图象： 列表： x 1 2 3 8 y 2 4 6 0 描点，连线，如图： 画的图象， 列表得， x 1 2 4 5 y 8 4 2 1.6 描点，连线，如图： 性质：当时，随的增大而增大； （3）解：联立方程组， 解得，或（舍去） 联立方程组 整理得，， 解得，或， 由函数图象可知，当或时，． 8．如图1，在矩形中，，，点E在边上，且，连接，动点P从E点出发沿折线运动，到达点C时停止，在运动过程中始终过点P作交矩形的另一边于点Q．设点P的运动的路程为，（表示线段与线段的和）． (1)请直接写出与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出的函数图象，并写出函数的一条性质； (3)反比例函数如图所示，请结合图像直接写出时的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1) (2)画图见解析，性质：当时，y随着x的增大而减小，当时，y随着x的增大而增大 (3)或 【知识点】一次函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）分P在，上讨论，关键相似三角形的判定与性质求出，即可求解； （2）先画出图象，再根据图象写出性质即可求解； （3）直接根据图象求解即可． 【详解】（1）解：在矩形中，，， ∴，， ∵， ∴， 当P在，即时，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴； 当P在上，即时，，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∴； （2）解：图象如图所示， 性质：当时，y随着x的增大而减小，当时，y随着x的增大而增大； （3）解：联立方程组，解得或； 联立方程组，解得或（舍去）， 由图象得：当或时，的函数图象在的上方， ∴当时，x的取值范围或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，一次函数与反比例函数，一次函数的性质、利用图象解不等式等知识点，根据P的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 9．如图，已知在矩形中，，，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度运动，同时，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度运动，当点到达点时，、两点都停止运动．设动点运动的时间为秒，规定，．    (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，直接写出时的取值范围． 【答案】(1)，； (2)画图见解析，当时随的增大而增大（答案为不唯一）； (3)当时，． 【知识点】动点问题的函数图象、一次函数与几何综合、根据矩形的性质求线段长、面积问题(二次函数综合) 【分析】（）根据题意当时，，当时，，当时，， （）根据画函数图象的方法即可求解； （）通过函数图象即可求解； 本题考查了函数图象的性质，画函数图象，矩形的性质，三角形面积，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， 由题意得：，， 当时，，当时，， 当时，， ∴，； （2）解：列表： 描点： 连线： 当时随的增大而增大（答案为不唯一）； （3）解：根据图象可知：当时，． 10．如图1，在平行四边形中，，，．点为边的中点，动点从点出发，沿折线方向运动，速度为每秒2个单位长度，到达点时停止运动，连接，．设点的运动时间为秒，记为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)一次函数与的图象有且仅有2个交点，请直接写出常数的取值范围． 【答案】(1) (2)画图见解析，当时，y随x的增大而减小（答案不唯一） (3) 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、一次函数与几何综合、含30度角的直角三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了求分段函数的解析式、根据解析式画函数的图象、一次函数的图象与性质、矩形的性质等知识，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意，分和讨论，根据三角形面积公式得出y关于x的函数表达式即可； （2）根据（1）中函数表达式，取，，作出图象，写出该函数的一条性质即可； （3）分别求出经过，，时，b对应的值，然后画图分析即可求解． 【详解】（1）解：在平行四边形中， ，． ∴，， ∵点为边的中点， ∴， 当时， 过E作于F， ∵， ∴， ∴； 当时， 过C作于G， ∴， ∴ 综上， （2）解：画图如下： 由图象知：当时，y随x的增大而减小； （3）解：当经过时，，解得， 当经过时，，解得， 当经过时，，解得， 画图分析 当时，一次函数与的图象有且仅有2个交点． 11．如图1，正方形的边长为4，动点P从点C出发，沿路线向点A运动，设点P的运动路程是．点Q是射线上一动点，且，当点P到达终点A时，点Q停止运动，连接，．记的面积为，的面积为．    (1)请分别写出，关于x的函数解析式，并注明x的取值范围； (2)在图2中画出，关于x的函数图像，并分别写出，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时，x的取值范围． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【知识点】一次函数与几何综合、判断（画）反比例函数图象 【分析】本题考查反比例函数，一次函数，正确理解题意是解题的关键： （1）当时，；当时，；，即可得出函数解析式； （2）根据函数解析式画出图像，再写出函数性质即可； （3）由函数图象即可得出答案． 【详解】（1）解：（1）当时，； 当时，； ∴ ， ∴． （2）和的图象如图所示：   的性质有：当时，有最大值8； 的性质有：当时，随x的增大而减小． （3）由函数图象知，当时，x的取值范围为：． 12．如图1，在中，，，，为中点，动点以每秒1个单位长度的速度沿折线方向运动，当点运动到点时停止运动．设运动时间为秒（），的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给出的平面直角坐标系中画出的图象，并写出的一条性质； (3)如图2，的图象如图所示，结合函数图象，直接写出时的取值．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1) (2)见解析 (3)， 【知识点】动点问题的函数图象、求一次函数解析式、一次函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练列出函数解析式是解答本题的关键． （1）分阶段写出关于的函数表达式即可； （2）根据（1）的函数解析式画出的图象并写出一条性质即可； （3）结合函数图象，直接写出时的取值即可 【详解】（1）过点D作，则四边形为矩形， ∵为中点， ， 当时， 当时， （2）图象如图所示，性质如下： 增减性：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小. 最值：该函数在自变量的取值范围内，有最大值，无最小值；当时，函数取得最大值. （3）由图可知： 13．如图，在中，，为边上的高，，，动点从点出发，沿运动，到达点时停止运动，设点运动的路程为，过点作交的边于点，点，的距离为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出点，的距离为3时的值． 【答案】(1) (2)图象见解析；当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小； (3)或． 【知识点】画一次函数图象、一次函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识 （1）分两种情况分别列出函数解析式即可； （2）利用两点法画图作出函数图象，并写出性质即可； （3）根据图象求出答案即可． 【详解】（1）解：∵在中，，为边上的高， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ 当时， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， 当时，如图， ∵为边上的高， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴ （2）图象如图， 当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小； （3）当点，的距离为3时，即时，或． 14．如图1，在中，，，，点P为上一点（点P不与A，C重合），，过点P作交于点Q，连接．点P，Q的距离为，的面积与的面积之比为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)， (2)图象见解析，当时，随x的增大而增大，随x的增大而减小 (3) 【知识点】一次函数与几何综合、反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）根据勾股定理可求出，易证，即得出，代入数据即可求出关于x的函数表达式；分别求出和，再作比，即可求出关于x的函数表达式； （2）根据函数关系式作图即可，再根据图象写出性质即可； （3）由图象可知交点坐标，再结合求时x的取值范围，即求的图象在的图象上方时x的取值范围求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴； ∵，， ∴，即． （2）解：画出函数，的图象如图， 由图象可知，当时，随x的增大而增大，随x的增大而减小； （3）解：由图象可知与相交于点， ∴当时，的图象在的图象上方， ∴时x的取值范围为． 【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，勾股定理，一次函数的应用，反比例函数的应用等知识．根据三角形相似的判定和性质正确求出，分别关于x的函数表达式是解题关键． 15．如图1，平行四边形ABCD中，，，，，动点P以每秒1个单位的速度从点B出发沿折线运动（含端点），到达A点停止运动．过点P作，交一边于点Q，并过点Q作QM垂直于直线CD于点M．设点P的运动时间为x秒，，请解答下列问题：    (1)直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； (2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1) (2)图象见解析，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大 (3) 【知识点】动点问题的函数图象、根据两条直线的交点求不等式的解集、一次函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）分两种情况：当时，当时，利用相似三角形的性质求解即可； （2）利用描点法作出图象，再根据函数图象写出性质即可； （3）根据图象写出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：当时， 过点C作于E，    ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴ 由勾股定理，得， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 当时，如图，    同理可得： 综上，． （2）解：函数图象如图所示，    性质：当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大． （3）解：如图，    由图象可得当时， 【点睛】本题考查分段函数，求函数解析式，画函数图象，函数的性质，利用函数图象求不等式解集，相似三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，求出函数解析式是解题的关键． 16．如图1，在中，为边上的高，，动点P从点B出发，沿运动，到达点C时停止运动，设点P运动的路程为x，过点P作交的边于点Q，点P，Q的距离为，的面积与点P运动的路程之比为 (1)请直接写出分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在如图2所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时，x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】(1)； (2)当时，随x增大而增大，当时，随x增大而减小 (3)或 【知识点】动点问题的函数图象、一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据三角形的高，得，得，得，， ，可得，，当时， ，得；当时， ，得；根据，得； （2）根据时，；时，， 时，； 时，；时，；时，；时，；描点，连线，画出函数图象；当时，随x增大而增大，当时，随x增大而减小． （3）由图象看出函数与交于点，函数与交于点，可得不等式的解集． 【详解】（1）解：在中，为边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； 综上所述，，； （2）解：在中， 时，； 时，， 在中， 时，； 在中， 时，； 时，； 时，； 时，； 画出如图所示函数图象； 由函数图象可知，当时，随x增大而增大，当时，随x增大而减小． （3）解：由图象看出与交于点， 函数与交于点， ∴不等式的解集为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合．熟练熟练掌握一次函数与反比例函数的图象和性质，函数与线段综合，函数与三角形面积综合，等腰直角三角形性质，锐角三角函数，勾股定理，函数与不等式，是解题的关键． 17．如图1，在矩形中，，，对角线交于点O．动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着运动，同时动点Q从点B出发，以相同的速度沿运动，点E是线段上一动点，满足，设点P、Q运动的时间都为x（），点P到的距离与点P到的距离的和为，点E到的距离为． (1)请直接写出，关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 【答案】(1), (2)见解析 (3)或 【知识点】一次函数与几何综合、反比例函数与几何综合、根据矩形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）分和两种情况分别求出函数关于x的函数关系式及自变量的取值范围，根据三角形面积公式得到，即可得到关于x的函数关系式及自变量的取值范围即可； （2）根据自变量的取值范围画出函数图象即可，并写出的一条性质即可； （3）根据函数图象的交点横坐标及函数图象即可得到答案. 【详解】（1）解：在矩形中，，， ∴， ∴， 当时，如图，作，，垂足分别为点F和点G， 则， ∴，， 即，， ∴，， ∴当时，， 当时，如图，作，，垂足分别为点M和点N， 则， ∴，， 即，， ∴，， ∴当时，， ∴； ∵．点E到的距离为． ∴， ∴； （2）解：函数图象如图所示： 在时，函数随着x的增大而增大；时，函数随着x的增大而减小 （3）解：根据图象估计当时，即函数图象在函数图象下方， 此时x的取值范围是或． 【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质、矩形的性质、解直角三角形、反比例函数的图象和性质等知识，数形结合正确列出函数解析式是解题的关键． 18．如图1，在平行四边形中，，，，点为边的中点，点沿着的方向每秒1个单位运动，到达点停止运动，同时点沿着的方向每秒个单位运动，一点停止时另一点也停止运动，连接、、，设的运动时间为秒，记的面积为，记的面积为． (1)请直接写出、关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在图2给定的平面直角坐标系中，画出函数、的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合、的函数图象，请直接写出时的取值范围． 【答案】(1)， (2)图象见解析，性质：当时，取最大值，（答案不唯一，合理即可） (3) 【知识点】从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象、一次函数与几何综合、已知正弦值求边长 【分析】（1）过作于点，由，得到，，再由中点得到即可说明点与点重合，即，，然后利用等高的三角形面积比等于底的比求、关于的函数表达式，注意点需要分在线段和上两种情况讨论； （2）根据、关于的函数表达式结合范围画出图象即可； （3）结合图象找到在上方时的取值范围，即为时的取值范围． 【详解】（1）解：过作于点， ∵平行四边形中，，， ∴，，，，， ∴，即， ∴，， ∵点为边的中点， ∴， ∴点与点重合，即，， ∴， ∴， ∵点沿着的方向每秒个单位运动，运动时间为秒， ∴，， ∵，的面积为， ∴， 整理得， ∵点沿着的方向每秒1个单位运动，设的运动时间为秒， ∴当点在线段上时，，此时，； 当点在线段上时，，此时， 如图，延长、交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 整理得， 综上所述，； （2）解：函数、的图象如图所示： 由图象可得，当时，取最大值，（答案不唯一，合理即可）； （3）解：由函数图象可得，当时，的取值范围为． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，平行四边形的性质，三角函数，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，证明是解题的关键． 19．如图1，在矩形中，点为中点，连接，，点沿着的方向运动，到点时停止运动，连接，设点运动的路程为，的面积为． (1)直接写出的解析式及自变量的取值范围； (2)在图2中画出的图象，并写出一条的性质； (3)反比例函数如图所示，请直接写出时，自变量的取值范围（结果保留1位小数，误差不超过）． 【答案】(1) (2)作图见解析，性质见解析（答案不唯一） (3)或 （答案不唯一） 【知识点】一次函数与几何综合、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）当点沿着的方向运动时，，则，从而得到；当点沿着的方向运动时，，过点作，如图所示，由列比例式求出即可由三角形面积公式求出的解析式及自变量的取值范围； （2）由（1）中求得的解析式及自变量的取值范围直接作图即可得到答案； （3）由（2）中所在图象，求出两个函数图象的交点横坐标，数形结合求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当点沿着的方向运动时，设点运动的路程为， ， 在矩形中，，则， ； 当点沿着的方向运动时，设点运动的路程为， ， 过点作，如图所示： ， 在矩形中，，，，则，， ，即， 点为中点， ， 在中，，则由勾股定理可得， ，解得， ； 当点与点重合时，不存在，没有面积； 综上所述，； （2）解：如图所示： 性质：当时，随增大而减小；当时，随增大而增大（答案不唯一）； （3）解：由（2）可知， 、的图象如下： 当时，函数图象在函数图象的上方， 过图象交点作轴的垂线，如图所示： 联立，则，即，解得， 或； 联立，则，即，解得， 或（负值舍去）； 当时，或． 【点睛】本题考查函数综合，涉及矩形性质、相似三角形的判定与性质、求函数表达式、勾股定理、作函数图象、解一元二次方程、利用图象解不等式等知识，数形结合是解决问题的关键． 20．如图，在四边形中，，于点E，，，．动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点E出发，沿折线方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点Q到达点D时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的面积为4时x的值． 【答案】(1)或 (2)图见详解，函数值的最大值为 (3)或 【知识点】动点问题的函数图象、一次函数与几何综合、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题是动点下的图象的面积问题，考查了三角形的面积公式、函数的图象与性质，写出函数表达式并画出函数图象是解题的关键． （1）由速度与时间的关系表示出各线段，根据三角形面积公式即可得出答案； （2）根据函数表达式画线即可画出图象，由图象的变化趋势即可得出性质； （3）由函数图象的趋势即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得， 当时，点在点左侧，点在上，则， 即 当时，点到达点，点到达点，此时 当时，点在点的右侧，点在上，， 则，， ， 即 综上所述：当时， 当时， （2）如图，函数的性质：函数值的最大值为 （3）如图可知，当或时，的面积为． 21．如图，在菱形中，，，动点从点出发，以的速度沿着方向运动，同时动点从点出发，以的速度沿着方向运动，一点停止时另一点立即停止运动．设动点的运动时间为，记的面积为，点到直线的最短距离与动点运动的路程之比为． (1)请直接写出，与之间的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)请在直角坐标系中画出，的函数图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时，自变量的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【答案】(1)， (2)图见解析，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小 (3) 【知识点】一次函数与几何综合、反比例函数与几何综合、利用菱形的性质求面积、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的应用、菱形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，反比例函数与一次函数的应用是解题关键． （1）先根据菱形的性质可得，利用勾股定理可得，再解直角三角形可得，，，然后分两种情况：和，解直角三角形可得的边上的高，利用三角形的面积公式可得与之间的函数关系式；解直角三角形可得点到直线的最短距离，由此即可得与之间的函数关系式； （2）根据一次函数和反比例函数的图象的画法即可得；再写出函数的增减性即可得； （3）分别求出当和时，两个函数的交点的横坐标，再结合函数图象即可得． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∴，，， 由题意得：点从点出发运动到点所需时间为，点从点出发运动到点所需时间为，点从点出发运动到点所需时间为， ①如图，当时，过点作于点，则， ∴， ∴； ②如图，当时，过点作于点，则， ∴， ∴， ∴； 如图，过点作于点， ∴，即点到直线的最短距离为， 由题意得：， ∴， 综上，，． （2）解：在直角坐标系中画出，的函数图象如下： 函数的一条性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． （3）解：当时，联立， 解得或（舍去）， 所以当时，两个函数的交点的横坐标为， 当时，联立， 解得或（舍去）， 所以当时，两个函数的交点的横坐标为， 结合函数图象可知，当时，． 22．如图1，在直角中，，，．点D为线段上一点（点D与端点A、B不重合），，过点D作于点E，点F在射线上，连接．的面积始终为3，线段的长为，线段的长为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】本题考查反比例函数的应用： （1）根据三角形面积列式求解即可得到关于x的函数表达式，再根据列出关于x的函数表达式，即可得到答案； （2）根据（1）画出图形，结合图形写出性质即可得到答案； （3）根据图象，大的在上方，小的在下方求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵，线段的长为， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：列表如下， x 1 2 3 6 4 0 6 3 2 1 描点如图所示， ∴函数，的图象如图所示， 函数的性质：随x的增大而减小（答案不唯一）； 函数的性质：随x的增大而减小（答案不唯一）； （3）解：由图象得， 当时x的取值范围是． 23．如图，在 中， ， ，， 点 D为的中点， 过点D作交于点E，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着折线(含端点) 运动，到达E点停止运动，过点P作交于点Q． 设点P的运动时间为x秒，的长度为，请解答下列问题： (1)直接写出关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)的函数图象如图所示，当时，请直接写出x的取值范围．(结果保留一位小数，误差不超过) 【答案】(1) (2)图见解析，性质：当时，有最大值，最大值为4(答案不唯一) (3) 【知识点】用描点法画函数图象、反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，描点法画函数图象，通过图象观察函数的性质，根据图象求不等式的解集等知识，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键． （1）先运用勾股定理和相似三角形的判定与性质求出、和，再分①当点P在线段上时，②当点P在线段上，不含点D时，两种情况讨论分别求出对应函数关系式，即可得解． （2）运用描点法画函数图象，并观察图象得出性质即可； （3）根据图象得出交点横坐标的近似值，再根据图象写出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵在 中， ， ，， ∴， 又∵点 D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ①当点P在线段上时，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ②当点P在线段上，不含点D时，， ∴， 此时点E即为点Q， ∴， 即， ∴关于x的函数关系式是： （2）列表格得： x 0 5 9 0 4 0 画出函数图象如下图所示：图中折线即为所求作函数图象． 其性质可以为：当时，有最大值，最大值为4(答案不唯一)； （3）由图象可知两函数图象交点的横坐标约为：，， ∴当时， x的取值范围是． 24．如图，在矩形中，，，点P为边上的一个动点，设，点M为射线上的一个动点，且，连接和，记的面积为，的面积为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【知识点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、根据矩形的性质求线段长、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了矩形的性质、三角形的面积、一次函数和反比例函数图象的性质等知识点，掌握数形结合思想是解本题的关键． （1）根据三角形的面积公式结合矩形的性质即可解答； （2）正确画函数的图象，再根据图象写出性质即可； （3）根据函数图象由的图象在上边时对应的x的值即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，． （2）解： 函数的一条性质是∶ 随x的增大而增大(答案不唯一)； 函数的一条性质是： 随x的增大而减小(答案不唯一)． （3）解：由函数图象得：当时x的取值范围是：． 25．在直角三角形中，，，，点为上一动点，过点作交于点，再过点作交于点，设点的长度为，和的长度之和为，与的长度之比为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【答案】(1)，；，； (2)图见解析；函数的性质：当时，随增大而增大；函数的性质：当时，随增大而减小 (3) 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、反比例函数与几何综合、一次函数与几何综合、用描点法画函数图象 【分析】本题考查了函数的实际应用，涉及了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、函数的解析式和性质等知识点，掌握相关结论即可． （1）由题意得四边形是矩形，可得，；证可得，即可求解； （2）描点画图即可； （3）根据函数的图象在函数的图象上方即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴，； ，； （2）解：描点画图如下： 由图象可知：函数的性质：当时，随增大而增大；函数的性质：当时，随增大而减小 （3）解：由图象可知：当时，函数的图象在函数的图象上方， ∴当时， 26．如图1，在矩形中，，，动点P从点A出发，沿折线运动，当它运动到点C时停止运动，过点D作交于点Q．若，． (1)请直接写出y关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出y关于x的函数图象，并写出y的一条性质； (3)当时，请求出的值为多少? 【答案】(1) (2)作图见解析，当，y随x的增大而减小（答案不唯一）； (3) 【知识点】根据矩形的性质求线段长、反比例函数与几何综合、动点问题的函数图象 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，反比例函数，勾股定理． （1）分两种情况讨论：①当点P在线段上，即时，，即；②当点P在上运动，即时，根据的面积即可得到，因此； （2）根据（1）的解析式即可画出图象，观察函数图象即可写出性质； （3）首先求得当时，，在中，，由勾股定理得到，进而利用，即可得解． 【详解】（1）①当点P在线段上，即时， ∵在矩形中，，又， ∴点Q与点A重合，， ∵在矩形中，， ∴， 即． ②连接， ∵在矩形中，，， ∴． 当点P在上运动，即时， ∵或， ∴， 即， ∴． 综上所述，y关于x的函数关系式为． （2）列表： x 0 1 2 3 4 5 y 4 4 4 4 4 4 4 3 描点并连线： 由图象可得，当，y随x的增大而减小； （3）当时， 解得， 在中，，，， ∴， ∴． 27．如图，在中，，，，是边上的中线，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿着运动，同时动点P以相同的速度从点A出发，沿着运动，点P运动到点B处两点都停止，连接，．设点P、Q的运动时间为x．的面积为，的面积与面积之比为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)， (2)图见解析，函数的一条性质：当，随着的增大而增大（答案不唯一） (3)当时x的取值范围： 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、解直角三角形的相关计算、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】（1）先求出，由题意得，，由共高三角形面积比化为底之比得到，故；根据，那么，当点在线段上时，即，过点作于点，由题意得，，则，再根据面积公式得到；当点在线段上时，即，过点作于点，由题意得，，则，即可表示面积； （2）先作出反比例函数和正比例函数以及一次函数的图象，从函数的增减性角度可以写出一条性质； （3）当时，即函数图象在函数图象上方时，交点的横坐标取值范围． 【详解】（1）解：在中，，， ， ， ， ∵点D为的中点， ∴， 由题意得，， ∵与共高， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 当点在线段上时，即，过点作于点， 由题意得，， ∴， ∴， ∴, 当点在线段上时，即，过点作于点， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， 综上：； （2）解：画出函数，的图象如图， 函数的一条性质：当，随着的增大而增大（答案不唯一）； （3）解：记函数与函数的交点为， 由图象可得：， ∴当时x的取值范围：． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，涉及求函数解析式，一次函数与反比例函数的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，勾股定理等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． 28．如图，中，，，，点D为的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿B→A方向匀速运动，至点A处停止；同时，点Q以相同的速度从点C出发，沿着折线方向匀速运动，至点A处停止．设点P运动时间为x秒（），的面积与的面积之比为，的面积为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质： (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)， (2)作图见解析，函数的一条性质：当，随着的增大而增大（答案不唯一） (3)或 【知识点】实际问题与反比例函数、解直角三角形的相关计算、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）由题意得，，由共高三角形面积比化为底之比得到，故；由勾股定理得：，根据直角三角形斜边中线得到，则，那么，当点在线段上时，即，过点作于点，由题意得，，则，再根据面积公式得到；当点在线段上时，即，过点作于点，由题意得，，则，即可表示面积； （2）先作出反比例函数和正比例函数以及一次函数的图象，从函数的增减性角度可以写出一条性质； （3）当时，即函数图象在函数图象上方时，交点的横坐标取值范围． 【详解】（1）解：由题意得， ∵与共过点作边的高， ∴， ∴， ∵，，， ∴由勾股定理得：， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∴， 当点在线段上时，即，过点作于点， 由题意得，， ∴， ∴， ∴, 当点在线段上时，即，过点作于点， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， 综上：； （2）解：画出函数，的图象如图， 函数的一条性质：当，随着的增大而增大（答案不唯一）； （3）解：记函数与函数的交点为， 由图象可得：， ∴当时x的取值范围：或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，涉及求函数解析式，一次函数与反比例函数的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，勾股定理等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． 29．如图1，在矩形中，对角线、交于点，，．动点以每秒1个单位长度的速度沿着运动，动点同时从点出发以相同的速度沿着运动，过点作交于点，当点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒，点到的距离与到的距离之和为，与的周长之比为． (1)请直接写出，关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系（图2）中画出，的图像，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.1） 【答案】(1)； (2)作图见解析；当时，y的值随着x的值增大而减小（答案不唯一） (3) 【知识点】函数解析式、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）先求出，分和两种情况，证出，得出的长，再证出，得的长，即可求解； （2）根据函数解析式画图即可，借助图像描述其性质； （3）求出交点即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由勾股定理得， ∴， 过点E作交于点H，交于点M， ∴， ∴，， 当时， 则， ∴， 即， 解得， ∵， ∴ ∴， 即， 解得， ∴； 当时， 则， ∴， 即， 解得， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示， 当时，的值随着x的值增大而减小； （3）解：由图像可知，两个函数图像在之间有交点， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理、一次函数的图像、反比例函数的图像与性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定以及反比例函数和一次函数的图像与性质是解题的关键． 30．如图，在矩形中，，，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动，当它到达点时停止运动；同时，点从点出发，以每秒1个单位的速度沿射线运动，过点作直线平行于，点为直线上的一点，满足的面积为2，设点、点的运动时间为，的面积为，的长度为． (1)分别求出，与的函数关系，并注明的取值范围； (2)在坐标系中画出，的函数图象，并写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【答案】(1)， (2)见解析 (3)（右端值可为4.6，4.7，4.8，4.9） 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、判断（画）反比例函数图象、一次函数与几何综合、画一次函数图象 【分析】本题考查了函数的综合题，函数与动点问题，画函数图象，比较函数值的大小，正确理解图形中的动点问题是解题的关键． (1)根据三角形面积公式直接求解析式即可； (2)利用描点法画出函数图象； (3)当时，即为的图象在图象的上方，观察图象，即可得到答案． 【详解】（1）解：当点在线段上时， 当点在线段上时， 当点在线段上时， 综上所述， 的面积为2 （2）解：函数图象如图所示： （3）解：观察图象可知时，的取值范围为：（右端值可为4.6，4.7，4.8，4.9）． 31．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段运动．当点到达点时，、停止运动，连接、．设点运动的时间为，的面积为， (1)直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出函数时的取值范围（保留一位小数，误差不超过）． 【答案】(1) (2)见解析．函数的一条性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小 (3)或 【知识点】一次函数与几何综合、图形运动问题(实际问题与二次函数)、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用、反比例函数的图象与性质等知识，熟练掌握函数图象法是解题关键． （1）分两种情况：①和②，利用三角形的面积公式求解即可得； （2）利用描点法画出两段函数的图象，再写出函数的增减性即可得； （3）画出函数的图象，求出两个函数的交点的横坐标，结合函数图象即可得． 【详解】（1）解：由题意可知，点从点出发运动到点所需时间为，从点出发运动到点所需时间为；点从点出发到点所需时间为， ∴． 当点与点相遇时，，解得， 则分以下两种情况： ①如图，当点在上，即时，， 则； ②如图，当点在上，即时，， ∴， 则， 综上，． （2）解：在平面直角坐标系中，画出函数的图象如下： 函数的一条性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． （3）解：画出函数图象如下： 当时，联立， 解得（经检验，是方程组的解）， 即此时函数与的交点的横坐标为； 当时，联立， 解得（经检验，是方程组的解）或（舍去）， 即此时函数与的交点的横坐标为； 结合函数图象可知，在内，当函数时，的取值范围为或． 32．如图，在中，，，，动点以每秒的速度从点出发，沿折线方向运动，动点以每秒的速度从点同时出发，沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为，的面积为． (1)请直接写出关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)当的面积为时，请直接写出的值（保留一位小数，误差不得超过0.2）． 【答案】(1) (2)作图见解析，该函数的一个性质：当时，有最大值6（答案不唯一） (3)或 【知识点】动点问题的函数图象、求一次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查动点问题函数图象，一次函数和二次函数图象的作法，勾股定理， （1）首先根据勾股定理求出，然后求出，当两者相遇时，，然后分以及分别求解即可得出答案； （2）根据函数解析式描点连线作图，根据图象可写出一条性质； （3）将分别代入和求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ． 如图1所示，过点C作于点D， ∵ ∴ ∴当两者相遇时， ∴； 分两种情况： ①当时，点E在上，点F在上时，如图2， 由题意得，， ∴； ②当时，点E和点F都在上时，过点C作于D，如图3， 由题意得，， ∴ ∴ 综上所述，y关于x的函数解析式为； （2）由（1）中得到的函数解析式可知， 当时，； 当时，； 如图，分别描出对应点然后顺次连线． 该函数的一个性质：当时，有最大值6（答案不唯一）． （3）当时，代入函数，得， 解得（负值舍去）； 当时，代入函数，得， 解得． 综上所述，当的面积为时，或． 33．如图1，在中，．点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段BC运动．当点到达点时，P，Q停止运动．设点运动的时间为的面积为． (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在图2平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出这个函数的一条性质：____________； (3)若与的函数图象与直线有两个交点，则的取值范围是_____________． 【答案】(1) (2)当时，为最大值（答案不唯一） (3) 【知识点】动点问题的函数图象、一次函数图象平移问题、画y=ax²+bx+c的图象、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，一次函数与二次函数综合． （1）分两种情况分别计算即可； （2）画出函数图象后分析函数图象即可得到性质； （3）平移，找到与的函数图象有两个交点的范围即可． 【详解】（1）当点在线段上时，， 此时，， ∴； 当点在线段上时，， 此时，， ∴， ∴； 综上所述， （2）函数图象如下： 根据函数图象可得，当时，为最大值（答案不唯一）； （3）平移，如图所示： 当过时，有两个交点，此时函数解析式为，， 当过时，有一个交点，此时函数解析式为，， ∴若与的函数图象与直线有两个交点，则的取值范围是， 故答案为：． 34．如图，在矩形中，，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，点沿折线方向运动，点沿射线方向运动，当点追上点时，均停止运动．设运动时间为x秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围． (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质． (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【答案】(1)关于的函数表达式为； (2)画函数图象见解析，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小（答案不唯一）； (3)或． 【知识点】从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象、求一次函数解析式、y=ax²的图象和性质 【分析】本题是动点下的图象的面积问题，考查了三角形的面积公式，函数的图象与性质，写出函数表达式并画出函数图象是解题的关键． （）由速度与时间的关系表示出各线段，根据三角形面积公式即可得出答案； （）根据函数表达式画线即可画出图象，由图象的变化趋势即可得出性质； （）由函数图象的趋势即可得出答案． 【详解】（1）解：当点在上时，即， 则，， ∴； 当点在上时，即， 则， ∴， 综上可知：关于的函数表达式为； （2）解：列表： 描点， 连线 如图， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； （3）解：由图象可知：，， 解得：（负值已舍去），， ∴当时的取值范围或． 35．如图．在中，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点停止，过点作交两腰于点，连接，设点的运动时间为(秒)，的面积为 (1)直接写出与之间的函数关系式，并写出对应的的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质： (3)反比例函数的图象如下，直接写出时的取值范围．（误差小于) 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】画一次函数图象、根据交点确定不等式的解集、三线合一、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数，解直角三角形，根据题意列出函数解析式是解题的关键； （1）分两种情况，当 时，当时，由的长，根据三角形的面积公式列出函数解析式即可； （2）由题意画出图象，由一次函数的性质可得出结论； （3）由（2）中的图象与直线的交点坐标可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∵在中， ∴，； 依题意，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点停止， ∴，则， 在中，， ∴； 当时， ∴，则； 当时， ∴，则， ∴； （2）解：如图所示， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，取得最大值最大值为； （3）解：如图所示 根据函数图象可得，时的取值范围为． 36．如图1，在矩形中，，，对角线、交于点．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿着运动，同时动点从点出发，以相同的速度沿运动，设点、运动的时间都为，点到的距离与点到的距离的和为，的面积为． (1)请直接写出，关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】动点问题的函数图象、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、根据矩形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）分和两种情况分别求出函数关于x的函数关系式及自变量的取值范围，作，垂足为点E，解直角三角形求出，根据三角形面积公式得到，即可得到关于x的函数关系式及自变量的取值范围即可； （2）根据自变量的取值范围画出函数图象即可，并写出的一条性质即可； （3）令，画出函数图象，根据函数图象的交点横坐标及函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：在矩形中，，， ∴， ∴， 当时，如图，作，，垂足分别为点F和点G， 则， ∴，， 即，， ∴，， ∴当时，， 当时，如图，作，，垂足分别为点M和点N， 则， ∴，， 即，， ∴，， ∴当时，， ∴； 如图，作，垂足为点E， 则， ∴，即， ∴， ∵， ∴； （2）解：函数图象如图所示： 在时，函数随着x的增大而增大；时，函数随着x的增大而减小 （3）解：令， 在（2）函数图象的基础上画出函数的图象， 根据图象估计当时，即函数图象在函数图象下方，交点在之间， 令，即， 解得：（舍去） 根据图象估计当时，x的取值范围是． 【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质、二次函数图象，矩形的性质、解直角三角形等知识，数形结合正确列出函数解析式是解题的关键． 37．如图，在中，，，，点D为上的三等分点．动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点D出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，当其中任意一个动点到达终点时，两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，的长度为，的面积为． (1)请直接写出与分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数与的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)，； (2)图见解析，性质见解析； (3)． 【知识点】画一次函数图象、画y=ax²+bx+c的图象、y=ax²+bx+c的图象与性质、利用网格求三角形面积 【分析】（1）根据题意得到，，则，，根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）根据题意画出函数的图象，并根据函数的图象得到函数的性质； （3）根据函数的图象即可得到不等式的解集． 【详解】（1）解：由题意得， ． （2）函数，的图象如答图． 根据函数图象，函数的性质为： 抛物线与x轴的交点为，顶点为．或当时，随着x的增大而增大．或当时，随着x的增大而减小．或当时，函数有最大值9． 以上4条性质写出一条即可． （3）由函数图象得，当时，． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了三角形的面积，一次函数的图象，二次函数的图象，二次函数的性质，二次函数与不等式的关系，正确作出函数的图象是解题的关键． 38．如图，在中，，，动点从点出发，以2个单位/秒沿折线方向运动，运动到点停止．设运动时间为，于点，设以为边长的正方形的面积为． (1)求关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，如果与该函数图象有两个不同的交点，请写出的取值范围． 【答案】(1) (2)图见解析，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小（答案不唯一） (3) 【知识点】动点问题的函数图象、y=ax²+bx+c的图象与性质、含30度角的直角三角形、等边对等角 【分析】（1）先求得，再分当时，在上运动，；当时，在上运动，两种情况，利用含30度角的直角三角形的性质和正方形的面积公式求解即可； （2）根据（1）中解析式描点画图即可；根据图象写出可性质； （3）根据（2）中图象可得结论． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， 由题意知，当时，在上运动，如图，则， ∵， ∴， ∴； 当时，在上运动，如图， 则， ∴， ∴， 综上所述，y关于t的函数表达式为； （2）解：由（1）知，该函数图象经过点，，，，，，， 则函数图象如图所示： 由图可知，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小； （3）解：根据图象，当时，直线与该函数图象有两个不同的交点． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及二次函数的图象与性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，正确求得函数解析式，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 39．如图1，在中，，，．点P从点A出发，以2的速度沿折线运动，同时点Q从点B出发，以1的速度沿线段运动，当点Q到达点C时，P，Q停止运动．设点P运动的时间为，的面积为． (1)请直接写出与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围（面积不取0）； (2)在图2平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出这个函数的一条性质：_______； (3)若与x的函数图象与直线有一个交点，则n的取值范围是________． 【答案】(1) (2)作图见解析，性质：当时，的面积最大，且为4（答案不唯一） (3)或 【知识点】动点问题的函数图象、一次函数与几何综合、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，一次函数与二次函数综合． （1）分两种情况分别计算即可； （2）画出函数图象后分析函数图象即可得到性质； （3）平移，找到与的函数图象有两个交点的范围即可． 【详解】（1）解：当点在线段上时，， 此时，， ∴； 当点在线段上时，， 此时，， ∴， ∴； 综上所述， （2）解：函数图象如图所示， 性质：当时，的面积最大，且为4（答案不唯一）， 故答案为：当时，的面积最大，且为4（答案不唯一）； （3）解：平移，如图所示： 当过时，没有交点，此时函数解析式为，， 当过时，有两个交点，，则， ∴此时函数解析式为， 若与的函数图象与直线有两个交点，则的取值范围是 当过时，有1个交点，则，则， 综上：若与的函数图象与直线有两个交点，则的取值范围是或， 故答案为：或． 40．如图1，在四边形中，，，动点P从点D出发，按的顺序在边上运动，且点P运动到点B时停止运动，设点P的运动路程为x，动点Q在射线上，且，连接，设的面积为的面积为（当点P与点D，B重合时，的值为0）． (1)分别求出与x之间的函数关系式，并注明x的取值范围； (2)当x为何值时，？ (3)请在如图2所示的平面直角坐标系内直接画出和的函数图象；结合图象，直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1)； (2)或8 (3)见解析；或． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）过点D作于点E，根据矩形的性质，应用勾股定理，求出的长，当点P在线段上时，根据，用含的代数式表示出，，当点P在线段上，表示出，即可求解， （2）根据（1）中的函数关系式，分别代入，即可求解， （3）应用描点法，画出函数图象，写出在下方所对应的范围， 本题考查了，矩形的性质，勾股定理解三角形，相似三角形的性质与判定，用描点法画函数图象，解题的关键是：熟练掌握数形结合的方法． 【详解】（1）解：过点D作于点E，          图1 则， ． ∴四边形为矩形， ， ，则． 在中，． 当点P在线段上，即时． 过点P作于点F， 则，则，即， 则，则，则． 当点P在线段上，即时，， 则． ， 故答案为：；， （2）解：当时，，即， 解得（舍去）． 当时，，即， 解得（舍去）． 故答案为：当或8， （3）解：和的图象如图： 或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$