精品解析：吉林省四平市2024～2025学年初中学业水平考试第一次模拟数学试题

初中学业水平考试数学模拟试题（一） 数学试卷包括三道大题，共22道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知算式的值为0，则“□”内应填入的运算符号为（ ） A. B. C. D. 2. 如图是常见的化学仪器，其中主视图与左视图不相同的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列一元二次方程没有实数根的是（ ） A. x2-2=0 B. x2-2x=0 C. x2+x+1=0 D. (x-1)(x-3)=0 4. 在今年“十一”期间，小康和小明两家准备从华山、华阳古镇，太白山三个著名景点中分别选择一个景点旅游，他们两家去同一景点旅游的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转，得到，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 7. 不等式组的解集是______． 8. 周末小高同学全家去饭店吃饭，他发现饭店房间里放着一个儿童座椅（如图），他观察这个儿童座椅的主体框架成三角形，从而保证儿童坐上去会很安全，这样的设计利用的数学原理是_______． 9. 如图，正方形中，对角线 ， 相交于点，为 边中点，正方形的周长为16，则的长等于___________． 10. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作．书中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高几何？译文：现有一扇门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少．横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图．设门的对角线长为 尺，可列方程为___________． 11. 如图，在一根半径为的圆柱体零件的正中位置打一个正三角形孔，正三角形顶点离圆柱边缘不少于，则这个正三角形边长最大为_______． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 13. 投壶是中国古代的一种弓箭投掷游戏，弓箭投入壶内、壶耳会得到不同的分数，落在地上不得分．小龙与小华每人拿10支箭进行游戏，游戏结果如下，求一支弓箭投入壶内、壶耳各得几分？ 投入壶内 投入壶耳 落在地上 总分 小龙 3支 4支 3支 27分 小华 3支 3支 4支 24分 14. 如图，B、C、E、F在同一直线上，和都是等边三角形，且，求证：． 15. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按要求画图． （1）在图1中以A为顶点作面积为5的正方形 （2）在图2中以A为顶点作面积为4的菱形 （3）在图3中以A为顶点作面积为3的平行四边形（） 16. 在一项科学实验中，研究人员对不同形状的物体进行了压力测试，这些物体的质量相同，但形状各异．研究人员将这些物体放置在水平的测试平台上，并记录了测试平台受到的压力（单位：）与受力面积（单位：）之间的关系，结果如下表所示． 桌面所受压强 50 100 200 400 受力面积 2 1 （1）根据如表数据，求桌面所受压强与受力面积之间的函数表达式． （2）现将相同质量，且边长为的正方体放置于该水平玻璃桌面上．若该玻璃桌面能承受的最大压强为，请你判断这种摆放方式是否安全？并说明理由． 17. 某物流企业为了提高配送效率和客户满意度，对公司业务流程进行了细致的分析．公司随机抽取了件某日发往 市的快递包裹，称重并记录每件包裹的重量（单位：，精确到）．下面给出了部分信息． a．下图为每件包裹重量的频数分布直方图如下（数据分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，第7组，第8组，第9组，第组，第组）： b．在这一组的数据如下： c．这件包裹重量的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 包裹重量（单位：） 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）写出 的值； （3）下面五个结论中，①的值一定在这一组；②的值可能在这一组；③的值可能在这一组；④的值不可能在这一组；⑤的值不可能在这一组．所有正确结论的序号是________； （4）某日此快递公司将要发往A市的快递包裹统一打包装箱，其中一个集装箱中的包裹总重量为，请估计这个集装箱中共有多少件包裹？ 18. 图①是一款可调节椅背的沙发椅，它可以减轻使用者的脊椎压力．图②是它的侧面示意图，椅背，将椅背角度从调节到（即，）时，分别过点 、 作于点 ，于点，求水平方向增加的距离长．（结果精确到；参考数据：，，，） 19. 数学兴趣小组的同学们受《乌鸦喝水》故事的启发，在数学实验室中，利用带刻度的容器和匀速流水的水龙头进行数学实验． （1）如图，有三种不同形状的容器，现向三种容器匀速注水，恰好注满时停止．已知注水前 图①的容器中有的水，图②容器中有的水，图③容器中没有水，是空的．图①和图②的注水速度均为 ，图③的注水速度为．设容器中水的体积为（单位：），注水时间为 （单位：）．请分别写出三个容器中关于 的函数表达式，填写在图中对应的横线上． （2）如图④，同学们自己制作了一个特殊的容器，这个特殊容器有上、下两个高度相同的圆柱体组合而成，且上圆柱体底面圆的半径是下圆柱体底面圆的半径的一半．已知这个特殊容器的高为，注水前，容器内的水面高度是，现向容器匀速注水，直至容器恰好注满时停止，每记录一次水面的高度 （单位：），前5次数据如下表所示． 注水时间 0 5 10 15 20 … 水面高度 4 5 6 7 8 … ①在平面直角坐标系中，请画出水面高度 关于注水时间的函数图像，并标注相关数据； ②在水面高度 满足时，则注水时间的取值范围是__________． 20. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“平行四边形的折叠”为主题开展数学活动． 问题情境： 已知中∠A为锐角，，点E、F分别是、 边的中点，点G、H分别是、边上的点．分别沿 和折叠，点A、C的对应点分别为点、． （1）操作判断：如图（1），折叠后点与点B重合，点与点D重合． ①四边形________平行四边形（填“是”或“不是”）． ②当满足某个条件时，四边形能成为矩形．这个条件可以是________． （2）迁移探究：如图（2），若点，落在内部（含边界），连接， ，若，则四边形是平行四边形吗？若是，请就图（2）进行证明；若不是，请说明理由． （3）拓展应用：在（2）的条件下，若，，且，则此时四边形的面积为________． 21. 如图，在中，，，，动点 从点 出发，沿以每秒 个单位长度的速度向终点 运动．过点 作交 于点 （点 不与点 、 重合），以为邻边作平行四边形．设点 的运动时间为秒． （1）用含的代数式表示线段的长； （2）当点 落在边上时，求t的值； （3）当点 在 边上时，设平行四边形与重叠部分图形的面积为，请直接写出与之间的函数关系式，并写出对应的取值范围． 22. 已知抛物线经过点，点 在抛物线上，横坐标为 ，点 不与点 重合． （1）求此抛物线的解析式； （2）当时，求的取值范围； （3）若点都在函数图象上，且，则________（填“>”“<”或“=”）； （4）将抛物线上 ， 两点之间的部分（包括端点）记作图象 ，当图象 的最高点与最低点在直线的异侧时，直接写出 的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中学业水平考试数学模拟试题（一） 数学试卷包括三道大题，共22道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知算式的值为0，则“□”内应填入的运算符号为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数的加法运算，掌握有理数加法运算法则，即可解题． 【详解】解： ， “□”内应填入的运算符号为， 故选：A． 2. 如图是常见的化学仪器，其中主视图与左视图不相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图．熟练掌握从前面看到的是主视图，从左边看到的是左视图是解题的关键． 根据从前面看到的是主视图，从左边看到的是左视图对各选项进行判断即可． 【详解】解：由题意知，A中主视图与左视图不相同，符合要求； B、C、D中主视图与左视图相同，不符合要求； 故选：A． 3. 下列一元二次方程没有实数根的是（ ） A. x2-2=0 B. x2-2x=0 C. x2+x+1=0 D. (x-1)(x-3)=0 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算四个方程的根的判别式Δ＝b2﹣4ac，然后根据△的意义分别判断方程根的情况． 【详解】解：A、Δ＝02﹣4×1×（﹣2）＝8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项不符合题意； B、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，方程有两个不相等的实数根，所以，B选项不符合题意； C、Δ＝12﹣4×1×1＝﹣4＜0，方程有没有的实数根，所以C选项符合题意； D、由原方程得到：x2﹣4x+3＝0，则Δ＝（﹣4）2﹣4×1×3＝4＞0，方程有两个不相等的实数根，所以D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根． 4. 在今年“十一”期间，小康和小明两家准备从华山、华阳古镇，太白山三个著名景点中分别选择一个景点旅游，他们两家去同一景点旅游的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用列表法进行计算即可． 【详解】解：设 表示华山、 表示华阳古镇、 表示太白山，列表如下： 共有9种情况，他们两家去同一景点旅游共有3中情况， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查利用列表法求概率．熟练掌握列表法求概率是解题的关键． 5. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转，得到，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化−旋转，勾股定理，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，求出的长度是解题的关键．作轴于M，再利用旋转的性质求出，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，利用勾股定理列式求出，然后求出点C的横坐标，再写出点C的坐标即可． 【详解】作轴于M，   ∵点B的坐标为， ， ， ， 故选：C． 6. 如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 先根据圆内接四边形的性质求出，再利用圆周角定理解答． 【详解】解： 四边形是的内接四边形， ， ， ， ， 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 7. 不等式组的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先求得每个不等式的解集，再求得它们的公共部分即可求解． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式组的解集为， 故答案为：． 8. 周末小高同学全家去饭店吃饭，他发现饭店房间里放着一个儿童座椅（如图），他观察这个儿童座椅的主体框架成三角形，从而保证儿童坐上去会很安全，这样的设计利用的数学原理是_______． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的性质，熟练掌握三角形具有稳定性是解题的关键． 根据三角形具有稳定性即可求解． 【详解】解：三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 9. 如图，正方形中，对角线，相交于点， 为 边中点，正方形的周长为16，则的长等于___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，中位线的性质．解题的关键在于熟练掌握中位线的性质． 由题意知是的中位线，则有，根据正方形的周长求边长，进而可求的长． 【详解】解：由题意知是的中位线 ∴ ∵正方形ABCD的周长为16 ∴ ∴ 故答案为；2． 10. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作．书中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高几何？译文：现有一扇门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少．横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图．设门的对角线长为尺，可列方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．先求出门高和门宽，再根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：根据题意可知，门高为尺，门宽为尺， 由勾股定理，得． 故答案为：． 11. 如图，在一根半径为的圆柱体零件的正中位置打一个正三角形孔，正三角形顶点离圆柱边缘不少于，则这个正三角形边长最大为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查正多边形与圆的计算，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，关键是根据等边三角形的性质得出，．根据等边三角形的性质与圆的性质解答即可． 【详解】解：如图所示：设正 的中心为O，作于D，连接， 是等边三角形，，设这个正三角形边长为 ， ，， ∴， 由勾股定理，得 ∴， 在一根半径为的圆柱体零件的正中位置打一个正三角形孔，正三角形顶点离圆柱边缘不少于， ， 即， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】原式根据平方差公式和单项式乘以多项式运算法则将括号展开，合并后把a的值代入计算即可． 【详解】解： = =， 当时，原式=． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题睥关键． 13. 投壶是中国古代的一种弓箭投掷游戏，弓箭投入壶内、壶耳会得到不同的分数，落在地上不得分．小龙与小华每人拿10支箭进行游戏，游戏结果如下，求一支弓箭投入壶内、壶耳各得几分？ 投入壶内 投入壶耳 落在地上 总分 小龙 3支 4支 3支 27分 小华 3支 3支 4支 24分 【答案】一支弓箭投入壶内、壶耳分别得5分，3分 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系正确列式是关键． 设一支弓箭投入壶内、壶耳分别得分， 分，由此列方程组求解即可． 【详解】解：设一支弓箭投入壶内、壶耳分别得分， 分， 根据题意，得， 解得， 答：一支弓箭投入壶内、壶耳分别得5分，3分． 14. 如图，B、C、E、F在同一直线上， 和都是等边三角形，且，求证：． 【答案】 证明：∵ 和都是等边三角形，且， ∴，， ∴， ，即， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】由等边三角形的性质可知，由此推出，再证，根据即可证明． 【详解】略 【点睛】本题考查全等三角形的判定，等边三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 15. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按要求画图． （1）在图1中以A为顶点作面积为5的正方形 （2）在图2中以A为顶点作面积为4的菱形 （3）在图3中以A为顶点作面积为3的平行四边形（） 【答案】（1） 如图，正方形即为所求， （2） 如图，菱形即为所求， （3） 如图，平行四边形即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形、正方形的判定和性质，勾股定理； （1）作一个边长为的正方形即可； （2）根据菱形的性质作图即可； （3）根据平行四边形的性质作图即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 16. 在一项科学实验中，研究人员对不同形状的物体进行了压力测试，这些物体的质量相同，但形状各异．研究人员将这些物体放置在水平的测试平台上，并记录了测试平台受到的压力（单位：）与受力面积（单位：）之间的关系，结果如下表所示． 桌面所受压强 50 100 200 400 受力面积 2 1 （1）根据如表数据，求桌面所受压强与受力面积之间的函数表达式． （2）现将相同质量，且边长为的正方体放置于该水平玻璃桌面上．若该玻璃桌面能承受的最大压强为，请你判断这种摆放方式是否安全？并说明理由． 【答案】（1） （2）安全， 理由如下： 由题意可知， ∴将长方体放置于该水平玻璃桌面上， ， ∵， ∴这种摆放方式安全． 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式． （1）用待定系数法可得函数关系式即可； （2）算出S，即可求出P，比较可得答案． 【小问1详解】 解：由表格可知，压强P与受力面积S的乘积不变， 故压强P是受力面积S的反比例函数， 设，将代入， 解得 ， ∴； 【小问2详解】 略 17. 某物流企业为了提高配送效率和客户满意度，对公司业务流程进行了细致的分析．公司随机抽取了件某日发往 市的快递包裹，称重并记录每件包裹的重量（单位：，精确到）．下面给出了部分信息． a．下图为每件包裹重量的频数分布直方图如下（数据分 组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，第7组，第8组，第9组，第组，第 组）： b．在这一组的数据如下： c．这件包裹重量的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 包裹重量（单位：） 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）写出 的值； （3）下面五个结论中，① 的值一定在这一组；② 的值可能在这一组；③ 的值可能在这一组；④ 的值不可能在这一组；⑤ 的值不可能在这一组．所有正确结论的序号是________； （4）某日此快递公司将要发往A市的快递包裹统一打包装箱，其中一个集装箱中的包裹总重量为，请估计这个集装箱中共有多少件包裹？ 【答案】（1） 补全统计图如下； （2） （3）③⑤ （4）件 【解析】 【分析】（1）解：由题意知，第3组的人数为（人），然后补图即可； （2）由题意知， ，，的包裹数为（件），则中位数在 这一组，然后根据中位数是第个数的平均数求解作答即可； （3）由题意知，每一组共个重量值，然后根据众数的定义判断作答即可； （4）根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，第3组的人数为（人）， 【小问2详解】 解：由题意知，，，的包裹数为（件）， ∴中位数在这一组， 将这一组的数从小到大依次排序为：， ∴， ∴ 的值为； 【小问3详解】 解：由题意知，这一组的频数为； 这一组的频数为； 这一组的频数为； 这一组的频数为； 这一组的频数为； ∵每一组共个重量值， ∴ 的值可能在这一组，可能性较大，①说法太绝对，错误，故不符合要求； 的值不可能在这一组，频数太小，②错误，故不符合要求； 的值可能在这一组，可能性较大，③正确，故符合要求； 的值可能在这一组，④错误，故不符合要求； 的值不可能在这一组，⑤正确，故符合要求； 故答案为：③⑤． 【小问4详解】 解：由题意知，（件）， ∴估计这个集装箱中共有件包裹． 【点睛】本题考查了条形统计图，中位数，众数，平均数等知识．熟练掌握条形统计图，中位数，众数，平均数是解题的关键． 18. 图①是一款可调节椅背的沙发椅，它可以减轻使用者的脊椎压力．图②是它的侧面示意图，椅背，将椅背角度从调节到（即，）时，分别过点 、 作于点 ，于点 ，求水平方向增加的距离长．（结果精确到；参考数据：，，，） 【答案】水平方向增加的距离长为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．在与中，利用三角函数的定义列式计算即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， 在与中， ， ， ∴ ． 答：水平方向增加的距离长为． 19. 数学兴趣小组的同学们受《乌鸦喝水》故事的启发，在数学实验室中，利用带刻度的容器和匀速流水的水龙头进行数学实验． （1）如图，有三种不同形状的容器，现向三种容器匀速注水，恰好注满时停止．已知注水前 图①的容器中有的水，图②容器中有的水，图③容器中没有水，是空的．图①和图②的注水速度均为 ，图③的注水速度为．设容器中水的体积为 （单位：），注水时间为（单位： ）．请分别写出三个容器中 关于的函数表达式，填写在图中对应的横线上． （2）如图④，同学们自己制作了一个特殊的容器，这个特殊容器有上、下两个高度相同的圆柱体组合而成，且上圆柱体底面圆的半径是下圆柱体底面圆的半径的一半．已知这个特殊容器的高为，注水前，容器内的水面高度是，现向容器匀速注水，直至容器恰好注满时停止，每记录一次水面的高度（单位：），前5次数据如下表所示． 注水时间 0 5 10 15 20 … 水面高度 4 5 6 7 8 … ①在平面直角坐标系中，请画出水面高度关于注水时间 的函数图像，并标注相关数据； ②在水面高度满足时，则注水时间 的取值范围是__________． 【答案】（1）①； ②； ③； （2）①如图： ② 【解析】 【分析】（1）注入水的体积=注水时间注水速度+原有水的体积，据此依次解题； （2）①根据题意先解得下圆柱体注满水的时间，再结合表格信息解得上圆柱体水面高度关于注水时间 的一次函数，接着令时，解得，即当时，上圆柱体开始注水，根据上圆柱体底面圆的半径是下圆柱体底面圆的半径的一半，得到注水速度是下圆柱体注水速度的倍，继而得到上容器注水时间最多为，利用待定系数法解得下圆柱体水面高度关于注水时间 的一次函数； ②分别令、时，代入相应的解析式，解得当时的时间值即可求解． 【详解】（1）根据注入水的体积=注水时间注水速度+原有水的体积得， ①；②；③， 故答案为：①；②；③； （2）①由（1）知水面高度是关于注水时间 的一次函数， 容器上、下两个高度相同 上、下面的容器高均为 由表格信息知注水， 下容器注水时间最多为 设 代入得 ； 当时，， 上圆柱体底面圆的半径是下圆柱体底面圆的半径的一半， 上圆柱体底面圆的面积是下圆柱体底面圆的面积的， 即上圆柱体的注水速度是下圆柱体的注水速度， 上容器注水时间最多为 设 代入得 ； ②当时，即 当时，即 水面高度满足时，则注水时间 的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用、画函数的图像等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 20. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“平行四边形的折叠”为主题开展数学活动． 问题情境： 已知中∠A为锐角，，点E、F分别是 、 边的中点，点G、H分别是、边上的点．分别沿 和折叠，点A、C的对应点分别为点、． （1）操作判断：如图（1），折叠后点与点B重合，点与点D重合． ①四边形________平行四边形（填“是”或“不是”）． ②当满足某个条件时，四边形能成为矩形．这个条件可以是________． （2）迁移探究：如图（2），若点，落在内部（含边界），连接，，若，则四边形是平行四边形吗？若是，请就图（2）进行证明；若不是，请说明理由． （3）拓展应用：在（2）的条件下，若，，且，则此时四边形的面积为________． 【答案】（1）①是；②∠A=45°（答案不唯一） （2）四边形是平行四边形， 证明：四边形是平行四边形． 如图，连接GH．     ∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∵点E、F分别是 、 的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 由折叠可知，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （3） 【解析】 【分析】（1）①是；由折叠知，,，可证，可证，从而，命题得证；②∠A=45°（答案不唯一）；若，可证，得证四边形是矩形． （2）四边形是平行四边形．如图，连接GH．求证，得．结合折叠证得，，从而，于是，结论得证． （3）如图，，则点落在上，，可证为等边三角形，于是，中，根据勾股定理，，于是． 【小问1详解】 解：①是； 由折叠知，, ∵中, ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形． ②∠A=45°（答案不唯一） 若，则 而四边形是平行四边形 ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，，则点落在上，， 由折叠知，． ∴为等边三角形， ∴． 在中，根据勾股定理，． ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理；运用全等三角形判定线段相等、角相等是解题的关键． 21. 如图，在中，，，，动点从点 出发，沿 以每秒 个单位长度的速度向终点 运动．过点作交于点 （点不与点 、 重合），以为邻边作平行四边形．设点的运动时间为 秒． （1）用含 的代数式表示线段的长； （2）当点 落在边上时，求t的值； （3）当点 在边上时，设平行四边形与 重叠部分图形的面积为，请直接写出与 之间的函数关系式，并写出 对应的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意在中，①当 在上时，，在中，，②当 在上时，，，即可求解； （2）分别求得，根据，列方程，解方程即可求解； （3）①当时，直接求得平行四边形的面积，②当时，如图，设 与交于点 ，交于点 ，先证明得，，根据列出函数关系式． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 过点 作于点 ， ∴， 当点与 重合时，，此时 与点 重合 由题意得：， ①当 在上时，，在中，， ②当 在上时，，， 综上所述，； 【小问2详解】 如图，当 落在边上时， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 解得 【小问3详解】 ①当时，， ②当时，如图，设 与交于点 ，交于点 ， ∵， ∴， ∵，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴ ， 综上所述，． 【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，列函数关系式，列代数式，综合运用以上知识是解题的关键． 22. 已知抛物线经过点，点在抛物线上，横坐标为 ，点不与点 重合． （1）求此抛物线的解析式； （2）当时，求 的取值范围； （3）若点都在函数图象上，且，则________（填“>”“<”或“=”）； （4）将抛物线上， 两点之间的部分（包括端点）记作图象 ，当图象 的最高点与最低点在直线的异侧时，直接写出 的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法把代入，解方程组即可； （2）先求出抛物线的对称轴，然后结合图象求解即可； （3）根据二次函数的增减性求解即可； （4）分四种情况：当时，当时，当时，当时，利用图象法求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得 ， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴抛物线的对称轴是直线，顶点为， ∵当时，， ∴当时， 的取值范围； 【小问3详解】 ∵， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线，抛物线开口向上， ∴在对称轴左侧y随x的增大而减小， ∴． 故答案为：； 【小问4详解】 当时，最高点为，最低点为，如图， 则， 解得：； 当时，最高点为，最低点为，如图， 则， 解得：； 当时，最高点为，最低点为，如图， 则， 解得： ； 当时，最高点为，最低点为，如图， 则， 该不等式组无解； 综上所述，m的取值范围为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一次函数图象的交点，解题关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，运用数形结合思想和分类讨论思想解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $