【精准提分】专题05 图形的变换相关求解（10个基础题型+2个压轴题型+课后巩固）- 2024-2025学年七年级下册数学期末专项培优（苏科2024版）（原卷+解析版）

【精准提分】专题05 图形的变换相关求解（苏科2024） 【10个基础题型+2个压轴题型】 【基础题型一】生活中的平移、轴对称、旋转现象 1 【基础题型二】利用平移的性质求解 6 【基础题型三】利用平移解决实际问题 13 【基础题型四】根据成轴对称图形的特征求解 17 【基础题型五】轴对称综合中光线反射问题 23 【基础题型六】找旋转中心、旋转角、对应点 27 【基础题型七】利用旋转的性质求解 32 【基础题型八】求旋转对称图形的旋转角度 37 【基础题型九】图形的变换中作图问题 42 【基础题型十】图形的变换综合解答题 58 【压轴题型十一】利用轴对称的性质求最值问题 65 【压轴题型十二】旋转综合中需要分类讨论的题型 78 【基础题型一】生活中的平移、轴对称、旋转现象 例题1（24-25七年级下·山西大同·期中）随着电影《哪吒之魔童闹海》的爆火，许多同学对动画设计产生了浓厚的兴趣．下列选项中，左边的图案通过平移能得到右边图案的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．右边图案不是左边图案平移得到的，故此选项不符合题意； B．右边图案不是左边图案平移得到的，故此选项不符合题意； C．左边的图案通过平移能得到右边图案，故此选项符合题意； D．右边图案不是左边图案平移得到的，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】（2025·云南昆明·一模）春节于2024年12月4日被列入世界非物质文化遗产名录，这标志着春节不仅是中国的重要传统节日，也是全球文化多样性的重要组成部分．下面与春节相关的剪纸图案中，是轴对称图形的为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形．熟练掌握轴对称图形的概念，是解决问题的关键．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念逐一判断，即得． 【详解】解：A、是轴对称图形，故A选项符合题意； B、不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故D选项不符合题意； 故选：A． 【变式1-2】（24-25七年级下·江苏南京·期中）电影《哪吒之魔童闹海》的热映，推动了我国国产动画电影发展，提升了中国文化影响力．对下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（   ） A．轴对称，平移，旋转 B．旋转，轴对称，平移 C．轴对称，旋转，平移 D．平移，旋转，轴对称 【答案】A 【分析】本题考查几何变换的类型，解题的关键是读懂图象信息． 根据平移变换，旋转变换，轴对称变换的定义判断即可． 【详解】解：哪吒图片的变换顺序是轴对称平移旋转． 故选：A． 【变式1-3】（24-25九年级上·山西大同·期末）下列四幅体育比赛的图案在设计中用到旋转变换方式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转变换，熟练掌握旋转变换的特点是解题的关键．根据图形变换的特点，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：A、此选项图案在设计中用到平移变换方式，不符合题意； B、此选项图案在设计中用到旋转变换方式，符合题意； C、此选项图案在设计中用到轴对称变换方式，不符合题意； D、此选项图案在设计中用到轴对称变换方式，不符合题意； 故选：B． 【变式1-4】（24-25七年级上·上海·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．能够互相重合的两个图形成轴对称 C．“小明在荡秋千”属于旋转现象 D．“钟表的钟摆在摆动”属于平移现象 【答案】C 【分析】本题主要考查平移、轴对称和旋转的定义，在实际当中的运用，把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，图形的这种移动，叫作平移；在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫作旋转． 【详解】解：A、“丽丽把教室的门打开”属于旋转现象，故A选项错误，不符合题意； B、能够互相重合的两个图形不一定成轴对称，故B选项错误，不符合题意； C、“小明在荡秋千”属于旋转现象，故C选项正确，符合题意； D、“钟表的钟摆在摆动”属于旋转现象，故D选项错误，不符合题意． 故选：B． 【变式1-5】（2025·甘肃·一模）《中庸》名句：“致中和，天地位焉，万物育焉．”由此可见，对称美自古以来就是华夏民族和谐平衡思想的体现．下列选项分别是甘肃省博物馆、白银市博物馆、天水市博物馆、平凉市博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】 解：A． 不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B． 不是轴对称图形，故该选项不符合题意； C． 不是轴对称图形，故该选项不符合题意； D． 是轴对称图形，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式1-6】（24-25七年级下·浙江温州·期中）2025年是蛇年，下列蛇图形可以通过图平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，理解平移只改变位置，不改变图片的形状、大小和方向，是解题的关键；把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移． 【详解】解：观察四个选项，可知B选项为原图经过平移所得，形状和方向均未发生改变． 故选：B． 【变式1-7】（23-24七年级下·四川遂宁·期末）下列现象可以看作数学中的平移的是（　　） A．瓶装饮料在传送带上移动 B．小朋友荡秋千 C．骑自行车时的轮胎滚动 D．“神舟”十八号宇宙飞船绕地球运动 【答案】A 【分析】本题考查生活中的平移，根据平移的定义逐一进行判断即可． 【详解】解：A、瓶装饮料在传送带上移动，是平移，符合题意； B、小朋友荡秋千不是平移，不符合题意； C、骑自行车时的轮胎滚动不是平移，不符合题意； D、“神舟”十八号宇宙飞船绕地球运动不是平移，不符合题意； 故选A． 【变式1-8】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）下列图标中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形的识别，解题的关键是掌握：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此解答即可． 【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式1-9】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）2024年11月29日，中央电视台公布了2025年蛇年春晚主题“巳巳如意，生生不息”，设计了“巳巳如意纹”，以下四个如意纹样中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，不符合题意； B、图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，不符合题意； C、图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，不符合题意； D、图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 【基础题型二】利用平移的性质求解 例题2（24-25七年级下·浙江衢州·期中）如图，三角形沿所在的直线向右平移得到三角形，当，时，平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：由平移可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平移的距离为4． 故选：C． 【变式2-1】（24-25八年级下·河北沧州·期中）在平面直角坐标系中，有一个五边形经过了一定的变化，大小和形状没有改变，那么这个五边形各顶点的坐标可能发生的变化是（   ） A．横、纵坐标分别乘 B．横坐标不变，纵坐标分别加 C．横坐标分别乘，纵坐标分别乘 D．横坐标加，纵坐标分别乘 【答案】B 【分析】本题主要考查了在平面直角坐标系中图形的平移，熟练掌握平移后的图形的大小和形状不发生改变是解题关键． 在平面直角坐标系中，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移个单位长度，若把各个点的纵坐标都加上（或减去）一个整数，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移个单位长度，据此，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、横、纵坐标分别乘，这种变换会使五边形各边在横纵方向上都拉伸为原来的倍，则五边形的大小会改变，此选项不符合题意； B、横坐标不变，纵坐标分别加，这表示五边形在垂直方向向上平移了个单位长度，这个过程中，五边形的大小和形状都不发生改变，此选项符合题意； C、横坐标分别乘，纵坐标分别乘，这种变换会使五边形在横纵方向都发生了变形，大小改变，此选项不符合题意； D、横坐标加是五边形在水平方向向右平移个单位长度，纵坐标分别乘是五边形在垂直方向拉伸为原来的倍，五边形的大小改变，此选项不符合题意． 故选：B． 【变式2-2】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）如图，将三角形沿方向平移，得到三角形，点的对应点分别为点．若．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键；由平移的性质可知，，进而问题可求解． 【详解】解：由平移的性质可知：，， ∵， ∴， ∴； 故选C． 【变式2-3】（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）如图，将直角三角形沿边的方向平移到三角形的位置，若，，则点与点的距离为（   ） A．8 B．4 C．6 D．3 【答案】B 【分析】本题考查平移的性质，设，由题意得，根据，，可得，求解即可．解题的关键是掌握平移的性质：平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置；图形上的每个点都平移了相同的距离，对应点之间的距离就是平移的距离；连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等． 【详解】解：设， ∵将直角三角形沿边的方向平移到三角形的位置， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴点与点的距离为． 故选：B． 【变式2-4】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，△ABC沿射线方向平移到（点在线段上），若，，则平移距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形的平移．根据平移的性质有：，则有，即有，根据，问题得解． 【详解】解：根据平移的性质有：， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴则平移距离为， 故选：B． 【变式2-5】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，面积为的△ABC以每秒的速度沿射线方向平移，平移2秒后所得图形是（点在线段上），若，则图中的四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平移的性质．根据平移的性质求出，设△ABC的边上的高为，求出，利用四边形的面积为即可求出答案． 【详解】解：根据题意可得，， 由平移的性质可得， ， ∵， ∴， ∴， 设的边上的高为， 则， 解得， ∴四边形的面积为 故选：C 【变式2-6】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形△ABC沿着点B到点C的向平移到的位置．若∠B=90°，，，，则阴影部分的面积为（   ） A．22 B．24 C．26 D．28 【答案】C 【分析】此题主要考查了平移的基本性质，由，推出即可解决问题； 【详解】解：，， ， ， 阴影部分的面积为 故选：C． 【变式2-7】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，将直角△ABC沿边的方向平移到的位置，连结，若，，则的长为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，正确的识别图形是解题的关键． 由平移的性质得到，又由即可求解． 【详解】解：∵的是直角三角形沿着斜边的方向平移后得到的， ， ， ∴， 故选：C． 【变式2-8】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，将三角形沿边向右平移得到三角形，已知四边形的周长为，那么三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，由题意可得，，再根据四边形的周长为，即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， ∵四边形的周长为， ∴，即， ∴，即， ∴三角形的周长为， 故答案为：． 【变式2-9】（24-25七年级下·广东珠海·期中）如图，将三角形沿着射线方向平移，得到三角形，已知，，，则四边形的周长为 ． 【答案】18 【分析】本题考查平移的性质，解题关键是掌握平移的性质． 根据平移可得，，，进而求出，即可求解． 【详解】解：将三角形沿着射线方向平移，得到三角形， ， ，，， ，， ， 阴影部分的周长为：， 故答案为：18． 【变式2-10】（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，将直角梯形沿直线的方向平移到梯形的位置，其中，，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】18 【分析】本题主要考查了平移的性质，直角梯形的性质等知识点，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．根据平移的性质可得，再根据列式计算即可得解． 【详解】解：， ， 梯形沿直线的方向平移到梯形的位置， ， ， ， 故答案为：． 【变式2-11】（24-25七年级下·江西南昌·期中）如图，两个相同的四边形重叠在一起，将其中一个四边形沿方向平移长，，，，则下列关于阴影部分面积为 ． 【答案】18 【分析】此题考查了平移的性质， 首先由平移的性质得，，，然后得到，代数求解即可． 【详解】∵， ∴ 由平移的性质得，， ∴ ∴． 故答案为：18． 【基础题型三】利用平移解决实际问题 例题3（24-25七年级下·河北承德·期中）如图，在一块长、宽的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移就是它的右边线，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】解：， 绿化区的面积是， 故选：C． 【变式3-1】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）2025年2月11日，我国在文昌航天发射场使用长征八号甲运载火箭，成功将卫星互联网低轨02组卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功，标志着我国新一代运载火箭家族再添新丁．丞丞有幸观看火箭点火起飞的过程，他想到了所学的数学知识“平移”，他把火箭抽象成几何图形，如图，火箭总长约米，若起飞过程中约为85米，则的长约是（   ） A．14米 B．16米 C．34．5米 D．69米 【答案】B 【分析】本题主要查了平移的性质．根据题意可得米，米，从而得到米，即可求解． 【详解】解：根据题意得：米，米， ∴米， ∴米． 故选：B 【变式3-2】（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的右边线向左平移就是它的左边线，则这块草地的绿地面积是（    ）（单位：） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了生活中的平移现象．根据平移，可得路的宽度，根据矩形的面积，可得答案． 【详解】解：∵小路的右边线向左平移就是它的左边线， 路的宽度是， 这块草地的绿地面积是平方米， 故选：D． 【变式3-3】（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图所示，某商场重新装修后，准备在门前台阶上铺设地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米60元，其台阶的尺寸如图所示，则购买地毯至少需要（    ） A．298元 B．288元 C．287元 D．297元 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的平移，熟记平移的性质并理解地毯长度的求法是解题的关键．根据平移可知地毯的长度等于横向与纵向的长度之和求出地毯的长度，再根据长方形的面积列式求出地毯的面积，然后乘以单价计算即可得解． 【详解】解：地毯的长度至少为：（米）； （元）． 答：铺设梯子的红地毯至少需要花费至少元． 故选B． 【变式3-4】（24-25七年级下·广东中山·期中）如图，在长，宽的长方形草坪上建有两条等宽的弯曲小路，把草坪分成了4部分．若每条小路的宽度为，则草坪的面积为 ． 【答案】540 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，由长方形的面积得，即可求解；能根据题意列出算式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 （）， 故答案为：． 【变式3-5】（24-25七年级下·重庆长寿·期中）如图所示，准备在楼梯上铺上红地毯，已知这种地毯每平方米售价为100元，楼梯宽5米，其侧面如图所示，则购买这种地毯至少需要 元． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，熟练掌握图形平移的性质是解题的关键．本题根据平移的性质，计算出地毯的面积即可解决问题． 【详解】解：由题意可得， 地毯的面积为：， 所以地毯的价钱为：（元）． 故答案为：． 【变式3-6】（24-25七年级下·北京·期中）如图（1），在长为，宽为的一块草坪上修了一条宽的笔直小路，现为了增加美感，把这条小路改为宽恒为的弯曲小路如图（2），草地部分的面积 （填“变大”或“不变”或“变小”）． 【答案】不变 【分析】本题考查了平移的知识，注意运用平移的知识可以把几个图形拼成一个整体进行计算，后边的面积计算的时候注意以直代曲的一种思想，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题把第一个图形中的两块草坪上下平移，则为一个长方形；同理可将曲路两旁的部分进行整合，也可整合为一个长方形，然后即可求解； 【详解】解：可以把小路看作贯穿整个草坪、宽始终为的带状区域，无论它是笔直还是弯曲，只要仍然在同一矩形草坪中贯通两边，每条与小路垂直的横截线在小路内的长度都固定为 ，因此小路占据的面积不变，对应的草地面积也就不变； 故答案为：不变； 【基础题型四】根据成轴对称图形的特征求解 例题4（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，则线段的长为 ． 【答案】15 【详解】解：点关于的对称点恰好落在线段上，， ， ， 点关于的对称点落在的延长线上， ， ． 故答案为：15． 【变式4-1】（24-25七年级下·江苏南京·期中）圆是最美的对称图形之一．将圆竖直位置的直径向左移动，水平位置的直径向下移动，把圆分成如图所示的四个部分，其中①②③④的面积分别记为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平移的性质，轴对称的性质，如图，作出两条直径平移后关于圆心对称的线段；结合图形的对称性列式计算即可. 【详解】解：如图，作出两条直径平移后关于圆心对称的线段； 由对称性可得：，，， 中间长方形的长为，宽为， ∴长方形 长方形的面积 ； 故答案为： 【变式4-2】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）如图，点在内，点、分别是点关于，的对称点，分别交，于点，．若的周长是，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质与运用，根据轴对称的性质可得，，推出的长等于的周长．解题的关键是掌握轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 【详解】解：∵点、分别是点关于，的对称点， ∴，， ∴， ∵的周长是，即， ∴，即的长是． 故答案为：． 【变式4-3】（23-24七年级下·全国·期末）如图，与关于直线对称，E，F是线段上的任意两点，若，，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，得出阴影部分的面积等于△ABC面积的一半是解题的关键． 根据轴对称的性质得是的垂直平分线，利用三角形全等可得，最后根据阴影部分的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴，， ∵， ∴． 点，是线段上任意两点， ∴，， ∵， ∴， ∴ ． ． ， ∴阴影部分面积． 故答案为：． 【变式4-4】（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，所在直线是△ABC的对称轴，点是上的两点，已知图中阴影部分的面积为9，则△ABC的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质．根据轴对称图形的性质求解．由题意得出三角形与三角形关于对称，面积相等是解决本题的关键．根据和关于直线对称，得出，根据图中阴影部分的面积是求出即可． 【详解】解：∵关于直线对称， ∴、关于直线对称， ∴和关于直线对称， ∴， ∵图中阴影部分的面积为9，即， ∴的面积是：， 故答案为：18． 【变式4-5】（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，内一点，，分别是关于、的对称点，交于点，交于点．若的周长是，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质．根据轴对称的性质得到，，据此求解即可． 【详解】解：∵点关于的对称点分别为、， ∴，， ∵的周长是， ∴， 故答案为：． 【变式4-6】（24-25八年级上·重庆铜梁·期中）如图，点P在内部，E，F分别是点P关于直线的对称点．若，则的度数为 ． 【答案】/76度 【分析】本题考查轴对称的性质，连接，则：，进而得到，再根据四边形的内角和为360度，进行求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵E，F分别是点P关于直线的对称点， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式4-7】（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，已知△ADE与△BDE关于直线对称，△BDE与关于直线对称，点A，D，C在同一条直线上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，由轴对称的性质可知，，结合平角及三角形的内角和定理即可求解，理解并掌握轴对称的性质是解决问题的关键． 【详解】解：由轴对称可知，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【基础题型五】轴对称综合中光线反射问题 例题5（24-25九年级下·辽宁铁岭·期中）如图，镜面与水平桌面的夹角，光线经平面镜反射到水平天花板，与反射光线的夹角，则光线与天花板所形成的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，过点作，作， ∵水平桌面与天花板平行， ∴， ∴，， 根据反射原理，可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 【变式5-1】（2023·河南信阳·模拟预测）如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据平面镜反射光线的规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等，即可得出答案． 【详解】解：∵平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等， ∴． 故选：B． 【变式5-2】（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图所示，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质和平角的定义，掌握平行线的性质是本题的关键． 先根据平角的定义求出的度数，再根据平行线的性质，即要得出结果． 【详解】解：， ， ∵两个平面镜平行放置， ∴经过第二次反射后的反射光线与第一次反射的入射光线平行， ； 故选：A． 【变式5-3】（2023·河北衡水·模拟预测）如图，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（    ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】B 【分析】利用轴对称变换的性质判断即可． 【详解】解：如图，过点P，点B的射线交于一点O， 故选：B． 【变式5-4】（2024·四川达州·模拟预测）如图，两条平行直线a，b，从点光源M射出的光线射到直线a上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线b上的B点，当这束光线继续从B点反射出去后，反射光线与直线b所夹锐角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质和平行线的性质，根据“入射光线与直线的夹角始终与反射光线与该直线的夹角相等”得到，由平行线的性质可得，即可得出结论．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵从点光源射出的光线射到直线上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点， ∴， ∵， ∴， ∴当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为． 故选：D 【变式5-5】（2024·河南平顶山·三模）光的反射定律为：入射光线、反射光线和法线(垂直于反射面的直线)都在同一平面内，且入射光线和反射光线分别位于法线的两侧，入射光线与法线的夹角入射角等于反射光线与法线的夹角反射角，兴趣小组想让太阳光垂直射入水井，运用此原理，如图，在井口放置一面平面镜以改变光的路线，当太阳光线与水平线的夹角时，要使太阳光线经反射后刚好竖直射入井底即，则调整后平面镜与水平线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相交线，垂线等知识，作出法线是解题的关键．过点F，作，求出，从而得出，继而得解． 【详解】解：过点F，作，则， 依题意得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【基础题型六】找旋转中心、旋转角、对应点 例题6（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，将绕点按顺时针方向旋转后得到，点、的对应点分别为点、，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵将绕点按顺时针方向旋转后得到， ∴， 故选：． 【变式6-1】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，在等边三角形网格中，以某个格点为旋转中心，将旋转，得到，则旋转中心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了旋转中心，熟练掌握旋转中心的定义，学会构造旋转对应点连线的垂直平分线找出旋转中心是解题的关键． 【详解】解：如图：连接，，分别作，的垂直平分线交点为点，即点是旋转中心， 故选：． 【变式6-2】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，在△ABC中，，将△ABC绕点C旋转得到．若点B、C、D在同一条直线上，则旋转方向和旋转角可能是（     ） A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针， 【答案】A 【分析】本题主要考查了求旋转角和旋转方向，根据平角的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵，点B、C、D在同一条直线上， ∴， ∴旋转方向和旋转角可能是顺时针，， 故选；A． 【变式6-3】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，将（其中）绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使得点C、A、在同一条直线上，那么旋转角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；由旋转的性质可知是旋转角，进而只有得出的度数即为旋转角的度数． 【详解】解：∵， ∴； 故选C． 【变式6-4】（23-24七年级上·河北秦皇岛·期末）如图，点A、B、C、D、O都在网格的格点上，三角形绕某点逆时针旋转到三角形的位置，下列说法正确的是（   ） A．旋转中心是O，旋转角是 B．旋转中心是O，旋转角是 C．旋转中心是C，旋转角是 D．旋转中心是C，旋转角是 【答案】A 【分析】本题考查三角形的旋转，解题的关键是掌握网格的特征和旋转的性质．观察图形，根据网格的特征可得答案． 【详解】解：由图可知，点B绕点O逆时针旋转90°可得点C，点A绕点O逆时针旋转可得点D， ∴旋转中心是点O，旋转角是； 故选：A． 【变式6-5】（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转一定的角度后得到，若，，则图中的旋转角的度数是 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查旋转的性质，正确得出旋转角为是解题关键．根据旋转的性质旋转角为，结合，，即可解决问题． 【详解】解：∵将绕点O按逆时针方向旋转一定的角度后得到， ∴旋转角为， ∵，， ∴，即旋转角的度数是， 故答案为： 【变式6-6】（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，在方格纸中，线段绕某个点旋转一定角度得到线段，其中点A的对应点是点C，则旋转中心是点 ． 【答案】H 【分析】本题主要考查图形旋转的性质，牢记旋转中心的确定方法（对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心）是解题的关键． 根据旋转的性质，对应点的连线的垂直平分线必过旋转中心，进而求解即可． 【详解】根据网格结构作、的垂直平分线，交点为H，所以旋转中心一定是H点． 故答案为：H． 【变式6-7】（23-24八年级下·河南平顶山·期中）如图，在△ABC中，，，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点恰好是的中点：①点是旋转中心；②旋转角的度数是；③；④．正确的有 （填写序号） 【答案】①③/③① 【分析】本题考查的是旋转的三要素，旋转的性质，掌握“旋转中心，旋转方向，旋转角度与旋转的性质”是解本题的关键．先求解， 由点旋转后与自身重合可得旋转中心，由是旋转前后的对应点，可得旋转角的大小； 由旋转的性质可得：，，结合点C为中点，从而可得． 【详解】在△ABC中，， ， 当△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合， 旋转中心为点，等于旋转角，即旋转角度数为，故①正确，②错误； 绕点逆时针旋转后与△ADE重合， ，，， ，故③正确； 点为中点， ， ，故④错误． 故答案为；①③． 【变式6-8】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，在△ABC中，，，，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点恰好成为的中点． (1)指出旋转中心，并求出旋转的度数； (2)求的长． 【答案】(1)旋转中心为点A，旋转角的度数为；(2)． 【分析】本题考查的是旋转的三要素，旋转的性质． （1）先求解，由点A旋转后与自身重合可得旋转中心，由B，D是旋转前后的对应点，可得旋转角的大小； （2）由旋转的性质，，再根据为的中点，据此求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ∴， ∵当△ABC逆时针旋转一定角度后与重合， ∴旋转中心为点A，旋转角的度数为； （2）解：由旋转得，，， ∵为的中点， ∴， ∴． 【基础题型七】利用旋转的性质求解 例题7（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，把一块含角的直角三角板沿边翻折得到，然后再沿边翻折得到，则可以由绕点旋转得到，那么的值为（   ） A．30 B．60 C．90 D．120 【答案】D 【详解】解：由题意，得：， ∵翻折， ∴， ∴， ∴可以由绕点旋转得到； 故选D． 【变式7-1】（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转得到，若，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，平行线的性质，根据平行线的性质，得到，进而求出的度数，角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点C逆时针旋转得到， ∴旋转角的度数即为的度数，为； 故选B． 【变式7-2】（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，△ABC中，，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到位置，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转变换，熟练掌握旋转性质，是解决此题的关键，根据旋转变换的性质得出,根据，求出，进而计算即可得解． 【详解】解：由旋转的性质可知，， ∵， ， 故选：A． 【变式7-3】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，将△ABC绕点B顺时针旋一定角度后，得到，此时点A、B、在同一条直线上，若，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练地掌握对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角是解题的关键． 根据旋转的性质可知，用减去的度数再除以2即可求出旋转角的度数． 【详解】解：∵△ABC绕点B顺时针旋转，得到， ， ， ， ， 故选：A． 【变式7-4】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，将△ABC绕点顺时针旋转得到．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质．先利用旋转的性质得到，，再利用，计算即可． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， 故选：B． 【变式7-5】（24-25七年级下·江苏南京·期中）将绕点A按逆时针方向旋转得到．若，则 ． 【答案】70 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 由旋转得，再根据可得答案． 【详解】解：由旋转得， ， ∵， ∴． 故答案为：70． 【变式7-6】（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，直线相交于点，已知，平分．现将射线绕点逆时针旋转角得到，当时，的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，旋转的性质，几何角度的计算，理解角平分线的定义，旋转的性质，正确理解角度的关系是关键． 根据对顶角相等，角平分线的定义得到，根据旋转的性质得到，由此即可求解． 【详解】解：， ∵平分， ∴， ∵将射线绕点逆时针旋转角得到，当时， ∴， ∴， 故答案为： ． 【变式7-7】（24-25九年级上·重庆长寿·期末）如图，已知绕点顺时针方向旋转到，且点、、共线，交于点，若，时，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查旋转的性质，由旋转得到，因此，即可求解． 【详解】解：∵绕点A旋转得到， ∴， ∴ ． 故答案为：4 【基础题型八】求旋转对称图形的旋转角度 例题8（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图所示的剪纸图片旋转一定角度后与自身重合，则这个角度至少是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ∴旋转的角度角度至少． 故选B． 【变式8-1】（23-24八年级下·广东梅州·期末）如图，已知△ABC，点在直线上，，将△ABC绕点逆时针旋转到△ADE位置，点、点分别对应点、点，如果，那么 ．    【答案】/60度 【分析】本题考查旋转的性质和平行线的性质，根据题意，画出示意图，先根据旋转的性质得到 ，即然后由平行线的性质得到，然后根据角的和差解决问题． 【详解】如图所示，    由旋转可知， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式8-2】（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，点A在射线上，，若将绕点O按照顺时针旋转至处，则点的位置可以用表示，如图在射线上截取，接着将线段绕点O顺时针旋转至如图处，若点的位置可以表示为，则 ． 【答案】124 【分析】本题考查了旋转的性质，，角度的计算，垂线的定义，正确表示出点的位置是解题关键．由题意可推出，再结合从垂线的定义，得出，进而表示出点的位置，得到、的值，代入计算即可． 【详解】解：由题意可知，，， ， ， ， ， ，即绕点O顺时针旋转至处， 点的位置可以表示为， ，， ， 故答案为： 【变式8-3】（24-25九年级上·广西百色·期末）如图，五角星图案绕着它的中心O旋转后第一次与自身重合，则n的值为 ． 【答案】72 【分析】观察图形，得五角星图案可以被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．此题主要考查旋转的应用，解题的关键是熟知旋转的性质． 【详解】解：观察图形，五角星图案可以被平分成五部分， ∴，即旋转72度的整数倍，就可以与自身重合， ∵五角星图案绕着它的中心O旋转后第一次与自身重合， ∴， 故答案为：72． 【变式8-4】（24-25九年级上·吉林松原·期末）如图，这个图案绕着它的中心旋转后能够与它本身完全重合，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转对称，如果把一个图形绕着旋转中心旋转一定的角度后，可以与自身完全重合，这个图形就是旋转对称图形． 【详解】解：这个图形可以被平均分成四份，每份所对的圆心角的度数为， 这个图形绕着它的中心旋转后能够与它本身完全重合． 故答案为：． 【变式8-5】（24-25九年级上·山西大同·期中）把正边形绕着它的中心旋转，所得的正边形与原正多边形重合，我们说这个正边形关于其中心有的旋转对称．下图是大同华严寺的木结构藻井，该藻井的图案可近似的看作旋转对称图形，则它的最小旋转角是 °． 【答案】45 【分析】本题考查了旋转对称图形．根据正八边形的性质，旋转中心为正八边形的中心，由于正八边形每个顶点到旋转中心距离相等，两个相邻的顶点可看作对应点． 【详解】解：正八边形每边所对的中心角是， 因此角的最小值是， 故答案为：45． 【变式8-6】（24-25九年级上·吉林松原·期末）如图所示的图形绕着中心至少旋转 度后，能与原图形完全重合． 【答案】72 【分析】本题考查了旋转角的定义及求法．对应点与旋转中心所连线段的夹角叫做旋转角． 根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答． 【详解】解：图形可看作由一个基本图形每次旋转，旋转5次所组成， 故绕其中心至少旋转72度后能与原图案完全重合． 故答案为：72． 【变式8-7】（24-25七年级下·浙江温州·期中）将一个含角的直角三角板如图所示放置，点A，C分别在直线a和b上，已知，，则 度；将直线b绕着点C按逆时针方向旋转（），旋转后使得直线，则n的值是 ． 【答案】 45 15 【分析】本题主要考查了图形的旋转，解题关键是旋转的性质的应用． 根据平角定义得，再利用平行线的性质即可解决问题；根据旋转的性质结合平行线的性质即可解决问题． 【详解】解：由， 得， 由， 得， 得， 得． 得， 故答案为：45； 由直线绕着点按逆时针方向旋转，旋转后使得直线，得旋转后， 得． 故答案为：15． 【基础题型九】图形的变换中作图问题 例题9（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点，已知△ABC的三个顶点都是格点，请按要求画出三角形． (1)将△ABC先上平移1个单位长度再向右平移2个单位长度，得到； (2)将绕格点O顺时针旋转，得到． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 【变式9-1】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在一个的正方形网格中有一个△ABC，△ABC的顶点都在格点上． (1)在网格中画出△ABC向下平移4个单位，再向右平移6个单位得到的； (2)在网格中画出△ABC关于点P成中心对称得到的； (3)若可将绕点O旋转得到，请在正方形网格中标出点O； 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析 【分析】本题考查了作图—平移变换、旋转变换，熟练掌握平移与旋转的性质是解此题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据中心对称的性质作图即可； （3）连接和，交点即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求， （3）解：如图：点即为所求， 【变式9-2】（24-25七年级下·江苏南京·期中）用无刻度的直尺作图：如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点均在小正方形的格点上． (1)将△ABC先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，画出； (2)将△ABC绕点顺时针旋转90度得到，画出； (3)第（2）问中的线段也可由第（1）问中的线段旋转得到，请作出其旋转中心． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析 【分析】本题主要考查了作平移图，旋转图等知识，掌握平移以及旋转的定义和性质画出图形即可， （1）根据平移的性质作图即可； （2）利用网格根据旋转的性质作图即可； （3）连接，，两线相交点即其旋转中心O． 【详解】（1）解：如下图所示： （2）解：如下图所示： （3）解：旋转中心如下图所示： 【变式9-3】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，网格中每个小正方形边长为1，△ABC的顶点都在格点（网格线的交点）上，利用网格画图． (1)在图（1）中画出将△ABC先向上平移3格，再向左平移2格，得到的（点A的对应点为，点B的对应点为，点C的对应点为），线段扫过图形的面积为 ； (2)在图（2）中画出将△ABC绕点A逆时针旋转得到的（点B的对应点为，点C的对应点为），线段与线段的位置关系为 ． 【答案】(1)图见解析，14(2)图见解析， 【分析】本题考查图形变换—平移和旋转，熟练掌握平移的性质，旋转的性质，是解题的关键： （1）根据平移规则，画出平移后的图形，根据分割法求出线段扫过图形的面积即可； （2）根据旋转的性质，画出，判断线段与线段的位置关系即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 由图可知：线段扫过图形的面积为：； （2）如图，即为所求； 由图可知：， ∴， ∴， ∴． 【变式9-4】（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点，仅用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图①中画出△ABC向右平移4个单位后的图形（意标上字母）； (2)连接， 线段和的关系是 ； (3)在图②中画出△ABC绕点 B 顺时针旋转后的． 【答案】(1)见解析(2)平行且相等(3)见解析 【分析】本题考查作图旋转变换、作图平移变换，熟练掌握平移的性质、旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据平移的性质可得答案． （3）根据旋转的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图①，即为所求． （2）解：由平移得，线段和的关系是平行且相等． 故答案为：平行且相等． （3）解：如图②，即为所求． 【变式9-5】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)平移△ABC到，其中点对应点为点，请画出； (2)以点O为旋转中心，将旋转得到，请画出． (3)已知与△ABC关于某点成中心对称，则该点为_______． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【分析】考查了作图—平移变换、旋转变换，中心对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）连接、、，交点即为所求． 【详解】（1）解：∵平移△ABC到，其中点对应点为点， ∴平移方式为：向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， 如图：即为所求， （2）解：如图：即为所求， （3）解：如图：连接、、，交点为， 即与△ABC关于某点成中心对称，则该点为． 【变式9-6】（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都是格点． (1)将△ABC绕点A逆时针旋转得到； (2)作关于点O成中心对称的； (3)四边形的面积为______． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)12 【分析】本题考查了作图旋转变换，中心对称变换，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）利用网格特点和旋转的性质画出B、C的对应点、即可； （2）利用网格特点，分别延长、、，使、、，从而得到、、，然后顺次连接即可； （3）利用平行四边形的面积公式计算四边形的面积． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：如图，为所作； （3）解：四边形的面积． 【变式9-7】（24-25八年级下·江西九江·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为． (1)画出△ABC绕点C逆时针旋转后的图形； (2)将先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到，画出； (3)若可以看作△ABC绕某点旋转得到，则旋转中心的坐标是__________． 【答案】(1)图见解析(2)图见解析(3) 【分析】本题考查了平移作图，旋转作图，找旋转中心，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）利用网格特点和旋转的性质画出点、绕点逆时针旋转的对应点、，再顺次连接点、、即可； （2）先将点、、分别先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到点、、的坐标，再顺次连接即可； （3）分别作和的垂直平分线，它们的交点满足条件． 【详解】（1）解：根据网格的特点画出点、绕点逆时针旋转的对应点、，顺次连接点、、，如下图即为所求： （2）解：将点、、分别先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到点、、的坐标，再顺次连接，如下图即为所求： （3）解：作和的垂直平分线，交于点，如图所示， 由图可知点的坐标为， 故答案为：． 【变式9-8】（24-25八年级下·江苏连云港·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，， (1)若与△ABC关于点成中心对称（点与点对应），试在图中画出． (2)将（1）中的绕点顺时针旋转得到，试在图中画出． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】本题主要考查作图−旋转变换，解题的关键是根据旋转变换的定义作出变换后的对应点及旋转变换的性质． （1）根据中心对称的定义分别作出点B、C变换后的对应点，再顺次连接可得； （2）分别作出点、，绕点顺时针旋转得到的对应点，再顺次连接可得． 【详解】（1）解：如图，为所求； （2）解：如上图，为所求 ． 【变式9-9】（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一个三角板的三个顶点分别是，，． (1)操作与实践： ①步骤一：将三角板以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； ②步骤二：平移三角板，点的对应点的坐标为，画出平移后对应的． (2)应用与求解： 将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标________． 【答案】(1)图见解析；图见解析(2) 【分析】本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键． （1）①根据旋转的性质作图即可． ②根据平移的性质作图即可． （2）分别连接，，，相交于点，则绕点旋转可以得到，进而可得答案． 【详解】（1）解：①如图，即为所求． ②如图，即为所求． （2）解：分别连接，，，相交于点，则绕点旋转可以得到， ∴旋转中心的坐标为． 故答案为：． 【变式9-10】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A．B．C．D均在格点（网格线的交点）上． (1)将△ABC先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到 ，请在图1中画出若连接，，那么，的关系是 ． (2)将△ABC绕点D按顺时针方向旋转，得到，请在图2中画出 ． 【答案】(1)见解析，平行且相等(2)见解析 【分析】本题考查了平移变换和旋转变换作图，平移的性质， （1）根据平移的性质可将点A、B、C先向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，再把平移后得到的点连接，即可得到，然后根据平移的性质求解即可； （2）根据旋转的性质画出对应点，把旋转后所得到的点连接，即可得到． 【详解】（1）如图1，即为所求， ∴由平移的性质得，的关系是平行且相等； （2）如图2，即为所求． 【变式9-11】（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图，△ABC是格点三角形（各顶点是网格线的交点），每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形． (1)将△ABC向右平移6个单位长度，画出平移后的； (2)将平移后的绕点顺时针旋转，画出旋转后的； (3)将△ABC沿直线翻折，画出翻折后的； (4)与成轴对称，请在图中画出对称轴，并用字母表示． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)见解析 【分析】本题考查了作图旋转变换，轴对称和平移变换，熟练利用上述性质画图形是解题的关键． （1）利用网格特点和平移的性质画出点，，的对应点分别是点，，即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出点，的对应点分别是点，即可； （3）利用网格特点和轴对称的性质点的对应点即可； （3）交叉连接对应点，连接交点即可． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：如图，为所作； （3）解：如图，为所作； （4）解：如图，直线为所作 【基础题型十】图形的变换综合解答题 例题10（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，四边形纸片中，，，点是线段上一点，将纸片沿折叠，点的对应点为点，求的度数． 【答案】 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式10-1】（24-25七年级下·陕西延安·期中）如图，直线，直线与直线、分别交于点、，点是直线上一点，连接，将三角形沿着方向平移得到三角形，平分．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，平移的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由平行线的性质得到，由角平分线的定义得到，由平移性质得到，即可证明． 【详解】证明：， ， 平分， ， 由平移性质得：， ． 【变式10-2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，将△ABC沿着方向平移得到．已知，，，，交于点． (1)求线段的长和的大小． (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)，(2) 【分析】本题考查的是平移的性质，平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据平移的性质得到，则，根据平移可得，进而根据平行线的性质可得，根据，即可求解； （2）根据，得到，再根据梯形面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：△ABC沿着方向平移得到， ，，，， ，， ， ， ， ， ． （2）平移， ， ， 　， ， ，， ． 【变式10-3】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）△ABC的三边长分别为：，，， (1)求△ABC的周长（请用含有a的代数式来表示）； (2)若△ABC与成轴对称图形，其中点A与点D是对称点，点B与点E是对称点，，，求的值． 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查了轴对称和三角形三边关系的概念和性质．解题的关键是熟练掌握成轴对称的两个图形的性质：两个图形全等． （1）根据整式加减运算法则，列式计算即可； （2）利用轴对称图形的性质求解：，可得，，代入值再求解即可． 【详解】（1）解：△ABC的周长； （2）解：∵△ABC与成轴对称图形，点A与点D是对称点，点B与点E是对称点， ∴，， ∴ ，即， ，即， 把代入，得 ， ∴． 【变式10-4】（24-25七年级下·天津河东·期中）在直角梯形中，与为直角，，，将梯形沿着射线平移得到梯形，与交于点M，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】45 【分析】本题考查了平移的性质，直角梯形，先根据图形平移的性质得出，，再根据，得出，，最后根据计算即可得出结论． 【详解】解：∵直角梯形由直角梯形平移而成， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． ∴图中阴影部分的面积为45． 【变式10-5】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，四边形中，，，连接，将四边形绕着点逆时针旋转至四边形，使落在边上． (1)若，求的大小； (2)若，△ABC的周长为9，求的长． 【答案】(1)20度(2)3 【分析】本题考查平行线的性质，图形旋转的性质，解题的关键是利用平行线的性质找到角之间的关系，以及根据旋转性质和已知条件计算线段长度． （1）先根据平行线的性质得出角的关系，再结合旋转性质求． （2）先根据已知条件求出长度，再利用旋转性质得到线段等量关系，最后根据三角形周长计算的长． 【详解】（1）解：， ， 将四边形绕着点逆时针旋转至四边形， ， ， ； （2）解：， ， 将四边形绕着点逆时针旋转至四边形， ， ， ，即， ． 【变式10-6】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，将△ABC逆时针旋转一定角度后得到，点D恰好为的中点． (1)若，指出旋转中心，并求出的值； (2)若，求的长． 【答案】(1)旋转中心为点C，的值为(2) 【分析】本题主要考查旋转的性质，掌握旋转的性质，数形结合分析是关键． （1）根据旋转的性质得到，由，即可求解； （2）由旋转知，，结合点D恰好为的中点即可求解． 【详解】（1）解：∵旋转， ∴， ∵， ∴， ∴旋转中心为点C，的值为； （2）解：由旋转知，， 又∵点D恰好为的中点， ∴． 【变式10-7】（2025八年级下·全国·期中）如图，点分别在长方形纸片的边上，连接．将对折，点落在直线上的点处，折痕为． (1)若，求的大小； (2)若，求的大小； (3)如图，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕，求的度数． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（）利用折叠的性质即可求解； （）由平角定义及折叠性质可得，进而即可求解； （）由平角定义及折叠性质可得，进而即可求解； 此题考查了翻折变换的性质，平角的定义，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵将对折，点落在直线上的点处，折痕为， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴； （3）解：∵将对折，点落在直线上的点处，得到折痕， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即． 【变式10-8】（24-25七年级下·湖北十堰·期中）如图，在三角形中，∠B=90°，，．将三角形沿向右平移，得到三角形，与交于点，连接． (1)________，________； (2)若，，求图中阴影部分的面积； (3)已知点在三角形的内部，点经过相同平移后的对应点为，连接．若三角形的周长为，四边形的周长为，请直接写出的长度． 【答案】(1)，(2)(3) 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质；能熟练利用平移的性质进行求解是解题的关键． （1）由平移的性质得，，由平行线的性质即可求解； （2）由平移的性质得，由即可求解； （3）由平移的性质得，，，，即可求解； 【详解】（1）解：由平移得， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）解：由平移得， ； （3）解：由平移得 ，， ，， ， ， ， ， 解得：， ． 【压轴题型十一】利用轴对称的性质求最值问题 例题11（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，在直角三角形中，，，，，动点M在线段上运动（不与端点重合），点M关于边，的对称点分别为E，F，连接，点D在上，则在点M的运动过程中，线段长度的最小值是（   ） A． B． C．10 D． 【答案】A 【详解】解：过作于，连接，如图： ， ， 点M关于边，的对称点分别为E，F， ， ， 线段长度最小即是长度最小，此时，即与重合，最小值为． 故选：A． 【变式11-1】（24-25八年级上·福建南平·期中）如图所示，在四边形中，，，，，在上找一点，使的值最小，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】此题主要考查了轴对称的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，判断出是解本题的关键． 先作出点C关于的对称点，判断出，进而判断出，再构造出直角三角形，利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，延长至，使， ∵， ∴点与点C关于对称， 连接交于，此时最小， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点B作交的延长线于E， 则（平行线间的距离处处相等）， 在中，， ∴， 即的值最小值为6， 故答案为：6． 【变式11-2】（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，△ABC的面积为6，，平分，若M，N分别是上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，垂线段最短，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．过点C作于点E，在上截取线段，使得，由，求出CE可得结论． 【详解】解：如图，过点C作于点E，在上截取线段，使得， 平分，， ，关于对称， ， ， ， ， ， 的最小值为 故答案为： 【变式11-3】（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，M为内部的一点．P、Q分别为边，上的动点，连接，，．已知，当的值最小时， ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，分别作出点M关于，的对称点，，连接，分别交，于点P，Q，连接，，，，，此时的值最小，根据对称可得，，，，，再求解即可，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，分别作出点M关于，的对称点，，连接，分别交，于点P，Q，连接，，，，，此时的值最小． 根据对称可得，，，，， 则，， ， 故答案为：． 【变式11-4】（24-25八年级上·青海海东·期末）如图，正方形的边长为4，M是中点，N是中点，P是对角线上一个动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是轴对称的性质和正方形的性质，根据题意作出对称后的图形是解题的关键．作M关于的对称点E，结合正方形性质确定其为的中点，当E、P、N三点共线时，的值最小值． 【详解】解：作M关于的对称点E，连接， 又∵四边形为正方形， ∴，点E为的中点， ∵， ∴当E、P、N三点共线时，最短， ∵N是中点，点E为的中点， ∴． ∴的最小值为4． 故答案为：4． 【变式11-5】（23-24七年级下·广东揭阳·期末）如图，中，垂直于点B，且，在直线上方有一动点M满足，则点M到C、D两点距离之和最小时， 度． 【答案】45 【分析】本题主要考查轴对称的性质，点M在直线的上方且与直线的距离为的直线上，得，且直线过的中点，连接交直线于点，此时最小，根据两点之间线段最短和轴对称性质可求出，连接，求出即可解决问题． 【详解】解：因为，， 所以，点M在直线的上方且与直线的距离为的直线上，如图， 所以可得，且直线过的中点， 作点D关于直线的对称点E，则：， 连接交直线于点，此时最小， 因为，， 所以，， 因为，， 所以，， 所以，， 连接，则，所以，，则有： ， 故答案为：45． 【变式11-6】（24-25八年级上·湖北黄石·期末）如图，在直角△ABC中，，，，，D、E、F分别是、、边上的动点，则的最小值是 ． 【答案】9.6 【分析】本题考查了轴对称路径最短问题，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．，推出，可得、、共线，由，，可知、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题理解转化思想是解题的关键． 【详解】解：如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ∴ ，，， ， 、、共线， ， ， 当、、、共线时，且时，的值最小，最小值， ， ， ∴的最小值为9.6． 故答案为：9.6． 【变式11-7】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，，点分别在射线上，，的面积为3，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键．连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于， ，且， ， 点关于对称的点为，点关于对称的点为， ，，， ， ， 的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 的面积的最小值为， 故答案为：． 【变式11-8】（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，△ABC的面积是6，，D、E分别是上的动点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了角平分线的性质，作点A关于的对称点，作点，交于点D．则，所以．即的最小值为． 【详解】作点A关于的对称点，作点，交于点D． 则， ∴． 即的最小值为，当时最小． ∵的面积是6，， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 【变式11-9】（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，，点分别在射线上，，，点P是直线上的一个动点，点P关于的对称点为，点P关于的对称点为，连接、、，当点P在直线上运动时，则面积的最小值是 ． 【答案】18 【分析】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键． 连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于， ∵，且， ∴， ∵点关于对称的点为，点关于对称的点为， ∴的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 面积的最小值是 故答案为：18． 【变式11-10】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，，点M、N分别在射线上，，的面积为12，点P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，当点P在直线上运动时， ，的面积最小值为 ．    【答案】 90 8 【分析】分点在线段上，点的左侧和点的右侧，三种情况进行讨论，连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：当点在线段上，如图，连接，过点作交的延长线于，    ∵，且， ∴， ∵点关于对称的点为，点关于对称的点为， ∴，，， ∵， ∴， ∴的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， ∴的面积的最小值为， 当点在点的左侧时，如图：连接，过点作交的延长线于，      同法可得：， ∵点关于对称的点为，点关于对称的点为， ∴，，， ∵， ∴， ∴的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， ∴的面积的最小值为， 当点在点的右侧时，如图：连接，过点作交的延长线于，      同法可得：， 的面积的最小值为， 综上：，的面积的最小值为； 故答案为：90，8． 【压轴题型十二】旋转综合中需要分类讨论的题型 例题12（24-25七年级下·江苏无锡·期中）将一副三角板如图放置，点、重合，点在上，与交于点．，，，现将图中的△ABC绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，△ABC恰有一边与平行的时间为（   ） A．1秒或9秒 B．9秒或11秒 C．1秒或3秒或9秒 D．3秒或9秒或11秒 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 情况1，如图，当时，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴旋转时间（秒）； 情况2，如图，当时，的延长线交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴旋转时间（秒）； 情况3，如图，当时， ∵， ∴， ∴， ∴旋转时间（秒）； 综上所述，恰有一边与平行的时间为3秒或9秒或11秒， 故选：D． 【变式12-1】（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如图，一副三角板有公共顶点C，且与重合，其中，，，将三角板绕点C逆时针旋转一周，当直线与直线互相平行时，三角板旋转的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，分在直线的上方和下方两种情况讨论，画出图形，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 当在直线的上方时，如图， ∵， ∴， ∴， 即三角板旋转的度数为， 当在直线的下方时，如图， ∵， ∴， 即三角板旋转的度数为， 三角板旋转的度数为或， 故答案为：或． 【变式12-2】（24-25七年级下·山东菏泽·期中）如图，直线，一副三角板按如图1摆放，其中，，．保持三角板不动，现将三角板绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且，则经过 秒边与直角边平行． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，掌握判定方法及性质是解题的关键． 延长交于点，可求，进行分类讨论，画图可得在各个不同位置时，所旋转的度数，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，   ，， ， ， ， ①如图，    当时，， 此时旋转的度数为， ()； ②如图    当时，， ， 此时旋转的度数为， ()； 综上所述：或． 故答案为或． 【变式12-3】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）一副直角三角板如图（1）摆放在直线上，（直角三角板和直角三角板，，，，），如图（2）保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，当与射线重合时停止旋转．在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，此时等于 （写出所有可能的t的值）． 【答案】或或 【分析】分情况讨论：当时；当时；当时；结合图形求出的度数，即可求出t的值．本题考查了平行线的性质，旋转的性质，关键在于数形结合，分类讨论． 【详解】解：如图1，当时， 此时与重合， ∴， ∴； 如图2，当时， ∴， ∴， ∴； 如图3，当时， ∴， ∴， ∴； 综上，或或， 故答案为：或或． 【变式12-4】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在直角△ABC中，，，，，将△ABC绕点顺时针旋转，点、的对应点分别是、，若点为线段的中点，点为线段上一动点．则在旋转过程中，线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形面积计算，垂线段最短，先求出，由旋转的性质可得；连接，根据，得到当最小时，最小；由垂线段最短可得当时，最小，利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵直角△ABC中，，，， ∴， 由旋转的性质可得； 如图所示，连接， ∵， ∴当点D在上时，有最小值，最小值为， ∴当最小时，最小； 如图所示，当时，最小， 此时有， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【变式12-5】（24-25七年级下·湖南长沙·期中）将一副三角板中的两块直角三角板的顶点按如图方式放在一起，其中，，且、、三点在同一直线上．点在线段上，现将三角板绕点顺时针转动度，在转动过程中，若△ABC的边平行于的某一条边时，则此时转动的角度为 ． 【答案】，， 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角板的角度计算，利用分类讨论的思想解决问题是关键．分三种情况：①；②；③，再利用平行线的性质分别求解即可． 【详解】解：由题意可得：，，，， 如图，记的交点为，当时， ∴， ∴， 如图，当时， ∴， 如图，当时， ∴， ∴， 故答案为：，， 【变式12-6】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，将木条与c钉在一起，，木条a以每秒2°的速度绕点A顺时针方向旋转一周，当木条a与b垂直时，旋转时间为 秒． 【答案】50或140 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，垂直的定义，由旋转的性质和平行线的性质以及垂直的定义可求解． 【详解】解：如图，设的邻补角为，则， 当时，， ∴要使木条与垂直，木条旋转的度数至少是或， ∴旋转时间为或， 故答案为：50或140． 【变式12-7】（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放，其中，，，，含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点顺时针转动（转动角度小于），当与三角尺的其中一条边所在的直线互相平行时，的度数是 ． 【答案】或或 【分析】此题主要考查了三角形中求角度，图形的旋转变换及性质，平行线的性质，角平分线的定义与性质等；根据题意可知：在旋转的过程中（转动角度小于），与的一边平行，有以下三种情况：①当时，可得为的平分线，进而可求出的度数；②当时，由平行线的性质可得的度数，③当时，由平行线的性质得，进而可求出的度数．解答此题的关键是熟练掌握图形的旋转变换及性质，理解平行线的性质；难点是分类讨论思想在解题中的应用． 【详解】解：∵是含有的三角板， ∴， ∵是含有的三角板， ∴， ∵在旋转的过程中（转动角度小于），与的一边平行， ∴有以下三种情况： ①当时，如图所示： ∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴为的平分线，即， ∴； ②当时，如图所示： ∵， ∴， ③当时，如图所示： ∵， ∴， ∴， 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 【变式12-8】（2025七年级下·全国·期中）将一副直角三角板按如图①所示的方式叠放，现将含角的直角三角板绕顶点A顺时针旋转，使两块直角三角板至少有一组边互相平行．如图②，当时，，则其他所有符合条件的的度数为 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查的是平行线的性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解即可． 【详解】解：由三角板可得，，，， 当时，如图， 此时在上，； 当时，如图， 此时； 当时，如图， ∴； 当时，如图， ∴， ∴， 综上所述，所有符合条件的的度数为或或或， 故答案为：或或或． 【变式12-9】（24-25七年级上·上海徐汇·期末）如图，在中，点在边上，，，，，将绕着点旋转，使得点的对应点落在边上，点、的对应点分别是点，则的面积等于 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查旋转的性质、三角形的面积公式、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论并且画出相应的图形是解题的关键． 由点在边上，，得，再分两种情况讨论，一是落在线段上，则，，因为，，所以，求得；二是点落在线段上，则，，，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵点在边上，， ∴， 如图，点落在线段上， 由旋转得，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图，点落在线段上， 由旋转得，，， ∴， ∵， ∴， 综上所述，的面积等于或， 故答案为：或． 【变式12-10】（24-25九年级上·河南安阳·期中）如图，在△ABC中，，△ADE是直角三角形，，，且边与重合，将△ADE绕点A以每秒顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 秒时，边与边平行． 【答案】6或42/42或6 【分析】本题考查旋转的性质及平行线的性质，能根据题意画出示意图及熟知平行线的性质是解题的关键．分两种情况画出示意图，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：当在上方时，如图， ∵， ∴， 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴； 当在下方时，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述，第6或42秒时，边与边平行． 故答案为：6或42． 【变式12-11】（23-24八年级上·浙江宁波·期中）两块不同的三角板按如图1所示摆放，边重合，，将三角板绕着点C按顺时针以每秒的速度旋转后停止．在此旋转过程中，当旋转时间 秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行． 【答案】或或 【详解】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据题意分三种情况，①当时，②当时，③当时，根据平行线的性质解答即可． 【解答】解：分三种情况： ①当时，如图： ∴， ∴， ∴． ②当时， ∴， ∴， ∴． ③当时，过点C作的平行线， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，当旋转时间或或秒时， 三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行． 故答案为：或或． 【变式12-12】（23-24七年级下·浙江台州·期中）如图，现将一副三角尺摆放在一起，重合的顶点为A点，固定含的三角尺不动，将含的三角尺绕顶点A转动，当点E在直线的下方时，使三角尺中的边与三角尺ABC的一边平行，则（）可能符合条件的度数为 ． 【答案】、和 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质和判定，分情况讨论，根据题意画出图形，利用平行线的性质和旋转的性质求解是解题的关键． 【详解】由题意可知，点E在直线的下方， 如图所示，当时， ； 如图所示，， ； 如图所示，， ； 故答案为：、和． 1．（2025·广东广州·一模）剪纸艺术，作为我国最古老的民间手工技艺之一，承载着千年农耕文明的智慧与美学．下列剪纸图案中，轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项B能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选B． 2．（24-25七年级下·山东泰安·期中）把一张长方形的纸按照如图所示折叠，点落在处，点在边上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，轴对称的性质．由折叠可得，再由平行线的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠可得， ∵在长方形纸片中，， ∴． 故选：B 3．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，是用长方形纸片折纸飞机的操作顺序，最后一个图形中所有线条均在同一平面上时，折痕、与飞机头的夹角的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查折叠的性质，通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解答此类题最好动手操作，易得出答案．根据翻折变换的性质进行分析从而得到最后答案． 【详解】解：∵折纸飞机的操作过程，对折了2次， ∴， 故选：B． 4．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，所在直线是的对称轴，点，是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质．通过观察可以发现是轴对称图形，且阴影部分的面积为全面积的一半，根据轴对称图形的性质求解．其中看出三角形与三角形关于对称，面积相等是解决本题的关键．根据和关于直线对称，得出，根据图中阴影部分的面积是求出即可． 【详解】解：关于直线对称， 、关于直线对称， ∴ 和关于直线对称， ， 的面积是：， 图中阴影部分的面积是． 故选：B． 5．（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠，点恰好落在边上的点处，点落在点处．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查折叠性质、三角形的内角和定理，熟练掌握折叠性质是解答的关键．设与相交于O，则，由折叠性质得，，进而，在中，利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：根据折叠可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，△ABC与关于直线l对称，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了成轴对称图形的特征，由题意得：，推出，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ， ， 故选：C． 7．（2025·河南漯河·一模）如图，设计的字母“”是一个轴对称图形，设计线条之间互相平行．已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，轴对称图形的性质，延长至，由题意得，，进而根据平行线的性质解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：延长至， 由题意得，，， ∴，， ∴， 即， 故选：． 8．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，平移距离为6，则阴影部分面积为（   ） A．60 B．48 C．36 D．24 【答案】A 【分析】本题主要考查了平移的性质，梯形面积公式等，解题的关键是熟练掌握平移的性质． 根据平移的性质得出，，然后根据梯形的面积公式即可求解． 【详解】解：根据图形平移的性质可得，，， ， ， 故选：A． 9．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在倍关系，则不可能的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质和平行线的性质，熟练掌握平移前后对应线段互相平行以及两直线平行内错角相等是解题的关键． 根据△ABC的平移过程，分点在上和点在外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到，和之间的等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时, 过点作， ∵由平移得到， ∴， ∵， ∴， 当时， ∴设，则， ∴，， ∵， ∴， 解得:， ∴， 当时， ∴设，则， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 第二种情况：当点在外时，过点作， ∵由平移得到， ∴， ∵， ∴， 当时，设，则， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 当时， 由图可知，，故不存在这种情况， 综上所述，或或， 故选：． 10．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落在点处，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，根据平角的定义可得，由此可以求出的度数即可得到答案． 【详解】解：，， ， 由折叠的性质得， ，， ， ， ． 故答案为：． 11．（24-25七年级下·河南平顶山·期中）如图，把一张长方形纸片沿折叠，使B点落在处，若，应为 时才能使． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，直线平行的判定，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键； 根据折叠的性质得到，要，则要有，从而得到，即可求出； 【详解】解：长方形纸片沿折叠，使点落在处， ， ∵， ， ∴， ； 应为时才能使； 故答案为：． 12．（24-25七年级下·上海·期中）如图，长方形的四个内角都是，点在上，将沿翻折得到，点与点对应，如果比大，那么 ． 【答案】/72度 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质，设，则，，由折叠的性质可得，，求出，由平行线的性质可得，，计算即可得解． 【详解】解：设，则， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵四边形为长方形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，将长方形纸片沿向下折叠后，点分别落在的位置，再沿边将向上折叠至处，若，则 ． 【答案】22.5/ 【分析】本题考查了折叠的性质，垂直定义，三角形内角和定理等知识，根据折叠的性质，得到，，，，再根据垂线的性质，得到，进而利用平角定义，求得．熟练掌握折叠的性质是解题关键． 【详解】解： 由折叠的性质可知，，，，， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， 故答案为：． 14．（24-25七年级下·山西太原·期中）如图1，一张透明的正方形纸片上有线段和点，小明依次按照图2、图3的方法折叠，展开后如图4所示，其中过点的折痕与平行，判断的依据是 ． 【答案】同位角相等，两直线平行（答案不唯一） 【分析】此题考查了图形的折叠变换及其性质，平行线的判定，熟练掌握图形的折叠变换及其性质，平行线的判定是解决问题的关键． 由折叠性质得：第一次折叠时，图4中的与重合，则，第二次折叠时，图4中的与重合，则，由此得，则，据此即可得出答案． 【详解】解：如图所示： 由折叠性质得：第一次折叠时，图4中的与重合， ∴， ∵， ∴， 第二次折叠时，图4中的与重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：同位角相等，两直线平行（答案不唯一）． 15．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图所示的中，，，，点、在直线上，将绕着点顺时针旋转到位置①得到直线上的点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②得到直线上的点，按此规律旋转至点，则= ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质及图形的规律问题，得到的长度依次增加，，，且三次一循环是解题的关键．观察发现，每旋转3次为一个循环组依次循环，每个循环长度增加．用2024除以3求出循环组数，然后列式计算即可得解． 【详解】解：∵中，，，， ∴将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点，此时； 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时； 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时； … 由图可知每旋转3次为一个循环组依次循环，每个循环长度增加． 又∵， ∴． 故答案为：． 16．如图，将△ABC沿直线向右平移a个单位到的位置． (1)连接，当△ABC的周长为16，时，求四边形的周长； (2)已知△ABC的面积为12，．当△ABC所扫过的面积为18时，求a的值． 【答案】(1)20(2) 【分析】本题考查的是平移的性质，熟记平移的性质是解本题的关键； （1）如图，连接，根据平移的性质可得，，再进一步求解即可； （2）如图，作于H，先求解，再结合所扫过面积即梯形的面积，进一步计算即可. 【详解】（1）解：如图，连接， 根据平移的性质可知，， ∵△ABC的周长为16， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． （2）解：如图，作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴△ABC所扫过面积即梯形的面积， 则， 解得：． 答：a的值为． 17．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为，，． (1)将△ABC先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到，请画出，且点、、的对应点分别是点、、； (2)若点与点关于点成中心对称．请写出点的坐标． 【答案】(1)作图见解析(2)． 【分析】本题主要考查了平移作图，关于原点对称的点的特征， 对于（1），将三个顶点向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，然后依次连接可得，最后根据图形得出坐标即可； 对于（2），根据关于两个点关于原点对称的特征解答即可． 【详解】（1）解：如图所示，点； （2）解：． ∵点与点关于原点中心对称， ∴点． 18．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，直线，点、分别在直线、上（自左向右分别为点、、和点、、），，射线自射线的位置开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，同时，射线自射线开始以每秒的速度绕点沿逆时针方向旋转，当射线旋转到的位置时，两者均停止运动，设旋转时间为秒． (1)如图1，直接写出下列答案： ①的度数是________________； ②当旋转时间_______________秒时，射线过点． (2)如图2，若，求此时对应的旋转时间的值． (3)若两条射线和所在直线交于点， ①如图3，若点在与之间，求的度数（用含的代数式表示）； ②若射线在的左侧，当时，求的值． 【答案】(1)①  ②(2)秒(3)①  ② 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题． （1）①根据两直线平行，同旁内角互补，从而得到结果； ②由的度数列出方程，得到结果； （2）由，得到内错角相等，再利用三角形内角和，求出结果； （3）①由的内角和得到方程，求得结果， ②注意要根据题意，画出图形，结合条件，利用的内角和，求得结果. 【详解】（1）解：①， ， 故答案为： ； ②∵射线自射线开始以每秒的速度绕点沿逆时针方向旋转， ∴当秒后，过点时，旋转了， ∴此时， ， ， 故答案为：； （2）解：∵射线自射线的位置开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转， ∴设， ， ， 又∵射线自射线开始以每秒的速度绕点沿逆时针方向旋转， ∴当秒后，旋转了 即： ， ， ， ∴此时对应的旋转时间的值是秒； （3）解：① ∵根据题意有：， ， 在中，， ， ； ②∵的旋转速度要比的旋转速度快， ∴当射线在的左侧时，两条射线和所在直线交于点，如图所示， ， ， ， ， ， ∴在中，， 即：， ， ． 1 / 116 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【精准提分】专题05 图形的变换相关求解（苏科2024） 【10个基础题型+2个压轴题型】 【基础题型一】生活中的平移、轴对称、旋转现象 1 【基础题型二】利用平移的性质求解 6 【基础题型三】利用平移解决实际问题 13 【基础题型四】根据成轴对称图形的特征求解 17 【基础题型五】轴对称综合中光线反射问题 23 【基础题型六】找旋转中心、旋转角、对应点 27 【基础题型七】利用旋转的性质求解 32 【基础题型八】求旋转对称图形的旋转角度 37 【基础题型九】图形的变换中作图问题 42 【基础题型十】图形的变换综合解答题 58 【压轴题型十一】利用轴对称的性质求最值问题 65 【压轴题型十二】旋转综合中需要分类讨论的题型 78 【基础题型一】生活中的平移、轴对称、旋转现象 例题1（24-25七年级下·山西大同·期中）随着电影《哪吒之魔童闹海》的爆火，许多同学对动画设计产生了浓厚的兴趣．下列选项中，左边的图案通过平移能得到右边图案的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·云南昆明·一模）春节于2024年12月4日被列入世界非物质文化遗产名录，这标志着春节不仅是中国的重要传统节日，也是全球文化多样性的重要组成部分．下面与春节相关的剪纸图案中，是轴对称图形的为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级下·江苏南京·期中）电影《哪吒之魔童闹海》的热映，推动了我国国产动画电影发展，提升了中国文化影响力．对下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（   ） A．轴对称，平移，旋转 B．旋转，轴对称，平移 C．轴对称，旋转，平移 D．平移，旋转，轴对称 【变式1-3】（24-25九年级上·山西大同·期末）下列四幅体育比赛的图案在设计中用到旋转变换方式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-4】（24-25七年级上·上海·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．能够互相重合的两个图形成轴对称 C．“小明在荡秋千”属于旋转现象 D．“钟表的钟摆在摆动”属于平移现象 【变式1-5】（2025·甘肃·一模）《中庸》名句：“致中和，天地位焉，万物育焉．”由此可见，对称美自古以来就是华夏民族和谐平衡思想的体现．下列选项分别是甘肃省博物馆、白银市博物馆、天水市博物馆、平凉市博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【变式1-6】（24-25七年级下·浙江温州·期中）2025年是蛇年，下列蛇图形可以通过图平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-7】（23-24七年级下·四川遂宁·期末）下列现象可以看作数学中的平移的是（　　） A．瓶装饮料在传送带上移动 B．小朋友荡秋千 C．骑自行车时的轮胎滚动 D．“神舟”十八号宇宙飞船绕地球运动 【变式1-8】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）下列图标中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-9】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）2024年11月29日，中央电视台公布了2025年蛇年春晚主题“巳巳如意，生生不息”，设计了“巳巳如意纹”，以下四个如意纹样中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【基础题型二】利用平移的性质求解 例题2（24-25七年级下·浙江衢州·期中）如图，三角形沿所在的直线向右平移得到三角形，当，时，平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-1】（24-25八年级下·河北沧州·期中）在平面直角坐标系中，有一个五边形经过了一定的变化，大小和形状没有改变，那么这个五边形各顶点的坐标可能发生的变化是（   ） A．横、纵坐标分别乘 B．横坐标不变，纵坐标分别加 C．横坐标分别乘，纵坐标分别乘 D．横坐标加，纵坐标分别乘 【变式2-2】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）如图，将三角形沿方向平移，得到三角形，点的对应点分别为点．若．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）如图，将直角三角形沿边的方向平移到三角形的位置，若，，则点与点的距离为（   ） A．8 B．4 C．6 D．3 【变式2-4】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，△ABC沿射线方向平移到（点在线段上），若，，则平移距离为（　　） A． B． C． D． 【变式2-5】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，面积为的△ABC以每秒的速度沿射线方向平移，平移2秒后所得图形是（点在线段上），若，则图中的四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2-6】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形△ABC沿着点B到点C的向平移到的位置．若∠B=90°，，，，则阴影部分的面积为（   ） A．22 B．24 C．26 D．28 【变式2-7】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，将直角△ABC沿边的方向平移到的位置，连结，若，，则的长为（   ） A．3 B． C．4 D． 【变式2-8】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，将三角形沿边向右平移得到三角形，已知四边形的周长为，那么三角形的周长为 ． 【变式2-9】（24-25七年级下·广东珠海·期中）如图，将三角形沿着射线方向平移，得到三角形，已知，，，则四边形的周长为 ． 【变式2-10】（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，将直角梯形沿直线的方向平移到梯形的位置，其中，，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式2-11】（24-25七年级下·江西南昌·期中）如图，两个相同的四边形重叠在一起，将其中一个四边形沿方向平移长，，，，则下列关于阴影部分面积为 ． 【基础题型三】利用平移解决实际问题 例题3（24-25七年级下·河北承德·期中）如图，在一块长、宽的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移就是它的右边线，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式3-1】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）2025年2月11日，我国在文昌航天发射场使用长征八号甲运载火箭，成功将卫星互联网低轨02组卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功，标志着我国新一代运载火箭家族再添新丁．丞丞有幸观看火箭点火起飞的过程，他想到了所学的数学知识“平移”，他把火箭抽象成几何图形，如图，火箭总长约米，若起飞过程中约为85米，则的长约是（   ） A．14米 B．16米 C．34．5米 D．69米 【变式3-2】（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的右边线向左平移就是它的左边线，则这块草地的绿地面积是（    ）（单位：） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图所示，某商场重新装修后，准备在门前台阶上铺设地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米60元，其台阶的尺寸如图所示，则购买地毯至少需要（    ） A．298元 B．288元 C．287元 D．297元 【变式3-4】（24-25七年级下·广东中山·期中）如图，在长，宽的长方形草坪上建有两条等宽的弯曲小路，把草坪分成了4部分．若每条小路的宽度为，则草坪的面积为 ． 【变式3-5】（24-25七年级下·重庆长寿·期中）如图所示，准备在楼梯上铺上红地毯，已知这种地毯每平方米售价为100元，楼梯宽5米，其侧面如图所示，则购买这种地毯至少需要 元． 【变式3-6】（24-25七年级下·北京·期中）如图（1），在长为，宽为的一块草坪上修了一条宽的笔直小路，现为了增加美感，把这条小路改为宽恒为的弯曲小路如图（2），草地部分的面积 （填“变大”或“不变”或“变小”）． 【基础题型四】根据成轴对称图形的特征求解 例题4（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，则线段的长为 ． 【变式4-1】（24-25七年级下·江苏南京·期中）圆是最美的对称图形之一．将圆竖直位置的直径向左移动，水平位置的直径向下移动，把圆分成如图所示的四个部分，其中①②③④的面积分别记为，则 ． 【变式4-2】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）如图，点在内，点、分别是点关于，的对称点，分别交，于点，．若的周长是，则的长是 ． 【变式4-3】（23-24七年级下·全国·期末）如图，与关于直线对称，E，F是线段上的任意两点，若，，则图中阴影部分的面积是 ． 【变式4-4】（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，所在直线是△ABC的对称轴，点是上的两点，已知图中阴影部分的面积为9，则△ABC的面积为 ． 【变式4-5】（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，内一点，，分别是关于、的对称点，交于点，交于点．若的周长是，则的长为 ． 【变式4-6】（24-25八年级上·重庆铜梁·期中）如图，点P在内部，E，F分别是点P关于直线的对称点．若，则的度数为 ． 【变式4-7】（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，已知△ADE与△BDE关于直线对称，△BDE与关于直线对称，点A，D，C在同一条直线上，则 ． 【基础题型五】轴对称综合中光线反射问题 例题5（24-25九年级下·辽宁铁岭·期中）如图，镜面与水平桌面的夹角，光线经平面镜反射到水平天花板，与反射光线的夹角，则光线与天花板所形成的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2023·河南信阳·模拟预测）如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图所示，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【变式5-3】（2023·河北衡水·模拟预测）如图，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（    ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【变式5-4】（2024·四川达州·模拟预测）如图，两条平行直线a，b，从点光源M射出的光线射到直线a上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线b上的B点，当这束光线继续从B点反射出去后，反射光线与直线b所夹锐角的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式5-5】（2024·河南平顶山·三模）光的反射定律为：入射光线、反射光线和法线(垂直于反射面的直线)都在同一平面内，且入射光线和反射光线分别位于法线的两侧，入射光线与法线的夹角入射角等于反射光线与法线的夹角反射角，兴趣小组想让太阳光垂直射入水井，运用此原理，如图，在井口放置一面平面镜以改变光的路线，当太阳光线与水平线的夹角时，要使太阳光线经反射后刚好竖直射入井底即，则调整后平面镜与水平线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【基础题型六】找旋转中心、旋转角、对应点 例题6（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，将绕点按顺时针方向旋转后得到，点、的对应点分别为点、，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，在等边三角形网格中，以某个格点为旋转中心，将旋转，得到，则旋转中心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式6-2】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，在△ABC中，，将△ABC绕点C旋转得到．若点B、C、D在同一条直线上，则旋转方向和旋转角可能是（     ） A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针， 【变式6-3】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，将（其中）绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使得点C、A、在同一条直线上，那么旋转角等于（   ） A． B． C． D． 【变式6-4】（23-24七年级上·河北秦皇岛·期末）如图，点A、B、C、D、O都在网格的格点上，三角形绕某点逆时针旋转到三角形的位置，下列说法正确的是（   ） A．旋转中心是O，旋转角是 B．旋转中心是O，旋转角是 C．旋转中心是C，旋转角是 D．旋转中心是C，旋转角是 【变式6-5】（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转一定的角度后得到，若，，则图中的旋转角的度数是 ． 【变式6-6】（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，在方格纸中，线段绕某个点旋转一定角度得到线段，其中点A的对应点是点C，则旋转中心是点 ． 【变式6-7】（23-24八年级下·河南平顶山·期中）如图，在△ABC中，，，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点恰好是的中点：①点是旋转中心；②旋转角的度数是；③；④．正确的有 （填写序号） 【变式6-8】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，在△ABC中，，，，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点恰好成为的中点． (1)指出旋转中心，并求出旋转的度数； (2)求的长． 【基础题型七】利用旋转的性质求解 例题7（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，把一块含角的直角三角板沿边翻折得到，然后再沿边翻折得到，则可以由绕点旋转得到，那么的值为（   ） A．30 B．60 C．90 D．120 【变式7-1】（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转得到，若，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，△ABC中，，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到位置，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，将△ABC绕点B顺时针旋一定角度后，得到，此时点A、B、在同一条直线上，若，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式7-4】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，将△ABC绕点顺时针旋转得到．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式7-5】（24-25七年级下·江苏南京·期中）将绕点A按逆时针方向旋转得到．若，则 ． 【变式7-6】（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，直线相交于点，已知，平分．现将射线绕点逆时针旋转角得到，当时，的度数是 ． 【变式7-7】（24-25九年级上·重庆长寿·期末）如图，已知绕点顺时针方向旋转到，且点、、共线，交于点，若，时，则 ． 【基础题型八】求旋转对称图形的旋转角度 例题8（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图所示的剪纸图片旋转一定角度后与自身重合，则这个角度至少是（    ）    A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24八年级下·广东梅州·期末）如图，已知△ABC，点在直线上，，将△ABC绕点逆时针旋转到△ADE位置，点、点分别对应点、点，如果，那么 ．    【变式8-2】（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，点A在射线上，，若将绕点O按照顺时针旋转至处，则点的位置可以用表示，如图在射线上截取，接着将线段绕点O顺时针旋转至如图处，若点的位置可以表示为，则 ． 【变式8-3】（24-25九年级上·广西百色·期末）如图，五角星图案绕着它的中心O旋转后第一次与自身重合，则n的值为 ． 【变式8-4】（24-25九年级上·吉林松原·期末）如图，这个图案绕着它的中心旋转后能够与它本身完全重合，则的最小值为 ． 【变式8-5】（24-25九年级上·山西大同·期中）把正边形绕着它的中心旋转，所得的正边形与原正多边形重合，我们说这个正边形关于其中心有的旋转对称．下图是大同华严寺的木结构藻井，该藻井的图案可近似的看作旋转对称图形，则它的最小旋转角是 °． 【变式8-6】（24-25九年级上·吉林松原·期末）如图所示的图形绕着中心至少旋转 度后，能与原图形完全重合． 【变式8-7】（24-25七年级下·浙江温州·期中）将一个含角的直角三角板如图所示放置，点A，C分别在直线a和b上，已知，，则 度；将直线b绕着点C按逆时针方向旋转（），旋转后使得直线，则n的值是 ． 【基础题型九】图形的变换中作图问题 例题9（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点，已知△ABC的三个顶点都是格点，请按要求画出三角形． (1)将△ABC先上平移1个单位长度再向右平移2个单位长度，得到； (2)将绕格点O顺时针旋转，得到． 【变式9-1】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在一个的正方形网格中有一个△ABC，△ABC的顶点都在格点上． (1)在网格中画出△ABC向下平移4个单位，再向右平移6个单位得到的； (2)在网格中画出△ABC关于点P成中心对称得到的； (3)若可将绕点O旋转得到，请在正方形网格中标出点O； 【变式9-2】（24-25七年级下·江苏南京·期中）用无刻度的直尺作图：如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点均在小正方形的格点上． (1)将△ABC先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，画出； (2)将△ABC绕点顺时针旋转90度得到，画出； (3)第（2）问中的线段也可由第（1）问中的线段旋转得到，请作出其旋转中心． 【变式9-3】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，网格中每个小正方形边长为1，△ABC的顶点都在格点（网格线的交点）上，利用网格画图． (1)在图（1）中画出将△ABC先向上平移3格，再向左平移2格，得到的（点A的对应点为，点B的对应点为，点C的对应点为），线段扫过图形的面积为 ； (2)在图（2）中画出将△ABC绕点A逆时针旋转得到的（点B的对应点为，点C的对应点为），线段与线段的位置关系为 ． 【变式9-4】（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点，仅用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图①中画出△ABC向右平移4个单位后的图形（意标上字母）； (2)连接， 线段和的关系是 ； (3)在图②中画出△ABC绕点 B 顺时针旋转后的． 【变式9-5】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)平移△ABC到，其中点对应点为点，请画出； (2)以点O为旋转中心，将旋转得到，请画出． (3)已知与△ABC关于某点成中心对称，则该点为_______． 【变式9-6】（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都是格点． (1)将△ABC绕点A逆时针旋转得到； (2)作关于点O成中心对称的； (3)四边形的面积为______． 【变式9-7】（24-25八年级下·江西九江·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为． (1)画出△ABC绕点C逆时针旋转后的图形； (2)将先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到，画出； (3)若可以看作△ABC绕某点旋转得到，则旋转中心的坐标是__________． 【变式9-8】（24-25八年级下·江苏连云港·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，， (1)若与△ABC关于点成中心对称（点与点对应），试在图中画出． (2)将（1）中的绕点顺时针旋转得到，试在图中画出． 【变式9-9】（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一个三角板的三个顶点分别是，，． (1)操作与实践： ①步骤一：将三角板以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； ②步骤二：平移三角板，点的对应点的坐标为，画出平移后对应的． (2)应用与求解： 将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标________． 【变式9-10】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A．B．C．D均在格点（网格线的交点）上． (1)将△ABC先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到 ，请在图1中画出若连接，，那么，的关系是 ． (2)将△ABC绕点D按顺时针方向旋转，得到，请在图2中画出 ． 【变式9-11】（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图，△ABC是格点三角形（各顶点是网格线的交点），每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形． (1)将△ABC向右平移6个单位长度，画出平移后的； (2)将平移后的绕点顺时针旋转，画出旋转后的； (3)将△ABC沿直线翻折，画出翻折后的； (4)与成轴对称，请在图中画出对称轴，并用字母表示． 【基础题型十】图形的变换综合解答题 例题10（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，四边形纸片中，，，点是线段上一点，将纸片沿折叠，点的对应点为点，求的度数． 【变式10-1】（24-25七年级下·陕西延安·期中）如图，直线，直线与直线、分别交于点、，点是直线上一点，连接，将三角形沿着方向平移得到三角形，平分．求证：． 【变式10-2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，将△ABC沿着方向平移得到．已知，，，，交于点． (1)求线段的长和的大小． (2)求图中阴影部分的面积． 【变式10-3】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）△ABC的三边长分别为：，，， (1)求△ABC的周长（请用含有a的代数式来表示）； (2)若△ABC与成轴对称图形，其中点A与点D是对称点，点B与点E是对称点，，，求的值． 【变式10-4】（24-25七年级下·天津河东·期中）在直角梯形中，与为直角，，，将梯形沿着射线平移得到梯形，与交于点M，若，，求图中阴影部分的面积． 【变式10-5】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，四边形中，，，连接，将四边形绕着点逆时针旋转至四边形，使落在边上． (1)若，求的大小； (2)若，△ABC的周长为9，求的长． 【变式10-6】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，将△ABC逆时针旋转一定角度后得到，点D恰好为的中点． (1)若，指出旋转中心，并求出的值； (2)若，求的长． 【变式10-7】（2025八年级下·全国·期中）如图，点分别在长方形纸片的边上，连接．将对折，点落在直线上的点处，折痕为． (1)若，求的大小； (2)若，求的大小； (3)如图，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕，求的度数． 【变式10-8】（24-25七年级下·湖北十堰·期中）如图，在三角形中，∠B=90°，，．将三角形沿向右平移，得到三角形，与交于点，连接． (1)________，________； (2)若，，求图中阴影部分的面积； (3)已知点在三角形的内部，点经过相同平移后的对应点为，连接．若三角形的周长为，四边形的周长为，请直接写出的长度． 【压轴题型十一】利用轴对称的性质求最值问题 例题11（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，在直角三角形中，，，，，动点M在线段上运动（不与端点重合），点M关于边，的对称点分别为E，F，连接，点D在上，则在点M的运动过程中，线段长度的最小值是（   ） A． B． C．10 D． 【变式11-1】（24-25八年级上·福建南平·期中）如图所示，在四边形中，，，，，在上找一点，使的值最小，则的最小值为 ． 【变式11-2】（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，△ABC的面积为6，，平分，若M，N分别是上的动点，则的最小值为 ． 【变式11-3】（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，M为内部的一点．P、Q分别为边，上的动点，连接，，．已知，当的值最小时， ． 【变式11-4】（24-25八年级上·青海海东·期末）如图，正方形的边长为4，M是中点，N是中点，P是对角线上一个动点，则的最小值为 ． 【变式11-5】（23-24七年级下·广东揭阳·期末）如图，中，垂直于点B，且，在直线上方有一动点M满足，则点M到C、D两点距离之和最小时， 度． 【变式11-6】（24-25八年级上·湖北黄石·期末）如图，在直角△ABC中，，，，，D、E、F分别是、、边上的动点，则的最小值是 ． 【变式11-7】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，，点分别在射线上，，的面积为3，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为 ． 【变式11-8】（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，△ABC的面积是6，，D、E分别是上的动点，连接，则的最小值是 ． 【变式11-9】（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，，点分别在射线上，，，点P是直线上的一个动点，点P关于的对称点为，点P关于的对称点为，连接、、，当点P在直线上运动时，则面积的最小值是 ． 【变式11-10】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，，点M、N分别在射线上，，的面积为12，点P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，当点P在直线上运动时， ，的面积最小值为 ．    【压轴题型十二】旋转综合中需要分类讨论的题型 例题12（24-25七年级下·江苏无锡·期中）将一副三角板如图放置，点、重合，点在上，与交于点．，，，现将图中的△ABC绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，△ABC恰有一边与平行的时间为（   ） A．1秒或9秒 B．9秒或11秒 C．1秒或3秒或9秒 D．3秒或9秒或11秒 【变式12-1】（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如图，一副三角板有公共顶点C，且与重合，其中，，，将三角板绕点C逆时针旋转一周，当直线与直线互相平行时，三角板旋转的度数为 ． 【变式12-2】（24-25七年级下·山东菏泽·期中）如图，直线，一副三角板按如图1摆放，其中，，．保持三角板不动，现将三角板绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且，则经过 秒边与直角边平行． 【变式12-3】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）一副直角三角板如图（1）摆放在直线上，（直角三角板和直角三角板，，，，），如图（2）保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，当与射线重合时停止旋转．在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，此时等于 （写出所有可能的t的值）． 【变式12-4】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在直角△ABC中，，，，，将△ABC绕点顺时针旋转，点、的对应点分别是、，若点为线段的中点，点为线段上一动点．则在旋转过程中，线段的最小值为 ． 【变式12-5】（24-25七年级下·湖南长沙·期中）将一副三角板中的两块直角三角板的顶点按如图方式放在一起，其中，，且、、三点在同一直线上．点在线段上，现将三角板绕点顺时针转动度，在转动过程中，若△ABC的边平行于的某一条边时，则此时转动的角度为 ． 【变式12-6】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，将木条与c钉在一起，，木条a以每秒2°的速度绕点A顺时针方向旋转一周，当木条a与b垂直时，旋转时间为 秒． 【变式12-7】（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放，其中，，，，含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点顺时针转动（转动角度小于），当与三角尺的其中一条边所在的直线互相平行时，的度数是 ． 【变式12-8】（2025七年级下·全国·期中）将一副直角三角板按如图①所示的方式叠放，现将含角的直角三角板绕顶点A顺时针旋转，使两块直角三角板至少有一组边互相平行．如图②，当时，，则其他所有符合条件的的度数为 ． 【变式12-9】（24-25七年级上·上海徐汇·期末）如图，在中，点在边上，，，，，将绕着点旋转，使得点的对应点落在边上，点、的对应点分别是点，则的面积等于 ． 【变式12-10】（24-25九年级上·河南安阳·期中）如图，在△ABC中，，△ADE是直角三角形，，，且边与重合，将△ADE绕点A以每秒顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 秒时，边与边平行． 【变式12-11】（23-24八年级上·浙江宁波·期中）两块不同的三角板按如图1所示摆放，边重合，，将三角板绕着点C按顺时针以每秒的速度旋转后停止．在此旋转过程中，当旋转时间 秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行． 【变式12-12】（23-24七年级下·浙江台州·期中）如图，现将一副三角尺摆放在一起，重合的顶点为A点，固定含的三角尺不动，将含的三角尺绕顶点A转动，当点E在直线的下方时，使三角尺中的边与三角尺ABC的一边平行，则（）可能符合条件的度数为 ． 1．（2025·广东广州·一模）剪纸艺术，作为我国最古老的民间手工技艺之一，承载着千年农耕文明的智慧与美学．下列剪纸图案中，轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山东泰安·期中）把一张长方形的纸按照如图所示折叠，点落在处，点在边上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，是用长方形纸片折纸飞机的操作顺序，最后一个图形中所有线条均在同一平面上时，折痕、与飞机头的夹角的度数是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，所在直线是的对称轴，点，是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠，点恰好落在边上的点处，点落在点处．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，△ABC与关于直线l对称，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025·河南漯河·一模）如图，设计的字母“”是一个轴对称图形，设计线条之间互相平行．已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，平移距离为6，则阴影部分面积为（   ） A．60 B．48 C．36 D．24 9．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在倍关系，则不可能的值为（ ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落在点处，若，则的度数为 ． 11．（24-25七年级下·河南平顶山·期中）如图，把一张长方形纸片沿折叠，使B点落在处，若，应为 时才能使． 12．（24-25七年级下·上海·期中）如图，长方形的四个内角都是，点在上，将沿翻折得到，点与点对应，如果比大，那么 ． 13．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，将长方形纸片沿向下折叠后，点分别落在的位置，再沿边将向上折叠至处，若，则 ． 14．（24-25七年级下·山西太原·期中）如图1，一张透明的正方形纸片上有线段和点，小明依次按照图2、图3的方法折叠，展开后如图4所示，其中过点的折痕与平行，判断的依据是 ． 15．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图所示的中，，，，点、在直线上，将绕着点顺时针旋转到位置①得到直线上的点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②得到直线上的点，按此规律旋转至点，则= ． 16．如图，将△ABC沿直线向右平移a个单位到的位置． (1)连接，当△ABC的周长为16，时，求四边形的周长； (2)已知△ABC的面积为12，．当△ABC所扫过的面积为18时，求a的值． 17．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为，，． (1)将△ABC先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到，请画出，且点、、的对应点分别是点、、； (2)若点与点关于点成中心对称．请写出点的坐标． 18．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，直线，点、分别在直线、上（自左向右分别为点、、和点、、），，射线自射线的位置开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，同时，射线自射线开始以每秒的速度绕点沿逆时针方向旋转，当射线旋转到的位置时，两者均停止运动，设旋转时间为秒． (1)如图1，直接写出下列答案： ①的度数是________________； ②当旋转时间_______________秒时，射线过点． (2)如图2，若，求此时对应的旋转时间的值． (3)若两条射线和所在直线交于点， ①如图3，若点在与之间，求的度数（用含的代数式表示）； ②若射线在的左侧，当时，求的值． 1 / 116 学科网（北京）股份有限公司 $$