专题07尺规作图2024-2025学年九年级中考复习数学试题（重庆专用）

专题07 尺规作图（解析版） （尺规4大类型分类精选40题） 1．学习了角平分线后，小高进行了拓展性探究．她发现，三角形的一个内角的角平分线与其他两个内角的外角角平分线交于一点，其解决思路是利用角平分线的性质和全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规，作的平分线，与的平分线交于点，连接（只保留作图痕迹）． 已知：如图，在中，点，分别在，的延长线上，平分． 求证：． 证明：过点作于点，于点，于点（注：无需在答题卡上作图） 平分，， ①________ 平分，， ②________ 在与中 ③________ 请你依照题意完成下面命题： 小高通过向老师请教后知晓三角形的一个内角的角平分线与其他两个内角的外角角平分线交于一点，交点叫做旁心，他又回顾总结了三角形中一些重要线段的交点，三角形三个内角的角平分线交于一点，交点叫做④________；三角形三条边的中垂线交于一点，交点叫做⑤________；三角形三条边上的中线交于一点，交点叫做⑥________． 【答案】图见解析；；；；三角形的内；三角形的外心；三角形的重心 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、三角形内心有关应用 【分析】本题考查了尺规作图-角平分线，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内心，外心，重心的概念，利用利用尺规作图即可；再根据角平分线定义和角度的计算，将过程补充完整；最后利用三角形相关概念填空即可，熟知相关概念是解题的关键． 【详解】解：如图，即为所求； 证明：过点作于点，于点，于点（注：无需在答题卡上作图） 平分，， ， 平分，， ， 在与中 ， ， 三角形三个内角的角平分线交于一点，交点叫做三角形的内心；三角形三条边的中垂线交于一点，交点叫做三角形的外心；三角形三条边上的中线交于一点，交点叫做三角形的重心． 故答案为：；；；三角形的内；三角形的外心；三角形的重心． 2．如图，，平分，且交于点．    (1)作的平分线交于点（尺规作图，保留痕迹，不写作法）； (2)根据（1）中作图，连接，求证：四边形是菱形． 证明：， ， 平分， ． ， ， 同理可证， ． 又， ， 又， 四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、证明四边形是菱形 【分析】（1）根据角平分线的作法作出的平分线即可； （2）根据平行线的性质可得，根据角平分线的性质可得，从而得到，推出，同理可得，从而得到，根据得到四边形是平行四边形，最后根据即可得证． 【详解】（1）解：如图，射线即为所作，    （2）证明：如图，连接，    ， ， 平分， ， ， ， 同理可证， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查了尺规作图—角平分线，菱形的判定，平行线的性质，角平分线的性质，熟练掌握相关判定与性质是解题的关键． 3．学习了平行四边形的知识后，实践小组进行了以下研究：作平行四边形一组对边与一条对角线的两夹角的角平分线，这两条角平分线与另一组对边所围成的四边形是一个平行四边形．请根据他们的思路完成以下作图和推理填空： (1)如图，用直尺和圆规，过点作的角平分线，交于点．（不写做法，保留作图痕迹） (2)已知：四边形是平行四边形，连接，平分，平分． 求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ，①__________， ． 平分，平分， ，． ②__________， ③__________ ，， 四边形是平行四边形． 实践小组进一步研究发现：平行四边形中，若，请你模仿题中表述，补全以下结论：作平行四边形一组对边与一条对角线的两夹角的角平分线，则④__________． 【答案】(1)作图见解析 (2)，，，四边形是菱形 【知识点】作角平分线(尺规作图)、利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是菱形 【分析】此题考查了角平分线的作图、平行四边形的判定和性质、菱形的判定方法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的作图步骤作图即可； （2）根据平行四边形的性质，得到两组对边分别平行，利用内错角及角平分线，得出，进而证明四边形是平行四边形；通过角平分线及平行四边形的性质，可证，根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 平分，平分， ，， ， ， ，， 四边形是平行四边形． 实践小组进一步研究发现：平行四边形中，若，作平行四边形一组对边与一条对角线的两夹角的角平分线，则四边形是菱形．理由如下： 由上可知，四边形是平行四边形， 又平分， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形． 故答案为：，，，四边形是菱形． 4．如图，四边形是平行四边形，点是对角线的中点过点的直线分别交边于点，，连接，． (1)用直尺和圆规完成以下作图，过点作的平分线交于点 (2)若，求证：四边形是菱形（补全证明过程）． 证明：四边形是平行四边形 ，， ① 在与中 ② ， 四边形是平行四边形 ， ， 的平分线交于点 ③ ， ④ 平行四边形是菱形 【答案】(1)见解析 (2)；；； 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作角平分线(尺规作图)、利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了作角平分线，平行四边形的性质与判定，菱形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意作的角平分线，即可求解； （2）先证明得出，进而证明四边形是平行四边形，根据平行线的性质可得，，根据角平分线的定义可得，等量代换可得，根据等角对等边可得，即可得证． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：四边形是平行四边形 ，， 在与中 ， 四边形是平行四边形 ， ， 的平分线交于点 ， ， ， 平行四边形是菱形 故答案为：；；；． 5．学习了平行四边形的性质后，小磊对平行四边形进行了拓展性研究．如图，在平行四边形中，连接对角线，的角平分线交于点E． (1)用尺规完成以下基本作图：作的角平分线，交于点F；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）问所作的图形中，连接、，求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，①______， ∴． 又∵、分别平分、． ∴，． ∴， 在和中： ， ∴， ∴，③______， ∴， ∴④______， ∵， ∴，． ∴四边形是平行四边形． 通过以上探究，请你用一句话概括他的结论： 作平行四边形一组对角的角平分线与另一组对角所连的对角线相交，⑤____________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作角平分线(尺规作图)、利用平行四边形的性质证明、证明四边形是平行四边形 【分析】（1）根据作一个角的平分线的基本作图方法进行作图即可； （2）证明，得出，，证明，得出，根据，，得出四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：如图，为所求作的角平分线； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 又∵、分别平分、， ∴，， ∴ 在和中： ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 通过以上探究，请你用一句话概括他的结论： 作平行四边形一组对角的角平分线与另一组对角所连的对角线相交，围成的四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，角平分线的定义，尺规作一个角的平分线，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合． 6．小西在探究角平分线性质的时候，他发出疑问，三角形的一个内角角平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边是否成比例？于是，他展开探究．根据他的想法与思路，完成以下作图和填空． (1)在中，用尺规作图作的角平分线交与点，在射线上取一点，使得（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（）所作的图中，求证：． 证明：∵平分， ∴ ， 又∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴ ， 依据证明过程，小西得出如下结论：___________． 【答案】(1)作图见解析； (2)；；；三角形的一个内角角平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边成比例． 【知识点】作线段(尺规作图)、作角平分线(尺规作图)、等边对等角、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（）作角平分线和作一条线段等于已知线段即可； （）根据角平分线的定义和等边对等角得出，则，故有，然后根据相似三角形的性质即可求解； 本题考查了尺规作图，角平分线的定义，等边对等角，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， （2）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 依据证明过程，小西得出如下结论：三角形的一个内角角平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边成比例． 故答案为：；；；三角形的一个内角角平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边成比例． 7．在学习了平行四边形后，小王进行了拓展性探究，他发现，如果作平行四边形一组对角的角平分线，与平行四边形两边相交的两点和这一组对角的两个顶点构成的四边形是平行四边形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： 如图，四边形是平行四边形．用尺规作的平分线交于，作的平分线交于．（不写作法，保留作图度迹） 已知：在平行四边形中，平分，平分．求证四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ①__________，，． 平分，平分， ，， ②__________， ． ． 四边㷧是平行四边形， ，． ，即③__________， 四边形是平行四边形． 请你依照题意完成下面命题：过平行四边形一组对角作角平分线，与对边产生两个交点，连接这两个交点的线段与平行四边形对角线的关系为④__________． 【答案】作图见解析，①；②；③；④互相平分 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作角平分线(尺规作图)、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定；平行四边形的性质与判定；根据题意用尺规作的平分线交于，作的平分线交于，进而根据全等三角形的性质与判定，平行四边形的判定定理完成填空，即可求解． 【详解】如图所示， 证明：四边形是平行四边形， ①，，． 平分，平分， ，， ， ． ． 四边形是平行四边形， ，． ，即， 四边形是平行四边形． 如图所示，连接交于点，      ∵四边形是平行四边形． ∴互相平分，则点为的中点， 又∵是平行四边的对角线中点， ∴也平分了 所以，过平行四边形一组对角作角平分线．与对边产生两个交点，连接这两个交点的线段与平行四边形对角线的关系为互相平分． 故答案为：①；②；③；④互相平分． 8．三角形角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边对应成比例． 如图1，中，是角平分线，则．小石同学学习了这个定理以后探究：三角形的外角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边的关系，下面是他的探究过程，请按要求完成． 已知：如图2，已知及其外角．的角平分线交的延长线于点F． 求证：．    (1)尺规作图：在图2中作的平分线交的延长线于点F，在射线上截取，连接（不写作法保留作图痕迹） (2)证明： 是的角平分线 ______① ， ______②    ，______③ 是的角平分线 ______ ④     ， 结合以上探究可知：三角形的一个外角的角平分线外分对边所成两条线段，这两条线段和夹相应的内角的两边______ ⑤． 【答案】(1)见解析 (2)；；；；成比例 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质． （1）根据题意作出图形即可； （2）证明，推出，，根据定理得到，再等量代换，即可得证． 【详解】（1）解：所作图形，如图所示，    （2）证明：是的角平分线 ， ，， ， ，， 是的角平分线， ， ，， ． ∴三角形的一个外角的角平分线外分对边所成两条线段，这两条线段和夹相应的内角的两边成比例． 故答案为：；；；；成比例． 9．如图，在中，，平分，是的外角． (1)用尺规完成作图：作的角平分线，过点C作，垂足为E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)小敏作完图后，发现四边形是矩形，请帮助她完成下列推理过程： ∵平分，平分， ∴，． ∴①________． 又∵，平分， ∴②________（三线合一）． ∴． 又∵， ∴③________． ∴四边形是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）． (3)小敏在完成证明后进一步思考，得到结论：当等腰满足________时，矩形是正方形 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或或 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、证明四边形是矩形、添一个条件使四边形是正方形 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，作角平分线，矩形的判定，正方形的判定： （1）根据尺规作角平分线，做垂线的方法作图即可； （2）根据平角和角平分线的定义，三线合一，垂直的定义，进行作答即可； （3）根据有一组邻边相等的矩形是正方形，进行判断即可． 【详解】（1）解：（1）由题意，作图如下：    （2）∵平分，平分， ∴，． ∴． 又∵，平分， ∴（三线合一）． ∴． 又∵， ∴． ∴四边形是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）． （3）当或或时，矩形是正方形； 当时，则：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形． 10．在学习了平行四边形的相关知识后，数学小组进行了更深入的研究，他们发现，连接平行四边形的一条对角线后，作一组对边被该线所截形成的如内错角的角平分线，角平分线与平行四边形一组对边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是平行四边形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)如图，在平行四边形中，用尺规作和的角平分线，分别交，于点，（不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知：平行四边形中，，分别平分和，求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，①________． ∵，分别平分和 ∴②______________；． ∴③_______________． 在与中 ∴． ∴④_______________． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 进一步思考，如果将上述条件中的平行四边形变为菱形呢？连接菱形的一条对角线后，作一组对边被该线所截形成的一组内错角的角平分线，角平分线与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是⑤__________． 【答案】(1)见解析 (2)，，，，平行四边形 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作角平分线(尺规作图)、利用平行四边形性质和判定证明、利用菱形的性质证明 【分析】此题考查了角平分线的作图、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识． （1）根据角平分线的作图步骤作图即可； （2）证明．则．由即证明结论成立，根据证明过程完成填空即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，①． ∵，分别平分和 ∴②；． ∴③． 在与中 ∴． ∴④． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 同理可证，如果将上述条件中的平行四边形变为菱形，连接菱形的一条对角线后，作一组对边被该线所截形成的一组内错角的角平分线，角平分线与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是平行四边形， 故答案为：，，，，平行四边形 11．在学习了平行四边形与菱形的相关知识后，小西进行了更深入的研究，他发现，作平行四边形的一条对角线的垂直平分线与平行四边形的对边相交，这两个交点与这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图和填空． (1)如图，在平行四边形中，用尺规作对角线的垂直平分线，分别交于点，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)已知，平行四边形，点分别是上的点，且垂直平分，求证：四边形是菱形． 证明：在平行四边形中，， ① ， 垂直平分， ② ，， ， ， ∵， 四边形是平行四边形， ③ ， 四边形是菱形． 进一步思考：如果四边形是矩形，作矩形的一条对角线的垂直平分线与矩形的对边相交，则 ④ ． 【答案】(1)作图见解析 (2)，，，两个交点与这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是菱形 【分析】（）根据题意作图即可； （）由平行四边形的性质可得，即得，进而由线段垂直平分线的性质可证，得到，即得四边形是平行四边形，再根据可得四边形是菱形，同理可得四边形是矩形时，两个交点与这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形． 【详解】（1）解：如图所示，直线、线段和即为所求； （2）证明：在平行四边形中，， ， 垂直平分， ，， ， ， ∵， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 进一步思考：如果四边形是矩形，作矩形的一条对角线的垂直平分线与矩形的对边相交，则两个交点与这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形． 理由：同理上可得，四边形是菱形． 故答案为：，，，两个交点与这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，掌握平行四边形的判定和性质、菱形的判定是解题的关键． 12．在学习了特殊平行四边形的性质了之后，小明发现：对于夹在两条平行线之间的线段，作其垂直平分线与两条平行线分别交于两点，则该线段的两个端点和垂直平分线与两条平行线的两个交点所构成的四边形是菱形．小明证明的思路是利用三角形的全等和菱形的判定等知识得到此结论，根据他的想法和思路，完成以下作图和填空： (1)如图，，连接．用尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，和于点和，连接和（不写做法，保留作图痕迹）； (2)已知：，连接．线段的垂直平分线分别交，．和于点，和，连接和．求证：四边形是菱形． 证明：， ___________①___________ 垂直平分， 且___________②___________ 在和中， ___________③________ 四边形是平行四边形 ___________④___________， 四边形是菱形． 进一步思考，如果，请你模仿题中的表述，写出你猜想的结论： 四边形是___________⑤___________． 【答案】(1)见解析 (2)，平行四边形，正方形． 【知识点】证明四边形是菱形、证明四边形是正方形、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查作图-基本作图，全等三角形的判定，垂直平分线的定义，菱形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据垂直平分线的作图步骤画图即可； （2）根据垂直平分线的定义以及全等三角形的判定和性质证明，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：∵， ∴． ∵垂直平分， ∴且， 在和中， ， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 进一步思考，如果，请你模仿题中的表述，写出你猜想的结论：四边形是正方形． ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴ ∴， 故菱形是正方形． 故答案为：，平行四边形，正方形． 13．在学习了特殊平行四边形的性质之后，小德发现：对于夹在两条平行线之间的线段，作其垂直平分线与两条平行线分别交于两点，则该线段的两个端点和垂直平分线与两条平行线的两个交点所构成的四边形是菱形．小德证明的思路是利用三角形的全等和菱形的判定等知识得到此结论．根据他的想法和思路，完成以下作图和填空： (1)如图，，连接．用尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，和于点E，F和G，连接和（不写作法，保留作图痕迹）； (2)已知：，连接．线段的垂直平分线EG分别交，和于点E，F和G，连接和．求证：四边形是菱形． 证明：∵， ∴①______． ∵垂直平分． ∴且②______． 在和中， ∴． ∴， 则四边形是④______． ∵， ∴四边形是菱形． 进一步思考，如果，请你模仿题中的表述，写出你猜想的结论： 四边形是⑤________． 【答案】(1)见解析 (2)①②④平行四边形⑤正方形． 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线、证明四边形是菱形 【分析】（1）根据线段垂直平分线的基本作图解答即可； （2）根据垂直平分线的定义以及全等三角形的判定和性质证明，即可得到结论． 本题主要考查全等三角形的判定，垂直平分线的定义，菱形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键． 【详解】（1）解：根据线段垂直平分线的基本作图，画图如下： （2）证明：∵， ∴． ∵垂直平分． ∴且． 在和中， ∴． ∴， 则四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． ∵， 四边形是正方形． 故答案为：①②④平行四边形⑤正方形． 14．如图，已知线段与直线平行，是的平分线，交直线于点E． (1)尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，交于点F，交于点H，连接并延长交直线于点G，（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，某学习小组讨论发现线段，，之间存在一定的数量关系，请你根据该兴趣小组的思路完成下面的填空： 解：，理由如下，如图所示， ∵，∴①_____________， 是的平分线， ∴②_____________， 为的垂直平分线， ∴．③_____________， 在和中，， ， ∴④_____________， ，， ． 小南再进一步研究发现，若连接，则四边形的形状是⑤_____________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、证明四边形是菱形 【分析】（1）利用尺规作图作出的垂直平分线即可； （2）按照题中给出的思路证明即可． 【详解】（1）解：所作图形，如图， ； （2）解：解：，理由如下，如图所示， ∵， ∴， 是的平分线， ， ， ∴， ∴， 为的垂直平分线， ∴， 在和中，， ， ∴， ，， ． ∵， ∴的垂直平分线经过点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形的形状是菱形． 【点睛】本题考查了基本作图，垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定等知识，掌握全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质是解答本题的关键． 15．如图，在中，． (1)求作边的垂直平分线，交于点，交于点，连接．（要求：尺规作图，不写作法，保留作痕迹） (2)若，求的度数，请根据以下的思路完成下列填空． 解：， ______（等边对等角）， 又是的垂直平分线， ______（垂直平分线的性质）， ， ， ______（等量代换）． ． ， ． （三角形的内角和为）． ______． 由上述证明可得：在等腰三角形（腰长大于底边长）中，作一条腰的垂直平分线交另一腰于一点，当此点与此等腰三角形顶点的距离与底边长度相等时，则这个等腰三角形的顶角为______度，人们称具有此特征的等腰三角形为“黄金三角形”． 【答案】(1)图见解析 (2)，，，，36 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、根据等边对等角证明 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握尺规作图和等腰三角形的性质是解题关键． （1）分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作直线，交于点，交于点，连接，由此即可得； （2）先根据等腰三角形的性质可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，根据等量代换可得，根据等腰三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质可得，从而可得，最后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】（1）解：作边的垂直平分线，交于点，交于点，连接，如图所示： ． （2）解：， ∴（等边对等角）， 又是的垂直平分线， ∴（垂直平分线的性质）， ， ， ∴（等量代换）． ． ， ． （三角形的内角和为）． ∴． 由上述证明可得：在等腰三角形（腰长大于底边长）中，作一条腰的垂直平分线交另一腰于一点，当此点与此等腰三角形顶点的距离与底边长度相等时，则这个等腰三角形的顶角为36度，人们称具有此特征的等腰三角形为“黄金三角形”． 故答案为：，，，，36． 16．在学习了正方形的相关知识后，小东同学进行了更深入的研究，他发现，连接正方形的一个顶点和它对边上任意一点得到一条线段，作该线段的垂直平分线交正方形两边得到两个交点，那么这两个交点与这条线段的两个端点所构成的四边形是“筝形”，可利用证明三角形全等得到相关结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： (1)如图，在正方形中，点是的任意一点，连接．用尺规作的垂直平分线，分别交，于点，，连接，，．（不写作法，保留作图痕迹） (2)如图，已知正方形形，点在上，直线垂直平分线段，垂足为，分别交，于点，，连接、、．设，求筝形的面积． 解：∵四边形是正方形， ∴，，， 在上图中，过点画，分别交，于点，， ∴______是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴______， ∴______， 结论：连接正方形的一个顶点和它对边上任意一点得到一条线段，该线段的垂直平分线交正方形两边得到两个交点，那么这两个交点与这条线段的两个端点所构成“筝形”的面积等于______． 【答案】(1)见解析； (2)四边形；；；对角线之积的一半． 【知识点】作线段(尺规作图)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形性质和判定证明、根据正方形的性质求线段长 【分析】（）根据垂直平分线的作法即可求解； （）先画出图形，然后过点画，分别交，于点，，则有四边形是平行四边形，故，，再证明，根据性质可得，则，然后用即可求解； 本题考查了尺规作图——作垂直平分线，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，，， 在上图中，过点画，分别交，于点，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 结论：连接正方形的一个顶点和它对边上任意一点得到一条线段，该线段的垂直平分线交正方形两边得到两个交点，那么这两个交点与这条线段的两个端点所构成“筝形”的面积等于对角线之积的一半， 故答案为：四边形；；；对角线之积的一半． 17．平行四边形的一组对边的中点连线的垂直平分线与平行四边形的另外一组对边所在直线交于两点，这两个点与原来的两个中点组成的四边形是菱形．为了验证这个结论，小希进行了以下操作，请按要求完成下列问题： 如图，在平行四边形中，E、F分别为边的中点，连接． (1)尺规作图：作出的垂直平分线，交直线于点G、H，交于点O，连接；（只保留作图痕迹，不要求写作法） (2)结合（1）中图形，请你帮小希完成以下证明过程并将答案填在答题卡上对应的横线上： 证明：在平行四边形中，，， ∵E、F分别为的中点， ∴，， ∴①______，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ②______， ∴， ∵为的垂直平分线， ∴③______， ∴四边形为平行四边形， ∵ ∴四边形为菱形． 小希进一步研究发现，当平行四边形为正方形时，四边形的形状为④______． 【答案】(1)见解析 (2)①，②，③，④正方形 【知识点】作垂线(尺规作图)、利用平行四边形的性质求解、证明四边形是菱形、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的作法，平行四边形的性质和菱形的判定，熟练掌握性质和判定是解答本题的关键． （1）分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧将于点M，N，过点M，N作直线，则直线为的垂直平分线； （2）根据菱形的判定定理进行判断即可． 【详解】（1）解：如图，直线为的垂直平分线， （2）证明：在平行四边形中，，， ∵E、F分别为的中点， ∴，， ∴①，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ②， ∴， ∵为的垂直平分线， ∴③， ∴四边形为平行四边形 ∵， ∴四边形为菱形． 小希进一步研究发现，当平行四边形为正方形时，四边形的形状为④正方形． 理由：当平行四边形为正方形时，如图， ∵四边形是正方形， ∴ ∵E、F分别为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 又 ∴ ∴四边形为矩形， ∴ ∴ ∵为的垂直平分线， ∴， 又 ∴ 同理可得，, ∴，且互相垂直平分， ∴四边形是正方形 故答案为：①，②，③，④正方形． 18．完成以下作图与填空： (1)如图，在中，平分，交于点．用尺规作的垂直平分线，分别交，于点，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）问所作的图形中，求证：四边形是菱形． 证明：平分 又垂直平分 ①______ 又垂直平分 ②______ ③______ 四边形为菱形 进一步研究还可发现，在直角三角形中，直角的角平分线与对边交于一点，直角顶点与交点所构成的线段的垂直平分线与两直角边所在直线交于两点，直角顶点与三个交点所构成的四边形是④______． 【答案】(1)图见解析 (2)①；②；③；④正方形 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作垂线(尺规作图)、证明四边形是菱形、证明四边形是正方形 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、菱形和正方形的判定、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握菱形和正方形的判定是解题关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图即可得； （2）先根据角平分线的定义可得，根据线段垂直平分线的性质可得，，根据等腰三角形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据菱形和正方形的判定即可得证． 【详解】（1）解：用尺规作的垂直平分线，分别交于点，连接．如图所示： ． （2）证明：平分， ， 又垂直平分， ， ， ， 又垂直平分， ， ， ， ， 四边形为菱形． 进一步研究还可发现，在直角三角形中，直角的角平分线与对边交于一点，直角顶点与交点所构成的线段的垂直平分线与两直角边所在直线交于两点，直角顶点与三个交点所构成的四边形是正方形（理由是：有一个角是直角的菱形是正方形）． 故答案为：①；②；③；④正方形． 19．如图，在四边中，，是对角线． (1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点O，E，F．连接．（只保留作图痕迹） (2)在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空） 证明：∵垂直平分 ∴①______， ∵ ∴②______ ∵在和中 ∴，∵ ∴四边形BFDE为平行四边形 ∵④______ ∴四边形BFDE为菱形（对角线垂直的平行四边形为菱形） 在作图过程中，进一步研究还可发现，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后，可以得到一个特殊四边形，请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后⑤______． 【答案】(1)见解析 (2)，，，，得到的四边形是菱形 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线、证明四边形是菱形 【分析】本题主要考查了尺规作垂直平分线，菱形的判定，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形全等和菱形的判定方法． （1）根据垂直平分线的基本作图方法进行作图即可； （2）根据垂直平分线的定义得出，，根据平行线的性质得出，证明，得出，即可证明结论． 【详解】（1）解：如图，为所求作的线段的垂直平分线； （2）证明：∵垂直平分 ∴①， ∵ ∴② ∵在和中， ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形 ∵④ ∴四边形为菱形（对角线垂直的平行四边形为菱形） 在作图过程中，进一步研究还可发现，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后，可以得到一个特殊四边形，请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后⑤得到的四边形是菱形． 20．如图，四边形是平行四边形，是对角线． (1)用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，分别交、、于点、、．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中，连接，，猜想四边形的形状，并证明你的结论． 解：猜想四边形的形状为菱形，证明如下： 是的垂直平分线， ，，①______， 又四边形是平行四边形， ②______， ． 在和中， ， ③______， ， 四边形是菱形． 结论：平行四边形一条对角线的端点和这条对角线的垂直平分线与④______． 【答案】(1)见解析 (2)；；；对边交点形成的四边形是菱形 【知识点】作垂线(尺规作图)、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键.也考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质. （1）利用基本作图作AC的垂直平分线即可； （2）先根据线段垂直平分线的性质得到 ，再证明 得到则 ，于是可判断四边形是菱形. 【详解】（1）如图, 为所求； （2）解：猜想四边形的形状为菱形，证明如下： 是的垂直平分线， ，，， 又四边形是平行四边形， ． 在和中， ， ， ， 四边形是菱形． 结论：平行四边形一条对角线的端点和这条对角线的垂直平分线与对边交点形成的四边形是菱形． 故答案为：；；；对边交点形成的四边形是菱形． 21．某数学学习小组在自主探究筝形（两组邻边分别相等的四边形叫筝形）的性质中，发现：过筝形较长对角线的中点作这条对角线的垂线，与筝形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用垂直平分线的性质以及证明三角形全等等知识得到此结论． 请根据以上信息完成以下作图与填空： (1)如图，筝形中，，，点是的中点．用尺规过点作的垂线，与，分别交于点，点，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 证明：经过的中点，且， ，① ，，， ． ② 于点， ③ ． ， ． ④ 四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)；；； 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、证明四边形是菱形 【分析】本题主要考查了菱形的判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，垂线的尺规作图，熟知垂线的尺规作图方法和菱形的判定定理是解题的关键． （1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）根据已知推理过程，结合菱形的判定定理和线段垂直平分线的性质和判定定理证明即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：经过的中点，且， ，， ，，， ． ， 于点， ． ， ． ， 四边形是菱形． 22．数学兴趣小组探究发现，如图所示的正方形，分别取，的中点，，连接，交于点，过作的垂线，交于点，交于点．则四边形是平行四边形． (1)用尺规完成以下基本作图：过作的垂线，交于点，交于点（只保留作图痕迹）． (2)根据（1）中所作图形，数学兴趣小组给出了证明，请补全证明过程． 证明：四边形是正方形， ，，． 又，分别为，的中点， ，， ①___________， 在与中， ， ． ②___________． 又， ， ， 又， ， ③___________． 又， ④___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作垂线(尺规作图)、证明四边形是平行四边形、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定与性质、正方形的性质、平行四边形的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据垂线的作图方法作图即可； （2）结合全等三角形的判定与性质、正方形的性质、平行四边形的判定填空即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ； （2）证明：四边形是正方形， ，，． 又，分别为，的中点， ，， ， 在与中， ， ． ． 又， ， ， 又， ， ． 又， 四边形是平行四边形． 23．小北在学习完直角三角形后，小北进行了如下思考：在等腰直角三角形中，如果由斜边的中点向两腰分别引出一条射线，与等腰直角三角形两腰各相交于一点，当两条射线互相垂直时，两交点与斜边中点所连线段有什么数量关系?请根据他的思考完成以下作图与填空． 已知：在中，，E为边上一点，D为边中点． (1)尺规作图：过点D作直线的垂线，交于点F（只保留作图痕迹） (2)求证：． 证明：在中， ①_______ 又，D为BC中点 ②_______ 又，D为BC中点 又 ③_______ 在和中， ． 小北在进一步研究中发现，只要等腰直角三角形满足此特征均有此结论，请你根据题意完成下面命题：在等腰直角三角形中，如果由斜边的中点向两腰分别引出一条射线，与等腰直角三角形两腰各相交于一点，若两条射线互相垂直，则⑤_______． 【答案】(1)见解析 (2)，，，，两交点与斜边中点所连线段相等 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作垂线(尺规作图)、等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边中线的性质等知识，证明是解题的关键． （1）按照线段垂直平分线的作图方法，作图即可； （2）根据等腰直角三角的性质得到，证明，，即可证明，则，据此得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）证明：在中， 又，D为中点 又∵，D为中点 又 在和中， ， ． 小北在进一步研究中发现，只要等腰直角三角形满足此特征均有此结论，请你根据题意完成下面命题：在等腰直角三角形中，如果由斜边的中点向两腰分别引出一条射线，与等腰直角三角形两腰各相交于一点，若两条射线互相垂直，则两交点与斜边中点所连线段相等． 故答案为：，，，，两交点与斜边中点所连线段相等． 24．小明在学习了黄金分割和黄金矩形后，了解到白银矩形和白银分割的知识：如果一个矩形．满足，这个矩形就称为白银矩形，这个比叫做白银比：如果点把线段分成两部分，若，那么称线段被点白银分割，点为线段的白银分割点．小明决定在正方形中构造一个白银矩形，请按要求完成下列问题： 如图，在正方形中，对角线、交于点． (1)尺规作图：作的角平分线交于点，过点作的垂线交于点，交于点（只保留作图痕迹，不要求写作法） (2)结合图形，帮助小明完成以下证明过程： ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 在中，， ∵平分， ∴ ① ， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 在和中， ， ∴， ∴， ③ ， 所以矩形是白银矩形， 小明进一步思考发现， ④ ，点为线段的白银分割点． 【答案】(1)作图见解析； (2)；；；． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查了尺规作图，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据尺规作图——作角平分线，作垂线的方法即可； （）四边形是正方形，得，，，然后证明四边形为矩形，从而可证，再根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图， （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 在中，， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 在和中， ， ∴， ∴，， 所以矩形是白银矩形， 小明进一步思考发现，，点为线段的白银分割点， 故答案为：；；；． 25．数学研究小组在学习了等腰三角形和全等的相关性质以后，进行了更深入的思考．发现在一个三角形中，如果某个角的平分线与此角对边上的中线重合，那么这个三角形就是等腰三角形，他们想通过作垂线以及证明全等的思路来得到此结论，请根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)如图，在中，平分交于点，是的中点，用尺规分别过点作，的垂线，交，于点，（不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知：在中，平分交于点，是的中点，于点，于点．求证：是等腰三角形． 证明：于点，于点， ① 又平分， ． 又是的中点， ② ， ， ③ ， 是等腰三角形． 进一步思考，如果是三角形中某边上的中线和高线重合呢？请你仿照题中表述得到的结论是： ④ 【答案】(1)见解析 (2)①，②，③，④如果是三角形中某边上的中线和高线重合， 那么这个三角形就是等腰三角形． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、作垂线(尺规作图)、角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（1）根据作垂线步骤，过点分别作，的垂线，即可解题； （2）结合垂直的性质，角平分线性质，线段中点特点，证明，进而得到，再结合等腰三角形的判定可以证明结论成立，最后仿照题中表述即可得到结论． 【详解】（1）解：过点作，的垂线，分别为，，如图所示： （2）证明：于点，于点， ①， 又平分， ． 又是的中点 ②， ， ③， ， 是等腰三角形． ④如果是三角形中某边上的中线和高线重合， 那么这个三角形就是等腰三角形． 故答案为：①，②，③，④如果是三角形中某边上的中线和高线重合， 那么这个三角形就是等腰三角形． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定，线段中点，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 26．在学习了平行四边形的相关知识后，小艾进行了更深入的研究，他发现：对于一个邻边不相等的平行四边形，作其短边的端点为顶点的一个内角的角平分线与平行四边形的边相交，再过该短边的另一个端点作这条角平分线的垂线与平行四边形的另一边相交，则这两个交点和平行四边形的另两个顶点构成的四边形是平行四边形．他的思路是通过证明三角形全等与平行四边形的判定得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)如图，四边形是平行四边形，的平分线与交于点E．用尺规作图：过点A作的垂线，交于点F，交于点G，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)已知：四边形是平行四边形，的平分线与交于点E，点G在边上，且于点F，连接．求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴．∵平分， ∴①_____，∴， ∴②_____． ∵，∴． 在和中 ∴， ∴， ∴③_____， ∴，即， ∵④_____， ∴四边形是平行四边形． 进一步思考，如果四边形是矩形呢？请你模仿题中的表述，写出你猜想的结论：四边形是⑤_____． 【答案】(1)见详解 (2)①；②；③；④；⑤矩形 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作垂线(尺规作图)、利用平行四边形性质和判定证明、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）分别以为圆心，小于的长为半径画弧与交于两，再以这两点为圆心画弧交于点，连接，与交于点，交于点，连接，此时； （2）根据推理过程上下之间的逻辑关系推理填空即可． 【详解】（1）解：作图如图所示： （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵平分， ∴①， ∴， ∴②． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴③， ∴，即， ∵④， ∴四边形是平行四边形． 进一步思考，如果四边形是矩形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴平行四边形是矩形． 结论：四边形是⑤矩形． 故答案为：①；②；③；④；⑤矩形． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质和判定，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定等知识，具体的是关键是正确寻找全等三角形解决问题． 27．在学习了平行四边形的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点和垂足构成的四边形是平行四边形．可以利用平行四边形的判定方法得到此结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： (1)用直尺和圆规，过点作对角线的垂线，垂足为点，连接、．（只保留作图痕迹） (2)已知：如图，在平行四边形中，连接，于点，于点．求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形为平行四边形， 且． ①______． ， ，同理可得，． ②______ ． ③______． 又， ，同理可得，． ． ④______． 四边形是平行四边形． 进一步思考：如果四边形是矩形呢？我们发现，在矩形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，那么这两个顶点和垂足构成的四边形是⑤______． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④；⑤平行四边形 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作垂线(尺规作图)、利用平行四边形性质和判定证明、利用矩形的性质证明 【分析】此题考查了平行四边形的性质，过一点作已知直线的垂线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据过一点作已知直线的垂线的画法作图，再推理证明即可并得到结论． （1）利用过直线外一点作已知直线的垂线作图即可解题； （2）根据平行四边形的性质证明，得出，证明，得出四边形是平行四边形，然后得到结论即可． 【详解】（1）如图，点E即为所作； （2）证明：四边形为平行四边形， 且 ， ，同理可得， ， ， ， 又， ，同理可得，， ， ， 四边形是平行四边形． 已知：如图，在矩形中，连接，于点，于点．求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形为矩形， 且 ， ，同理可得， ， ， ， 又， ，同理可得，， ， ， 四边形是平行四边形． ∴在矩形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，那么这两个顶点和垂足构成的四边形是平行四边形． 28．如图，在中，，平分．小智在刚学完“三角形全等的判定”这节课后，老师给出了一个富有挑战性的题目，利用所学知识推导出和面积的比值与边和长度的比值之间的关系．经过小组讨论他们的总体思路是控制变量法，即过点D作的垂线，垂足为点E，再根据三角形全等来证明和的高相等，从而得到结论，请根据小智他们的思路完成以下作图与填空： (1)尺规作图：过点D作的垂线，交于点E（不写作法，保留作图痕迹）． (2)证明：平分， ① ， 又② ． ③ ，， ． 小智他们再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论．请你依照题意完成下面命题： 如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形面积的比值与该角对应的两边长度的比值④ ． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④相等 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作垂线(尺规作图) 【分析】本题主要考查作一条直线的垂线，三角形全等的判定和性质，三角形面积计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）根据过直线外一点作一条直线的垂线的作图方法，进行作图即可； （2）先证明得出，根据，，得出． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：平分， ①， ， 又②， ． ③， ，， ． 已知：任意中，平分，过点D作于点E，于点F，如图所示： 则， 平分， ， ∵， ∴， ， ，， ， ∴如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形面积的比值与该角对应的两边长度的比值④相等． 29．在学习了四边形的相关知识后，奋进组进行了更深入的思考：在对角互补的四边形中，若对角线平分其中一个内角，则被对角线平分所得的两个小角所对的边存在一定的数量关系？通过讨论，奋进组的解决思路是利用构造三角形全等得出结论，根据他们的想法和思路，完成以下作图和填空： （1）如图，用尺规过点C作的垂线，交于点F．（不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知：在四边形中，，平分，交的延长线于点E，，求证：． 证明：∵平分，，， ∴①，． ∵， ∴． 又∵， ∴②． ∴（③）． ∴． 通过以上探究，请你帮助奋进组完成下面命题：在对角互补的四边形中，若对角线平分其中一个内角，则被该对角线平分所得的两个相等小角④． 【答案】（1）作答如图；（2）①；②；③；④所对的两条边相等． 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、作垂线(尺规作图) 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，垂线的尺规作图，四边形内角和定理： （1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）先由角平分线的性质得到，再证明，进而证明，则可得到，据此可得结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵平分，，， ∴，． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴（）． ∴． 通过以上探究，请你帮助奋进组完成下面命题：在对角互补的四边形中，若对角线平分其中一个内角，则被该对角线平分所得的两个相等小角所对的两条边相等． 30．在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： (1)如图，在矩形中，点是对角线的中点．用尺规过点作的垂线，分别交，于点，，连接，．（不写作法，保留作图痕迹） (2)已知：矩形，点，分别在，上，经过对角线的中点，且．求证：四边形是菱形． 证明：∵四边形是矩形， ∴． ∴①，． ∵点是的中点， ∴②． ∴（AAS）． ∴③． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④四边形是菱形 【知识点】作垂线(尺规作图)、利用平行四边形性质和判定证明、利用矩形的性质证明、证明四边形是菱形 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的判定，垂线的尺规作图： （1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）根据矩形或平行四边形的对边平行得到，，进而证明，得到，即可证明四边形是平行四边形．再由，即可证明四边形是菱形． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵四边形是矩形， ∴． ∴，． ∵点是的中点， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 猜想：过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形； 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴，． ∵点是的中点， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 故答案为：①；②；③；④四边形是菱形． 31．数学发烧友小附在探究等腰三角形面积时，发现一个规律：如图，在中，，，以为边向下构造等边，就可以得到．请根据小附的探究思路完成下面的作图与填空： 如图，在中，， (1)用直尺和圆规，在下方作，在射线上截取，连接交于点（不要求写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）所作的图中，求证．（请补全下面的证明过程） 证明：在中，，且， ， ， ， ， 是等边三角形． ，， ， 在和中， ， （）， ． ， ． 小附总结：顶角为的等腰三角形的面积与 的面积相等． 【答案】(1)见解析； (2)，，，边长等腰腰长的等边三角形． 【知识点】尺规作一个角等于已知角、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了尺规作一个角等于已知角三角形内角和定理、三角形全等的判定和性质、等边三角形的判定及性质等，掌握判定方法及性质是解题的关键． （1）根据题干所给作图方法作图即可得解； （2）先证明，结合，得是等边三角形．进而证明（），得．即可得证． 【详解】（1）解：如图， （2）证明：在中，，且， ， ， ， ， 是等边三角形． ，， ， 在和中， ， （）， ∴． ， ． 小附总结：顶角为的等腰三角形的面积与边长等腰腰长的等边三角形的面积相等． 故答案为：，，，边长等腰腰长的等边三角形． 32．在学习了特殊平行四边形的相关知识以后，某数学兴趣小组进行了更深入的探究与思考．如图所示，四边形是矩形，对角线、交于点，于点． (1)用直尺和圆规在下方作，使得，且射线交的延长线于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)试探究四边形的形状，并按下列思路完成填空． 证明：四边形是矩形， ，且互相平分． ，①_____ ． 是等腰三角形． 又， ②_____． ，③_____， ． ④_____． 又， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是⑤_____． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④；⑤菱形 【知识点】尺规作一个角等于已知角、利用矩形的性质证明、证明四边形是菱形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）按作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）由矩形的性质可证，证明得，可证四边形是平行四边形，结合可证，平行四边形是菱形． 【详解】（1）如图， （2）证明：四边形是矩形， ，且互相平分． ，① ． 是等腰三角形． 又， ②． ，③， ． ④． 又， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是⑤菱形． 故答案为：①；②；③；④；⑤菱形． 【点睛】本题考查了尺柜作图，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解答本题的关键． 33．在学习了特殊平行四边形的相关知识后，某数学兴趣小组进行了深入研究，他们发现了一种构造菱形的方法．请你根据他们的想法和思路，完成以下作图和填空： (1)如图，在中，平分，过点作交于点．用尺规在线段的左侧作，射线交于点． (2)已知：在中，平分，过点作交于点，，射线交于点．求证：四边形是菱形． 证明：， ① ． 又， 四边形是 ② ． 平分， ． 又， ③ ． ． ④ ． 四边形是菱形． 进一步思考，当是直角三角形，时，请写出你的结论：四边形是 ⑤ ． 【答案】(1)见解析 (2)，平行四边形；；；正方形 【知识点】尺规作一个角等于已知角、证明四边形是菱形、证明四边形是正方形 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，菱形的判定，正方形的判定． （1）根据角的作法作图即可； （2）根据平行四边形的性质和角平分线的定义，得到，即可证明四边形是菱形，进而根据有一个角是直角的菱形是正方形，得出结论． 【详解】（1）解：如图所示， （2）证明：， ． 又， 四边形是平行四边形． 平分， ． 又， ． ． ． 四边形是菱形． 当是直角三角形，时， 同理可得四边形是菱形，当时， 四边形是正方形 故答案为：，平行四边形；；；正方形． 34．小明想利用三角形全等的知识，再探三角形中位线定理，他的探究思路如下：如图，在中，点、分别为、的中点，连接，过点在的右边作，使得，延长交于点，然后通过证明和平行四边形来证明三角形中位线定理，请完成下面的作图和填空．    (1)用尺规完成以下基本作图：以点为顶点，在的右侧作，延长，交于点；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） (2)求证：，． 证明：∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴① ． 在和中， ， ∴， ∴③ ，， ∵点为的中点， ∴， ∴④ ， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴⑤ ， ∴，． 【答案】(1)画图见解析 (2)①；②；③；④；⑤ 【知识点】尺规作一个角等于已知角、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了尺规作图及几何证明，涉及作角等于已知角，全等的判定与性质，平行四边形的判定与性质，掌握作图方法和几何性质是解题的关键． （1）根据作角等于已知角的方法作图即可； （2）根据所给步骤推理证明即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴，． 故答案为：①；②；③；④；⑤． 35．在学习了平行四边形后，小明做了如下探究：在平行四边形中，E是对角线上一点，连接．请根据小明的想法和思路，完成以下作图和填空: (1)在平行四边形的内部，用尺规作，交于点F，连接、．(不写作法，保留作图痕迹) (2)在（1）问的条件下，求证：四边形是平行四边形． 证明： ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴　　 ①　　 ，∵， ∴， ∴， ∴， ∴，　　 ③　　 ， ∴， ∴四边形是平行四边形． 进一步思考：若四边形是菱形，则四边形是　　 ④　　 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析；菱形 【知识点】尺规作一个角等于已知角、利用平行四边形性质和判定证明、利用菱形的性质证明、证明四边形是菱形 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、尺规作一个角等于已知角、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答的关键． （1）根据尺规作一个角等于已知角的作图步骤画图即可； （2）根据平行四边形的判定与性质，结合全等三角形的判定与性质完成题干中的解析过程；根据菱形的判定与性质可得结论． 【详解】（1）解：如图，、、即为所求作： （2）证明： ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 进一步思考：若四边形是菱形，则四边形是菱形． 理由：连接， 同理可证四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴平行四边形是菱形． 36．某数学兴趣小组同学发现，任意一个（三边均不相等），以一边的端点B为顶点在三角形外作角，使其等于这条边另一端点C为顶点的三角形的内角，射线与这条边上的中线的延长线相交于一点E，则以A、B、C、E四个点为顶点的四边形是平行四边形．如图，在中，点D为边上的中点，连接． (1)尺规作图：在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图中，连接，求证：四边形是平行四边形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵点D为边上的中点， ∴ __________， 在和中， ∴______， ∴_______， ∵ ∴__________． ∴四边形是平行四边形． 小组进一步研究发现，作了上述的相等角之后，当三角形有两边相等时，必然会形成一个特殊的四边形，请根据这个发现完成以下命题： 以等腰三角形底边的一个端点为顶点向外作角，使其等于底角，且与底边上中线的延长线相交于一点，则以该点和三角形的三个顶点为顶点的特殊四边形 ________． 【答案】(1)见详解 (2)；；；；菱形 【知识点】尺规作一个角等于已知角、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的判定与性质求解、证明四边形是菱形 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的尺规作图方法作图即可； （2）证明，得到，再证明，从而得到四边形为平行四边形；当时，四边形是菱形． 【详解】（1）解：射线为所求，如图， （2）证明：点是的中点， ， 在和中， ， ∴， ， ， 四边形为平行四边形； 以等腰三角形底边的一个端点为顶点向外作角，使其等于底角，且与底边上中线的延长线相交于一点，则以该点和三角形的三个顶点为顶点的特殊四边形是菱形． 理由：，四边形为平行四边形， 四边形是菱形． 故答案为：，，，，菱形． 【点睛】本题考查尺规作图——作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定，关键是掌握作一个角等于已知角的方法． 37．学习了特殊平行四边形的相关知识后，小唯进行深入探究，计划在已知矩形中构造出一个菱形，她的解决思路是通过作角相等和线段相等得到想要的菱形．请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，作与相等，E为上的点，再作，点F在上．（只保留作图痕迹） 已知：如图，四边形是矩形，是对角线，，，求证：四边形是菱形． 证明：证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴①__________， ∴． ∵， ∴②__________． 由矩形的性质可知， ∴， ∴， ∴③__________， ∴四边形是平行四边形． ∵④__________， ∴平行四边形是菱形． 【答案】；；； 【知识点】尺规作一个角等于已知角、利用矩形的性质证明、证明四边形是菱形 【分析】先利用基本作图，确定点E，F，再利用菱形的判定定理证明即可． 本题考查了基本作图，菱形的判定，熟练掌握基本作图和菱形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：根据基本作图，画图如下： 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 由矩形的性质可知， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形． 故答案为：；；；． 38．某数学兴趣小组同学定期进行课外扩展讨论，并发现了一些有趣的结论．其中他们发现，任意一个三角形（三边均不相等），以一边的端点B为顶点在三角形外作角，使其等于这条边另一端点C为顶点的三角形的内角，射线与这条边上的中线的延长线相交于一点E，则以A、B、C、E四个点为顶点的四边形是平行四边形．基本思路就是利用三角形全等和平行四边形平行线的判定加以解决．请根据这个思路完成作图和填空． 如图，在中，点D为边上的中点，连接． (1)尺规作图：在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图中，连接，求证：四边形是平行四边形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵点D为边上的中点， ∴① ，在和中， ∴② （ASA）， ∴ ， ∵， ∴④ ∴四边形是平行四边形． 兴趣小组进一步研究发现，作了上述的相等角之后，当三角形有两边相等时，必然会形成一个特殊的四边形，请根据这个发现完成以下命题： 以等腰三角形底边的一个端点为顶点向外作角，使其等于底角，且与底边上中线的延长线相交于一点，以则该点和三角形的三个顶点为顶点的特殊四边形是⑤ ． 【答案】(1)答案见解析 (2)，，，；菱形 【知识点】尺规作一个角等于已知角、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证明四边形是菱形 【分析】本题考查尺规作图——作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定，关键是掌握作一个角等于已知角的方法． （1）根据作一个角等于已知角的尺规作图方法作图即可； （2）证明，得到，再证明，从而得到四边形为平行四边形；当时，四边形是菱形． 【详解】（1）解：如图，射线为所求， （2）证明：∵点D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴四边形为平行四边形； 以等腰三角形底边的一个端点为顶点向外作角，使其等于底角，且与底边上中线的延长线相交于一点，以则该点和三角形的三个顶点为顶点的特殊四边形是菱形． 理由：∵四边形为平行四边形，， ∴四边形是菱形． 故答案为：，，，，菱形． 39．学习了图形的旋转等相关知识后，小李同学进行了一次拓展性研究．他发现，若一个四边形有一组对角均为且这组对角中有一个直角的两边相等，则连接这组对角的顶点，此对角线平分另一个直角．他的解决思路是通过作一个角等于已知角等知识证明两个三角形全等得出的结论．请根据他的思路完成以下作图与填空： (1)用直尺和圆规作图：如图，以为边在四边形外部作，，连接．（保留作图痕迹） (2)已知：如图，是四边形的对角线，，，，． 求证：． 证明：∵ ∴ ， ∵，，， ∴ ∴， ∴ ∴点C，D，E三点共线． 又， ∴． 即． 小李再进一步研究发现，线段，，存在一定的数量关系，请你根据以上信息，直接写出，，三者之间的数量关系 ． 【答案】(1)见解析 (2)，，； 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、尺规作一个角等于已知角、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了作图复杂作图，等腰直角三角形，勾股定理，解决本题的关键是掌握基本作图方法． （1）根据作图方法作图即可； （2）结合（1）即可完成填空；然后证明是等腰直角三角形，即可得结论． 【详解】（1）解：如图，，即为所求； （2）证明：， ， ，，， ， ，， ， 点，，三点共线， 又， ， 即． 故答案为：，，； 研究发现：，理由如下： ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 故答案为：． 40．某学习小组在角平分线的性质相关学习的时候，进行了一些联想或扩展，发现了一些有趣的结论，他们发现，任意一个四边形（两组对边均不平行）的其中一个内角角平分线和另外两边的中的一边相交，如果以这个交点为顶点，这条角平分线所在的射线为一边作一个角等于被平分的角的一半，则必定会出现一个等腰三角形和一组平行线。基本思路就是利用平行线的判定和角平分线定义以及等角对等边判定加以解决．请根据这个思路完成作图和填空． (1)尺规作图：以点E为顶点，在线段的下方作射线，使，射线与边交于点F．（只保留作图痕迹） (2)根据以上作图填空： 已知：如图，在四边形中，的角平分线交于点E，与边交于点F． 求证：，是等腰三角形 证明：∵ ∴（ ）     ∵平分 ∴ ∴ ∴ 学习小组进一步研究发现，作了上述的相等角出现平行线之后，当过这个交点再作被平分角的另一边的平行线时，必然会形成一个特殊的四边形，请根据这个发现完成以下命题： 过一个角的平分线上不含顶点的任意一点 ． 【答案】(1)见解析 (2)内错角相等，两直线平行； ；；分别向角的两边做平行线，则必能形成一个菱形 【知识点】尺规作一个角等于已知角、根据等角对等边证明等腰三角形、添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题考查尺规作图中的作等角，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定，菱形的判定； （1）根据题目要求作图即可； （2）根据角平分线可得即可得到，进而得到等腰三角形；根据往下作平行线得到等腰三角形，即可再往上作平行线也得到等腰三角形，进而得到菱形． 【详解】（1）图形如下： （2）证明：∵ ∴（内错角相等，两直线平行）， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 过一个角的平分线上不含顶点的任意一点分别向角的两边做平行线，则必能形成一个菱形． 故答案为：内错角相等，两直线平行； ；；分别向角的两边做平行线，则必能形成一个菱形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 尺规作图（原卷版） （尺规4大类型分类精选40题） 类型一：作角平分线 1．学习了角平分线后，小高进行了拓展性探究．她发现，三角形的一个内角的角平分线与其他两个内角的外角角平分线交于一点，其解决思路是利用角平分线的性质和全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规，作的平分线，与的平分线交于点，连接（只保留作图痕迹）． 已知：如图，在中，点，分别在，的延长线上，平分． 求证：． 证明：过点作于点，于点，于点（注：无需在答题卡上作图） 平分，， ①________ 平分，， ②________ 在与中 ③________ 请你依照题意完成下面命题： 小高通过向老师请教后知晓三角形的一个内角的角平分线与其他两个内角的外角角平分线交于一点，交点叫做旁心，他又回顾总结了三角形中一些重要线段的交点，三角形三个内角的角平分线交于一点，交点叫做④________；三角形三条边的中垂线交于一点，交点叫做⑤________；三角形三条边上的中线交于一点，交点叫做⑥________． 2．如图，，平分，且交于点．    (1)作的平分线交于点（尺规作图，保留痕迹，不写作法）； (2)根据（1）中作图，连接，求证：四边形是菱形． 证明：， ， 平分， ． ， ， 同理可证， ． 又， ， 又， 四边形是菱形． 3．学习了平行四边形的知识后，实践小组进行了以下研究：作平行四边形一组对边与一条对角线的两夹角的角平分线，这两条角平分线与另一组对边所围成的四边形是一个平行四边形．请根据他们的思路完成以下作图和推理填空： (1)如图，用直尺和圆规，过点作的角平分线，交于点．（不写做法，保留作图痕迹） (2)已知：四边形是平行四边形，连接，平分，平分． 求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ，①__________， ． 平分，平分， ，． ②__________， ③__________ ，， 四边形是平行四边形． 实践小组进一步研究发现：平行四边形中，若，请你模仿题中表述，补全以下结论：作平行四边形一组对边与一条对角线的两夹角的角平分线，则④__________． 4．如图，四边形是平行四边形，点是对角线的中点过点的直线分别交边于点，，连接，． (1)用直尺和圆规完成以下作图，过点作的平分线交于点 (2)若，求证：四边形是菱形（补全证明过程）． 证明：四边形是平行四边形 ，， ① 在与中 ② ， 四边形是平行四边形 ， ， 的平分线交于点 ③ ， ④ 平行四边形是菱形 5．学习了平行四边形的性质后，小磊对平行四边形进行了拓展性研究．如图，在平行四边形中，连接对角线，的角平分线交于点E． (1)用尺规完成以下基本作图：作的角平分线，交于点F；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）问所作的图形中，连接、，求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，①______， ∴． 又∵、分别平分、． ∴，． ∴， 在和中： ， ∴， ∴，③______， ∴， ∴④______， ∵， ∴，． ∴四边形是平行四边形． 通过以上探究，请你用一句话概括他的结论： 作平行四边形一组对角的角平分线与另一组对角所连的对角线相交，⑤____________． 6．小西在探究角平分线性质的时候，他发出疑问，三角形的一个内角角平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边是否成比例？于是，他展开探究．根据他的想法与思路，完成以下作图和填空． (1)在中，用尺规作图作的角平分线交与点，在射线上取一点，使得（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（）所作的图中，求证：． 证明：∵平分， ∴ ， 又∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴ ， 依据证明过程，小西得出如下结论：___________． 7．在学习了平行四边形后，小王进行了拓展性探究，他发现，如果作平行四边形一组对角的角平分线，与平行四边形两边相交的两点和这一组对角的两个顶点构成的四边形是平行四边形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： 如图，四边形是平行四边形．用尺规作的平分线交于，作的平分线交于．（不写作法，保留作图度迹） 已知：在平行四边形中，平分，平分．求证四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ①__________，，． 平分，平分， ，， ②__________， ． ． 四边㷧是平行四边形， ，． ，即③__________， 四边形是平行四边形． 请你依照题意完成下面命题：过平行四边形一组对角作角平分线，与对边产生两个交点，连接这两个交点的线段与平行四边形对角线的关系为④__________． 8．三角形角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边对应成比例． 如图1，中，是角平分线，则．小石同学学习了这个定理以后探究：三角形的外角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边的关系，下面是他的探究过程，请按要求完成． 已知：如图2，已知及其外角．的角平分线交的延长线于点F． 求证：．    (1)尺规作图：在图2中作的平分线交的延长线于点F，在射线上截取，连接（不写作法保留作图痕迹） (2)证明： 是的角平分线 ______① ， ______②    ，______③ 是的角平分线 ______ ④     ， 结合以上探究可知：三角形的一个外角的角平分线外分对边所成两条线段，这两条线段和夹相应的内角的两边______ ⑤． 9．如图，在中，，平分，是的外角． (1)用尺规完成作图：作的角平分线，过点C作，垂足为E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)小敏作完图后，发现四边形是矩形，请帮助她完成下列推理过程： ∵平分，平分， ∴，． ∴①________． 又∵，平分， ∴②________（三线合一）． ∴． 又∵， ∴③________． ∴四边形是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）． (3)小敏在完成证明后进一步思考，得到结论：当等腰满足________时，矩形是正方形 10．在学习了平行四边形的相关知识后，数学小组进行了更深入的研究，他们发现，连接平行四边形的一条对角线后，作一组对边被该线所截形成的如内错角的角平分线，角平分线与平行四边形一组对边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是平行四边形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)如图，在平行四边形中，用尺规作和的角平分线，分别交，于点，（不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知：平行四边形中，，分别平分和，求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，①________． ∵，分别平分和 ∴②______________；． ∴③_______________． 在与中 ∴． ∴④_______________． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 进一步思考，如果将上述条件中的平行四边形变为菱形呢？连接菱形的一条对角线后，作一组对边被该线所截形成的一组内错角的角平分线，角平分线与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是⑤__________． 类型二：作垂直平分线 11．在学习了平行四边形与菱形的相关知识后，小西进行了更深入的研究，他发现，作平行四边形的一条对角线的垂直平分线与平行四边形的对边相交，这两个交点与这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图和填空． (1)如图，在平行四边形中，用尺规作对角线的垂直平分线，分别交于点，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)已知，平行四边形，点分别是上的点，且垂直平分，求证：四边形是菱形． 证明：在平行四边形中，， ① ， 垂直平分， ② ，， ， ， ∵， 四边形是平行四边形， ③ ， 四边形是菱形． 进一步思考：如果四边形是矩形，作矩形的一条对角线的垂直平分线与矩形的对边相交，则 ④ ． 12．在学习了特殊平行四边形的性质了之后，小明发现：对于夹在两条平行线之间的线段，作其垂直平分线与两条平行线分别交于两点，则该线段的两个端点和垂直平分线与两条平行线的两个交点所构成的四边形是菱形．小明证明的思路是利用三角形的全等和菱形的判定等知识得到此结论，根据他的想法和思路，完成以下作图和填空： (1)如图，，连接．用尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，和于点和，连接和（不写做法，保留作图痕迹）； (2)已知：，连接．线段的垂直平分线分别交，．和于点，和，连接和．求证：四边形是菱形． 证明：， ___________①___________ 垂直平分， 且___________②___________ 在和中， ___________③________ 四边形是平行四边形 ___________④___________， 四边形是菱形． 进一步思考，如果，请你模仿题中的表述，写出你猜想的结论： 四边形是___________⑤___________． 13．在学习了特殊平行四边形的性质之后，小德发现：对于夹在两条平行线之间的线段，作其垂直平分线与两条平行线分别交于两点，则该线段的两个端点和垂直平分线与两条平行线的两个交点所构成的四边形是菱形．小德证明的思路是利用三角形的全等和菱形的判定等知识得到此结论．根据他的想法和思路，完成以下作图和填空： (1)如图，，连接．用尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，和于点E，F和G，连接和（不写作法，保留作图痕迹）； (2)已知：，连接．线段的垂直平分线EG分别交，和于点E，F和G，连接和．求证：四边形是菱形． 证明：∵， ∴①______． ∵垂直平分． ∴且②______． 在和中， ∴． ∴， 则四边形是④______． ∵， ∴四边形是菱形． 进一步思考，如果，请你模仿题中的表述，写出你猜想的结论： 四边形是⑤________． 14．如图，已知线段与直线平行，是的平分线，交直线于点E． (1)尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，交于点F，交于点H，连接并延长交直线于点G，（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，某学习小组讨论发现线段，，之间存在一定的数量关系，请你根据该兴趣小组的思路完成下面的填空： 解：，理由如下，如图所示， ∵，∴①_____________， 是的平分线， ∴②_____________， 为的垂直平分线， ∴．③_____________， 在和中，， ， ∴④_____________， ，， ． 小南再进一步研究发现，若连接，则四边形的形状是⑤_____________． 15．如图，在中，． (1)求作边的垂直平分线，交于点，交于点，连接．（要求：尺规作图，不写作法，保留作痕迹） (2)若，求的度数，请根据以下的思路完成下列填空． 解：， ______（等边对等角）， 又是的垂直平分线， ______（垂直平分线的性质）， ， ， ______（等量代换）． ． ， ． （三角形的内角和为）． ______． 由上述证明可得：在等腰三角形（腰长大于底边长）中，作一条腰的垂直平分线交另一腰于一点，当此点与此等腰三角形顶点的距离与底边长度相等时，则这个等腰三角形的顶角为______度，人们称具有此特征的等腰三角形为“黄金三角形”． 16．在学习了正方形的相关知识后，小东同学进行了更深入的研究，他发现，连接正方形的一个顶点和它对边上任意一点得到一条线段，作该线段的垂直平分线交正方形两边得到两个交点，那么这两个交点与这条线段的两个端点所构成的四边形是“筝形”，可利用证明三角形全等得到相关结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： (1)如图，在正方形中，点是的任意一点，连接．用尺规作的垂直平分线，分别交，于点，，连接，，．（不写作法，保留作图痕迹） (2)如图，已知正方形形，点在上，直线垂直平分线段，垂足为，分别交，于点，，连接、、．设，求筝形的面积． 解：∵四边形是正方形， ∴，，， 在上图中，过点画，分别交，于点，， ∴______是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴______， ∴______， 结论：连接正方形的一个顶点和它对边上任意一点得到一条线段，该线段的垂直平分线交正方形两边得到两个交点，那么这两个交点与这条线段的两个端点所构成“筝形”的面积等于______． 17．平行四边形的一组对边的中点连线的垂直平分线与平行四边形的另外一组对边所在直线交于两点，这两个点与原来的两个中点组成的四边形是菱形．为了验证这个结论，小希进行了以下操作，请按要求完成下列问题： 如图，在平行四边形中，E、F分别为边的中点，连接． (1)尺规作图：作出的垂直平分线，交直线于点G、H，交于点O，连接；（只保留作图痕迹，不要求写作法） (2)结合（1）中图形，请你帮小希完成以下证明过程并将答案填在答题卡上对应的横线上： 证明：在平行四边形中，，， ∵E、F分别为的中点， ∴，， ∴①______，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ②______， ∴， ∵为的垂直平分线， ∴③______， ∴四边形为平行四边形， ∵ ∴四边形为菱形． 小希进一步研究发现，当平行四边形为正方形时，四边形的形状为④______． 18．完成以下作图与填空： (1)如图，在中，平分，交于点．用尺规作的垂直平分线，分别交，于点，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）问所作的图形中，求证：四边形是菱形． 证明：平分 又垂直平分 ①______ 又垂直平分 ②______ ③______ 四边形为菱形 进一步研究还可发现，在直角三角形中，直角的角平分线与对边交于一点，直角顶点与交点所构成的线段的垂直平分线与两直角边所在直线交于两点，直角顶点与三个交点所构成的四边形是④______． 19．如图，在四边中，，是对角线． (1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点O，E，F．连接．（只保留作图痕迹） (2)在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空） 证明：∵垂直平分 ∴①______， ∵ ∴②______ ∵在和中 ∴，∵ ∴四边形BFDE为平行四边形 ∵④______ ∴四边形BFDE为菱形（对角线垂直的平行四边形为菱形） 在作图过程中，进一步研究还可发现，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后，可以得到一个特殊四边形，请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后⑤______． 20．如图，四边形是平行四边形，是对角线． (1)用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，分别交、、于点、、．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中，连接，，猜想四边形的形状，并证明你的结论． 解：猜想四边形的形状为菱形，证明如下： 是的垂直平分线， ，，①______， 又四边形是平行四边形， ②______， ． 在和中， ， ③______， ， 四边形是菱形． 结论：平行四边形一条对角线的端点和这条对角线的垂直平分线与④______． 类型三：作垂线 21．某数学学习小组在自主探究筝形（两组邻边分别相等的四边形叫筝形）的性质中，发现：过筝形较长对角线的中点作这条对角线的垂线，与筝形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用垂直平分线的性质以及证明三角形全等等知识得到此结论． 请根据以上信息完成以下作图与填空： (1)如图，筝形中，，，点是的中点．用尺规过点作的垂线，与，分别交于点，点，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 证明：经过的中点，且， ，① ，，， ． ② 于点， ③ ． ， ． ④ 四边形是菱形． 22．数学兴趣小组探究发现，如图所示的正方形，分别取，的中点，，连接，交于点，过作的垂线，交于点，交于点．则四边形是平行四边形． (1)用尺规完成以下基本作图：过作的垂线，交于点，交于点（只保留作图痕迹）． (2)根据（1）中所作图形，数学兴趣小组给出了证明，请补全证明过程． 证明：四边形是正方形， ，，． 又，分别为，的中点， ，， ①___________， 在与中， ， ． ②___________． 又， ， ， 又， ， ③___________． 又， ④___________． 23．小北在学习完直角三角形后，小北进行了如下思考：在等腰直角三角形中，如果由斜边的中点向两腰分别引出一条射线，与等腰直角三角形两腰各相交于一点，当两条射线互相垂直时，两交点与斜边中点所连线段有什么数量关系?请根据他的思考完成以下作图与填空． 已知：在中，，E为边上一点，D为边中点． (1)尺规作图：过点D作直线的垂线，交于点F（只保留作图痕迹） (2)求证：． 证明：在中， ①_______ 又，D为BC中点 ②_______ 又，D为BC中点 又 ③_______ 在和中， ． 小北在进一步研究中发现，只要等腰直角三角形满足此特征均有此结论，请你根据题意完成下面命题：在等腰直角三角形中，如果由斜边的中点向两腰分别引出一条射线，与等腰直角三角形两腰各相交于一点，若两条射线互相垂直，则⑤_______． 24．小明在学习了黄金分割和黄金矩形后，了解到白银矩形和白银分割的知识：如果一个矩形．满足，这个矩形就称为白银矩形，这个比叫做白银比：如果点把线段分成两部分，若，那么称线段被点白银分割，点为线段的白银分割点．小明决定在正方形中构造一个白银矩形，请按要求完成下列问题： 如图，在正方形中，对角线、交于点． (1)尺规作图：作的角平分线交于点，过点作的垂线交于点，交于点（只保留作图痕迹，不要求写作法） (2)结合图形，帮助小明完成以下证明过程： ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 在中，， ∵平分， ∴ ① ， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 在和中， ， ∴， ∴， ③ ， 所以矩形是白银矩形， 小明进一步思考发现， ④ ，点为线段的白银分割点． 25．数学研究小组在学习了等腰三角形和全等的相关性质以后，进行了更深入的思考．发现在一个三角形中，如果某个角的平分线与此角对边上的中线重合，那么这个三角形就是等腰三角形，他们想通过作垂线以及证明全等的思路来得到此结论，请根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)如图，在中，平分交于点，是的中点，用尺规分别过点作，的垂线，交，于点，（不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知：在中，平分交于点，是的中点，于点，于点．求证：是等腰三角形． 证明：于点，于点， ① 又平分， ． 又是的中点， ② ， ， ③ ， 是等腰三角形． 进一步思考，如果是三角形中某边上的中线和高线重合呢？请你仿照题中表述得到的结论是： ④ 26．在学习了平行四边形的相关知识后，小艾进行了更深入的研究，他发现：对于一个邻边不相等的平行四边形，作其短边的端点为顶点的一个内角的角平分线与平行四边形的边相交，再过该短边的另一个端点作这条角平分线的垂线与平行四边形的另一边相交，则这两个交点和平行四边形的另两个顶点构成的四边形是平行四边形．他的思路是通过证明三角形全等与平行四边形的判定得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)如图，四边形是平行四边形，的平分线与交于点E．用尺规作图：过点A作的垂线，交于点F，交于点G，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)已知：四边形是平行四边形，的平分线与交于点E，点G在边上，且于点F，连接．求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴．∵平分， ∴①_____，∴， ∴②_____． ∵，∴． 在和中 ∴， ∴， ∴③_____， ∴，即， ∵④_____， ∴四边形是平行四边形． 进一步思考，如果四边形是矩形呢？请你模仿题中的表述，写出你猜想的结论：四边形是⑤_____． 27．在学习了平行四边形的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点和垂足构成的四边形是平行四边形．可以利用平行四边形的判定方法得到此结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： (1)用直尺和圆规，过点作对角线的垂线，垂足为点，连接、．（只保留作图痕迹） (2)已知：如图，在平行四边形中，连接，于点，于点．求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形为平行四边形， 且． ①______． ， ，同理可得，． ②______ ． ③______． 又， ，同理可得，． ． ④______． 四边形是平行四边形． 进一步思考：如果四边形是矩形呢？我们发现，在矩形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，那么这两个顶点和垂足构成的四边形是⑤______． 28．如图，在中，，平分．小智在刚学完“三角形全等的判定”这节课后，老师给出了一个富有挑战性的题目，利用所学知识推导出和面积的比值与边和长度的比值之间的关系．经过小组讨论他们的总体思路是控制变量法，即过点D作的垂线，垂足为点E，再根据三角形全等来证明和的高相等，从而得到结论，请根据小智他们的思路完成以下作图与填空： (1)尺规作图：过点D作的垂线，交于点E（不写作法，保留作图痕迹）． (2)证明：平分， ① ， 又② ． ③ ，， ． 小智他们再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论．请你依照题意完成下面命题： 如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形面积的比值与该角对应的两边长度的比值④ ． 29．在学习了四边形的相关知识后，奋进组进行了更深入的思考：在对角互补的四边形中，若对角线平分其中一个内角，则被对角线平分所得的两个小角所对的边存在一定的数量关系？通过讨论，奋进组的解决思路是利用构造三角形全等得出结论，根据他们的想法和思路，完成以下作图和填空： （1）如图，用尺规过点C作的垂线，交于点F．（不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知：在四边形中，，平分，交的延长线于点E，，求证：． 证明：∵平分，，， ∴①，． ∵， ∴． 又∵， ∴②． ∴（③）． ∴． 通过以上探究，请你帮助奋进组完成下面命题：在对角互补的四边形中，若对角线平分其中一个内角，则被该对角线平分所得的两个相等小角④． 30．在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： (1)如图，在矩形中，点是对角线的中点．用尺规过点作的垂线，分别交，于点，，连接，．（不写作法，保留作图痕迹） (2)已知：矩形，点，分别在，上，经过对角线的中点，且．求证：四边形是菱形． 证明：∵四边形是矩形， ∴． ∴①，． ∵点是的中点， ∴②． ∴（AAS）． ∴③． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④． 类型四：作相等的角 31．数学发烧友小附在探究等腰三角形面积时，发现一个规律：如图，在中，，，以为边向下构造等边，就可以得到．请根据小附的探究思路完成下面的作图与填空： 如图，在中，， (1)用直尺和圆规，在下方作，在射线上截取，连接交于点（不要求写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）所作的图中，求证．（请补全下面的证明过程） 证明：在中，，且， ， ， ， ， 是等边三角形． ，， ， 在和中， ， （）， ． ， ． 小附总结：顶角为的等腰三角形的面积与 的面积相等． 32．在学习了特殊平行四边形的相关知识以后，某数学兴趣小组进行了更深入的探究与思考．如图所示，四边形是矩形，对角线、交于点，于点． (1)用直尺和圆规在下方作，使得，且射线交的延长线于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)试探究四边形的形状，并按下列思路完成填空． 证明：四边形是矩形， ，且互相平分． ，①_____ ． 是等腰三角形． 又， ②_____． ，③_____， ． ④_____． 又， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是⑤_____． 33．在学习了特殊平行四边形的相关知识后，某数学兴趣小组进行了深入研究，他们发现了一种构造菱形的方法．请你根据他们的想法和思路，完成以下作图和填空： (1)如图，在中，平分，过点作交于点．用尺规在线段的左侧作，射线交于点． (2)已知：在中，平分，过点作交于点，，射线交于点．求证：四边形是菱形． 证明：， ① ． 又， 四边形是 ② ． 平分， ． 又， ③ ． ． ④ ． 四边形是菱形． 进一步思考，当是直角三角形，时，请写出你的结论：四边形是 ⑤ ． 34．小明想利用三角形全等的知识，再探三角形中位线定理，他的探究思路如下：如图，在中，点、分别为、的中点，连接，过点在的右边作，使得，延长交于点，然后通过证明和平行四边形来证明三角形中位线定理，请完成下面的作图和填空．    (1)用尺规完成以下基本作图：以点为顶点，在的右侧作，延长，交于点；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） (2)求证：，． 证明：∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴① ． 在和中， ， ∴， ∴③ ，， ∵点为的中点， ∴， ∴④ ， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴⑤ ， ∴，． 35．在学习了平行四边形后，小明做了如下探究：在平行四边形中，E是对角线上一点，连接．请根据小明的想法和思路，完成以下作图和填空: (1)在平行四边形的内部，用尺规作，交于点F，连接、．(不写作法，保留作图痕迹) (2)在（1）问的条件下，求证：四边形是平行四边形． 证明： ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴　　 ①　　 ，∵， ∴， ∴， ∴， ∴，　　 ③　　 ， ∴， ∴四边形是平行四边形． 进一步思考：若四边形是菱形，则四边形是　　 ④　　 ． 36．某数学兴趣小组同学发现，任意一个（三边均不相等），以一边的端点B为顶点在三角形外作角，使其等于这条边另一端点C为顶点的三角形的内角，射线与这条边上的中线的延长线相交于一点E，则以A、B、C、E四个点为顶点的四边形是平行四边形．如图，在中，点D为边上的中点，连接． (1)尺规作图：在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图中，连接，求证：四边形是平行四边形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵点D为边上的中点， ∴ __________， 在和中， ∴______， ∴_______， ∵ ∴__________． ∴四边形是平行四边形． 小组进一步研究发现，作了上述的相等角之后，当三角形有两边相等时，必然会形成一个特殊的四边形，请根据这个发现完成以下命题： 以等腰三角形底边的一个端点为顶点向外作角，使其等于底角，且与底边上中线的延长线相交于一点，则以该点和三角形的三个顶点为顶点的特殊四边形 ________． 37．学习了特殊平行四边形的相关知识后，小唯进行深入探究，计划在已知矩形中构造出一个菱形，她的解决思路是通过作角相等和线段相等得到想要的菱形．请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，作与相等，E为上的点，再作，点F在上．（只保留作图痕迹） 已知：如图，四边形是矩形，是对角线，，，求证：四边形是菱形． 证明：证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴①__________， ∴． ∵， ∴②__________． 由矩形的性质可知， ∴， ∴， ∴③__________， ∴四边形是平行四边形． ∵④__________， ∴平行四边形是菱形． 38．某数学兴趣小组同学定期进行课外扩展讨论，并发现了一些有趣的结论．其中他们发现，任意一个三角形（三边均不相等），以一边的端点B为顶点在三角形外作角，使其等于这条边另一端点C为顶点的三角形的内角，射线与这条边上的中线的延长线相交于一点E，则以A、B、C、E四个点为顶点的四边形是平行四边形．基本思路就是利用三角形全等和平行四边形平行线的判定加以解决．请根据这个思路完成作图和填空． 如图，在中，点D为边上的中点，连接． (1)尺规作图：在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图中，连接，求证：四边形是平行四边形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵点D为边上的中点， ∴① ，在和中， ∴② （ASA）， ∴ ， ∵， ∴④ ∴四边形是平行四边形． 兴趣小组进一步研究发现，作了上述的相等角之后，当三角形有两边相等时，必然会形成一个特殊的四边形，请根据这个发现完成以下命题： 以等腰三角形底边的一个端点为顶点向外作角，使其等于底角，且与底边上中线的延长线相交于一点，以则该点和三角形的三个顶点为顶点的特殊四边形是⑤ ． 39．学习了图形的旋转等相关知识后，小李同学进行了一次拓展性研究．他发现，若一个四边形有一组对角均为且这组对角中有一个直角的两边相等，则连接这组对角的顶点，此对角线平分另一个直角．他的解决思路是通过作一个角等于已知角等知识证明两个三角形全等得出的结论．请根据他的思路完成以下作图与填空： (1)用直尺和圆规作图：如图，以为边在四边形外部作，，连接．（保留作图痕迹） (2)已知：如图，是四边形的对角线，，，，． 求证：． 证明：∵ ∴ ， ∵，，， ∴ ∴， ∴ ∴点C，D，E三点共线． 又， ∴． 即． 小李再进一步研究发现，线段，，存在一定的数量关系，请你根据以上信息，直接写出，，三者之间的数量关系 ． 40．某学习小组在角平分线的性质相关学习的时候，进行了一些联想或扩展，发现了一些有趣的结论，他们发现，任意一个四边形（两组对边均不平行）的其中一个内角角平分线和另外两边的中的一边相交，如果以这个交点为顶点，这条角平分线所在的射线为一边作一个角等于被平分的角的一半，则必定会出现一个等腰三角形和一组平行线。基本思路就是利用平行线的判定和角平分线定义以及等角对等边判定加以解决．请根据这个思路完成作图和填空． (1)尺规作图：以点E为顶点，在线段的下方作射线，使，射线与边交于点F．（只保留作图痕迹） (2)根据以上作图填空： 已知：如图，在四边形中，的角平分线交于点E，与边交于点F． 求证：，是等腰三角形 证明：∵ ∴（ ）     ∵平分 ∴ ∴ ∴ 学习小组进一步研究发现，作了上述的相等角出现平行线之后，当过这个交点再作被平分角的另一边的平行线时，必然会形成一个特殊的四边形，请根据这个发现完成以下命题： 过一个角的平分线上不含顶点的任意一点 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$