精品解析：2025年辽宁省铁岭市部分县校中考二模数学试题

二O二五年中学生能力训练 数学冲刺练习 ※考试时间120分钟 满分120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 如图所示的几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据三视图可得，这个图形的左视图为两个矩形合在一起的一个大矩形． 故选：D 【点睛】本题考查三视图． 2. 如图，检测排球，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，下面检测过的四个排球，在其上方标注了检测结果，其中质量最接近标准的一个是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知：质量最接近标准的排球就是检测结果的绝对值最小的． 【详解】解：由题意得：四个排球质量偏差的绝对值分别为：， 绝对值最小的为，最接近标准． 故选． 【点睛】此题主要考查了正数和负数，本题的解题关键是求出检测结果的绝对值，绝对值越小的数越接近标准． 3. 据统计，2020年上半年，全国铁路累计运送货物达1690000000t，数据1690000000用科学记数法表示为（　　） A. 169×107 B. 1.69×108 C. 1.69×109 D. 0.169×1010 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【详解】解：1690000000＝1.69×109． 故选：C． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4. 如图，ABCD，AD⊥AC，∠BAD＝35°，则∠ACD＝（ ） A. 35° B. 45° C. 55° D. 70° 【答案】C 【解析】 【分析】由平行线的性质可得∠ADC＝∠BAD＝35°，再由垂线的定义可得△ACD是直角三角形，进而根据直角三角形两锐角互余的性质即可得出∠ACD的度数． 【详解】∵AB∥CD，∠BAD=35°， ∴∠ADC＝∠BAD＝35°， ∵AD⊥AC， ∴∠ADC+∠ACD＝90°， ∴∠ACD＝90°﹣35°＝55°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；熟练掌握平行线的性质是解题关键． 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的运算，乘法公式，合并同类项，先根据“同底数幂相除，底数不变，指数相减”判断A，再根据单项式乘以单项式计算判断B，然后根据平方差公式计算判断C，最后根据“合并同类项法则”计算判断D． 【详解】因为，所以A不正确； 因为，所以B正确； 因为，所以C不正确； 因为，所以D不正确． 故选：B． 6. 如图，电路上有，，，四个断开的开关和一个正常的小灯泡L，将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列举法求事件的概率，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由题意可得出所有等可能的结果数以及能让灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将这些开关随机闭合至少两个，所有等可能的结果有： 闭合两个的情况有：，，，，，，，，，，，， 闭合三个的情况有：，，，，，，，，，，，， 闭合四个的情况有：，，，， 故这些开关随机闭合至少两个共11种， 其中能让灯泡发光的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共9种， 将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为． 故选：D． 7. 蝴蝶颜色炫丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美，如图，蝴蝶图案关于y轴对称，点M的对应点为．若点M的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的性质，熟练掌握关于轴对称的点的坐标的特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，是解题的关键．根据关于轴对称的点的坐标的特点，即可得出答案． 【详解】解：点M的坐标为，则点的坐标为． 故选：A． 8. 已知，点P为上一点，用尺规作图，过点P作的平行线．下列作图痕迹不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图．作一个角等于已知角，作一个角的平分线，平分线的判定，菱形的判定和性质，据此判断即可． 【详解】解：A、由作图知，是的平分线，且， ∴，， ∴， ∴，故本选项不符合题意； B、由作图知，是的平分线，且， ∴，，不能说明与相等， ∴与不平行，故本选项符合题意； C、由作图知，， ∴四边形是菱形， ∴，故本选项不符合题意； D、由作图知，， ∴，故本选项不符合题意； 故选：B． 9. 如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，的面积为5，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到两边距离相等成为解题的关键． 如图：过D作垂足为F，由三角形面积公式可得，然后再根据角平分线的性质即可解答． 【详解】解：如图：过D作垂足为F， ∵的面积为5， ∴,即，解得：, ∵平分交于点D，，， ∴． 故选B． 10. 在矩形中，对角线相交于点O，的角平分线交于点E，若，则用表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查矩形的性质．根据矩形的性质得出，进而利用角平分线的定义和等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵的角平分线交于点E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 二、选择题（每题3分，共15分） 11. 分解因式：__． 【答案】## 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式因式分解即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了提公因式法和平方差公式，掌握是解题的关键． 12. 第一象限内有两点，将线段平移使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是________________． 【答案】或 【解析】 【分析】设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′．分两种情况进行讨论：①P′在y轴上，Q′在x轴上；②P′在x轴上，Q′在y轴上． 【详解】解：设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′． 分两种情况： ①P′在y轴上，Q′在x轴上， 则P′横坐标为0，Q′纵坐标为0， ∵0-（n-2）=-n+2， ∴n-n+2=2， ∴点P平移后的对应点的坐标是（0，2）； ②P′在x轴上，Q′在y轴上， 则P′纵坐标为0，Q′横坐标为0， ∵0-m=-m， ∴m-3-m=-3， ∴点P平移后的对应点的坐标是（-3，0）； 综上可知，点P平移后的对应点的坐标是（0，2）或（-3，0）． 故答案为（0，2）或（-3，0）． 【点睛】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 13. 若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是_________°． 【答案】120 【解析】 【详解】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2=4π（cm）， 设圆心角的度数是n度． 则=4π， 解得：n=120． 故答案为120． 14. 在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则的值是____________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据正比例函数和反比例函数的图像关于原点对称，则交点也关于原点对称，即可求得 【详解】一次函数与反比例函数的图象交于，两点， 一次函数与反比例函数的图象关于原点对称， 故答案为：0 【点睛】本题考查了正比例函数和反比例函数图像的性质，掌握以上性质是解题的关键． 15. 如图，矩形中，，，对角线的垂直平分线交于点、交于点，则线段的长为 __． 【答案】##7.5 【解析】 【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出BD，证明△BOF∽△BCD，根据相似三角形的性质得到比例式，求出EF即可． 【详解】解：如图： 四边形是矩形， ，又，， ， 是的垂直平分线， ，，又， ， ， ， 解得，， 四边形是矩形， ，， ， 是的垂直平分线， ，， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，掌握矩形的四个角是直角、对边相等以及线段垂直平分线的定义是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）先化简，再从中选一个你认为合适的数作为的值代入求值． 【答案】（1）（2）， 【解析】 【分析】（1）根据非零数的零次幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质，绝对值的性质进行运算即可； （2）根据分式的性质，分式混合运算法则，代入求值即可． 【详解】解：（1） ； 解：（2） ，且， ∴， ∴原式． 【点睛】本题主要考查实数的运算，分式的运算，掌握实数的运算法则，分式的化简求值，分式的混合运算法则，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 17. 为了保护绿水青山，某景区从大门A处仅设置乘环保车、乘船两种交通方式到景点B，乘车需要30分钟到达，乘船需要24分钟到达．已知每隔2分钟发一辆车，每辆车最多坐40人；每隔12分钟发一艘船，每艘船最多坐300人． （1）如果第一辆车与第一艘船同时从大门A出发，设第a辆车到达景点B时，第b艘船恰好也到达景点B，求a与b的关系式； （2）现有3100名游客在大门A处，开始时，车与船同时出发，最后将全部游客送到景点B处时，所需的最短时间是多少分钟？ 【答案】（1） （2）94分钟 【解析】 【分析】（1）根据第辆车到达景点B时，第b艘船恰好也到达景点B，列出等量关系式，然后化简即可； （2）设需要x艘船，根据题意列出不等式组，求出解集，选出合适的整数值，最后计算出剩下的人分别用车和船的费用，比较大小即可； 【小问1详解】 解：由题意可得 ， 化简，得， 即a与b的关系式是． 【小问2详解】 解：设需要x艘船， 由（1）知，当所需要的车的辆数为时，车与船同时到达景点B， 则 解得， ∵x为整数， ∴， ∴， 此时剩余游客的人数为． ∵， ∴若用船送剩余游客，则船的数量为（艘），所需时间为（分钟）， 若用车送剩余游客，则车的数量为（辆），所需时间为（分钟）． ∵， ∴用6艘船和33辆车送全部游客到达景点B所需时间最短，最短为94分钟． 【点睛】本题考查了列代数式、一元一次不等式组的应用等知识点，根据题意列出关系式是解题关键． 18. 巴中某商场在6月份举行了“年中大促，好物网罗”集赞领礼品活动．为了解参与活动顾客的集赞情况，商场从参与活动的顾客中，随机抽取28名顾客的集赞数，调查数据如下（单位：个）：36，26，29，38，48，59，48，52，43，33，18，61，40，52，64，55，46，56，45，43，37，55，47，52，66，57，36，45 整理上面的数据得到如下频数分布表和频数分布直方图： 礼品类别 集赞数（a） 频数 一盒牙膏 2 一条毛巾 5 一提纸巾 m 一件牛奶 9 一桶食用油 n 回答下列问题： （1）求频数分布表中m，n的值，并补全频数分布直方图； （2）求以上28个数据的中位数和众数； （3）已知参加此次活动的顾客有364人，领到礼品为“一件牛奶”的顾客大约有多少人？ 【答案】 （1），，补全的频数分布直方图．如图所示： （2）中位数是，众数是52；（3）117人 【解析】 【分析】（1）将频数按组排序可得中有8个数据，可求，有4个数据，可求；补全的频数分布直方图．如图所示： （2）根据中位数定义可求中位数是46.5，根据众数的定义可求众数是52； （3）样本中礼品为“一件牛奶”的顾客有占样本的百分比，×参加此次活动的顾客有364人计算即可． 【详解】解：（1）将频数按组排序18，26;29，33，36，36，37;38，40，43，43，45，45, 46， 47; 48，48，52，52，52，55，55，56，57;59， 61， 64， 66， 中有8个数据,则， 有4个数据,则； 补全的频数分布直方图．如图所示： （2）一共有28个数据,根据中位数定义位于第14,15位两个数据分别为46,47平均数， ∴中位数是46.5， 根据众数的定义重复出现次数3次最多的数据是52， ∴众数是52； （3）样本中礼品为“一件牛奶”的顾客有9人，占样本的百分比， 参加此次活动的顾客有364人，领到礼品为“一件牛奶”的顾客大约有（人）． 答：领到礼品为“一件牛奶”的顾客大约有117人． 【点睛】本题考查频数，和补画频率直方分布图，中位数众数，用样本的百分比含量估计总体中的数量． 19. 红星工厂研发生产某种产品，成本为3万元/吨，每天最多能生产15吨．工厂为持续发展，尝试与博飞销售公司建立产销合作关系，双方约定：合作第一个月，工厂产品仅由博飞销售公司订购代销，并每天按博飞销售公司当日订购产品数量生产，当日出厂价格y（万元/吨）与当日订购产品数量x（吨）之间的关系如图所示： （1）直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）红星工厂按产销合作模式生产这种产品，设第一个y（万元/吨）月单日所获利润为w（万元）， ①求w（万元）与x（吨）的函数关系式； ②为响应国家“乡村振兴”政策，红星工厂决定，将合作第一个月中单日所获最大利润捐赠给附近村委会．试问：工厂这次为“乡村振兴”最多捐赠多少万元？ 【答案】（1）；（2）①w =；②工厂这次为“乡村振兴”最多捐赠15万元． 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，分当0≤x≤5时和当5＜x≤15时，分别求出函数解析式，即可； （2）①根据单日所获利润=当日订购产品数量×每个产品饿的利润，即可得到答案；②分两种情况，分别求出利润的最大值，进而即可求解． 【详解】解：（1）当0≤x≤5时，设函数关系式为：y=kx+b， 把（0，9），（5，4）代入上式，得，解得：， ∴y=-x+9， 当5＜x≤15时，y=4， 综上所述：； （2）①由题意得：w=(y-3)x=， ∴w =； ②当时，w =，此时x=3，w最大值=9， 当时，w =x，此时，x=15，w最大值=15， 综上所述：工厂这次为“乡村振兴”最多捐赠15万元． 【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的使劲应用，找出数量关系，列出函数解析式，是解题的关键． 20. 如图，为了测量河对岸，两点间的距离，数学综合实践小组在河岸南侧选定观测点，测得A，B均在的北偏东方向上，沿正东方向行走60米至观测点，测得在的北偏西方向上，在的北偏西方向上．求A，B两点间的距离是多少米（精确到个位）？（参考数据：，，，，，，） 【答案】42米． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确求出的长是解题的关键． 先求出，进而得到，解求出米，然后再解求出的长即可． 【详解】解：如图， ∵A，B均在的北偏东方向上，在的北偏西方向上， ∴， ∴， 在中，， ∴（米） ∵在的北偏西方向上，在的北偏西方向上， ∴， 在中，， ∴（米）； 答：A，B两点间的距离约为42米． 21. 如图，AB是⊙O的弦，直径于点E，延长CM到点D，连接AD、CB，使． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）若，且⊙O的半径是，求弦AB的长． 【答案】（1） 证明：连接OA，OB， 则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵AB是⊙O的弦，直径， ∴， ∴， ∴AD是⊙O的切线． （2）． 【解析】 【分析】（1）连接OA，OB，证明，由垂径定理可知：，即可知，即可证明AD是⊙O的切线； （2）设，，证明，利用相似的性质求出，由勾股定理可知：，即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，， 由垂径定理可知：CM垂直平分AB， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，， 解得：，（舍去）， 将x=1代入6x中，6x≠0， 故x=1是分式方程的根． ∴， 由勾股定理可知：， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定定理，垂径定理，相似三角形的判定及性质，勾股定理，是一道综合性较强的题目，需要掌握以上相关知识点并能够熟练应用． 22. 综合与实践 问题提出 某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板，）的一个顶点放在正方形中心处，并绕点逆时针旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）． 操作发现 （1）如图1，若将三角板的顶点放在点处，在旋转过程中，当与重合时，重叠部分的面积为_____；当与垂直时，重叠部分的面积为_____；一般地，若正方形面积为，在旋转过程中，重叠部分的面积与的关系为_____； 类比探究 （2）若将三角板的顶点放在点处，在旋转过程中，，分别与正方形的边相交于点M，N． ①如图2，当时，试判断重叠部分的形状，并说明理由； ②如图3，当时，求重叠部分四边形的面积（结果保留根号：）； 拓展应用 （3）若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心处，该锐角记为（设） 将绕点逆时针旋转，在旋转过程中，的两边与正方形的边所围成的图形的面积为，请直接写出图2和图3情况下的阴影面积（分别用含的式子表示）． 【答案】（1）1，1，； （2）①如图2中，结论：是等边三角形． 理由：过点O作， ∵O是正方形的中心， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； ②； （3）， 【解析】 【分析】（1）若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当与重合时，与重合，此时重叠部分的面积的面积=正方形的面积=1；当与垂直时，，重叠部分的面积=正方形的面积=1；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积与S的关系为．利用全等三角形的性质证明即可； （2）①结论：是等边三角形．证明，可得结论； ②如图3中，连接，过点O作于点J．证明，推出，解直角三角形求出，即可解决问题； （3）同（2）的方法解直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：当与重合时，与重合，如图所示， 重叠部分的面积； 当与垂直时，，如图所示， 重叠部分的面积； 一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积与S的关系为． 理由：设交于点J，交于点K，过点O作于点M，于点N．如图所示， ∵O是正方形的中心， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1，1，． （2）①略； ②如图3中，连接，过点O作于点J． ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图， ∵，，， ∴， ∵， ∴ ∴ 如图， 同（2）可得 ∴ ∴ ∴． 综上所述，，． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 23. 二次函数的图象交轴于原点及点． 感知特例 （1）当时，如图1，抛物线上的点，，，，分别关于点中心对称的点为，，，，，如下表： … （___，___） … … … ①补全表格； ②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为． 形成概念 我们发现形如（1）中的图象上的点和抛物线上的点关于点中心对称，则称是的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线的“孔像抛物线”． 探究问题 （2）①当时，若抛物线与它的“孔像抛物线”的函数值都随着的增大而减小，则的取值范围为_______； ②在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数的所有“孔像抛物线”，都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是______．（填“”或“”或“”或“”，其中）； ③若二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值． 【答案】（1）①2，0； ②描点，连线，得到的图象如图所示： （2）①； ②； ③m=1． 【解析】 【分析】（1）①根据中心对称的定义求解即可；②根据表格，描点，连线即可； （2）①画出草图，利用数形结合思想即可求解；②结合（1）②的图象以及（2）①的图象即可回答；③根据“孔像抛物线”的性质求得图象L的顶点为，则图象L′的顶点为 (3m，)，再根据题意即可求解． 【详解】（1）∵点B(-1，3)与点B′(5，-3)关于点A中心对称， ∴点A的坐标为(，)，即A(2，0)， 故答案为：2，0； ②略 （2）①当m=−1时，抛物线L为，对称轴为， 它的“孔像抛物线”L′的解析式为，对称轴为， 画出草图如图所示： ∴抛物线L与它的“孔像抛物线”L′的函数值都随着x的增大而减小， 则x的取值范围为：； ②画出草图， 由图象知，这条抛物线的解析式只能是； 故答案为：； ③L：，设顶点为，过点P作PM⊥轴于点M，“孔像抛物线”的顶点为，过点作⊥x轴于点， 由题意可知△PMA≌△A， 得 (3m，0)，所以 (3m，)， ∵抛物线L及“孔像抛物线”与直线y=m有且只有三个交点， ∴=m或=m， 解得m=1或0， 当m=0时，与只有一个交点，不合题意，舍去， ∴m=1． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质，数形结合并熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二O二五年中学生能力训练 数学冲刺练习 ※考试时间120分钟 满分120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 如图所示的几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，检测排球，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，下面检测过的四个排球，在其上方标注了检测结果，其中质量最接近标准的一个是（　　） A. B. C. D. 3. 据统计，2020年上半年，全国铁路累计运送货物达1690000000t，数据1690000000用科学记数法表示为（　　） A. 169×107 B. 1.69×108 C. 1.69×109 D. 0.169×1010 4. 如图，ABCD，AD⊥AC，∠BAD＝35°，则∠ACD＝（ ） A. 35° B. 45° C. 55° D. 70° 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，电路上有，，，四个断开的开关和一个正常的小灯泡L，将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 蝴蝶颜色炫丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美，如图，蝴蝶图案关于y轴对称，点M的对应点为．若点M的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，点P为上一点，用尺规作图，过点P作的平行线．下列作图痕迹不正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，的面积为5，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 10. 在矩形中，对角线相交于点O，的角平分线交于点E，若，则用表示为（　　） A. B. C. D. 二、选择题（每题3分，共15分） 11. 分解因式：__． 12. 第一象限内有两点，将线段平移使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是________________． 13. 若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是_________°． 14. 在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则的值是____________． 15. 如图，矩形中，，，对角线的垂直平分线交于点、交于点，则线段的长为 __． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）先化简，再从中选一个你认为合适的数作为的值代入求值． 17. 为了保护绿水青山，某景区从大门A处仅设置乘环保车、乘船两种交通方式到景点B，乘车需要30分钟到达，乘船需要24分钟到达．已知每隔2分钟发一辆车，每辆车最多坐40人；每隔12分钟发一艘船，每艘船最多坐300人． （1）如果第一辆车与第一艘船同时从大门A出发，设第a辆车到达景点B时，第b艘船恰好也到达景点B，求a与b的关系式； （2）现有3100名游客在大门A处，开始时，车与船同时出发，最后将全部游客送到景点B处时，所需的最短时间是多少分钟？ 18. 巴中某商场在6月份举行了“年中大促，好物网罗”集赞领礼品活动．为了解参与活动顾客的集赞情况，商场从参与活动的顾客中，随机抽取28名顾客的集赞数，调查数据如下（单位：个）：36，26，29，38，48，59，48，52，43，33，18，61，40，52，64，55，46，56，45，43，37，55，47，52，66，57，36，45 整理上面的数据得到如下频数分布表和频数分布直方图： 礼品类别 集赞数（a） 频数 一盒牙膏 2 一条毛巾 5 一提纸巾 m 一件牛奶 9 一桶食用油 n 回答下列问题： （1）求频数分布表中m，n的值，并补全频数分布直方图； （2）求以上28个数据的中位数和众数； （3）已知参加此次活动的顾客有364人，领到礼品为“一件牛奶”的顾客大约有多少人？ 19. 红星工厂研发生产某种产品，成本为3万元/吨，每天最多能生产15吨．工厂为持续发展，尝试与博飞销售公司建立产销合作关系，双方约定：合作第一个月，工厂产品仅由博飞销售公司订购代销，并每天按博飞销售公司当日订购产品数量生产，当日出厂价格y（万元/吨）与当日订购产品数量x（吨）之间的关系如图所示： （1）直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）红星工厂按产销合作模式生产这种产品，设第一个y（万元/吨）月单日所获利润为w（万元）， ①求w（万元）与x（吨）的函数关系式； ②为响应国家“乡村振兴”政策，红星工厂决定，将合作第一个月中单日所获最大利润捐赠给附近村委会．试问：工厂这次为“乡村振兴”最多捐赠多少万元？ 20. 如图，为了测量河对岸，两点间的距离，数学综合实践小组在河岸南侧选定观测点，测得A，B均在的北偏东方向上，沿正东方向行走60米至观测点，测得在的北偏西方向上，在的北偏西方向上．求A，B两点间的距离是多少米（精确到个位）？（参考数据：，，，，，，） 21. 如图，AB是⊙O的弦，直径于点E，延长CM到点D，连接AD、CB，使． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）若，且⊙O的半径是，求弦AB的长． 22. 综合与实践 问题提出 某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板，）的一个顶点放在正方形中心处，并绕点逆时针旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）． 操作发现 （1）如图1，若将三角板的顶点放在点处，在旋转过程中，当与重合时，重叠部分的面积为_____；当与垂直时，重叠部分的面积为_____；一般地，若正方形面积为，在旋转过程中，重叠部分的面积与的关系为_____； 类比探究 （2）若将三角板的顶点放在点处，在旋转过程中，，分别与正方形的边相交于点M，N． ①如图2，当时，试判断重叠部分的形状，并说明理由； ②如图3，当时，求重叠部分四边形的面积（结果保留根号：）； 拓展应用 （3）若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心处，该锐角记为（设） 将绕点逆时针旋转，在旋转过程中，的两边与正方形的边所围成的图形的面积为，请直接写出图2和图3情况下的阴影面积（分别用含的式子表示）． 23. 二次函数的图象交轴于原点及点． 感知特例 （1）当时，如图1，抛物线上的点，，，，分别关于点中心对称的点为，，，，，如下表： … （___，___） … … … ①补全表格； ②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为． 形成概念 我们发现形如（1）中的图象上的点和抛物线上的点关于点中心对称，则称是的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线的“孔像抛物线”． 探究问题 （2）①当时，若抛物线与它的“孔像抛物线”的函数值都随着的增大而减小，则的取值范围为_______； ②在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数的所有“孔像抛物线”，都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是______．（填“”或“”或“”或“”，其中）； ③若二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $