精品解析：辽宁省点石联考2025届高三下学期5月联合考试数学试题

2025届高三年级5月份联合考试 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置.考试结束后，将答题卡交回. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数z满足，则（ ） A. -1 B. C. D. 2i 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的运算代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得， 则． 故选：D 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由绝对值不等式的求解及交集运算可得结果. 【详解】因为，故. 故选：D. 3. 某市移动机器人比赛项目有19位同学参赛，他们在预赛中所得的积分互不相同，只有积分在前10位的同学才能进入决赛．若该比赛项目中的某同学知道自己的积分后，要判断自己能否进入决赛，则他只需要知道这19位同学的预赛积分的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 极差 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数、众数、中位数、极差的概念分析判断即可. 【详解】因为19位同学的积分的中位数是第10名，所以知道中位数即可判断是否在前10． 故选：C 4. 已知锐角θ满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正切二倍角公式解出的值，由齐次式可计算结果. 【详解】由题意可得，解得或（舍去）． 方法一：故． 方法二：此时，故． 故选：D. 5. 圆与圆的公切线条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】计算圆心距，判断两圆位置关系后即可得公切线条数. 【详解】圆的方程等价于， 所以圆是以为圆心，为半径的圆， 圆 是以为圆心，为半径的圆， 所以圆，圆的圆心距为， 圆，圆半径之和为， 即圆心距等于两半径之和，因此两圆外切， 所以圆，圆有3条公切线． 故选：C 6. 已知函数和，其中，的最大值为3，若与的图象在区间上恰有一个交点，则k的值可以为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由的最大值为3可得，由与的图象在区间上恰有一个交点，可知在区间上恰有一个根，令，，由函数性质分析即可求. 【详解】由的最大值为3，得，即． 因为与的图象在区间上恰有一个交点， 所以在区间上恰有一个根． 令，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为， 所以当，单调递减，当，单调递增， 当时，， 令，则， 要使与图象只有一个交点， 则的最小值点与最大值点重合， 即， 所以，． 所以符合题意． 故选：B 7. 记为数列的前n项和，为数列的前n项积，且，则当取得最小值时，（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】根据的关系，作差可得是等比数列，即可根据是递增数列，结合，即可求解. 【详解】由题意可得，当时，， 两式相减得，而，解得， 因此数列是等比数列，， 数列是递增的正项数列，，， 因此， 所以当取得最小值时，． 故选：B 8. 已知正三棱柱的表面积为，则当其体积取得最大值时，该三棱柱上下两底面之间的距离为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设正三棱柱的底面边长为a，侧面高度为h，通过表面积得，进而，利用导数研究其单调性，从而求出取得最大值时，即可得解. 【详解】设正三棱柱的底面边长为a，侧面高度为h，则其表面积， 整理得，故正三棱柱的体积，将V看作关于a的函数， 则，当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 故当时，该正三棱柱的体积取得最大值， 此时三棱柱上下两底面之间的距离为． 故选：B 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据数量积坐标公式计算判断A，应用模长公式计算判断B，应用平行坐标运算判断C，应用夹角余弦公式计算判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，，故，故B错误； 对于C，，由于，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：AD. 10. 已知点，均在抛物线C：上，F是C的焦点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线轴 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】将点代入抛物线方程，求的值，判断A的真假；判断点坐标的特点，判断B的真假；根据抛物线的焦半径公式，可判断CD的真假. 【详解】对于A．将的坐标代入C：，得，故A错误． 对于B，由题可得，点A，F的横坐标相同，所以直线轴，故B正确． 对于C，因为点A，B均在C上，所以，，要使，只需．若，由于，所以，，故C正确． 对于D，若，因为，所以，故，解得，故D正确． 故选：BCD 11. 设函数，，以下说法正确的是（ ） A. 图象的对称中心为 B. 若，图象的对称轴为直线 C. 若，有且仅有一个零点 D. 若，则与的图象有且仅有两个交点 【答案】ABD 【解析】 【分析】令，判断可得为奇函数，根据图象变换计算判断A；由可判断B；根据零点存在性定理可判断C；令，计算可判断D. 【详解】对A，令，即， 因为， 所以为奇函数，即函数对称中心为， 而的图象可由的图象向右平移一个单位，向下平移两个单位得到， 因此可知图象的对称中心为，故A正确； 对B，当时，， 因为，， 即．可知的图象以直线为对称轴，故B正确； 对C，当时，，，，， 所以存在，，使，则有两个零点，故C不正确； 对D，当时，令，令，解得或，故D正确． 故选：ABD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分．共15分） 12. 已知双曲线的一条渐近线的斜率为2，则______ 【答案】 【解析】 【分析】将双曲线的方程化为标准形式，写出的值，从而求出渐近线的方程得到斜率，再解关于的方程即可求解. 【详解】因为曲线为双曲线，所以， 将双曲线方程化为标准形式为，所以，， 所以双曲线的渐近线方程为， 又因为双曲线的一条渐近线的斜率为2，所以，解得. 故答案为：. 13. 已知正实数满足，若的最小值为4，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，将化为，再利用基本不等式可求得的范围． 【详解】因为为正实数，所以， 因此的最小值为4，故存在，即时使得等号成立， 此时，又因为，所以在上有解， 所以由基本不等式可知时等号成立， 所以，故实数的取值范围是． 故答案为：. 14. 在一个玩数米粒的游戏中，甲､乙､丙､丁四人每人各有一个罐子，每轮游戏都从米缸中分若干次数米粒放入自己的罐子中．第一轮：甲数了1粒，接着乙数了2､3粒，接着丙数了4､5､6粒，接着丁数了7､8､9､10粒；第二轮甲接着数了11､12､13､14､15粒，依次循环，直到某人某次数了1000粒，游戏结束．在第二轮游戏完成时，丁的罐子里一共有__________粒米粒；游戏结束时，是进行到第__________轮游戏． 【答案】 ①. 294 ②. 12 【解析】 【分析】将自然数排成数阵，结合等差数列的求和公式，判断1000所在的位置即可. 【详解】将自然数按照以下规律排成数阵： 第一行：1 第二行：2,3 第三行：4,5,6 第四行：7,8,9,10 第五行：12,13,14,15,16 …… 设数列：. 则数阵第行的最后一个数为：. 由，且. 所以是第45行的第10个数. 在第二轮游戏完成时，丁的罐子里的米粒数为：. 因为，所以游戏完成时，是进行到第12轮. 故答案为：294；12 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设锐角的内角的对边分别是，． （1）求C； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2）22 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理计算求解得出结合角的范围即可求解； （2）应用正弦定理及余弦定理计算求解. 【小问1详解】 由及正弦定理，得． 而，所以，． 又为锐角三角形，所以，所以． 【小问2详解】 由正弦定理， 得，． 因为，所以． 由余弦定理得， 即， 所以． 16. 如图，在梯形中，，，，，，点E满足，将沿翻折至，连接，，使得． （1）证明：； （2）设，中点分别为M，N，求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】（1）证明如下： 因为，， 所以，又，， 所以， 所以， 所以，故，， 又，平面，故平面， 又平面，所以， 因为，， 所以，即， 又，平面，所以平面， 而平面，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理得平面，结合勾股定理利用线面垂直的判定定理得平面，进而利用线面垂直的性质定理求解即可； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，然后利用向量法求解二面角夹角的余弦值，进而利用同角三角函数关系求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据（1）中位置关系，以为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 由已知，可知，，，，， 所以，，，． 设平面的法向量为， 则，所以， 取，则，， 所以为平面的一个法向量； 设平面的法向量为， 则，所以， 取，则，， 所以为平面的一个法向量． 因此，， 所以平面与平面夹角的正弦值即为． 17. 一款热销的电子产品是由两种零配件（零配件1和零配件2）组装而成．只要其中一种零配件不合格，则组装出的成品一定不合格；如果两种零配件均合格，组装出的成品也不一定合格．对于不合格的成品，只能报废．已知两种零配件和成品的次品率如表所示（单价和成本单位为元）． 零配件1 零配件2 成品 不合格品 次品率 购买单价 检测成本 次品率 购买单价 检测成本 两种零配件均合格时的次品率 装配成本 检测成本 市场售价 退货运费 4元 2元 18元 3元 6元 3元 56元 6元 为争取收益最大化，企业需要做出决策：①对零配件（零配件1或零配件2）是否进行检测．如果对某种零配件不检测，这种零配件将直接进入到组装环节；否则将检测出的不合格零配件丢弃．如果其中一个零配件检测为合格品，另一个为不合格品，则不能组装为成品，这种情况中的合格品会用于下一套成品组装，因此相关费用此处不予考虑，只考虑不合格品的相关支出即可．②对组装好的每一件成品是否进行检测．如果不检测，组装后的成品直接进入市场；否则只有检测合格的成品进入市场，对检测出的不合格成品直接丢弃．对用户购买的不合格品，企业将无条件予以退货，并承担运费，且将退回的不合格品丢弃． （1）如果不进行任何检测，求生产出的成品中的次品率； （2）如果全部不检测，求每个单件产品的预期收益； （3）如果对零配件1、零配件2和成品全部进行检测，求每个单件产品的企业预期收益． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设事件成品为合格品，根据对立事件以及独立事件概率求法运算求解； （2）分类讨论成品是否为合格品，结合题意求收益和相应的概率，即可得期望； （3）分类讨论检测合格的所有可能性，结合题意求收益和相应的概率，即可得期望. 【小问1详解】 设事件成品为合格品，则成品为不合格品， 可得， 所以． 【小问2详解】 设预期收益为X，分2种情况： ①成品是合格的， 收益为，概率为； ②成品是不合格的， 收益为，概率为； 于是预期收益X的数学期望为（元）． 【小问3详解】 设预期收益为Y，分5种情况： ①所有检测都是合格的， 收益为，概率为； ②零配件1，2都是合格的，但是成品不合格， 收益为，概率为； ③零配件1不合格，零配件2合格，扔掉零配件1，没有成品， 收益为，概率为； ④零配件2不合格，零配件1合格，扔掉零配件2，没有成品， 收益为，概率为； ⑤零配件1，2都不合格，全部扔掉，没有成品， 收益为，概率为； 于是预期收益Y的数学期望为 （元）． 18. 已知椭圆的离心率为，长轴长为，上顶点为C，右焦点为F． （1）求的标准方程； （2）过C作直线，分别交于A，B两点，交x轴于D，E两点，其中，在的两侧，且．设直线，斜率分别为，，求； （3）在第（2）问的基础上证明：直线过定点． 【答案】（1） （2） （3）证明如下： 设直线，，， 与椭圆方程联立得， 消去y，得， 即，， 则，， 因此 ， 化简得，由，解得． 因此直线过定点． 【解析】 【分析】（1）根据离心率及长轴长列式计算求参得出标准方程； （2） 先应用正弦定理结合点到直线距离得出斜率积为定值； （3）设直线联立方程组应用根与系数关系计算斜率积为1计算求参. 【小问1详解】 设焦距为2c， 则，，且， 解得，， 因此的标准方程为． 【小问2详解】 在，中分别由正弦定理， 得，， 又由，及， 得， 故． 又直线，的斜率分别为，， 则两直线的方程分别为， 则到这两条直线的距离相等， 即，平方得， 化简得，又， 则． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三年级5月份联合考试 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置.考试结束后，将答题卡交回. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数z满足，则（ ） A. -1 B. C. D. 2i 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 某市移动机器人比赛项目有19位同学参赛，他们在预赛中所得的积分互不相同，只有积分在前10位的同学才能进入决赛．若该比赛项目中的某同学知道自己的积分后，要判断自己能否进入决赛，则他只需要知道这19位同学的预赛积分的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 极差 4. 已知锐角θ满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 圆与圆的公切线条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知函数和，其中，的最大值为3，若与的图象在区间上恰有一个交点，则k的值可以为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 记为数列的前n项和，为数列的前n项积，且，则当取得最小值时，（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 8. 已知正三棱柱的表面积为，则当其体积取得最大值时，该三棱柱上下两底面之间的距离为（ ） A. 3 B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知点，均在抛物线C：上，F是C的焦点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线轴 C. 若，则 D. 若，则 11. 设函数，，以下说法正确的是（ ） A. 图象的对称中心为 B. 若，图象的对称轴为直线 C. 若，有且仅有一个零点 D. 若，则与的图象有且仅有两个交点 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分．共15分） 12. 已知双曲线的一条渐近线的斜率为2，则______ 13. 已知正实数满足，若的最小值为4，则实数的取值范围是______． 14. 在一个玩数米粒的游戏中，甲､乙､丙､丁四人每人各有一个罐子，每轮游戏都从米缸中分若干次数米粒放入自己的罐子中．第一轮：甲数了1粒，接着乙数了2､3粒，接着丙数了4､5､6粒，接着丁数了7､8､9､10粒；第二轮甲接着数了11､12､13､14､15粒，依次循环，直到某人某次数了1000粒，游戏结束．在第二轮游戏完成时，丁的罐子里一共有__________粒米粒；游戏结束时，是进行到第__________轮游戏． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设锐角的内角的对边分别是，． （1）求C； （2）若，，求的值． 16. 如图，在梯形中，，，，，，点E满足，将沿翻折至，连接，，使得． （1）证明：； （2）设，中点分别为M，N，求平面与平面夹角的正弦值． 17. 一款热销的电子产品是由两种零配件（零配件1和零配件2）组装而成．只要其中一种零配件不合格，则组装出的成品一定不合格；如果两种零配件均合格，组装出的成品也不一定合格．对于不合格的成品，只能报废．已知两种零配件和成品的次品率如表所示（单价和成本单位为元）． 零配件1 零配件2 成品 不合格品 次品率 购买单价 检测成本 次品率 购买单价 检测成本 两种零配件均合格时的次品率 装配成本 检测成本 市场售价 退货运费 4元 2元 18元 3元 6元 3元 56元 6元 为争取收益最大化，企业需要做出决策：①对零配件（零配件1或零配件2）是否进行检测．如果对某种零配件不检测，这种零配件将直接进入到组装环节；否则将检测出的不合格零配件丢弃．如果其中一个零配件检测为合格品，另一个为不合格品，则不能组装为成品，这种情况中的合格品会用于下一套成品组装，因此相关费用此处不予考虑，只考虑不合格品的相关支出即可．②对组装好的每一件成品是否进行检测．如果不检测，组装后的成品直接进入市场；否则只有检测合格的成品进入市场，对检测出的不合格成品直接丢弃．对用户购买的不合格品，企业将无条件予以退货，并承担运费，且将退回的不合格品丢弃． （1）如果不进行任何检测，求生产出的成品中的次品率； （2）如果全部不检测，求每个单件产品的预期收益； （3）如果对零配件1、零配件2和成品全部进行检测，求每个单件产品的企业预期收益． 18. 已知椭圆的离心率为，长轴长为，上顶点为C，右焦点为F． （1）求的标准方程； （2）过C作直线，分别交于A，B两点，交x轴于D，E两点，其中，在的两侧，且．设直线，斜率分别为，，求； （3）在第（2）问的基础上证明：直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $