专题05小几何综合计算 2024-2025学年九年级中考复习数学试题（重庆专用）

专题05小几何综合计算（原卷版） （2大类型精选50题几何填空） 类型一：三角形中几何应用 1．如图，在中，是线段的垂直平分线，点是线段的中点，其中，，则的周长为 ． 2．如图，中，，，平分，，过作于点，则长为 ． 3．如图，在中，点为边的中点，连接，点、为直线上的点，连接，，且．若，，则的长度为 ．    4．如图，是等边三角形，点是边上一点，过点作，垂足为点，直线与的延长线相交于点．若，则的长为 ． 5．如图，等腰三角形中， ，于点D，于点E，，若，，则 ． 6．如图，在中，，，D是边上一点，将沿所在直线翻折，B点对应点E恰好落在边上，延长至点F，连接，若，，则的周长为 ． 7．如图，在中，，以为边向外作等边三角形和，连接、，则的长为 ． 8．如图，在中，，过点C作交于点D，作的平分线交于点E．若，，则 ． 9．如图，在中，，的平分线交边于点，于点，点在边上．若，，，则线段的长是 ． 10．如图，在边长为5的菱形中，为对角线，过点D作，交的延长线于点E．若，则的值为 ． 11．如图，在四边形中，，的平分线交于点，，若，，则四边形的周长为 ． 12．如图，绕点A顺时针旋转得到，点E落在的延长线上，交于点F，．若，则的长度为 ． 13．在四边形中，连接对角线，，已知，，若，，则的长是 ． 14．如图，在四边形中，，的平分线交于点，连接和，，，若，，则 ． 15．如图，在中，，点D是线段上的一点，连接，将线段绕着点A顺时针旋转得到线段，且，连接，．若且，则的周长为 ． 16．如图，在中，，，以为斜边作，使，，点分别是的中点，连接，则的长为 ． 17．如图，在中，，高交于点．若，则 ． 18．如图，点A，B，C，D在同一直线上，，，点C，F分别是，的中点，若，则的长为 ． 19．如图，在四边形中，对角线，交于点，在边上有一点，连接，，是以为底的等腰三角形，且，若，，则 ． 20．如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点落在的延长线上，连接，若，，，则的长为 ． 21．如图，在中，是边上的高，点E是的中点，若，，且，则的长是 ． 22．如图，在中，，，，为边上一点，把沿对折后得到，交于点，若，则的长为 ． 23．如图，点是等边的中心，，点是边上任意一点，作，射线交边于点，则四边形的面积等于 ． 24．如图，在中，，于点，为上一点，连结并延长，交边于点，且，过点作交的延长线于点．若，，则的长为 ． 25．如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好落在边上，若点与点之间的距离为，则的长为     26．如图，在中，，若，则的值为 ． 27．如图，在中，将绕点旋转至，连接并延长至点，使得，连接，若，，，则 ． 28．在等腰中，，点M，N分别是边，上的点，与相交于点，过点作交于点，若，且，则的值为 ． 29．如图，为斜边上的中线，过点D作的垂线交于点E，过点B作的垂线交的延长线于点，则 30．如图，在中，，，，为的角平分线．为边上一动点，为线段上一动点，连接、、，当取得最小值时，的面积为 ． 31．如图，在等腰三角形中，平分垂直平分交于点，则的长是 ． 32．如图，已知，，，若，则的长度为 ． 类型二：特殊平行四边形几何应用 33．如图，矩形中，点在上，连接，延长到点F，使得，连接交于点，若，且，则的长为 ． 34．如图，菱形中，，，于点，且与交于，则 ． 35．如图，四边形是矩形，连接，点、分别为、边的中点，连接，，交的延长线于点，点为的中点，连接，若，则 ． 36．如图，在平行四边形中，，，．E为边上一点，且满足，作的平分线交于点F，则的长度为 37．如图，在菱形中，，，连接．过点C作的垂线交于点E，点G为延长线上的一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，且点F恰好落在边上，若，则 ． 38．如图，矩形中，，，点E在对角线上，且，连接并延长交于点F，则 ． 39．如图，菱形的边长为，，过点作，交的延长线于点，连接分别交，于点，，则的长为 ． 40．如图，在中，已知，是的平分线，且与交于点，，则的长为 ． 41．如图，在矩形中，点在边上，点在边上，且，连接交对角线于点，，连接，若，则长为 ． 42．如图，在矩形中，E为上一点，连接，，过点D作，垂足为F．若，，，则 ． 43．如图，在矩形中，，矩形外一点E满足，点O为对角线的中点，则的长度为 ． 44．如图，在矩形中，F是边上一点，将沿翻折，点C的对应点恰好落在线段上，已知，，则的长是 ． 45．如图，在中，点D在上，连接，将沿翻折得到和同一平面内的，点E是点C的对应点．且在外部，当时，连接，若，，，则的面积为 ． 46．如图，菱形中，点F是上一动点，连接，沿折叠至，满足，，，则 ，连接， ． 47．在矩形中，沿对角线将矩形折叠，顶点落在点处，，，在上取点，使得，并延长交于点，则 ． 48．如图，矩形，点P是边上一点，连接，将沿折叠得，连接并延长交于点M，若，，，则的长为 ． 49．如图，正方形中，点E在边上，，将绕点E顺时针旋转至，点F恰好在上，过点F作交于点G，垂足为H，连接，则的长度为 ． 50．如图，在四边形中，，，连接对角线，，，若点为的中点，点为的中点，连接，则的长为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05小几何综合计算（解析版） （2大类型精选50题几何填空） 一、填空题 1．如图，在中，是线段的垂直平分线，点是线段的中点，其中，，则的周长为 ． 【答案】18 【知识点】线段垂直平分线的性质、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及三角形中位线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质及三角形中位线的性质是解题的关键．根据垂直平分线的性质得到，根据中位线的性质可得，进而求解即可． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴， ∴的周长． 故答案为：18． 2．如图，中，，，平分，，过作于点，则长为 ． 【答案】/ 【知识点】等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 延长交于点，过点作交于点，得到为等腰三角形，由可证明，得到，求出，根据得到，即可得到答案． 【详解】如图，延长交于点，过点作交于点， 平分， 为等腰三角形， 点为中点， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．如图，在中，点为边的中点，连接，点、为直线上的点，连接，，且．若，，则的长度为 ．    【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用中点性质可得，由平行线性质可得，再由对顶角相等可得，可证，由全等三角形性质可得，然后根据求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：为边的中点 ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ， ，， ， ， ． 故答案为：． 4．如图，是等边三角形，点是边上一点，过点作，垂足为点，直线与的延长线相交于点．若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，由得，再根据余角性质可得，最后根据对顶角的性质可得，即可得根据是等边三角形，得到，即可得解． 【详解】解：∵是等边三角形，则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，则，， ∴， ∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴ ∴， ∴的长为． 故答案为：． 5．如图，等腰三角形中， ，于点D，于点E，，若，，则 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、根据矩形的性质与判定求线段长、化为最简二次根式、用勾股定理解三角形 【分析】证明，求解，可得，，，如图，过作于，而，，证明四边形为矩形，再进一步求解即可． 【详解】解：∵于点D，于点E， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， 如图，过作于，而，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是化为最简二次根式，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 6．如图，在中，，，D是边上一点，将沿所在直线翻折，B点对应点E恰好落在边上，延长至点F，连接，若，，则的周长为 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、折叠的性质、勾股定理，由三角形内角和定理可得，由折叠的性质可得，证明为等边三角形，得出，，求出，，由直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，即可得解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 7．如图，在中，，以为边向外作等边三角形和，连接、，则的长为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，利用等边三角形的性质得到，，，，证明，得到，再求出，利用勾股定理即可求出，进而得到． 【详解】解：∵和都是等边三角形，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 8．如图，在中，，过点C作交于点D，作的平分线交于点E．若，，则 ． 【答案】/ 【知识点】角平分线的性质定理、解直角三角形的相关计算、因式分解法解一元二次方程、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查解直角三角形，解一元二次方程，勾股定理，角平分线的性质，理解相关图形的性质是解决问题的关键．过点作交于，设，得，，结合角平分线的性质得，则，在中，，列出方程即可求得，进而求得，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作交于， ∵，设， ∴，， ∵平分， ∴，则， 在中，， 即：，整理得：，即， 解得：，（舍去）， ∴，， 在中，， 故答案为：． 9．如图，在中，，的平分线交边于点，于点，点在边上．若，，，则线段的长是 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角的直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 先证明，，即可得到，，然后根据解直角三角形得到，然后根据，角的直角三角形的性质得到长，再根据解题即可． 【详解】解：∵的平分线交于点，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 10．如图，在边长为5的菱形中，为对角线，过点D作，交的延长线于点E．若，则的值为 ． 【答案】/ 【知识点】求角的正弦值、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识．先利用勾股定理求得的长，由面积可求出高的长，再利用正弦函数的定义，即可求解． 【详解】解：连接交于点O，作于点F， ∵菱形， ∴，，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵菱形的面积，即， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图，在四边形中，，的平分线交于点，，若，，则四边形的周长为 ． 【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等三角形综合问题、角平分线的性质定理 【分析】本题考查全等三角形、平行线和角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 延长、相交于点，根据得到，，再证明得到，从而推算出四边形的周长等于； 【详解】解：延长、相交于点， 的平分线交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形的周长为； 故答案为： 12．如图，绕点A顺时针旋转得到，点E落在的延长线上，交于点F，．若，则的长度为 ． 【答案】4 【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、三线合一 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，把握旋转的不变性是解题的关键． 由旋转得，，，而，继而由三线合一得到，最后在中，运用勾股定理求解． 【详解】解：由旋转得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 13．在四边形中，连接对角线，，已知，，若，，则的长是 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等内容，利用等腰直角三角形构造一线三垂直全等，过B作，易证，得到，利用勾股定理可得，进而得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过B作，交延长线于点E，则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 在Rt△ABE中，， 故答案为：． 14．如图，在四边形中，，的平分线交于点，连接和，，，若，，则 ． 【答案】 【知识点】全等三角形综合问题、斜边的中线等于斜边的一半、角平分线的有关计算、用勾股定理解三角形 【分析】（1）解法一：延长，交的延长线于点，由角平分线的性质得到，由平行线的性质得到，从而得到，证明，得到，再证明，得到，根据直角三角形的性质得到，根据勾股定理即可求解； （2）解法二：取的中点，以为直径作，根据题意可得在上，根据角平分线的定义可得，则即可得出，进而证明，得出，在中，勾股定理，即可求解． 【详解】解：解法一：延长，交的延长线于点，如图： ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 故答案为： 解法二：如图所示，取的中点，以为直径作， ∵， ∴ ∴在上 ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 在中， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 15．如图，在中，，点D是线段上的一点，连接，将线段绕着点A顺时针旋转得到线段，且，连接，．若且，则的周长为 ． 【答案】10 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质和相似三角形的判定和性质，结合旋转的性质判定，则，进一步证明，则，即可求得，那么，的周长为即可． 【详解】解：∵，即， ∴， 由旋转得， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴ ∵，， ∴， 则的周长为， 故答案为：10． 16．如图，在中，，，以为斜边作，使，，点分别是的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理，掌握三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理求出，根据平行线的性质得到，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：、分别是、的中点， ，， ， 在中，为的中点， ， ， ， ， ， 故答案为：． 17．如图，在中，，高交于点．若，则 ． 【答案】5 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的计算，掌握解直角三角形的计算方法是解题的关键． 根据题意得到是等腰直角三角形，则，运用勾股定理得到，运用等面积法得到，在中，运用正弦值的计算得到，在中，，设，，则，根据，列式得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，， 在中，， 设，，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：5 ． 18．如图，点A，B，C，D在同一直线上，，，点C，F分别是，的中点，若，则的长为 ． 【答案】6 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】此题主要考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，先证为的中位线得，，进而得，，由此可证和全等，从而得，据此可得的长，熟练掌握三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【详解】解：点，分别是，的中点， 为的中位线， ，， ，， 在和中， ， ， ． 故答案为：6． 19．如图，在四边形中，对角线，交于点，在边上有一点，连接，，是以为底的等腰三角形，且，若，，则 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定义 【分析】此题考查了等腰三角形的定义和全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质．由等腰三角形的定义得到，证明，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 20．如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点落在的延长线上，连接，若，，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理及逆定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据旋转的性质得出，，通过得到，利用等边对等角可出，进而得出是等腰直角三角形，然后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 21．如图，在中，是边上的高，点E是的中点，若，，且，则的长是 ． 【答案】 【知识点】等边对等角、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、已知正切值求边长 【分析】本题主要考查正切的定义、勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 先根据高的定义以及勾股定理可得，再根据直角三角形的性质可得，由等边对等角可得，即，进而得到；然后运用勾股定理可得，进而完成解答． 【详解】解：∵在中，是边上的高， ∴， ∵，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 22．如图，在中，，，，为边上一点，把沿对折后得到，交于点，若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】全等三角形综合问题、勾股定理与折叠问题、根据菱形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据勾股定理可得，由折叠的性质得到，是的垂直平分线，即，根据，，则有平分，即，再证，，，得到四边形是菱形，则，所以有，则，设，则，列式得，由此即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， 如图所示，连接，交于点， ∵折叠， ∴，，且， ∴， ∴，，，， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴平分，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∵，且 ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得，， ∴的长为， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握折叠的性质，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 23．如图，点是等边的中心，，点是边上任意一点，作，射线交边于点，则四边形的面积等于 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形面积，连接，，并延长交于点，由是等边三角形，点是等边的中心，则，，，，，证明，则有，再通过，如果勾股定理求出，然后求出即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，并延长交于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∵点是等边的中心， ∴，，， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由上可知：，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 24．如图，在中，，于点，为上一点，连结并延长，交边于点，且，过点作交的延长线于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出，运用等面积法求出，结合勾股定理得，，然后在中，，则在中，，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵于点， ∴， ∴， 在中，， 则， 解得， 依题意，设， ∴， 在中， ， 解得， ∴， 在中， ∵，， 则在中，， ∴， 故答案为：． 25．如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好落在边上，若点与点之间的距离为，则的长为     【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，利用旋转的性质判定等边三角形是解题的关键． 利用旋转的性质证出为等边三角形，从而推出为等边三角形，得到，即可通过勾股定理求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∵，， ∴∠， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得：， 故答案为：． 26．如图，在中，，若，则的值为 ． 【答案】/ 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质．先利用等高的两个三角形面积的比等于底的比求得，则，由，证明，得，进而可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 27．如图，在中，将绕点旋转至，连接并延长至点，使得，连接，若，，，则 ． 【答案】 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、等边对等角、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键，由中点定义得，由平行线性质得，利用旋转性质得，从而进而证明（），即可得解。 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点旋转至， ∴， ∴ ∵，， ∴（）， ∴， 故答案为： 28．在等腰中，，点M，N分别是边，上的点，与相交于点，过点作交于点，若，且，则的值为 ． 【答案】 【知识点】等边对等角、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形相似的判定与性质，先根据得到，结合平行线得到，，从而得到，即可得到，，再根据等腰三角形得到，得到，结合即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 29．如图，为斜边上的中线，过点D作的垂线交于点E，过点B作的垂线交的延长线于点，则 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，根据等腰三角形的性质得出，再根据勾股定理求出，，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵为斜边上的中线， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是证明三角形相似． 30．如图，在中，，，，为的角平分线．为边上一动点，为线段上一动点，连接、、，当取得最小值时，的面积为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解、由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题．在上取点，使．作，交于点．则，，即为的最小值．再根据，列出比例式求出，即可求出的面积． 【详解】解：如图，在上取点，使．作，交于点． 则， ， 即为的最小值． ，， ， ， ，， ∴， ， ， ， 的面积为：． 故答案为：． 31．如图，在等腰三角形中，平分垂直平分交于点，则的长是 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题考查垂直平分线性质，等腰三角形性质，勾股定理．根据题意连接，利用勾股定理求出，再设，即，在中应用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：连接， ， ∵，平分， ∴是边中线， ∴， ∴在中应用勾股定理：， ∵垂直平分交于点， ∴设，则， 在中应用勾股定理：， ∴，解得：， 故答案为：． 32．如图，已知，，，若，则的长度为 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】延长、交于点，延长至点，使得，连接，由等边对等角可得，由可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由等角对等边可得，进而可得，由线段之间的和差关系可得，于是可得，由可得，再结合，于是可得是的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得，由三线合一可得，则，再结合，于是可得，由内错角相等两直线平行可得，由此可证得，于是可得，进而可得，然后根据即可求出的长度． 【详解】解：如图，延长、交于点，延长至点，使得，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， 是的垂直平分线， ， 又， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， 即：的长度为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三线合一，线段垂直平分线的性质，直角三角形的两个锐角互余，内错角相等两直线平行等知识点，添加适当辅助线构造相似三角形是解题的关键． 33．如图，矩形中，点在上，连接，延长到点F，使得，连接交于点，若，且，则的长为 ． 【答案】3 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，由余角的性质可得，根据相似三角形的性质可求，由等腰三角形的性质和平行线的性质可证，由勾股定理可求解，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 【详解】解：四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：3． 34．如图，菱形中，，，于点，且与交于，则 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半．掌握菱形的性质是解本题的关键．先根据菱形的性质得，再利用勾股定理计算出，然后根据菱形的面积公式得到，再解关于的方程即可． 【详解】解：四边形是菱形，，， ， 在中，， ， ， ， ． 故答案为． 35．如图，四边形是矩形，连接，点、分别为、边的中点，连接，，交的延长线于点，点为的中点，连接，若，则 ． 【答案】 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半、根据矩形的性质求线段长、已知正切值求边长 【分析】连接，根据中位线的性质可得，根据矩形对角线相等可得，根据正切的定义求得，进而勾股定理求得的长，进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点、分别为、边的中点， ∴是的中位线， ∴ ∵四边形是矩形， ∴ ∵， ∴ ∴ 在中， ∵点为的中点， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中位线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，正切的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 36．如图，在平行四边形中，，，．E为边上一点，且满足，作的平分线交于点F，则的长度为 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理．利用勾股定理求得，证明四边形是菱形，利用菱形的面积公式列式计算即可求解． 【详解】解：连接，作交的延长线于点， ∵平行四边形中，， ∴，， ∴, ∵， ∴， 设， ∴， 在中，，即， 解得， ∴， 在中，， ∵，平分， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴． 故答案为：． 37．如图，在菱形中，，，连接．过点C作的垂线交于点E，点G为延长线上的一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，且点F恰好落在边上，若，则 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用菱形的性质证明、根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】如图，连接，根据四边形是菱形，，得出，，，根据题意可得，解直角三角形求出，证明，得出，，根据旋转可得，证出，证明，得出，设，勾股定理求出即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，，， 根据题意可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据旋转可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 解得：（负值已舍去）， ∴， 故答案为：． 【点睛】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形，旋转的性质，三角形内角和定理，菱形的性质等知识点，解题的关键是正确做出辅助线，掌握以上知识点． 38．如图，矩形中，，，点E在对角线上，且，连接并延长交于点F，则 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理以及三角形相似的应用，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定． 根据勾股定理可得：，则，再证出，则，则． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， 根据勾股定理可得：， ， ， ∴， ∴， ， ， ， 故答案为：． 39．如图，菱形的边长为，，过点作，交的延长线于点，连接分别交，于点，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】由菱形的边长为，，可得，，，，根据，推出，得到，进而求出，，，证明，得到，推出，证明，得到，可求出，最后根据，即可求解． 【详解】解：菱形的边长为，， ，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键． 40．如图，在中，已知，是的平分线，且与交于点，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】三线合一、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对角线互相平分可推出，再根据等腰三角形三线合一性质得，即可得解．掌握平行四边形的性质和等腰三角形三线合一的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 故答案为：． 41．如图，在矩形中，点在边上，点在边上，且，连接交对角线于点，，连接，若，则长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 根据矩形的性质，勾股定理可得，可证，得到，则点是线段的中点，由直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，设，则，在中，由勾股定理得到，则，根据题意可得是等腰三角形，，由勾股定理得到，由，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点是线段的中点， 如图所示，连接， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴，即， 解得，， ∴，则， ∵， ∴是等腰三角形，， 在中，， ∴， 故答案为： ． 42．如图，在矩形中，E为上一点，连接，，过点D作，垂足为F．若，，，则 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，角平分线的性质，解题的关键在于掌握矩形的性质和勾股定理的应用． 先根据，导角证明平分，则，在对分别运用勾股定理求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 43．如图，在矩形中，，矩形外一点E满足，点O为对角线的中点，则的长度为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，连接，设交于F，则由矩形的性质可得，点O是对角线的中点，利用勾股定理得到，再证明，即可得到． 【详解】解：如图所示，连接，设交于F， ∵四边形是矩形，点O是对角线的中点， ∴，点O是对角线的中点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 44．如图，在矩形中，F是边上一点，将沿翻折，点C的对应点恰好落在线段上，已知，，则的长是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题考查矩形性质，翻折定义，勾股定理．根据题意可得，再利用翻折的性质得，，，继而得到，再利用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∴， ∵将沿翻折，点C的对应点恰好落在线段上， ∴，，， ∴， ∴， 在中：， 解得：， 故答案为：． 45．如图，在中，点D在上，连接，将沿翻折得到和同一平面内的，点E是点C的对应点．且在外部，当时，连接，若，，，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算、等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形、折叠问题 【分析】连接交于，作于，交的延长线于，由折叠的性质可得，，，由题意可得为等腰直角三角形，得出，求出，解直角三角形得出，，证明为等腰直角三角形，得出，从而可得，求出，由直角三角形的性质可得，解直角三角形得出，最后由面积公式计算即可得解． 【详解】解：如图，连接交于，作于，交的延长线于， ， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 46．如图，菱形中，点F是上一动点，连接，沿折叠至，满足，，，则 ，连接， ． 【答案】 10 / 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】由勾股定理求出，作于点H，连接，证明得，设，证明是等腰直角三角形得，然后根据求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，． 作于点H，连接， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴． ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10；． 【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 47．在矩形中，沿对角线将矩形折叠，顶点落在点处，，，在上取点，使得，并延长交于点，则 ． 【答案】 【知识点】矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、根据等边对等角证明、用勾股定理解三角形 【分析】由矩形的性质和折叠的性质得，利用勾股定理求出，证明得，代入数据求出 ，进而可求出． 【详解】解：如图，设、交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， 由折叠的性质得：，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等角对等边等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 48．如图，矩形，点P是边上一点，连接，将沿折叠得，连接并延长交于点M，若，，，则的长为 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】设与交于点Q，根据折叠的性质有：，，再证明，可得，再利用，可得，问题随之得解． 【详解】设与交于点Q，如图， ∵四边形是矩形， ∴，， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 根据折叠的性质有：，， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用求出，是解答本题的关键． 49．如图，正方形中，点E在边上，，将绕点E顺时针旋转至，点F恰好在上，过点F作交于点G，垂足为H，连接，则的长度为 ． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、全等的性质和HL综合（HL）、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】连接，证明为等边三角形，得出，，证明，得出，证明垂直平分，得出，求出，最后根据直角三角形性质求出． 【详解】解：连接，如图所示： ∵将绕点E顺时针旋转至， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，掌握相关知识点是解题关键． 50．如图，在四边形中，，，连接对角线，，，若点为的中点，点为的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了勾股定理、三角形中位线定理，取的中点M，连接，根据三角形中位线的判定与性质求出，结合，求出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：取的中点M，连接， ∵点为的中点，点为的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍）， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$