精品解析：2025年广东省深圳市坪山区中考二模数学试卷

2024-2025学年度第二学期九年级调研测试试卷 数学 说明： 1．全卷共6页．考试时间90分钟，满分100分． 2．答题前，请将姓名、学校和准考证号用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定位置，并粘贴好条形码．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 深圳地铁14号线及16号线开通后，极大方便了坪山人民的日常出行．下列地铁图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 深圳坪山某车企第1000万辆新能源汽车下线，成为全球首家达成这一成就的车企，这既是坪山产业发展的高光时刻，也是深圳汽车工业发展史上新的里程碑．将1000万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙、丙、丁四家配餐公司提供的卤鸡腿的质量平均数与方差如下表所示，若要选择鸡腿质量更大且出品更加稳定的配餐公司，则应选择的公司是（ ） 甲 乙 丙 丁 平均质量（克） 120 120 110 110 方差 18.2 4.9 20.1 12.7 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 随着科技的进步和人工智能技术的成熟，仿生机器狗有望成为人们生活中的重要伙伴．如图所示，仿生机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（ ） A. B. C. D. 6. “科技点亮未来，创新成就梦想”，在坪山区某九年一贯制学校2025年的科技节活动中，水火箭这一汇聚了物理智慧与巧妙构思的科技作品，闪耀着耀眼的光芒，水火箭从地面竖直向上弹出，其初始速度为20米/秒．水火箭在空中的高度（米）与时间 （秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（ ） A. 1秒 B. 2秒 C. 3秒 D. 4秒 7. 在“书香随行，快乐过年”的寒假阅读活动中，小明每天实际阅读的页数比原计划多了30页，因此实际阅读160页书所用的时间与计划阅读100页书所用的时间相同．设小明每天原计划读的页数为页，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是李明在学校数学推理社团课的部分笔记，请根据笔记推理过程计算：（ ） 求的值 解：令， 则 故， 因此 A. B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 因式分解：a3－a=______． 10. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为__________． 11. 为了方便学生在校午休，某学校购入了一批可调节椅背且配备可折叠脚踏板的桌椅．若午休时椅背与椅座间的倾斜角达到 ，脚踏板拉起后与椅座 在一条直线上，测量得到，，，则使用该椅子午休时 方向的占地长度为____________． 12. 如图，在反比例函数上有两点和，若在第二象限存在一点 ，使得四边形为平行四边形，且平行四边形的面积为8，则点 的坐标为______________． 13. 如图，在 中， ，，，点在线段 上且满足，与 交于点 ，若，则_______________． 三、解答题（本大题共7个小题，满分61分） 14. （1）计算：； （2）在解分式方程时，小亮的解法如下： 第一步：方程两边都乘，得． 第二步：解这个方程，得 ． 第三步：经检验， 为原方程的解． ①在上述解方程过程中，从第______________步开始错误； ②错误的原因是____________________． 15. 先化简，再求值：，再从，0，1，2中，选个合适的值作为代入求值． 16. 坪山大剧院位于坪山文化聚落，是一个戏剧文化的综合空间、一个先锋戏剧的原创基地、一个品质引领的文化地标．为了加深对于戏剧文化的了解，小坪同学和小山同学准备组织一次到坪山大剧院的观剧活动．他们对同班同学发放了调查问卷，统计同学们最喜欢的戏剧种类，其调查结果如下： （1）班级总人数为_______________人，__________________°； （2）补全条形统计图； （3）若小坪和小山所在的年级有800人，估计该年级喜欢舞剧的人数是多少？ （4）坪山大剧院周五，周六和周日将推出同一场音乐剧，假设小坪和小山分别打算去看这场音乐剧，且每一天去看音乐剧的可能性相同，那么在事先没有约好的情况下，小坪和小山选择同一日期看音乐剧的概率是多少？（请用画树状图或列表等方法说明理由）． 17. 如图，在 中， ，，． （1）请用圆规和没有刻度的直尺作出，使圆心 在 边上，且与 ， 两边都相切；（保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）在（1）的条件下，求的半径长． 18. 坪山区某校积极响应《每周半天计划》相关文件精神，计划组织全校师生开展户外研学，该校某数学兴趣小组就租车问题展开了调查研究，取得了如下信息： 信息1 大型客车载客量为50人，中型客车载客量为30人，此前 校租用6辆大型客车4辆中型客车花费4400元； 校租用4辆大型客车，8辆中型客车花费4800元． 信息2 该校六年级师生共460人，租车费用的预算为4900元，拟租用10辆车． 任务1 一辆大型客车和一辆中型客车的租金分别为多少元？ 任务2 若要控制租车费用在预算范围内，在保证10辆车一次性将六年级师生全部送达目的地的前提下，请写出所有的租车方案，并求出花费最少的方案比预算节省的费用． 19. 综合与实践 深圳自然博物馆位于广东省深圳市坪山区燕子湖片区，共划分为陈列展览区、藏品保管保护区、公共服务区、科普教育区、综合业务与学术研究区以及地下车库和设备用房六大功能部分，是深圳市“新时代十大文化设施”之一，建成后将成为粤港澳大湾区首座大型综合类自然博物馆，填补了该区在综合类自然博物馆方面的空白．坪山区某中学数学兴趣小组对该项目设计图进行了研究： 把建筑俯视图的一部分抽象为以下图象：曲线、曲线、曲线和曲线，它们均可以看成某二次函数图象的一部分，后三者都可以看成由曲线平移得到，的长度为6．如图1，兴趣小组建立平面直角坐标系，已知曲线最高点 点坐标为． （1）求曲线所在抛物线的解析式（不需要写自变量的取值范围）． （2）如图2，现在需要在建筑的顶部划出一片矩形区域来做绿化，下图所示，其中轴，求矩形花园周长的最大值． （3）如图3，为了增强建筑物晚上的整体美观度，如果在建筑的曲线和曲线的外墙上安装具备灯光效果的垂直灯具，假设每个垂直灯具的水平间距为0.6，即，请问至少需要安装垂直灯具____________个． 20. 在菱形 中，点为射线 （不与 点重合）上一动点，连接，点 为中点，连接 ，将沿 翻折得到，连接． （1）如图1，连接与的位置关系是 ；与 的位置关系是 ； （2）如图2，若，当点运动到 中点时，求的值； （3）已知，若，则 的长为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期九年级调研测试试卷 数学 说明： 1．全卷共6页．考试时间90分钟，满分100分． 2．答题前，请将姓名、学校和准考证号用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定位置，并粘贴好条形码．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 深圳地铁14号线及16号线开通后，极大方便了坪山人民的日常出行．下列地铁图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义，进行判断即可．熟练掌握轴对称图形的定义，是解题的关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选C 2. 深圳坪山某车企第1000万辆新能源汽车下线，成为全球首家达成这一成就的车企，这既是坪山产业发展的高光时刻，也是深圳汽车工业发展史上新的里程碑．将1000万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：1000万； 故选D． 3. 下列运算中结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，幂的乘方计算，单项式除以单项式和积的乘方计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 4. 甲、乙、丙、丁四家配餐公司提供的卤鸡腿的质量平均数与方差如下表所示，若要选择鸡腿质量更大且出品更加稳定的配餐公司，则应选择的公司是（ ） 甲 乙 丙 丁 平均质量（克） 120 120 110 110 方差 18.2 4.9 20.1 12.7 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用平均数和方差做决策，正确理解平均数和方差的意义是解题的关键； 比较平均数可判断应该选择甲与乙公司，再根据方差越小数据就越稳定可得答案． 【详解】解：∵， ∴从鸡腿质量更大的角度应该选择甲公司或乙公司， ∵， ∴从稳定性来说应该选择乙公司， 故选：B． 5. 随着科技的进步和人工智能技术的成熟，仿生机器狗有望成为人们生活中的重要伙伴．如图所示，仿生机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，过E作，得到，推出，即可求出的度数． 【详解】解：过E作， ∵， ∴， ∴，， ， ∴， ∵，， ∴． 故选：C． 6. “科技点亮未来，创新成就梦想”，在坪山区某九年一贯制学校2025年的科技节活动中，水火箭这一汇聚了物理智慧与巧妙构思的科技作品，闪耀着耀眼的光芒，水火箭从地面竖直向上弹出，其初始速度为20米/秒．水火箭在空中的高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（ ） A. 1秒 B. 2秒 C. 3秒 D. 4秒 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用．易得抛物线的开口向下，那么当时，函数有最大值，即可求得相应的运动时间． 【详解】解：∵，， ∴当秒时，水火箭达到最高点． 故选：B． 7. 在“书香随行，快乐过年”的寒假阅读活动中，小明每天实际阅读的页数比原计划多了30页，因此实际阅读160页书所用的时间与计划阅读100页书所用的时间相同．设小明每天原计划读的页数为页，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据实际阅读160页书所用的时间与计划阅读100页书所用的时间相同，列出方程即可． 【详解】解：设小明每天原计划读的页数为页，则实际每天读页，由题意，得：； 故选B． 8. 如图是李明在学校数学推理社团课的部分笔记，请根据笔记推理过程计算：（ ） 求的值 解：令， 则 故， 因此 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数字规律类探索，含乘方的有理数的混合运算，设，则，用即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据题意， 设， ∴， 得：， ∴， 故选：A． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 因式分解：a3－a=______． 【答案】a（a－1）（a + 1） 【解析】 【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】解：a3-a =a（a2-1） =a（a+1）（a-1） 故答案为：a（a－1）（a + 1）． 【点睛】本题考查了提公因式法和公式法，熟练掌握公式是解题的关键． 10. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的个数与根的判别式的关系．根据题意得，进行计算即可得． 【详解】解：若关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ， 故答案为：． 11. 为了方便学生在校午休，某学校购入了一批可调节椅背且配备可折叠脚踏板的桌椅．若午休时椅背与椅座间的倾斜角达到 ，脚踏板 拉起后与椅座在一条直线上，测量得到，，，则使用该椅子午休时方向的占地长度为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，过点作，交的延长线于H，根据余弦的定义求出 ，根据题意计算得到答案． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于H， ∵， ∴， 在中，，， 则， ∴使用该椅子午休时方向的占地长度为：， 故答案为：． 12. 如图，在反比例函数上有两点和，若在第二象限存在一点，使得四边形为平行四边形，且平行四边形的面积为8，则点的坐标为______________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的判定与性质，连接，过点B，C分别作x轴的垂线，垂足分别为D，E，则，再求出得点，点，进而得线段 的中点坐标为，设点，则线段的中点坐标为，根据平行四边形性质得，，继而得点，再根据面积公式得，，，由此得，据此解出k即可得出点C的坐标． 【详解】解：连接，过点B，C分别作x轴的垂线，垂足分别为D，E，如图所示： 则四边形是直角梯形， ∵四边形是平行四边形，且面积为8， ∴， ∵点和都在反比例函数的图象上， ∴， ∴点，点， ∴线段 的中点坐标为， 设点， ∴线段的中点坐标为， ∵四边形是平行四边形， ∴线段 的中点与线段的中点重合， ∴，， ∴，， ∴点， ∵轴，轴， ∴，，，， ∴， ∴，， 又∵， ∵， ∴， 整理：， ∴， ∵反比例函数的图象在第一象限， ∴， ∴， ∴点C的坐标为． 故答案为：． 13. 如图，在 中，，，，点在线段 上且满足， 与交于点 ，若，则_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了四点共圆、勾股定理、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．由C可知点A、B、C、F四点共圆，进而利用圆周角定理导角可得，，所以，进而利用角平分线性质定理结合面积可得，据此设参，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，即， ∴点A、B、C、F四点共圆， 连接， ∴，， ∴， ∴， ∴ 平分， ∴到 、的距离相等， ∵， ∴， 设，则， 设，则， 在中，， 即， 解得， ∴； 故答案为：． 三、解答题（本大题共7个小题，满分61分） 14. （1）计算：； （2）在解分式方程时，小亮的解法如下： 第一步：方程两边都乘，得． 第二步：解这个方程，得 ． 第三步：经检验， 为原方程的解． ①在上述解方程过程中，从第______________步开始错误； ②错误的原因是____________________． 【答案】（1）2；（2）①一；②方程右边的这一项漏乘了 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，零指数幂，解分式方程，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算特殊角三角函数值和零指数幂，再去绝对值后计算加减法即可得到答案； （2）观察解题过程可知，第一步在去分母时，方程右边的这一项漏乘了，据此可得答案． 【详解】解：（1） ； （2）观察可知，上述解方程过程中，从第一步开始错误，错误原因是方程右边的这一项漏乘了． 故答案为：一；方程右边的这一项漏乘了． 15. 先化简，再求值：，再从，0，1，2中，选个合适的值作为代入求值． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，再约分，然后从，0，1，2中，选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴，0，1，2中，只有符合题意， 当时，原式． 16. 坪山大剧院位于坪山文化聚落，是一个戏剧文化的综合空间、一个先锋戏剧的原创基地、一个品质引领的文化地标．为了加深对于戏剧文化的了解，小坪同学和小山同学准备组织一次到坪山大剧院的观剧活动．他们对同班同学发放了调查问卷，统计同学们最喜欢的戏剧种类，其调查结果如下： （1）班级总人数为_______________人，__________________°； （2）补全条形统计图； （3）若小坪和小山所在的年级有800人，估计该年级喜欢舞剧的人数是多少？ （4）坪山大剧院周五，周六和周日将推出同一场音乐剧，假设小坪和小山分别打算去看这场音乐剧，且每一天去看音乐剧的可能性相同，那么在事先没有约好的情况下，小坪和小山选择同一日期看音乐剧的概率是多少？（请用画树状图或列表等方法说明理由）． 【答案】（1）50，144 （2） 补全条形统计图如下： （3）128人 （4），理由： 列表如下： 小山 小坪 五 六 日 五 （五，五） （五，六） （五，日） 六 （六，五） （六，六） （六，日） 日 （日，五） （日，六） （日，日） 共有9种等可能的结果，其中小坪和小山选择同一日期看音乐剧的结果有（五，五），（六，六），（日，日）共3种，（没有列出情况不得分） 两人同一日期看音乐剧的概率为． 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）利用喜欢戏曲的人数除以喜欢戏曲的人所占的比，可以求出总人数，再用乘以喜欢音乐剧的学生所占的比，可以求出圆心角度数； （2）用总人数减去喜欢戏曲、音乐剧、舞蹈的人数可以求出喜欢话剧的人数，补全条形统计图即可； （3）用800乘以喜欢舞剧的学生所占的比即可； （4）画树状图或者列表可得出所有等可能的结果数以及小坪和小山选择同一日期的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：班级总人数为（人）， 喜欢音乐剧的人数所对应的圆心角的度数为， 故答案为：50，144； 【小问2详解】 解：喜欢话剧的人数为（人）； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该年级喜欢舞剧的人数为128人． 【小问4详解】 略 17. 如图，在 中， ，，． （1）请用圆规和没有刻度的直尺作出，使圆心在边上，且与 ，两边都相切；（保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）在（1）的条件下，求的半径长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，角平分线的性质及其尺规作图，勾股定理，全等三角形的性质与判定等待，熟知切线的性质与判定定理是解题的关键． （1）作 的角平分线交于P，再以点P为圆心， 的长画圆，则即为所求； （2）设与 相切于点，连接．则，由勾股定理得到，证明得到，则，由勾股定理得，即，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，作 的角平分线交于P，再以点P为圆心， 的长画圆，则即为所求； 由角平分线的性质可得点P到的距离相等，由 ，可得点P到的距离都等于的半径，即与都相切； 【小问2详解】 解：设与 相切于点，连接．则， 在 中，由勾股定理得， 设的半径为，则， 在与中， ，． ， ∴ 在中，由勾股定理得，即 解得， 的半径长为． 18. 坪山区某校积极响应《每周半天计划》相关文件精神，计划组织全校师生开展户外研学，该校某数学兴趣小组就租车问题展开了调查研究，取得了如下信息： 信息1 大型客车载客量为50人，中型客车载客量为30人，此前校租用6辆大型客车4辆中型客车花费4400元；校租用4辆大型客车，8辆中型客车花费4800元． 信息2 该校六年级师生共460人，租车费用的预算为4900元，拟租用10辆车． 任务1 一辆大型客车和一辆中型客车的租金分别为多少元？ 任务2 若要控制租车费用在预算范围内，在保证10辆车一次性将六年级师生全部送达目的地的前提下，请写出所有的租车方案，并求出花费最少的方案比预算节省的费用． 【答案】任务一：一辆大型客车的租金为500元，一辆中型客车的租金为350元；任务二：方案一：租8辆大型客车，2辆中型客车方案二：租9辆大型客车，1辆中型客车；方案一的花费最少，比预算节省200元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，解题的关键是： （1）设一辆大型客车的租金为元，一辆中型客车的租金为 元，根据“校租用6辆大型客车4辆中型客车花费4400元；校租用4辆大型客车，8辆中型客车花费4800元”列方程组求解即可； （2）设租用辆大型客车，租用辆中型客车，根据总载客量不少于460人且总租金不超过4900元，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各租车方案，然后求出选择各租车方案所需总租金，比较即可得出结论． 【详解】任务一：解：设一辆大型客车的租金为元，一辆中型客车的租金为 元．根据题意得： ， 解得 所以一辆大型客车的租金为500元，一辆中型客车的租金为350元． 任务二：解：设租用辆大型客车，租用辆中型客车， 根据题意得： ， 解得， 为正整数，所以可以为8或9． 方案一：租8辆大型客车，2辆中型客车 方案二：租9辆大型客车，1辆中型客车． ∵方案一的费用为：（元） 方案二的费用为：（元） ∴方案一的花费最少，比预算节省200元． 19. 综合与实践 深圳自然博物馆位于广东省深圳市坪山区燕子湖片区，共划分为陈列展览区、藏品保管保护区、公共服务区、科普教育区、综合业务与学术研究区以及地下车库和设备用房六大功能部分，是深圳市“新时代十大文化设施”之一，建成后将成为粤港澳大湾区首座大型综合类自然博物馆，填补了该区在综合类自然博物馆方面的空白．坪山区某中学数学兴趣小组对该项目设计图进行了研究： 把建筑俯视图的一部分抽象为以下图象：曲线、曲线、曲线和曲线，它们均可以看成某二次函数图象的一部分，后三者都可以看成由曲线平移得到， 的长度为6．如图1，兴趣小组建立平面直角坐标系，已知曲线最高点点坐标为． （1）求曲线所在抛物线的解析式（不需要写自变量的取值范围）． （2）如图2，现在需要在建筑的顶部划出一片矩形区域来做绿化，下图所示，其中轴，求矩形花园周长的最大值． （3）如图3，为了增强建筑物晚上的整体美观度，如果在建筑的曲线和曲线的外墙上安装具备灯光效果的垂直灯具，假设每个垂直灯具的水平间距为0.6，即，请问至少需要安装垂直灯具____________个． 【答案】（1） （2）20 （3）27 【解析】 【分析】（1）设出顶点式，根据图象过原点，待定系数法求出函数解析式即可； （2）平移求出曲线的解析式，设，根据周长公式，列出二次函数求最值即可； （3）求出 的长，进而求出的长，再除以间距即可． 【小问1详解】 解：∵曲线最高点点坐标为 ∴设， ∵图象过原点， ∴， 解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵曲线由曲线平移得到， 的长度为6， ∴曲线的解析式为：， 设， 由题意，可知：，关于对称轴 对称， ∴， ∴矩形花园周长为： ， ∴当时，矩形花园的周长最大，为20； 【小问3详解】 ∵， ∴对称轴为直线 ， ∵， ∴， ∴， ∵曲线、曲线和曲线，都可以看成由曲线平移得到， ∴， ∵每个垂直灯具的水平间距为0.6， ∴， ∴至少需要安装垂直灯具个． 故答案为：27 20. 在菱形 中，点为射线（不与点重合）上一动点，连接 ，点 为 中点，连接 ，将沿 翻折得到，连接． （1）如图1，连接与的位置关系是 ；与 的位置关系是 ； （2）如图2，若，当点运动到中点时，求的值； （3）已知，若，则的长为 ． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形与翻折的结合，三角形中位线的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数比，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并作出辅助线． （1）连接，延长 交于 ，利用翻折的性质可得是的中位线，利用三角形中位线的性质即可得出结论； （2）延长 交于 ，设，则，利用勾股定理表示出，利用三角函数比表示出和，设，，利用勾股定理得到，再利用三角形中位线的性质可得答案； （3）分两种情况进行讨论，即当点在上时和当点在延长线上时，利用锐角三角函数比，勾股定理及相似三角形的判定和性质分别求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接，延长 交于 ， 由折叠的性质可知 垂直平分， 是中点， 是 中点， 是的中位线， ，即， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：如图，延长 交于 ， ∵四边形 是菱形，且， ， ， 若连接对角线，则 为等边三角形， ∵点为中点， ， 设，则， 由勾股定理得， ， 是 中点， ∴， ， 由（1）可知，，， ， 又， ， ， ， 设，， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得， 由题意可得，为的中位线， ∴， ； 【小问3详解】 解：①如图，当点在上时，延长 交于 ， ，， ， 在中，设，则， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ，， 在中，， ， 整理得：， 解得（负值舍去）， ， ； ② 当点在延长线上时， 同理可得， 设，则， ， ，即， 解得， ， 过作于点 ，则，， ， ； 综上，的长为或； 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $