专题04圆的双空综合计算2024-2025学年九年级中考复习数学试题（重庆专用）

专题04圆的双空综合计算（原卷版） （直属校精选45题） 1．如图，与线段相切于点C，点B为上一点，连接并延长交于点E，过点E作的垂线交于点F，交延长线于点G．连接交于点H，连接．若，，则的半径 ， ． 2．如图，在平行四边形中，是边上一点，连接，，作的外接圆交于点．已知的半径为，，则 ；若，，则 ． 3．如图，是的内接三角形，是直径，点在圆上，，连接，过点作的垂线，垂足为点，交于点，若，，则 ，则的长为 ． 4．如图，是的直径，点在上，过点作于点，点为上一点，连接交于点，，若，，则 ； ．    5．如图，已知是的直径，弦于点C，过点F作的切线交的延长线于点D，G为的中点，连接，若，，则的半径是 ，＝ ． 6．如图，是的直径；弦交于点，，弦于点，连接．若，则 ， 7．如图，以为直径的与相切于点B，以为边作菱形，点C、D均在上，与交于点E，连接与相交于点G，交于点O，连接，若，则 ， ． 8．如图，的顶点在上，且是的直径，过点A的切线交的延长线于点E，C是上一点，连接交于点F，且，连接．若，则的长为 ，的值为 ． 9．如图，四边形内接于圆，为圆直径，、交于点，点是的中点，切圆于，交延长线于．若，点到的距离为，则 ， ． 10．如图，四边形内接于，，，，，交的延长线于点N，则 ；的半径为 ． 11．如图，以为直径的与相切于点A，与交于点D，过D作于点H，连接交于点F、交于点G．若，则 ， ． 12．如图，在中，，，以为直径的与相交于点D，过点D作的切线，交于点M，连接．若四边形为平行四边形，则的长为 ；若P为上一点，连接，，，则的面积为 ． 13．如图，在中，，，以为直径的与相交于点，过点作的切线，交于点，连接．若四边形为平行四边形，则的长为 ；若为上一点，连接，则的面积为 ． 14．如图，与相切于点垂直平分，交于点，连接并延长交于点，连接，若半径为，则线段 ； ． 15．如图，平行四边形的顶点A、B和对角线交点F均在上，与相切于点B，边经过圆心O且交于点E，若半径，则线段 ，线段 ． 16．如图，是的外接圆，是的直径，AD与相切，且与的延长线交于点D，过点C作分别交，于F，G两点，若，则 ；且，则 ． 17．如图，是的直径，是的切线，点为切点．连接交于点，点是上一点，连接，，过点作交的延长线于点．若，，，则的长度是 ；的长度是 ． 18．如图，在半径为4的中，，点B为的中点，点E为弦的中点，点F为弦的中点，则点O到的距离为 ，线段 ． 19．如图，已知是的半径，弦，垂足为点，且，，过点作的切线，交的延长线于点，则的长为 ，则的长为 ． 20．如图，是的直径，是的切线，点为切点．连接交于点，点是上一点，连接，，过点作交的延长线于点．若，，，则的长度是 ；的长度是 ． 21．如图，的半径是，是直径，过半径的中点作交于、，点在上，连接，过点作交的延长线于，若，则线段的长为 ，线段的长为 ． 22．如图，四边形内接于圆O，为圆O直径，、交于点E，点B是的中点，切圆O于D，交延长线于G．若，点O到的距离为，则= ， ． 23．如图，是的切线，B为切点，与交于点C，D是上一点，连接，，，延长至点F，使得，连接，过点B作于点G，，则 ，四边形的面积为 ． 24．如图，内接于，是的直径，点D为圆上的一点，且，连接交于点E，过点D作交延长线于点F，连接．若，，则 ； ． 25．如图，平行四边形的顶点B、C、D在上，直径交于点F，点E是的中点，连接，交于点K，交于点G，若，，则 ， ． 26．如图，在△ABC中，，，在上有一点，以为圆心的与相切于点，分别交、于点、，过作交于、，交于，若， ， ． 27．如图，四边形中，，连，经过、、三点，交于点，线段切于点，且点为弧的中点，分别交、于点、．若，则的长为 ，点到的距离为 ． 28．如图，已知为的直径，、为圆O的切线，切点分别为B，D，过点D作的垂线，与交于点F，与交于点E，连接、．若，，则 ， ． 29．如图，是的直径，是的切线，点是上一点，与交于点，连接，，．若，，则 ； ． 30．如图，是的外接圆，过圆心O作交于点D，延长交于点F，连接，，在延长线上取一点E，连接，使得．若，，则的半径为 ， ． 31．如图，以为直径的垂直弦于点，过点作于点，交于点，交于点，连接，，，，，则 ，线段 ． 32．如图，是的直径，点在上，过点作于点，点为上一点，连接交于点，，延长与过点的切线交于点，若，，则 ； ． 33．如图，为的直径，平分，的延长线交的切线于点P．若，，则 ．的面积 ． 34．如图，点是外一点，分别切于点，连接，过点作交的延长线于点，交于点，连接，过点作于点，交于点H，点为上一点，连接．已知，，若，则 ； ． 35．如图，内接于，是的直径，是的切线，点为切点，点在的延长线上，，，垂足分别为点，，连接．若，，则 ， ． 36．如图，是的直径，弦垂直平分交于点E，F为上一点，连接，，过C点作交于点G，若，，则的长度为 ；连接，，，则四边形的面积为 ． 37．如图，是直径，将劣弧沿弦折叠至所在平面内，折叠后的弧交于点，连接，延长交于点，连接，过点作的切线交的延长线于点．若，，则半径 ：的面积 ． 38．如图，点A，B是上两点，连接，直径与垂直于点E，点F在上，连接，，过点A作的垂线交于点G，交于点H，若，，，则的长度为 ，的长度为 ． 39．如图，为的直径，于点，过点作交的切线于点，交于点，交于点，已知，则 ， ． 40．如图，在平行四边形中，为锐角，，点E、F分别是、上的点，连接、交于点M，以为直径的圆O交于点G，且，，则 ；若， ． 41．如图，四边形内接于，，，点为的中点，连接，连接并延长，交于点，交于点．若，，则 ， 42．如图，以为直径的，点E在圆外，且，与交于点D，过D作于点H，连接交于点F、交于点G．若，，则 ， ． 43．如图，是内接三角形，的半径是，，，的角平分线交于点，交于点，连接、，过点作的切线交的延长线于点，则线段的长度为 ，线段的长度为 ． 44．如图，的半径是是直径，过半径的中点作交于，点在上，连接，过点作交的延长线于，若，则线段的长为 ，线段的长为 ． 45．如图，以为直径的与相切于点A，以为边作菱形，点在上，与交于点F，连接，与交于点G，连接，若，则 ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04圆的双空综合计算（解析版） （3类难度精选45题） 一、填空题 1．如图，与线段相切于点C，点B为上一点，连接并延长交于点E，过点E作的垂线交于点F，交延长线于点G．连接交于点H，连接．若，，则的半径 ， ． 【答案】 / / 【知识点】切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】连接，过B作于D，先利用等腰三角形的性质和勾股定理求得，，再利用切割线定理求得，，再证明求得，，然后利用切割线定理求得，，利用圆周角定理和勾股定理求得圆的直径，可得半径；证明 ，利用相似三角形的性质可求解． 【详解】解：连接，过B作于D，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵与线段相切于点C， ∴（切割线定理，证明见最后） ∴，则， ∵， ∴， ∴为的直径，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∵⊙O与线段相切于点C， ∴（切割线定理）， ∴，则， ∴， ∴的半径为； ∵四边形是圆内接四边形， ∴，又， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：，． （切割线定理的证明：如图，P为外一点，是的切线，切点为C，割线与相交于A、B，连接、、，延长交于D，连接， 则，， ∴，又， ∴， ∴， ∴，此结论为切割线定理） 【点睛】本题考查圆的基本性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、切线性质、切割线定理、等腰三角形性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是一道综合性很强的填空题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 2．如图，在平行四边形中，是边上一点，连接，，作的外接圆交于点．已知的半径为，，则 ；若，，则 ． 【答案】 【知识点】圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合、已知圆内接四边形求角度、解直角三角形的相关计算 【分析】连接、、，过H作于H，先根据等腰三角形的性质和圆周角定理得到， ，则，在中，利用正弦定义可得，求得，进而可求得；利用弧和圆周角的关系和平行四边形的性质可得到，再根据圆内接四边形的性质得到，证明，利用相似三角形的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：连接、、，过H作于H， ∵， ∴，， ∵， ∴，则， 在中，，， ∴， ∴； ∵，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查圆周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行四边形的性质、弧和圆周角的关系等知识，利用相似三角形的性质求解是解答的关键． 3．如图，是的内接三角形，是直径，点在圆上，，连接，过点作的垂线，垂足为点，交于点，若，，则 ，则的长为 ． 【答案】 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题考查圆周角定理及其推论，解直角三角形，勾股定理，三角形内角和定理，熟练掌握这些性质与定理是解题的关键．先利用，，得出，再由，，得出；连接，过点作于点，先利用，，得出，得出，则，求出，由，得出，则，设，则，，得，再证明，得出，利用，求出，即可求解． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴， ∵， ∴； 如图，连接，过点作于点， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；． 4．如图，是的直径，点在上，过点作于点，点为上一点，连接交于点，，若，，则 ； ．    【答案】 2 1 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、圆周角定理 【分析】本题考查圆的性质、勾股定理、三角形面积公式、等腰三角形三线合一及相似三角形的判定与性质； 先利用圆和直角三角形性质求、进而得，再通过作辅助线，借助相似三角形和勾股定理求． 【详解】∵是的直径，点在上， ∴． ∵，， ∴ ∵． 将，，代入，可得： 在中， ，将，代入可得： ， ∴， 连接，作，    ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 5．如图，已知是的直径，弦于点C，过点F作的切线交的延长线于点D，G为的中点，连接，若，，则的半径是 ，＝ ． 【答案】 2 【知识点】用勾股定理解三角形、切线的性质定理、圆周角定理 【分析】此题主要考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，圆周角定理是解决问题的关键． 连接， 先证明，则是等边三角形， 设，则再证明，然后在中， 由勾股定理可求出，进而可得的半径是；再求出则 然后求出，，则， 由此可得的值． 【详解】解：连接， 如图所示： ∵与相切于点， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵弦， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形，设， ， ∵点是的中点， ∴设， ， 在中， 由勾股定理得：， 在中， ， 由勾股定理得：， (不合题意，舍去)， ∴的半径是； ， 是等边三角形， ∴于点， ， 在中， 由勾股定理得：， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：；． 6．如图，是的直径；弦交于点，，弦于点，连接．若，则 ， 【答案】 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】如图所示，连接，可证，，，由，设，则，则，由得，则，可得，根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，，，在中，，在中，，列式得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴； 故答案为：①；② ． 【点睛】本题考查了圆周角定理及推论，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的综合运用，掌握圆的基础知识，相似三角形的判定和性质是关键． 7．如图，以为直径的与相切于点B，以为边作菱形，点C、D均在上，与交于点E，连接与相交于点G，交于点O，连接，若，则 ， ． 【答案】 【知识点】切线的性质定理、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题主要考查菱形的性质、垂径定理、切线的性质及三角函数，熟练掌握菱形的性质、垂径定理、切线的性质及三角函数是解题的关键；由题意易得，，，，然后可得，进而可得，最后可根据三角函数及勾股定理可进行求解． 【详解】解：∵与相切于点B， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接，如图所示： ∵是的直径， ∴， ∴， ∴； 故答案为，． 8．如图，的顶点在上，且是的直径，过点A的切线交的延长线于点E，C是上一点，连接交于点F，且，连接．若，则的长为 ，的值为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、切线的性质定理 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，相似三角形的性质和判定，勾股定理，切线的性质， 先根据切线的性质及勾股定理求出，再说明，可求出，进而求出，然后说明，最后根据相似三角形的对应边成比例求出，再根据相似三角形的对应边成比例求出，进而得出，接下来说明，可求出，最后根据正切定义得出答案. 【详解】解：∵是的切线，是的直径， ∴，， 即. 根据勾股定理，得. ∵， ∴， ∴， 即, 解得， ∴. ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴. ∵， ∴， ∴， 即， 解得. 在中，. 故答案为：. 9．如图，四边形内接于圆，为圆直径，、交于点，点是的中点，切圆于，交延长线于．若，点到的距离为，则 ， ． 【答案】 【知识点】利用垂径定理求值、相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理、切线的性质定理 【分析】，过点O作于H，连接，证明，求出，则，求出，求出，证明，得到，设则，在中，由勾股定理即可求出． 【详解】解：如图，过点O作于H，连接， 则，， ∵点是的中点， ∴ ，， ∵为圆直径， ∴ ∴， ∴， ， ， 是的直径， ， 切于D， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设则， 在中，由勾股定理得， 解得（含） ， 故答案为：； 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质及等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是作出适当的辅助线解决问题． 10．如图，四边形内接于，，，，，交的延长线于点N，则 ；的半径为 ． 【答案】 2 / 【知识点】圆周角定理、解直角三角形的相关计算、等腰三角形的性质和判定、已知圆内接四边形求角度 【分析】延长至点E，使，连接，连接并延长交于点F，连接，即可证得，进而可求得，再利用圆周角定理得到，解直角三角形即可求解． 【详解】解：延长至点E，使，连接，连接并延长交于点F，连接， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴是的直径，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是直径， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：2，． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形等知识点，熟练掌握圆周角定理以及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 11．如图，以为直径的与相切于点A，与交于点D，过D作于点H，连接交于点F、交于点G．若，则 ， ． 【答案】 【知识点】利用垂径定理求值、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、切线的性质定理 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质及切线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． ①连接，根据题意先求出直径的长，得到半径的长，根据垂径定理得到，再根据勾股定理即可求解； ②连接，先求出，再证明，，得到，，求得，，根据勾股定理求出，再证明，即可求解． 【详解】解：①如图，连接， ∵为的直径，， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； ②如图，连接， 在中，， ∵是的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4，． 12．如图，在中，，，以为直径的与相交于点D，过点D作的切线，交于点M，连接．若四边形为平行四边形，则的长为 ；若P为上一点，连接，，，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】切线的性质定理、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】连接，由平行四边形的性质得，由为的直径，，得，由切线的性质得，则，求得；作于点E，则，由，得，由，，求得，由，得，则，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵为的直径，， ∴， ∵与相切于点D， ∴， ∴， ∴； 作于点E，则， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：，． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、切线的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 13．如图，在中，，，以为直径的与相交于点，过点作的切线，交于点，连接．若四边形为平行四边形，则的长为 ；若为上一点，连接，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】切线的性质定理、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求角度 【分析】连接，证明四边形是矩形得，得到，从而利用勾股定理即可求出的长；过点作于点，由勾股定理得，再由三角函数得，，从而得，由，得，进而构造方程即可得解． 【详解】解：连接，如下图， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵是的切线， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 过点作于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定及性质，切线的性质，三角形函数以及勾股定理，熟练掌握切线的性质，三角形函数以及勾股定理是解题的关键． 14．如图，与相切于点垂直平分，交于点，连接并延长交于点，连接，若半径为，则线段 ； ． 【答案】 【知识点】切线的性质定理、解直角三角形的相关计算、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】连接，，，，过点D作于点G，由题意得，然后可得，，进而可得，，最后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：连接，，，，过点D作于点G，如图所示： ∴，， ∵垂直平分， ∴，互相垂直平分， ∴四边形是菱形， ∴， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查菱形的性质与判定、三角函数、圆周角的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质与判定、三角函数、圆周角的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 15．如图，平行四边形的顶点A、B和对角线交点F均在上，与相切于点B，边经过圆心O且交于点E，若半径，则线段 ，线段 ． 【答案】 / 【知识点】切线的性质定理、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】如图：连接，根据切线的性质得到，根据平行四边形的性质得到，得到，根据勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，最后根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图：连接，， ∵与相切于点B， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查的是切线的性质、平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识点，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 16．如图，是的外接圆，是的直径，AD与相切，且与的延长线交于点D，过点C作分别交，于F，G两点，若，则 ；且，则 ． 【答案】 5 【知识点】切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理 【分析】本题主要考查圆周角定理，切线的性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，连接，根据切线的性质和圆周角定理得出，由平行线的性质可得，从而得出，再证明，根据相似三角形的性质得出；由得，设，则，在中，由勾股定理得，可得，连接，设，得，由勾股定理得，从而可求出． 【详解】解：连接，如图， ∴， ∵是的直径， ∴ ∴ ∵是的切线， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∴, ∴（负值舍去）； ∵， ∴设，则， 在中， ∴， 解得， ∴， 连接，设， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴， 故答案为：5；． 17．如图，是的直径，是的切线，点为切点．连接交于点，点是上一点，连接，，过点作交的延长线于点．若，，，则的长度是 ；的长度是 ． 【答案】 【知识点】圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合、半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理 【分析】本题考查圆周角定理及其推论，切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．利用圆周角定理和切线定义即可求出和，根据勾股定理即可求出的长度，利用三角形相似线段成比例即可求的长度；利用圆周角定理和平行线性质得出，可得，即可求出． 【详解】解：∵是的直径，是的切线， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；． 18．如图，在半径为4的中，，点B为的中点，点E为弦的中点，点F为弦的中点，则点O到的距离为 ，线段 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、利用垂径定理求值、等边对等角、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查垂径定理及其推论，直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 连接，，过点F作交的延长线于H，根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，同理求出、，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：连接，，过点F作交的延长线于H，如图， ∵，点B为的中点， ∴， ∵点E为弦的中点， ∴，， ∴， ∴，即点O到的距离为； ∵点F为弦的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；． 19．如图，已知是的半径，弦，垂足为点，且，，过点作的切线，交的延长线于点，则的长为 ，则的长为 ． 【答案】 【知识点】利用垂径定理求值、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、切线的性质定理 【分析】连接，由与切于点，则，由垂径定理得，再由，设，，故，，由勾股定理可得，解出的值，则，根据余角性质得，则，然后代入求值即可． 【详解】解：连接， ∵与切于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，勾股定理，垂径定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 20．如图，是的直径，是的切线，点为切点．连接交于点，点是上一点，连接，，过点作交的延长线于点．若，，，则的长度是 ；的长度是 ． 【答案】 / / 【知识点】切线的性质定理、解直角三角形的相关计算、同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】由直径所对的圆周角是直角得到，根据勾股定理求出，则，由切线的性质得到，则可证明，解直角三角形即可求出；连接，由平行线的性质得到，再由，，推出，得到，则． 【详解】解：∵是的直径， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 在中，； 如图所示，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的判定等等，证明是解题的关键． 21．如图，的半径是，是直径，过半径的中点作交于、，点在上，连接，过点作交的延长线于，若，则线段的长为 ，线段的长为 ． 【答案】 / 【知识点】利用垂径定理求值、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角，勾股定理，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，垂径定理等知识，掌握圆的相关性质是解题关键．连接、，过点作于点，过点作于点，根据已知条件，利用勾股定理可求，证明四边形是矩形，得到，，进而求出，可得到线段的长；证明，得出，则，再证明，求出，，再结合垂径定理求出，即可利用勾股定理求出线段的长． 【详解】解：如图，连接、，过点作于点，过点作于点， 的半径是，是直径， ，， 点是的中点， ， ， ， ， , 四边形是矩形， ，， ， ， ； 是直径， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ，， ， ， 又， ， ， ，， 是半径，， ， ， ， 故答案为：，． 22．如图，四边形内接于圆O，为圆O直径，、交于点E，点B是的中点，切圆O于D，交延长线于G．若，点O到的距离为，则= ， ． 【答案】 ； ． 【知识点】圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质及等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是作出适当的辅助线解决问题．由题意过点O作于H，连接，证明，求出，则，求出，求出，证明，得到，设则，在中，由勾股定理即可求出． 【详解】解：如图，过点O作于H，连接， 则，， ∵点是的中点， ∴ ，， ∵为圆直径， ∴ ∴， ∴， ， ， 是的直径， ， 切于D， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设则， 在中，由勾股定理得， 解得（含）， ． 故答案为：；． 23．如图，是的切线，B为切点，与交于点C，D是上一点，连接，，，延长至点F，使得，连接，过点B作于点G，，则 ，四边形的面积为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算、圆周角定理、切线的性质定理 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质定理，勾股定理，解直角三角形等知识．综合运用以上知识点是解题的关键． 连接，根据圆周角定理，得到，再根据切线定理得到，，通过特殊角的三角函数得到，进而得到，用勾股定理得出的代数式，再利用即可求出；利用勾股定理求出，将四边形的面积看作和的和即可求解． 【详解】解：连接， ， ， 是的切线， ，即， 设， ， ， ， ， 在中， ， ， 则有：， 解得：，， 则． 在中， ， 四边形的面积为：， 则有． 故答案为：，． 24．如图，内接于，是的直径，点D为圆上的一点，且，连接交于点E，过点D作交延长线于点F，连接．若，，则 ； ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题考查了解直角三角形、相似三角形的性质与判定、圆周角定理，结合图形构造直角三角形是解题的关键．作于点，连接，作于点，由是的直径，得出，在中利用正切的定义求出的长，再通过解和得到、的长，求出的长，利用正切的定义得到，设，则，，通过证明得到，解出的值，再证明得到，求出的长，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：作于点，连接，作于点， ，， ，， 是的直径， ， ， 在中，， ， ，， ，， ， ， ，即 ， ， 设，则，， ，， ， ，即， 解得：， ，，， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ． 综上所述，，． 故答案为：；． 25．如图，平行四边形的顶点B、C、D在上，直径交于点F，点E是的中点，连接，交于点K，交于点G，若，，则 ， ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】连接，，由直径交于点F，点E是的中点，得到垂直平分，，，，设，则，，，，，得到，推出，求出；设半径，则，，在中根据勾股定理列方程得到，在中利用勾股定理得到，再根据，求出即可． 【详解】解：连接，， ∵直径交于点F，点E是的中点， ∴垂直平分，， ∴，， ∵， ∴设，则，，， ∵平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 设半径，则，， ∵中， ∴，整理得（负值舍去）， ∴，， ∴， ∵中， ∴， 解得（负值舍去）， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 故答案为：，． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，平行四边形的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质,熟练掌握相关知识点是解题关键． 26．如图，在△ABC中，，，在上有一点，以为圆心的与相切于点，分别交、于点、，过作交于、，交于，若， ， ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、切线的性质定理、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】过点作于点，连接，，，利用三角函数与直角三角形设，，可得，，，，利用，求出，，利用， 得出，再利用，列式求出，求出，证明，得出，即可求解；过点作延长线于点，于点，四边形是矩形，，，利用三角函数求出，，可得，，利用，求出，再求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，连接，，， ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴，， 设，，则，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 如图，过点作延长线于点，于点， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：；． 【点睛】本题考查圆与四边形综合，涉及圆的切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，三角函数，矩形的判定与性质，熟练掌握这些性质、判定与定理是解题的关键． 27．如图，四边形中，，连，经过、、三点，交于点，线段切于点，且点为弧的中点，分别交、于点、．若，则的长为 ，点到的距离为 ． 【答案】 / 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、相似三角形的判定与性质综合、半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理 【分析】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，弧弦圆心角的关系等，连接，由得，再证明可得，即得，即可，，又由得，，再利用平行线的性质和等腰三角形的判定可得，由得，得到，即可得，利用勾股定理得，最后根据的面积解答即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵点为弧的中点， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴ ∵是的切线，点为切点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得或（不合，舍去）， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点到的距离为，则， ∴， ∴， ∴点到的距离为， 故答案为：，． 28．如图，已知为的直径，、为圆O的切线，切点分别为B，D，过点D作的垂线，与交于点F，与交于点E，连接、．若，，则 ， ． 【答案】 / / 【知识点】利用垂径定理求值、应用切线长定理求解、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了垂径定理，相似三角形，等面积法求线段长度，切线长定理，切线定理，勾股定理等知识点，解题的关键是构造出辅助线，依据各个定理逐步求出各线段的长度． 连接交于点，利用垂径定理、勾股定理和等面积法即可求得线段的长度；作辅助线构造出线段所在的直角三角形，依次求得线段的长度，最后利用勾股定理即可求得线段的长度． 【详解】解：①如图，连接交于点， ∵、为圆O的切线， ，，垂直平分弦， ， ， 在中，由勾股定理得： ， 利用等面积法可得： ， ； ②如图所示，连接，过点作,交的延长线于点， ， ∴四边形为矩形， ， ， ， ， 即， 在中利用等面积法可得： ， 根据垂径定理得： ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 在中，由勾股定理得： ， 故答案为：，． 29．如图，是的直径，是的切线，点是上一点，与交于点，连接，，．若，，则 ； ． 【答案】 4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用垂径定理求值、圆周角定理、切线的性质定理 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，垂径定理，连接，设半径为，可得，证明，则求得，再利用勾股定理求得，即可表示出，在中，利用勾股定理列方程，即可求得，再求得即可，正确作出辅助线，证明是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 是的直径，， ， 为等腰直角三角形， 设半径为，则， ， ， ， 为等腰直角三角形， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ，， ， ， 在中，， ， 在中，， 可得方程， 解得， 当时，， 由于， ， 故不符合题意， 则， ，， 故答案为：4；． 30．如图，是的外接圆，过圆心O作交于点D，延长交于点F，连接，，在延长线上取一点E，连接，使得．若，，则的半径为 ， ． 【答案】 【知识点】圆周角定理、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】连接，，则，可知，，即，进而解直角三角形得，，设的半径为，则，在中，，列出方程即可求解；进而求得，由圆周角定理可知，，结合等腰三角形的性质可证得，进而可证得，过点作，则四边形是矩形，则，，，再证，可得，求得，即可求解． 【详解】解：连接，，则， ∵，则垂直平分，令与交于点， ∴， ∵， ∴，即， 设，，则， ∴，即，， 设的半径为，则， 在中，，即， 解得：，则， ∴， 由圆周角定理可知，， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， 过点作，则四边形是矩形，则，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，则， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，勾股定理等知识点，添加辅助线构造直角三角形，利用三角形函数解直角三角形是解决问题的关键． 31．如图，以为直径的垂直弦于点，过点作于点，交于点，交于点，连接，，，，，则 ，线段 ． 【答案】 3 2 【知识点】利用垂径定理求值、解直角三角形的相关计算、等腰三角形的性质和判定、圆周角定理 【分析】由圆周角定理得，利用直角三角形两锐角互余可得，进而可得；连接，根据垂径定理及等腰三角形的性质可得，，，则，设，则，，再证，则，得，列出方程求解，即可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 连接， 则，，则垂直平分， ∴， ∵直径垂直弦于点， ∴垂直平分， ∴，，，则， 设，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴，即，解得：，（舍去） ∴， 故答案为：3，2． 【点睛】本题考查垂径定理，解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形的判定及性质，利用直角三角形互余和圆周角定理转化角度是解决问题的关键． 32．如图，是的直径，点在上，过点作于点，点为上一点，连接交于点，，延长与过点的切线交于点，若，，则 ； ． 【答案】 /0.8 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、圆与三角形的综合(圆的综合问题)、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，确定，再由勾股定理求出．根据切线的性质，确定，先求出的正切值，再由正切的定义求出．连接，设交于点，证，由垂径定理证得，由证得，令，根据相似三角形的性质得求得，从而求出，最后由，问题得以解决． 【详解】解：是的直径， ， ， 是的切线， ， 在中，， 连接，设交于点， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，直径所对的圆周角是直角，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数的应用等知识，解题的关键是构造辅助线，利用垂径定理求出． 33．如图，为的直径，平分，的延长线交的切线于点P．若，，则 ．的面积 ． 【答案】 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】连接，，，作于，作于，由圆周角定理可得，由角平分线的定义结合圆周角定理可得，从而得出为等腰直角三角形，即，由勾股定理可得，解直角三角形得出，求出，证明为等腰直角三角形，得出，求出，从而可得，证明，解直角三角形得出，求出，证明，得出，由勾股定理可得，从而得出，再由计算即可得解． 【详解】解：如图，连接，，，作于，作于， ， ∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线的定义等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 34．如图，点是外一点，分别切于点，连接，过点作交的延长线于点，交于点，连接，过点作于点，交于点H，点为上一点，连接．已知，，若，则 ； ． 【答案】 4 【知识点】切线的性质定理、解直角三角形的相关计算 【分析】连接，连接交于点，连接，证明是等腰直角三角形，在中，，在中，，求得，，进而求出所求线段的长度． 【详解】解：连接，连接交于点，连接， ∵分别是的切线， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴在中，， ∴，， ∴在中，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，，， 又∵是等腰直角三角形， ∴． 故答案是：4，． 【点睛】本题主要考查了圆的切线性质、垂径定理、三角函数、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等，熟悉各种性质与定理是解题的关键． 35．如图，内接于，是的直径，是的切线，点为切点，点在的延长线上，，，垂足分别为点，，连接．若，，则 ， ． 【答案】 12 【知识点】切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、圆周角定理 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，正方形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识点，过作交延长线于点，连接，根据切线的性质、正方形的判定可得四边形为正方形，再由勾股定理，可求出，再根据正方形的性质可求，即可求得直径；过作交于点，连接，根据等面积法即，可求出，由同弧所对的圆周角相等可得，进而可求出，再根据，可证明、、、四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等可得，，从而证明△△，最后由，即可求出，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过作交延长线于点，过作交于点，连接，， 是的直径，， ， 、、为等腰直角三角形， ， 是的切线， ， ，，， 四边形为正方形， 设， 则， ， 即， 解得：（舍去负值）， ，， ； ， ， ， ， ， ， ，， ． 、、、四点共圆， ，， ，， ，， ， ， ， 故答案为：12；． 36．如图，是的直径，弦垂直平分交于点E，F为上一点，连接，，过C点作交于点G，若，，则的长度为 ；连接，，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【知识点】利用垂径定理求值、圆周角定理、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】由，弦垂直平分交于点E，根据勾股定理求出的长，根据含角的直角三角形的性质以及垂径定理，得到等边，由圆周角定理得到，结合，得到，通过，设，依次表示出，，，在中通过勾股定理，求出，在中即可求出，过点作，根据圆周角定理得到，设，，，在中根据，解得：，分别求出，，即可求解． 【详解】解：连接， ∵，弦垂直平分交于点E， ∴，，， ∴，，， ∴，，， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 设， ∴，，， 在中，， 在中，，， 过点作I于， ∵， 设，则，， 在中，，即， 解得： 或（舍）， ∴， ， ， ∴， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理解三角形，含角的直角三角形，相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟练掌握圆周角定理，得到，． 37．如图，是直径，将劣弧沿弦折叠至所在平面内，折叠后的弧交于点，连接，延长交于点，连接，过点作的切线交的延长线于点．若，，则半径 ：的面积 ． 【答案】 【知识点】切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理、解直角三角形的相关计算 【分析】连接，设关于的对称点为，连接，根据折叠的性质得出，进而证明，设半径，得出，勾股定理求得，进而证明，根据相似三角形的性质得出，；进而可得，过点作于点，根据，求得的长，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，设关于的对称点为，连接， ∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∵将劣弧沿弦折叠，关于对称， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ 又 ∴ ∴ 设， ∵是的切线， ∴ ∴， ∵，则 ∴ 又∵ ∴ ∴， 设半径 ∵，即， ∴， ∴ ∵是直径， ∴， 在中， ∴ ∵是直径， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴， ∴ ∴ 在中，， ∵ ∴ 如图所示，过点作于点， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】考查了圆周角定理，折叠问题，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，切线的性质；熟练掌握以上知识是解题的关键． 38．如图，点A，B是上两点，连接，直径与垂直于点E，点F在上，连接，，过点A作的垂线交于点G，交于点H，若，，，则的长度为 ，的长度为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、圆周角定理、特殊三角形的三角函数 【分析】连接，，，由垂径定理可得，，由勾股定理可得，由同弧或等弧所对的圆周角相等可得，由可得，进而可得，由圆周角定理可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，，令，则，，由可得，进而可得，在中，根据勾股定理可得，即，解得，然后根据即可求出的长． 【详解】解：如图，连接，，， ，且是的直径， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 令，则，， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：或（不合题意，故舍去）， ， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，求角的正切值，特殊角的三角函数，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，已知正切值求边长，直接开平方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 39．如图，为的直径，于点，过点作交的切线于点，交于点，交于点，已知，则 ， ． 【答案】 10 / 【知识点】利用垂径定理求值、切线的性质定理、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理，切线定理，平行线的性质，三角函数比等知识点，解题的关键是灵活应用相关性质定理，并构造辅助线． ①根据垂径定理，假设，则，由勾股定理列出方程求解即可； ②连接,过点作,交的延长线于点，利用直角三角形的性质、平行线的性质和切线定理得出相等的角，利用三角函数比求出，假设，根据列出方程求解即可． 【详解】解：如图，连接,过点作,交的延长线于点， ∵为的直径，， ∴， 假设，则，由勾股定理得， , 即， 解得， ，； ∵是的切线， ， 又∵, ， ∵， , , 即, 解得， ， ， 假设，由勾股定理得， ， 即， 解得， ∴； 故答案为：10，． 40．如图，在平行四边形中，为锐角，，点E、F分别是、上的点，连接、交于点M，以为直径的圆O交于点G，且，，则 ；若， ． 【答案】 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】先证出，根据等腰三角形的判定可得，再连接，根据圆周角定理可得，然后解直角三角形和勾股定理求解即可得的长；设与的交点为点，连接，其中交于点，过点作于点，先根据等腰三角形的三线合一可得，再证出，根据相似三角形的性质可得的长，然后证出，根据相似三角形的性质可得的长，从而可得的长，最后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 如图，连接， 由圆周角定理得：， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴，． 如图，设与的交点为点，连接，其中交于点，过点作于点， 由圆周角定理得：，即， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴， 在和， ， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得，经检验，是所列分式方程的解， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、平行四边形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，综合性强，难度大，通过作辅助线，构造直角三角形和相似三角形是解题关键． 41．如图，四边形内接于，，，点为的中点，连接，连接并延长，交于点，交于点．若，，则 ， 【答案】 10 【知识点】圆周角定理、解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合 【分析】作，连接，，，证明四边形是矩形，延长交的延长线于点，再证明，推出，，设，则，，在中，利用勾股定理列式计算即可求得；过点作直径，连接，，证明是的中位线，推出，，证明和，进一步计算即可求解． 【详解】解：作，连接，，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴是的直径， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 延长交的延长线于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，即， 解得（负值已舍）， ∴，，； 过点作直径，连接，， ∵点为的中点， ∴，是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴，即， 故答案为：10；． 【点睛】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 42．如图，以为直径的，点E在圆外，且，与交于点D，过D作于点H，连接交于点F、交于点G．若，，则 ， ． 【答案】 8 【知识点】利用垂径定理求值、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、圆周角定理 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，正确作出辅助线是解题关键．连接，由垂径定理和勾股定理即可求出长；连接，分别证明，，，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，； 如图，连接， 在中，． ∵，， ∴， ∴，， ∴，． 又∵， ∴． ∵， ∴，． 在中，． ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：8，． 43．如图，是内接三角形，的半径是，，，的角平分线交于点，交于点，连接、，过点作的切线交的延长线于点，则线段的长度为 ，线段的长度为 ． 【答案】 / 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】如图，作直径，连接，，过点作于点，证明是等边三角形，得，由是的直径，得，，进而得，由勾股定理得，由是的切线，得，进而证明，利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：如图，作直径，连接，，过点作于点， ∵，的角平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理的推论，等边三角形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，度直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理的推论，等边三角形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 44．如图，的半径是是直径，过半径的中点作交于，点在上，连接，过点作交的延长线于，若，则线段的长为 ，线段的长为 ． 【答案】 9 【知识点】利用垂径定理求值、已知正切值求边长、用勾股定理解三角形 【分析】连接，过点D作于点G，过点F作，交于点M，过点O作，二线交于点Q，连接，利用勾股定理，垂径定理，三角函数，矩形的判定和性质解答即可． 【详解】解：连接，过点D作于点G， ∵ ， ， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ∵， ，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：9； ∵ ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点F作，交于点M，过点O作，二线交于点Q，连接， ∴，四边形是矩形， 设，则， ∴，， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理的应用，平行线的判定和性质，三角函数的应用，解方程，熟练掌握定理和性质，三角函数是解题的关键． 45．如图，以为直径的与相切于点A，以为边作菱形，点在上，与交于点F，连接，与交于点G，连接，若，则 ， ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理、切线的性质定理 【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、菱形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点．正确作出辅是解题的关键． 如图：连接，作交延长线于点I，作于点H，交延长线于点J，设，利用勾股定理得到，据此列方程可得，证明、求得、，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接，作交延长线于点I，作于点H，交延长线于点J， ∵菱形， ∴， ∴四边形和四边形，四边形都是矩形， ∵与相切于点A， ∴， 设， ∵， ∴，则， 由勾股定理得：，即，解得， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$