精品解析：青海省海东市2024-2025学年高三下学期5月模拟预测数学试题

高三数学试卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4. 本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的乘法运算和复数的模的运算计算可得答案. 【详解】因为，所以. 故选：D. 2. 现有一组数据1.3，1.2，1.2，1.4，1.6，1.3，1.1，则这组数据的分位数为（ ） A. 1.2 B. 1.3 C. 1.4 D. 1.6 【答案】B 【解析】 【分析】由百分位数的计算公式求解即可. 【详解】从小到大排序：1.1 1.2 1.2 1.3 1.3 1.4 1.6， ， 所以第60百分位数为第五个数1.3， 故选：B 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据集合的交集定义即可求解. 【详解】由题意得，所以. 故选：B. 4. 若小林某天选择自驾、乘坐地铁去上班的概率分别为0.8，0.2，且自驾、乘坐地铁去上班不迟到的概率分别为0.7，0.9，则小林这天去上班不迟到的概率为（ ） A. 0.82 B. 0.74 C. 0.86 D. 0.78 【答案】B 【解析】 【分析】依据全概率公式计算可得. 【详解】根据题意可得小林这天去上班不迟到的概率为. 故选：B. 5. 已知函数，若数列满足，则是（ ） A. 等差数列 B. 等比数列 C. 递减数列 D. 常数列 【答案】A 【解析】 【分析】由指数函数的单调性及等差数列的定义即可得到答案. 【详解】由，得， 因为函数在上单调递增，所以，，所以是等差数列. 故选：A. 6. 定义：，其中为向量的夹角.若，则（ ） A. 8 B. 16 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由，结合同角三角函数式即可求解. 【详解】 因为，所以. 故选：B. 7. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过点的直线与交于异于左、右顶点的两点.若是以为斜边的直角三角形，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由勾股定理分别表示出，利用椭圆定义得到的关系，从而得到，在中，由勾股定理得到之间的关系即为离心率. 【详解】 设，则，， 所以，解得， 则，. 在中，，即， 解得. 故选：D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由，得，再由即可求解. 【详解】 ， 由，得，则， . 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设公比为的等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. 或 D. 为递增数列 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式求出和，分和两种情况讨论，得到答案. 【详解】，， 所以，解得或，A错误； 当时，，，，； 当时，，，，. 综上可得是递增数列，BCD正确. 故选：BCD. 10. 已知函数的最小正周期为12，且其图象与y轴交于点，则（ ） A. B. C. 图象的对称轴方程为 D. 在上的值域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据周期得到，根据得到，从而确定的解析式，再根据余弦函数的对称轴求出的对称轴，根据余弦函数的值域求得在上的值域. 【详解】由，得，B正确； ，得.因为，所以，A错误； ，令，得， 则图象的对称轴方程为，C正确； 由，得，，则，D正确； 故选：BCD. 11. 对于任意的，函数满足，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】令可判断A选项；令可判断B选项； 由，令可判断C选项，再利用，即可判断D选项. 【详解】令，得，解得，故A正确； 令，得，即， 因为，，所以，故B错误； 因，则， 令，则，故C正确； 又，， 则，故D正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中含的项的系数为______. 【答案】 【解析】 【分析】由二项式的通项公式得，令得含的项的系数. 【详解】的通项公式， 令得， 所以展开式中含的项的系数为. 故答案为：. 13. 已知是双曲线的右焦点，是右支上一点，若点，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设的左焦点为，根据双曲线的定义可得，即可得解. 【详解】双曲线的右焦点， 设的左焦点为，则， 因为是右支上一点，所以， 所以， 当三点共线（在之间）时取等号，故的最小值为. 故答案为： 14. 《九章算术•商功》中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.在堑堵中，，，则堑堵体积的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由棱柱的体积公式结合基本不等式的推论即可求解. 【详解】 由题意，则，令， 由，得， 堑堵体积， 当且仅当，即时取等号， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为，. （1）证明：是与的等差中项； （2）若，且，求的值. 【答案】（1）由，得， 即，所以，即， 所以是与的等差中项. （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理得到，从而，从而是与的等差中项； （2）利用正弦定理得，结合得到，利用余弦定理求出，进而得到，从而得到的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，得. 若，则由（1）可得，所以，， 则， 因为，所以. 故. 16. 在三棱台中，底面，底面是以为斜边的等腰直角三角形，，为的中点. （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）取的中点，连接，. 在三棱台中，，因为， 所以，，所以四边形为平行四边形，则. 因为底面，所以底面， 又底面，所以. 因为为的中点，所以， 因为底面是以为斜边的等腰直角三角形， 所以，所以. 因为，平面，平面， 所以平面. 因为面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，可得，，根据线面垂直的判定定理得平面，再由线面垂直的性质定理得； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，从而得到两平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系. 根据题意不妨设，则，，， 则，. 设是平面的法向量， 由取. 同理可得是平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 17. 正比例手办是按照动漫角色的一定比例制作的手办，细节丰富，高度还原角色形象.已知某店内共有20个正比例手办，其中有8个正比例手办采用树脂材质制成，有12个正比例手办采用PVC材质制成，树脂材质的正比例手办中有2个是比例手办，6个是比例手办，PVC材质的正比例手办中有4个是比例手办，8个是比例手办.该店举行了一个抽奖活动，将这20个正比例手办编号为1，2，3，…20，盒子内有编号分别为1，2，3，…，20的20张小纸条，消费者抽到编号为的纸条即视为抽到编号为i的正比例手办，消费者一次性从盒子内随机抽取2张纸条，每位消费者只有一次机会. （1）记事件为“消费者小曲抽到的2个正比例手办的材质与比例均相同”，求； （2）若消费者抽到的2个正比例手办的材质与比例均不相同，则无奖励；若仅材质或仅比例相同，则奖励100元；若材质与比例均相同，则奖励200元.记消费者小曲获得的奖金金额为元，请写出的分布列及期望. 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 100 200 P 期望为【解析】 【分析】（1）由古典概型求得概率； （2）由古典概型分别得到的概率，从而得到分布列和数学期望. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 记事件为“消费者小曲抽到的2个正比例手办仅材质或仅比例相同”， 记事件为“消费者小曲抽到的2个正比例手办的材质与比例均不相同”， 则由（1）得，， ， 则的分布列为： 0 100 200 P 则. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围，并证明. 【答案】（1） 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增 （2）a的取值范围是. 证明：由，，可得，即， 所以. 要证，需证，令，即证. 设，则，即在上单调递减， 所以，即得. 【解析】 【分析】（1），分和两种情况讨论，分别得到单调区间； （2）由有两个零点得，从而得到的取值范围；根据得，从而将证明转化为证明，令，构造函数，在上单调递减，进而能够证明结论. 【小问1详解】 因为，所以. 当时，，所以在上单调递增； 当时，由，得， 因为在上，，在上，， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 有两个零点，不妨设， 由（1）得，且，解得，即a的取值范围是. 证明略. 19. 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形.已知抛物线的焦点为，（与不关于轴对称）是上两点，且三点共线，为阿基米德三角形，是抛物线在弦两端点处的两条切线的交点. （1）证明：点在的准线上； （2）证明：； （3）已知为坐标原点，与弦交于点，求的最小值. （附：抛物线以点为切点的切线方程为） 【答案】（1） 设，，因为三点共线，所以AB的方程为. 联立得，所以. 以A为切点的切线方程为，以B为切点的切线方程为， 两切线方程联立可得， 所以交点在的准线上. （2） 将代入，可得. 因为，所以，则点P的坐标为. 焦点，则， 所以，故. （3） 【解析】 【分析】（1）联立直线方程和抛物线方程可得，联立在处的切线方程，并整理可得交点的横坐标为，即证明点在的准线上； （2）根据在处的切线方程得到点的坐标，从而得到直线的斜率，根据得到； （3）由抛物线的对称性得，结合化简为，利用均值不等式求得最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知，所以. 由于抛物线的对称性，可令， 所以 ，当且仅当时，等号成立. 因为与互补，所以， 故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4. 本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则（ ） A. 2 B. C. D. 2. 现有一组数据1.3，1.2，1.2，1.4，1.6，1.3，1.1，则这组数据的分位数为（ ） A. 1.2 B. 1.3 C. 1.4 D. 1.6 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 若小林某天选择自驾、乘坐地铁去上班的概率分别为0.8，0.2，且自驾、乘坐地铁去上班不迟到的概率分别为0.7，0.9，则小林这天去上班不迟到的概率为（ ） A. 0.82 B. 0.74 C. 0.86 D. 0.78 5. 已知函数，若数列满足，则是（ ） A. 等差数列 B. 等比数列 C. 递减数列 D. 常数列 6. 定义：，其中为向量的夹角.若，则（ ） A. 8 B. 16 C. D. 7. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过点的直线与交于异于左、右顶点的两点.若是以为斜边的直角三角形，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设公比为的等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. 或 D. 为递增数列 10. 已知函数的最小正周期为12，且其图象与y轴交于点，则（ ） A. B. C. 图象的对称轴方程为 D. 在上的值域为 11. 对于任意的，函数满足，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中含的项的系数为______. 13. 已知是双曲线的右焦点，是右支上一点，若点，则的最小值为__________. 14. 《九章算术•商功》中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.在堑堵中，，，则堑堵体积的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为，. （1）证明：是与的等差中项； （2）若，且，求的值. 16. 在三棱台中，底面，底面是以为斜边的等腰直角三角形，，为的中点. （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 正比例手办是按照动漫角色的一定比例制作的手办，细节丰富，高度还原角色形象.已知某店内共有20个正比例手办，其中有8个正比例手办采用树脂材质制成，有12个正比例手办采用PVC材质制成，树脂材质的正比例手办中有2个是比例手办，6个是比例手办，PVC材质的正比例手办中有4个是比例手办，8个是比例手办.该店举行了一个抽奖活动，将这20个正比例手办编号为1，2，3，…20，盒子内有编号分别为1，2，3，…，20的20张小纸条，消费者抽到编号为的纸条即视为抽到编号为i的正比例手办，消费者一次性从盒子内随机抽取2张纸条，每位消费者只有一次机会. （1）记事件为“消费者小曲抽到的2个正比例手办的材质与比例均相同”，求； （2）若消费者抽到的2个正比例手办的材质与比例均不相同，则无奖励；若仅材质或仅比例相同，则奖励100元；若材质与比例均相同，则奖励200元.记消费者小曲获得的奖金金额为元，请写出的分布列及期望. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围，并证明. 19. 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形.已知抛物线的焦点为，（与不关于轴对称）是上两点，且三点共线，为阿基米德三角形，是抛物线在弦两端点处的两条切线的交点. （1）证明：点在的准线上； （2）证明：； （3）已知为坐标原点，与弦交于点，求的最小值. （附：抛物线以点为切点的切线方程为） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $