精品解析：辽宁辽阳市第一中学2026-2027学年上学期九年级数学期初学情调研

九年级学期初学情调研 数学试卷 全卷满分为120分，时间为120分钟 一．选择题（共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各图是环保标志图，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解：A是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意， B不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意， C不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意， D不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意， 故选：A． 2. 若分式有意义，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件．要使分式有意义，分式的分母不能为0，即，解得的取值范围． 【详解】解：根据题意得： 解得：． 故选：C． 3. 若，下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据，应用不等式的性质，逐项判断即可． 【详解】解：， 只有当时，才会有，故选项B不符合题意； ， ，故选项B符合题意； ， ， ，故选项C不符合题意； ， 不妨设，， 则有，故选项D不符合题意． 故选：B． 4. 若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，先解不等式组，再根据不等式组的解集，得到关于参数的不等式，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组的解集为：， ∴， ∴； 故选B． 5. 如图，施工队打算测量两地之间的距离，但两地之间有一个池塘，于是施工队在处取点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得分别是的中点．若，则两地之间的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， 分别是的中点，， 为三角形的中位线， ． 故选：B． 6. 如图，是“自行车停放区”的标志图，其中四边形为平行四边形．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等是解题关键．根据平行四边形对角相等即可求出． 【详解】解：在中有：，， ， ， ， ， ， 故选：C． 7. 如图，将绕点顺时针旋转一定角度后得到，此时点，点，点在一条直线上．若，则旋转角（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质和旋转的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由平行四边形的性质和旋转的性质得出，可得，从而得出，得出，再求得，再求解即可． 【详解】解：如图，设与相交于点， 将绕点顺时针旋转一定角度后得到， ， ， ， ， ， ， ， ， 即旋转的角度为， 故选：A． 8. 如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查学生对平行四边形的判定方法的理解能力，常用的平行四边形的判定方法有：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．据此来判定即可． 【详解】解：， ， 又， 四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； ， ， 在和中 ， ， ， 又， 四边形为平行四边形，故选项B不符合题意； 在四边形中，，， 四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； ，无法得出四边形是平行四边形，故选项D符合题意． 故选：D． 9. 《四元玉鉴》全中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”（题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程，根据题意，绫布和罗布总长30尺，分别卖出后各得896文，且各一尺共120文．设绫布有尺，则罗布为尺．绫布每尺价格为文，罗布每尺价格为文．根据“各一尺共120文”的条件，可列方程． 【详解】解：设绫布有尺，则罗布为尺，则绫布单价：文/尺，罗布单价：文/尺， 可得： 故选D． 10. 如图，在中，的角平分线与边的垂直平分线交于的外部点处，连接，过点作，交延长线于点，过点作，交于点．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．证明．．再证明．得出．则可求出答案． 【详解】解：平分，，， ． 在的垂直平分线上， ． 在与中， ， ． ． ． 故选：B． 二．填空题（共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 七边形的内角和是________度． 【答案】900 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理．应用多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：七边形的内角和， 故答案为：900． 12. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先将原式变形为平方差的形式，利用平方差公式分解后化简即可得到结果 【详解】解： 13. 已知等腰三角形的周长为，若其中一边长为，则腰长为___________． 【答案】３ 【解析】 【分析】根据等腰三角形的定义，三角形存在性解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形存在问题，正确分类计算是解题的关键． 【详解】解：∵等腰三角形的一边长为，周长为， ∴等腰三角形的三边长为2，2，４或2，３，３， 当三边为2，2，４时，，三角形不存在， 当三边为2，３，３时，，三角形存在， 故腰长为：； 故答案为：３． 14. 若关于的分式方程有增根，则实数的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程无解问题，熟练掌握该知识点是解题关键． 先将分式方程化为整式方程，再根据该分式方程有增根，确定该整式方程的根为，再代入得到关于m的方程并求解即可． 【详解】解：将关于x的分式方程的两边同时乘以得． ∵该分式方程有增根， ∴． 把代入得． 解得． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．等腰直角三角形按如图位置摆放，顶点在直线上，轴．现将沿直线平移，且点始终在直线上．在平移的过程中，当点落在坐标轴上时，点的坐标为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】题目主要考查一次函数综合问题，含30度的直角三角形的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出图形分情况分析是解题关键． 根据一次函数解析式及含30度角的直角三角形的性质确定一次函数解析式为，再由勾股定理得出，过点E作，确定，然后分两种情况分析：当点E落在x轴上时，当点E落在y轴上时，作出相应图形求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将点A代入得， 解得：， ∴， ∵等腰直角三角形，， ∴， ∴， 过点E作， ∴， 当点E落在x轴上时，如图所示： ∵轴，， ∴点D的纵坐标为，代入得， 解得：， ∵， ∴点F的横坐标为， ∴； 当点E落在y轴上时，如图所示： ∵轴，， ∴点D的横坐标为，代入得， ∴点F的横坐标为， ∴； 综上可得：或， 故答案为：或 ． 三．解答题（本题共8小题，共75分） 16. 按要求完成下列各题： （1）解分式方程：； （2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1） （2），数轴如图所示： 【解析】 【小问1详解】 解∶ ， 方程两边都乘，得：， 解得：， 检验，当时，， 所以原方程的根是； 【小问2详解】 解∶ ， 由（1）得：， 由（2）得，， 所以不等式组的解集为， 数轴略 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，． （1）请在图中画出关于原点成中心对称的； （2）将平移后得到，且的对应点是，请在图中画出； （3）求线段平移扫过的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求． ． （2） 如图，即为所求． ． （3）26 【解析】 【分析】（1）先分别画出点，再顺次连接即可； （2）先确定平移方式，再画出点，然后顺次连接即可； （3）线段平移扫过的面积为四边形的面积，结合平面直角坐标系，利用一个长方形的面积减去四个小直角三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：∵的对应点是， ∴平移方式是：先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度， ∵，， ∴，，即，， 【小问3详解】 解：如图，线段平移扫过的面积为四边形的面积， 则线段平移扫过的面积． 19. 如图，一次函数的图象与x轴交于点D，一次函数的图象与x轴交于点A，且经过点，两函数图象交于点． （1）求m的值和一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出的解集． 【答案】（1）2， （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，交点坐标的意义，代入法求解即可； （2）根据交点坐标的意义，利用数形结合的思想求解即可． 【小问1详解】 解：一次函数的图象与x轴交于点D，一次函数的图象与x轴交于点A，且经过点，两函数图象交于点， ， 解得； 故点， 根据题意，得， 解得， 故一次函数． 【小问2详解】 解：一次函数和的图象交于点， 故由图象可知：的解集是． 20. “读书不觉已春深，一寸光阴一寸金”，每年4月23日是世界读书日，某社区为丰富居民的文化生活购进了一批图书．已知用260元购买科普读物的数量是用150元购买文学类书籍数量的2倍，其中文学类书籍的单价比科普读物的单价多4元． （1）求文学类书籍的单价是多少元？ （2）该社区准备购进两种图书共100册，总费用不超过2840元，则该社区最多购进文学类书籍多少册？ 【答案】（1）文学类图书的单价为30元； （2）该社区最多购进文学类书籍60册． 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和不等式． （1）设文学类图书的单价为x元，则科普读物的单价为元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设学校购进文学类图书m册，则购进科普读物册，依题意得列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设文学类图书的单价为x元，则科普读物的单价为元 依题意得： 解得： 经检验：是原方程解 答：文学类图书的单价为30元； 【小问2详解】 解：设学校购进文学类图书m册，则购进科普读物册 依题意得： 解得： 答：该社区最多购进文学类书籍60册． 21. 如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点． （1）射线的尺规作图过程是在作___________的___________线； （2）请在图中以点为顶点，作的角平分线，交于点．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （3）在（1）（2）的条件下，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）；角平分 （2） 如图所示即为所求； （3） 证明：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】题目主要考查平行四边形的判定和性质，角平分线的作法，理解题意，熟练掌握角平分线的作法是解题关键． （1）根据角平分线的作法即可得出结果； （2）根据作角平分线的步骤作图即可； （3）根据平行四边形的性质得出，再由角平分线及平行线的性质确定，即可判定，即可证明． 【小问1详解】 解：根据题意得射线的尺规作图过程是在作的角平分线， 故答案为：；角平分 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 阅读理解： 【形成概念】我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫作“梦想解”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫作“无缘解”． 【初步感知】 （1）组合是“___________”（填“梦想解”或“无缘解”）； 【问题解决】 （2）若关于x的组合是“梦想解”，求a的取值范围； （3）若关于x的组合是“无缘解”，求b的取值范围 【答案】（1）无缘解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分别求出一元一次方程的解，一元一次不等式的解集，根据新定义判断即可； （2）先分别求出一元一次方程的解、一元一次不等式的解集，再根据“梦想解”的定义建立不等式，解不等式即可； （3）先分别求出一元一次方程的解、一元一次不等式的解集，再根据“无缘解”的定义建立不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：解方程得：， 解不等式得：， ∵， ∴一元一次方程的解不是一元一次不等式的解， ∴组合是“无缘解”． 【小问2详解】 解：解方程得：， 解不等式得：， ∵关于的组合是“梦想解”， ∴， 解得． 【小问3详解】 解：解方程得：， 解不等式得：， ∵关于的组合是“无缘解”， ∴， 解得． 23. 综合与实践 在《图形的平移与旋转》回顾与思考课上，李老师出示了如下问题：在中，，点在平面内，连接并将线段绕点逆时针旋转与相等的角度，得到线段，连接． （1）初步探究 如图①，点是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是 ； （2）类比探究 如图②，点是平面内任意一点，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．请仅以图②所示的位置关系加以证明（或说明）； （3）延伸探究 如图③，在中，，，，是线段边上的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】（1） （2） 成立，理由如下： ∵旋转， ∴，， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴； （3）4 【解析】 【分析】（1）旋转的性质得到，，进而得到，证明，即可得出结论； （2）同法（1）即可得证； （3）延长至点，使，连接，作，根据含30度角的直角三角形的性质，推出，证明，得到，进而得到点的运动轨迹，根据垂线段最短结合含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵旋转， ∴，， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：延长至点，使，连接，作，则：， ∵，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在射线上运动， ∵垂线段最短， ∴当点与点重合时，的长最短，为的长， ∵， ∴； 故的最小值为4． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30度的直角三角形，垂线段最短，熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级学期初学情调研 数学试卷 全卷满分为120分，时间为120分钟 一．选择题（共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各图是环保标志图，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若分式有意义，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 3. 若，下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 4. 若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，施工队打算测量两地之间的距离，但两地之间有一个池塘，于是施工队在处取点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得分别是的中点．若，则两地之间的距离为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，是“自行车停放区”的标志图，其中四边形为平行四边形．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，将绕点顺时针旋转一定角度后得到，此时点，点，点在一条直线上．若，则旋转角（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 9. 《四元玉鉴》全中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”（题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在中，的角平分线与边的垂直平分线交于的外部点处，连接，过点作，交延长线于点，过点作，交于点．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 二．填空题（共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 七边形的内角和是________度． 12. 因式分解：________． 13. 已知等腰三角形的周长为，若其中一边长为，则腰长为___________． 14. 若关于的分式方程有增根，则实数的值为___________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．等腰直角三角形按如图位置摆放，顶点在直线上，轴．现将沿直线平移，且点始终在直线上．在平移的过程中，当点落在坐标轴上时，点的坐标为___________． 三．解答题（本题共8小题，共75分） 16. 按要求完成下列各题： （1）解分式方程：； （2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，． （1）请在图中画出关于原点成中心对称的； （2）将平移后得到，且的对应点是，请在图中画出； （3）求线段平移扫过的面积． 19. 如图，一次函数的图象与x轴交于点D，一次函数的图象与x轴交于点A，且经过点，两函数图象交于点． （1）求m的值和一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出的解集． 20. “读书不觉已春深，一寸光阴一寸金”，每年4月23日是世界读书日，某社区为丰富居民的文化生活购进了一批图书．已知用260元购买科普读物的数量是用150元购买文学类书籍数量的2倍，其中文学类书籍的单价比科普读物的单价多4元． （1）求文学类书籍的单价是多少元？ （2）该社区准备购进两种图书共100册，总费用不超过2840元，则该社区最多购进文学类书籍多少册？ 21. 如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点． （1）射线的尺规作图过程是在作___________的___________线； （2）请在图中以点为顶点，作的角平分线，交于点．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （3）在（1）（2）的条件下，求证：四边形是平行四边形． 22. 阅读理解： 【形成概念】我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫作“梦想解”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫作“无缘解”． 【初步感知】 （1）组合是“___________”（填“梦想解”或“无缘解”）； 【问题解决】 （2）若关于x的组合是“梦想解”，求a的取值范围； （3）若关于x的组合是“无缘解”，求b的取值范围 23. 综合与实践 在《图形的平移与旋转》回顾与思考课上，李老师出示了如下问题：在中，，点在平面内，连接并将线段绕点逆时针旋转与相等的角度，得到线段，连接． （1）初步探究 如图①，点是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是 ； （2）类比探究 如图②，点是平面内任意一点，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．请仅以图②所示的位置关系加以证明（或说明）； （3）延伸探究 如图③，在中，，，，是线段边上的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $