精品解析：2025年黑龙江省牡丹江市初中学业水平考试第一次适应性考试数学试题

二〇二五年牡丹江市初中学业水平考试第一次适应性考试 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共分三道大题，总分120分 3．请把答案写在答题卡上，在试卷上作答无效 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方与积的乘方、单项式除以单项式，根据同底数幂相乘、幂的乘方与积的乘方、单项式除以单项式的运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算正确，符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 2. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，解题的关键是熟练掌握两个概念． 利用轴对称图形和中心对称图形的概念逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B. 该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； C. 该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； D. 该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 3. 由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体所需的小正方体的个数最少是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查三视图判断几何体，解题关键在于掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案． 易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由主视图可得第二层小正方体的最少个数，相加即可． 【详解】解：由俯视图易得最底层有5个小正方体，第二层最少有2个小正方体，那么搭成这个几何体的小正方体最少为个． 故选：B 4. 一组正整数，这组数据有唯一众数，中位数为3，则这组数据的平均数是（ ） A. 4.5 B. 3.5 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了众数、中位数、平均数等统计量，熟练掌握统计的意义是关键．分众数为2，众数为3两种情况进行解答即可． 【详解】解：∵一组正整数，这组数据有唯一众数，中位数为3， ∴排序后中间两数之和为， 若众数为2，假设，则，平均数为， 若众数为3，则，平均数为， ∴这组数据的平均数是4， 故选：D 5. 已知关于的方程有两个不相等实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程没有实数根．根据方程没有实数根，得到根的判别式列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围． 【详解】解：根据方程有两个不相等实数根，得到，且， 解得：且． ∴的取值范围是：且． 故选：A． 6. 若关于的方程有解，则的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解分式方程．根据分式的求解步骤求解，再根据解的结果求值即可． 【详解】解：， 方程两边同乘得， 去括号、移项、合并同类项得， ∵关于的方程有解， ∴且且，解得且， 故选：C． 7. 学校为了开展球类活动，准备用 元同时购买若干个篮球、足球、排球（三种球类都买），且购买的足球数量是的倍数．若篮球每个元，足球每个元，排球每个元，则该学校的购买方案有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不定方程的应用，二元一次方程的应用，正整数解，设购买篮球个，足球个，排球，又购买的足球数量是的倍数，设（为正整数），则有，即，整理得，然后分或进行求正整数解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：购买篮球个，足球个，排球， ∵购买的足球数量是的倍数， ∴设（为正整数）， ∴， ∴，整理得：， ∵，为正整数， ∴或， ∴当时，， ∴或或或或或， ∴当时，， ∴， 综上可知：该学校的购买方案有种， 故选：． 8. 如图，菱形在平面直角坐标系的第一象限，且边轴，点的横坐标为2，若该菱形的面积为20，周长为20，反比例函数的图象经过 两点，则的值是（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质、反比例函数的图象和性质等知识. 过点A作交的延长线于点G，的延长线交轴于点H，求出，，根据即可求出答案. 【详解】解：过点A作交的延长线于点G，的延长线交轴于点H， ∵菱形的面积为20，周长为20， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∵点的横坐标为2，边轴， ∴， ∴， ∴， 解得 ， 故选：B 9. 如图，的角平分线交于点，若，，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，含角的直角三角形等知识，过点作，交延长线于点 ，过点作，分别交 于点，根据角平分线平分线的性质得到， ，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出，再根据勾股定理即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过点作，交延长线于点 ，过点作，分别交 于点，如图： ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在 中，， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， 设 ，则， 在中，， ∴ 解得：（负值已舍去）， ∴， 故选：D． 10. 如图，点在正方形的内部，，以为斜边的等腰直角 在正方形的内部， ，垂足为点，连接．下列结论： ①；②；③；④若，则；⑤若，则． 其中正确的是（ ） A. ①②③④⑤ B. ①②③⑤ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】解：①根据三角三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质，即可判断；②作，延长 交于点G，易得点H，E，F，D四点共圆，推出为等腰直角三角形，则，通过证明，得出，结合等腰直角三角形的性质，即可判断；③连接，通过证明，即可判断；通过证明 ，得出，则点C在垂直平分线上，即可判断；⑤作，延长交于点Q，交于点M，作于点N，则，易得，则，设，推出则， 则，进而得出，，即可判断． 【详解】解：①∵ ， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ②作，延长 交于点G， ∵ ， 为等腰直角三角三角形， ∴，， ， ∴点H，E，F，D四点共圆， ∴， ∴为等腰直角三角形，则， ∵， ∴， ∵ ，，， ∴， ∴， ∵，且， ∴，故②正确，符合题意； ③连接， ∵ 为等腰直角三角形，四边形为正方形， ∴，则， 又∵， ∴， ∴，即，故③正确，符合题意； ④∵， ∴，则， ∵，，， ∴ ， ∴， ∴点C在垂直平分线上， 又∵ ， ∴点F在垂直平分线上， ∴，故④正确，符合题意； ⑤作，延长交于点Q，交于点M，作于点N， ∵，， ∴， ∴ ∵， ， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴，故⑤正确，符合题意； 综上：正确的有①②③④⑤， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确画出辅助线，构造全等和相似，结合相关性质定理进行解答． 二、填空题（每小题3分，满分30分） 11. 到2025年，黑龙江省大数据产业测算规模预计达到140亿元，融合应用更加深入广泛，数据140亿用科学记数法表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：数据140亿用科学记数法表示为． 故答案为：． 12. 函数中，自变量x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式组，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 13. 如图，在四边形中，点，在上， ，，请你添加一个条件___________．使四边形是平行四边形． 【答案】（符合题意即可） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质．先判定四边形是平行四边形，求得，，当添加时，得到，根据对角线相互平分的四边形是平行四边形即可证明四边形是平行四边形． 【详解】解：添加， 如图，连接，，，与交于点， ∵ ，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 当添加时， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：． 14. 一只不透明的袋子中装有4个大小质地都相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、2、4，搅匀后从袋中任意摸出1个球（不放回），再从袋中任意摸出1个球，则两次摸出的乒乓球球面上数字之和为奇数的概率为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了列表法求概率，根据列表法得出共有12种等可能的结果，其中两次摸出的乒乓球球面上数字之和为奇数的有种，根据概率公式，即可求解． 【详解】解：列表如下， 共有种等可能的结果，其中两次摸出的乒乓球球面上数字之和为奇数的有种， ∴两次摸出的乒乓球球面上数字之和为奇数的概率为 故答案为：． 15. 关于的不等式组的解集为，则所有正整数的和为___________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元一次不等式组的解集求参数，先分别解出每个不等式的解集，再根据不等式组的解集得出，进而可求出a的取值范围，根据a的取值范围得出所有正整数，最后相机即可得出答案． 【详解】解： 解①得： 解②得：， ∵关于的不等式组的解集为， ∴， ∴ 则正整数有1，2，3，4， ∴， 故答案为：10 16. 如图，四边形内接于，，则的直径长为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查圆内接四边形的性质，圆周角定理和垂径定理，由四边形是圆内接四边形得 ，由可求出 ，得出，连接，得 ，过点作于点，得，，根据勾股定理求出 ，从而可得结论． 【详解】解：∵四边形是圆内接四边形， ∴ ， ∵， ∴， 又， ∴， ∴ ， ∴； 连接，如图， ∴ ， ∵ ∴， 过点作于点，则，， 在中，， ∴， 解得 ， ∴的直径长为6． 故答案为：6． 17. 圆锥的侧面积为，侧面展开图的圆心角为，则这个圆锥的高为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，利用了扇形的面积公式求解，解题的关键是牢记圆锥的有关公式，根据扇形的面积计算公式，设母线长为，求得，根据求得底面半径 ，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设母线长为，圆锥的侧面展开后是扇形，侧面积， ∴， 又∵ ∴ ∴这个圆锥的高为： 故答案为：． 18. 如图，在菱形中，，点是边的中点，点是平面内一个动点，且 ，点 是上的一个动点，连接，则的最大值为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理，线段垂直平分线的性质，难度较大，正确作出辅助线是解题的关键． 过点作的垂线，交延长线于点，交于点，连接，证明出垂直平分，则，则问题化为，然后解直角三角形进行求解即可． 【详解】解：过点作的垂线，交延长线于点，交于点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 当点四点共线时，取得最小值，即为， ∵，为中点， ∴， ∴， 即最小值为8， 故答案为：8． 19. 在矩形中，，点在上，，将矩形沿折叠，得到点的对应点为点，连接，若为等腰三角形，则的长为___________． 【答案】10或16或 【解析】 【分析】分三种情况讨论，当 时，连接交于点，过点作于点，过点作于点，在，通过面积法求出 ，再由勾股定理求出 ，由求出，则，可得，再解 即可；当当时， 由上知，即可求解；当 时，过点作 于点，则，解求出 ，再由三线合一即可求解． 【详解】解：当 时，连接交于点，过点作于点，过点作于点，在， ∵折叠， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 当时，如图： 由上知， ∴； 当 时，过点作 于点， ∵，即， ∴， ∴， 由上知， ∴， ∵ ， ， ∴， 综上所述：为等腰三角形，则的长为10或16或， 故答案为：10或16或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，解直角三角形的相关计算，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，难度较大，注意分类讨论． 20. 如图，在平面直角坐标系中，，，都是等边三角形，点都在直线上，点都在轴上，直线与轴交于点A，点与原点重合，则的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】可设直线与y轴相交于C点，分别作垂直于x轴，垂足分别为E，F，G，H，．通过求交点A、C的坐标可求．根据，，都是等边三角形，得到，，，…．都是等腰三角形，从而求得，，，，…从而总结得出的纵坐标为，然后把代入，求得，则，然后把代入即可求解． 【详解】解：令，则，解得：， ∴， ∴， 设直线与y轴相交于C点，分别作垂直于x轴，垂足分别为E，F，G，H，如图， 令，则， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵是等边三角形， ∴，， ∵轴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴当时，， ∴ 同理，，，… ∴的纵坐标为， 把代入，得， ∴， ∴，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查点坐标规律探究，一次函数的应用，正三角形的性质，三角形外角性质，解直角三角形，综合性强，难度大． 三、解答题（满分60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，正确计算是解题的关键．先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可． 【详解】解： 原式 ， ． 当 时， 原式 ． 22. 在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，已知的三个顶点的坐标分别为． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）． 【答案】（1）如图，为所求； （2）如图，为所求；； （3） 【解析】 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，轴对称和扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据题意画出即可；关于轴对称点的坐标纵坐标互为相反数，横坐标不变； （2）根据网格结构找出点、、以点为旋转中心，顺时针旋转后的对应点，然后顺次连接即可； （3）先求出，再由旋转角等于，利用弧长公式即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ． 点B旋转到点的过程中所经过的路径长 ． 23. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，若，请解答下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）若点在直线下方的抛物线上．过作轴于点，交于点，连接，、，请直接写出当时点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，三角形面积公式，是解题的关键． （1）把点，代入，求出b，c的值即可解题； （2）先求出点A的坐标，设，则，即可得到，，根据，得，得 ，得，解得或（舍去），即得． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点，与轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为；； 【小问2详解】 解：当时， 或， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 24. 某年8月份黑龙江省文旅局为了解游客最喜爱的景点情况，提供了A．五大连池，B．镜泊湖，C．太阳岛，D．北极村四个旅游景点供大家选择（要求每个游客只能选一个最喜爱的景点），并随机抽取了部分游客的选择情况进行整理，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．请结合图中信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取___________名游客； （2）请将两幅统计图补充完整； （3）扇形统计图中“D”对应的圆心角的度数为___________； （4）若8月份游客共10000人，请你估计最喜爱“B”景点的人数． 【答案】（1）100 （2） 补全统计图如下： （3） （4）估计选“B”人数为3000人 【解析】 【分析】此题考考查了扇形统计图和条形统计图、样本估计总体等知识． （1）用“C”人数除以对应的百分比即可求出答案； （2）求出“A”的百分比和“B”的人数补全统计图即可； （3）用“D”的百分比乘以周角度数即可求出答案； （4）用总人数乘以抽取人数中对应的百分比即可求出答案． 【小问1详解】 解：由题意可得，（名） 即本次调查共抽取名游客； 故答案为： 【小问2详解】 “A”的百分比为 ， “B”的人数为（名）； 【小问3详解】 扇形统计图中“D”对应的圆心角的度数为 故答案为： 【小问4详解】 由题意可得，（人） 答：估计最喜爱“B”景点的人数为 人． 25. 在一条笔直的公路上依次有三地．甲、乙两车同时出发，甲车从地匀速行驶到地，1小时后按原路原速返回到地；乙车从地匀速行驶到地．在行驶的过程中，甲、乙两车距地的路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数图象如图所示，请结数量合图象信息，解答下列问题： （1）甲车的速度为___________千米/时，乙车的速度为___________千米/时； （2）求甲车从地行驶到地的过程中，距地的路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数解析式； （3）请直接写出两车出发多少小时相距30千米． 【答案】（1）120，60 （2） （3）小时，小时，小时 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． （1）根据函数图象中的数据，可以计算出甲、乙车的速度； （2）设甲车从地到地过程中与的函数解析式为，将点，代入求解，可得出解析式，并写出自变量的取值范围； （3）根据题意可知存在三种情况，然后分别计算即可． 【小问1详解】 解：由图象可得， 甲车的速度为：（千米时）， 甲车从开始到地所需的时间为：（时）， 乙车的速度为：（千米时）， 故答案为：120，60； 【小问2详解】 解：由题意可得，甲车从第4小时从地返回地，且第7小时到达地，， 设甲车从地到地过程中与的函数解析式为， 点，在该函数图象上， ， 解得， 即甲车从地到地过程中与的函数解析式为； 【小问3详解】 解：两车出发后经过小时相距30千米， 当时， 或， 解得或； 当 时， 两车的距离大于30千米； 当时， 两车的距离大于30千米； 当时， ， 解得； 由上可得，两车出发后经过小时或小时或小时时相距30千米． 26. 在和 中， ，，，点是的中点，点在直线上，连接．当 时，如图①，易证：．当 ，如图②；当 ，如图③，请分别写出线段 之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明． 【答案】图②：， 图③：证明： 取的中点 ，连接、，过点 作 于点． ， ， ， ， ， 都是等边三角形， ， ， 点 是的中点，点是的中点， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 在 和中 ， （）， ， ， ， ， ， ， ， ， 在 中，， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，特殊角三角函数等； 图②连接， 由等腰三角形的性质及可判定， ，由全等三角形的性质得， ，由勾股定理得，，即可得证； 图③取的中点 ，连接、，过点 作 于点，由等边三角形的判定方法得， 都是等边三角形，结合等边三角形的性质及可判定 ，由全等三角形的性质得 ， ，由三角函数得，，由勾股定理得 ，即可得证． 掌握等边三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理，特殊角三角函数进行求解是解题的关键． 【详解】解：图②： ，图③：； 图②证明：连接， ，点是的中点， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在 中，， ， 图③ 略 27. 某超市准备购进野生木耳和人工培育木耳，已知购进一斤野生木耳比一斤人工培育木耳多15元，若用1200元购进的野生木耳的数量是用500元购进的人工培育木耳数量的倍，请解答下列问题： （1）求该超市购进的野生木耳和人工培育木耳单价各为多少元； （2）该超市预计购进野生木耳和人工培育木耳共100斤（野生木耳和人工培育木耳的数量都是整数），总资金不超过3040元，人工培育木耳的数量不超过野生木耳的数量的2倍，求有哪几种购进方案； （3）在（2）的条件下，该超市野生木耳每斤售价70元，人工木耳每斤售价40元，若全部售出，则该超市获得的最大利润是多少元？ 【答案】（1）购进一斤野生木耳40元，一斤人工培育木耳25元 （2）有三种方案： ①野生木耳34斤，人工培育木耳66斤； ②野生木耳35斤，人工培育木耳65斤； ③野生木耳36斤，人工培育木耳64斤 （3）最大利润为2040元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用． （1）设购进一斤野生木耳元，则购进一斤人工培育木耳元，根据用1200元购进的野生木耳的数量是用500元购进的人工培育木耳数量的倍，可得关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购进野生木耳斤，则购进人工培育木耳斤，根据总资金不超过3040元，人工培育木耳的数量不超过野生木耳的数量的2倍，可得关于的不等式，解不等式可得的取值范围，再根据野生木耳和人工培育木耳的数量都是整数，即可得购进方案； （3）设总利润为 元，根据题意得，根据一次函数的性质结合（2）的结论可得答案． 【小问1详解】 解：设购进一斤野生木耳元，则购进一斤人工培育木耳元， 由题意，得， 解这个方程，得， 经检验，是原方程的解， 人工培育木耳的单价为元， 答： 购进一斤野生木耳 40 元， 一斤人工培育木耳 25 元； 【小问2详解】 解：设购进野生木耳斤，则购进人工培育木耳斤， 由题意，得， ， ， ， 是正整数， ， ， 有三种方案： ①野生木耳 34 斤，人工培育木耳 66 斤； ②野生木耳 35 斤，人工培育木耳 65 斤； ③野生木耳 36 斤，人工培育木耳 64 斤． 【小问3详解】 解：设总利润为 元， ， 随的增大而增大， 当 时，， 答：最大利润为2040元． 28. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，线段的长是一元二次方程的一个解，，在线段上有一点，且．请解答下列问题： （1）求点坐标； （2）若动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿线段向点运动，同时，动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线运动．设运动时间为秒， 的面积为，求与的函数关系式； （3）在（2）的条件下，平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是矩形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或或 【解析】 【分析】（1）先解一元二次方程，求出，再根据，求出，利用勾股定理求出 ，结合，求出，过点C作x轴的垂线，垂足为，解直角三角形，求出，即可得到点C的坐标； （2）分点在上，且点在上，点在上，且点在上，点在上，且点在上，三种情况讨论，利用三角形面积和差即可解答； （3）分点在上，点在上，两种情况讨论，根据矩形的性质解答即可． 【小问1详解】 解：解一元二次方程， 解得：或， 根据题意：， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点C作x轴的垂线，垂足为， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为； 【小问2详解】 解：根据题意：点P从点B运动到点C的时间需要（秒）， 点P从点C运动到点A的时间需要（秒）， 则点P从点B运动到点A的时间需要（秒）， 点Q从点B运动到点O的时间需要（秒）， 点Q从点O运动到点A的时间需要（秒）， 则点Q从点B运动到点A的时间需要（秒）， ∵， ∴点P从点B运动到点A时，点Q在上， 如图，当点在上，且点在上时，即， 此时，， 则， 根据题意：， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 由（1）得， ∴； 如图，当点在上，且点在上时，即， 此时，， 则， 根据题意：， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 由（1）得， ∴； 如图，当点在上，且点在上，即， 此时，， 则， 根据题意：， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 由（1）得， ∴； 综上，； 【小问3详解】 解：存在，点的坐标为或或， 如图，当点在上，且为对角线，四边形为矩形时， 此时，∵， ∴， ∴； 如图，当点在上，且为对角线，四边形为矩形时， 此时，∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则，解得：， ∴； 如图，当点在上，且 为对角线，四边形为矩形时，过点C作x轴的垂线，垂足为， 此时，∵， ∴， ∴， ∴，即， 由（1）知， 设，则， ∴， 解得： ， ∴， 设， 则，解得：， ∴； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了动点函数问题，三角形面积的综合应用，解一元二次方程，解直角三角形，矩形的性质，勾股定理等相关知识点，运用分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二〇二五年牡丹江市初中学业水平考试第一次适应性考试 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共分三道大题，总分120分 3．请把答案写在答题卡上，在试卷上作答无效 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体所需的小正方体的个数最少是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 一组正整数，这组数据有唯一众数，中位数为3，则这组数据的平均数是（ ） A. 4.5 B. 3.5 C. 3 D. 4 5. 已知关于的方程有两个不相等实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 6. 若关于的方程有解，则的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 且 D. 且 7. 学校为了开展球类活动，准备用 元同时购买若干个篮球、足球、排球（三种球类都买），且购买的足球数量是的倍数．若篮球每个元，足球每个元，排球每个元，则该学校的购买方案有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 8. 如图，菱形在平面直角坐标系的第一象限，且边轴，点的横坐标为2，若该菱形的面积为20，周长为20，反比例函数的图象经过 两点，则的值是（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 9. 如图，的角平分线交于点，若，，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 10. 如图，点在正方形的内部，，以为斜边的等腰直角 在正方形的内部， ，垂足为点，连接．下列结论： ①；②；③；④若，则；⑤若，则． 其中正确的是（ ） A. ①②③④⑤ B. ①②③⑤ C. ①②④ D. ①③④ 二、填空题（每小题3分，满分30分） 11. 到2025年，黑龙江省大数据产业测算规模预计达到140亿元，融合应用更加深入广泛，数据140亿用科学记数法表示为___________． 12. 函数中，自变量x的取值范围是________． 13. 如图，在四边形中，点，在上， ，，请你添加一个条件___________．使四边形是平行四边形． 14. 一只不透明的袋子中装有4个大小质地都相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、2、4，搅匀后从袋中任意摸出1个球（不放回），再从袋中任意摸出1个球，则两次摸出的乒乓球球面上数字之和为奇数的概率为___________． 15. 关于的不等式组的解集为，则所有正整数的和为___________． 16. 如图，四边形内接于，，则的直径长为___________． 17. 圆锥的侧面积为，侧面展开图的圆心角为，则这个圆锥的高为___________． 18. 如图，在菱形中，，点是边的中点，点是平面内一个动点，且 ，点 是上的一个动点，连接，则的最大值为___________． 19. 在矩形中，，点在上，，将矩形沿折叠，得到点的对应点为点，连接，若为等腰三角形，则的长为___________． 20. 如图，在平面直角坐标系中，，，都是等边三角形，点都在直线上，点都在轴上，直线与轴交于点A，点与原点重合，则的坐标为___________． 三、解答题（满分60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，已知的三个顶点的坐标分别为． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）． 23. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，若，请解答下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）若点在直线下方的抛物线上．过作轴于点，交于点，连接，、，请直接写出当时点的坐标． 24. 某年8月份黑龙江省文旅局为了解游客最喜爱的景点情况，提供了A．五大连池，B．镜泊湖，C．太阳岛，D．北极村四个旅游景点供大家选择（要求每个游客只能选一个最喜爱的景点），并随机抽取了部分游客的选择情况进行整理，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．请结合图中信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取___________名游客； （2）请将两幅统计图补充完整； （3）扇形统计图中“D”对应的圆心角的度数为___________； （4）若8月份游客共10000人，请你估计最喜爱“B”景点的人数． 25. 在一条笔直的公路上依次有三地．甲、乙两车同时出发，甲车从地匀速行驶到地，1小时后按原路原速返回到地；乙车从地匀速行驶到地．在行驶的过程中，甲、乙两车距地的路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数图象如图所示，请结数量合图象信息，解答下列问题： （1）甲车的速度为___________千米/时，乙车的速度为___________千米/时； （2）求甲车从地行驶到地的过程中，距地的路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数解析式； （3）请直接写出两车出发多少小时相距30千米． 26. 在和 中， ，，，点是的中点，点在直线上，连接．当 时，如图①，易证：．当 ，如图②；当 ，如图③，请分别写出线段 之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明． 27. 某超市准备购进野生木耳和人工培育木耳，已知购进一斤野生木耳比一斤人工培育木耳多15元，若用1200元购进的野生木耳的数量是用500元购进的人工培育木耳数量的倍，请解答下列问题： （1）求该超市购进的野生木耳和人工培育木耳单价各为多少元； （2）该超市预计购进野生木耳和人工培育木耳共100斤（野生木耳和人工培育木耳的数量都是整数），总资金不超过3040元，人工培育木耳的数量不超过野生木耳的数量的2倍，求有哪几种购进方案； （3）在（2）的条件下，该超市野生木耳每斤售价70元，人工木耳每斤售价40元，若全部售出，则该超市获得的最大利润是多少元？ 28. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，线段的长是一元二次方程的一个解，，在线段上有一点，且．请解答下列问题： （1）求点坐标； （2）若动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿线段向点运动，同时，动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线运动．设运动时间为秒， 的面积为，求与的函数关系式； （3）在（2）的条件下，平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是矩形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $