精品解析：2025年山东省临沂市沂水县沂蒙中学九年级中考数学模拟试题二

2025年山东省临沂市沂水县沂蒙中学九年级中考数学模拟试题二 本试卷共4页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列四个数中，是无理数的是（ ） A. 0.121 212 12… B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查无理数，特殊角的三角函数值，化简特殊角的三角函数，根据无限不循环小数是无理数，进行判断即可． 【详解】A、0.121 212 12…是无限循环小数，不是无理数； B、是分数，不是无理数； C、，不是无理数； D、是无理数． 故选D． 2. 六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，它的三种视图中是轴对称图形的是（ ） A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 三种视图都是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三视图，轴对称图形的识别，先确定三视图，再根据轴对称图形的定义进行判断即可．正确的画出三视图，掌握轴对称图形的定义，是解题的关键． 【详解】解：该几何体的左视图，主视图和俯视图分别为： ，， 只有左视图是轴对称图形， 故选B． 3. 把0.004写成（，n为整数）的形式，则为（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，代数式求值，先根据用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法计算出a和n的值，代再入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 4. 现有下列命题，其中真命题是（ ） A. 的平方根是 B. 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方 C. 两条直线被第三条直线所截，则同位角相等 D. 相等的圆周角所对的弧相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查命题的真假，根据平方根的定义，勾股定理，平行线的性质，圆周角定理，逐一进行判断即可． 【详解】A、，原命题是假命题； B、直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，原命题是真命题； C、两条平行的直线被第三条直线所截，则同位角相等，原命题是假命题； D、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，原命题是假命题． 故选B． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据平方根的定义，二次根式的加法，乘法公式，二次根式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：，故选项A错误，不符合题意； 与不是同类项，不能合并，故选项B错误，不符合题意； ，故选项C正确，符合题意； ，故选项D错误，不符合题意． 故选C． 6. 下图是甲、乙两同学五次数学测试成绩的折线图，比较甲、乙的成绩，下列说法正确的是（ ） A. 甲平均分高，成绩稳定 B. 甲平均分高，成绩不稳定 C. 乙平均分高，成绩稳定 D. 乙平均分高，成绩不稳定 【答案】D 【解析】 【详解】解： ∴乙的平均数较高;乙的离散程度较高，不稳定，甲的离散程度较低，比较稳定; 故选: D. 7. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点，之间的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平移性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握平移性质和正方形的性质是解答的关键，由题意得，根据正方形的性质和勾股定理，求出，进而求出答案即可； 【详解】解：由题意得， 四边形是正方形， ， ， ， 点D，之间的距离为， 故选：A． 8. 下列有关一次函数的说法中，错误的是（ ） A. y的值随着x增大而减小 B. 当时， C. 函数图象与y轴的交点坐标为 D. 函数图象经过第一、二、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】A、∵，∴y的值随着x增大而减小，正确，不符合题意； B、∵时，，又∵y的值随着x增大而减小， ∴当时，，原说法错误，符合题意； C、∵当时，，∴函数图象与y轴的交点坐标为，正确，不符合题意； D、∵，∴函数图象经过第一、二、四象限，正确，不符合题意． 故选B． 9. 如图，是的直径，是弦，于，，，则的长为（ ） A. 8 B. 10 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接OA，设，则，根据勾股定理，列出关于r的方程，解方程，得出，再在Rt△ACE中，利用勾股定理求出AC的长即可． 【详解】解：连接OA，如图所示： ∵CD⊥AB， ∴， 设，则， 在Rt△OAE中，， 即， 解得：， ∴， ∴，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，根据题意求出圆的半径，是解题的关键． 10. 如图，中，，于D，平分，且于E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点G．下列结论正确的有（　　）个． ①；②；③是等腰三角形；④；⑤； A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由“”可证，可得，故 ① 正确．由等腰三角形的性质可得 ，故②正确，由角的数量关系可求，可得，即是等腰直角三角形，故③正确．由全等三角形的性质可得，则可得，故④正确；由角平分线的性质可得点F到的距离等于点F到的距离，由三角形的面积公式可求 ，故⑤正确，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，故①正确． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故③正确． ∵， ∴， ∴，故④正确； ∵平分， ∴点F到的距离等于点F到的距离， ∴ ，故⑤正确， 所以，正确的结论是①②③④⑤，共5个 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的面积公式等知识，证明三角形全等是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 分解因式： _____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握分解因式的方法，分解因式的主要方法有：提公因式法、公式法、十字相乘法． 直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式得出答案． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 12. 如图，在四边形中，对角线，相交于点，其中，请你再添加一个条件，使四边形为平行四边形，可以添加的条件是_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据平行四边形的判定方法添加条件即可． 【详解】解：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 故可添加， 根据两组对边分别相等的四边形为平行四边形， 故可添加， 故答案为：．（答案不唯一） 13. 若分式方程的解为正整数，则整数m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 先解关于的方程，表示出方程的解，由解是正整数，确定出整数的值即可． 【详解】解：， 去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 由方程的解是正整数，得到为正整数，即或， 解得：或 当时，． 当时，，原方程分母为0，原方程无解． ∴． 故答案为：． 14. 如图，在一次数学实践活动课中，小阳所在的学习小组计划测量学校教学楼上校训牌的高度，小阳先在教学楼前的广场C处测得校训牌下端B的仰角为，然后他朝正对教学楼方向前进到达D处，又测得该校训牌上端A处的仰角为．若教学楼的高，小阳的眼睛离地面的距离．已知A，B，E三点共线，，校训牌的顶端与教学楼顶端平齐，则校训牌的高度为___m．（结果保留整数．参考数据：）  【答案】3 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，延长交于点F，分别解和，求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可．添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点F，则四边形，都是矩形， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故答案为3． 15. 如图，矩形中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P作射线，过点C作的垂线分别交，于点M，N，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，设交与点J，过点J作于点K．首先利用相似三角形的性质证明，再想办法求出，可得结论． 【详解】解：如图，设交与点J，交与点T．过点J作于点K． 四边形是矩形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， 由作图可知平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图基本作图，矩形的性质，角平分线的性质定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 16. 已知，为x轴上两点，，为二次函数图象上两点，当时，二次函数y随x增大而减小，若，时，恒成立，则A、B两点的最大距离为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，综合运用二次函数的图象及性质，掌握数形结合思想是解题的关键． 由二次函数图象及性质可得对称轴为，再根据当时，二次函数y随x增大而减小可得．根据图象及性质可得，进而得到，求解得，因此，从而根据点A，B的坐标即可求解． 【详解】∵二次函数中，， ∴二次函数图象开口向上，对称轴为 ∵当时，二次函数y随x增大而减小， ∴，即 当时，， ∵， ∴在中， 当时，y有最大值，为， 当时，y有最小值，为， ∴当，时， ∵恒成立， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴A、B两点的最大距离为． 故答案为：8 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）化简：； （2）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）； （2）， 将解集表示在数轴上如下： 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，求不等式组的解集，用数轴表示不等式的解集： （1）根据整式的混合运算法则进行计算即可； （2）先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即为不等式组的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：(1)原式　 (2) 由不等式①得， 由不等式②得， 则不等式组的解集为． 18. 近年来，随着全球人工智能大模型等发展迅速，人工智能日渐成为新一轮科技革命和产业革命的重要驱动力量．为了培养新时代青少年对科技的探究兴趣，某校开展了以“人工智能”为主题的知识讲座．讲座后，该校还开展了“人工智能”知识答题竞赛活动．现从该校九年级中随机抽取部分学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：；；；）．下面给出了部分信息：九年级10名学生的成绩在中的数据是90，92，92，91． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，并补全频数分布直方图；  （2）所抽取学生的竞赛成绩的中位数为________；  （3）上述调查过程中，从九年级抽取的10名学生中，成绩为前四名的学生是2男2女，现从这4人中任选两名学生参加市级“人工智能知识”的培训课程，求选中的两名学生都是女生的概率； （4）该校九年级共600人参加了此次答题竞赛活动，请估计参加竞赛活动的学生成绩不低于90分的有多少人． 【答案】（1）30， 补全的频数分布直方图如图．   （2）91.5 （3） （4）420人 【解析】 【分析】本题考查直方图，扇形图，求中位数，树状图法求概率，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）用的人数除以总人数求出的值即可，根据；的人数补全直方图即可； （2）利用中位数的确定方法进行求解即可； （3）画出树状图，利用概率公式进行计算即可； （4）利用样本估计总体的思想，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，的人数为4人， 故的人数为：人； ∴， ∴； 【小问2详解】 将10个数据排序后，第5个和第6个数据分别为：， ∴中位数为：； 【小问3详解】 2名男生用A，B表示，2名女生用a，b表示， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中选中的两名学生都是女生的结果数为2， ∴选中的两名学生都是女生的概率． 【小问4详解】 (人)． 答：估计参加竞赛活动的学生成绩不低于90分的共有420人． 19. （1）【问题背景】 如图， 是的角平分线，求证：．社团成员进行了探索研究，小明和小红提出两种不同的证明思路： 小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点B作，交的延长线于点D，利用“三角形相似”． 小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点C分别作于点D，作于点E，利用“等面积法”． 【问题解决】 请根据小明或小红的思路，将两人的证明补充完整．（任选一种即可） （2）【深度思考】 如图2，在中，，，为的平分线，的垂直平分线交的延长线于点F，连接．当时，的长为________．  【答案】 （1）证明：小明的思路： 如图，过点B作交的延长线于点D． ， ． 又， ， ， 　 是的角平分线， ， ， ， ．　 小红的思路： 如图，过点C分别作于点D，作于点E，过点P作于点F． 是的角平分线， ． ，，，， ①，②， 得， ， 则， ．　 （2）6 【解析】 【分析】（1）小明思路：过点B作，交的延长线于点D，则可得，根据相似三角形的性质可得，则．再关联是的角平分线和，可得，进而可得．　 小红的思路：过点C分别作于点D，作于点E，过点P作于点F．根据角平分线的性质可得．利用面积法可得，，将两式相比，可得，进而可得． （2）因为为的平分线，由（1）中的结论可得，求得．由是的垂直平分线可得，则可得，进而可得．再结合，可得，则可得，即，进而可求得． 【详解】（1）略 （2）解： 为的平分线， ． ， ，，， ， ， 的垂直平分线交的延长线于点F， ， ． ，， ． ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质线段垂直平分线的性质，以及利用面积法求线段的长，熟练掌握以上知识并且正确的作出辅助线是解题的关键． 20. 学习函数时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．下表是函数部分自变量与对应的函数值． x 0 1 2 y a 1 2 b （1）填空：________，________；  （2）描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象； （3）结合图象，写出函数的一条性质：______________；  （4）若点在这个函数的图象上，且，请写出的大小关系：________．（用“”连接）  【答案】（1），1 （2） 根据表格，描点，连线，画出的图象如图． （3）当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小 （4） 【解析】 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）求出的值，再求出和的函数值即可； （2）描点，连线，画出函数图象即可； （3）根据图象，进行作答即可； （4）图象法进行判断即可． 【小问1详解】 ∵，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，； 当时，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由图象可知：当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小； 【小问4详解】 由图象可知，当，； 21. 为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．通过市场调研发现：购进5千克甲种水果和3千克乙种水果共需38元；乙种水果每千克的进价比甲种水果多2元． （1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？ （2）已知甲、乙两种水果的售价分别为6元/千克和9元/千克，若水果店购进这两种水果共300千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果的2倍．则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）甲、乙两种水果的进价分别是4元和6元 （2）水果店应购进甲水果200千克、乙水果100千克才能获得最大利润，最大利润是700元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用等，熟练地求解二元一次方程组并判断一次函数随自变量的增减性是本题的关键． （1）分别设甲、乙两种水果的进价为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）将购进甲水果数量用某一字母表示，根据题意写出售完这两种水果获得的总利润关于这个字母的函数，根据这个函数随这个字母的增减性和这个字母的取值范围，判断当这个字母取何值时总利润取最大值，求出这个最大值，并求出这时购进乙水果的数量． 【小问1详解】 解：设甲、乙两种水果的进价分别是元和元． 根据题意，得， 解得， 甲、乙两种水果的进价分别是4元和6元． 【小问2详解】 解：设购进甲水果千克，那么购进乙水果千克， ， 解得， 根据题意，售完这两种水果获得的总利润， ， 随的减小而增大， 当时，最大，此时， （千克）， 水果店应购进甲水果200千克、乙水果100千克才能获得最大利润，最大利润是700元． 22. 如图，在中，，以为直径的交于点D，的切线交于点E． （1）求证：； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ， ． 为的直径， 为的切线，， ．　 ∵为的切线， ∴， ∴．　 ∵，， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）先证为的切线，由于也为的切线，由切线长定理可得，则可得，再由可得，则，进而可得． （2）在中，先由勾股定理可得，进而可得，．由可得，进而可得，由即可求出阴影部分的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，． ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴． ∵， ， ， 由(1)知． 又∵，， ∴， ∴，　 ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，切线长定理，特殊角的三角函数值，扇形的面积，以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线（b、c是常数）与x轴的两个交点分别为，． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）当时，y的取值范围是_________； （3）点是x轴上一点，过点M作x轴的垂线交抛物线于点P，当点M和点P不重合时连结，点D是线段的中点，以为边，在的右侧作矩形，且矩形的一边长为3． ①当矩形同时有两个顶点落在此抛物线上时，求m的值； ②当此抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）； （2） （3）①m的值为或；②． 【解析】 【分析】本题以二次函数为背景，考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象性质，区间最值，矩形的性质，一元二次方程，熟练掌握以上内容并结合题意进行分类讨论是解题关键． （1）通过设交点式可求出函数表达式； （2）先求出对称轴为直线，抛物线开口向上，可知当时，y有最小值；当时，y有最大值，故可得到y的取值范围； （3）①分Ⅰ：当P、Q落在抛物线上时和Ⅱ：当P、N落在抛物线上时两种情况分类讨论即可； ②求出m的临界值，故可得m的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意可设抛物线解析式为交点式： ， 故该抛物线对应的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线对应的函数表达式为， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上， 故当时，，当时，， ∴y的取值范围是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵，设P坐标为，D坐标为， ①Ⅰ：当P、Q落在抛物线上时，， 且P、Q关于对称轴对称，故Q的横坐标为， 由对称性可得，解得； Ⅱ：当P、N落在抛物线上时， ∵以为边，在的右侧作矩形， 此时N点坐标为， 从而可得，即， 解得， 综上，当矩形同时有两个顶点落在此抛物线上时，m的值为或； ②当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小， 当时，矩形内部没有抛物线经过； 当时，P点与M点重合， 当时，矩形内部没有抛物线经过， 故当此抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时， m的取值范围为． 24. 问题提出：如图1，E是菱形边上一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与β的数量关系． 问题探究： （1）先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数； （2）再探究一般情形，如图1，求与β的数量关系； 问题拓展： 将图1特殊化，如图3，当，，且时，求的值． 【答案】问题探究（1）；（2）；问题拓展： 【解析】 【分析】问题探究（1）在上截取，使得，证明得到，进一步证明，，即可求出； （2）在上截取，使，连接，证明得到，求出得到，进而得到； 问题拓展：过点A作的垂线交的延长线于点P，先计算出，．在中，，，再求出，进而证明，得到，即可求出． 【详解】解：问题探究（1）如图2中，在上截取，使得． ∵四边形是正方形， ，， ∵， ， ∵，， ， ∵， ， ， ∵，， ∴， ， ， ； （2）结论：； 理由：如图1中，在上截取，使，连接． ∵，， ． ∵， ， ． ∵，， ． ∵， ， ∴， ； 问题拓展：如图3中，过点A作的垂线交的延长线于点P． ∵，， ，． ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴在中，， ，， ∴． ∵， ∴由（2）知，， ∴， 又∵， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用勾股定理解直角三角形等知识，综合性强，理解题意，根据题意添加辅助线构造全等三角形或相似三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年山东省临沂市沂水县沂蒙中学九年级中考数学模拟试题二 本试卷共4页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列四个数中，是无理数的是（ ） A. 0.121 212 12… B. C. D. 2. 六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，它的三种视图中是轴对称图形的是（ ） A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 三种视图都是 3. 把0.004写成（，n为整数）的形式，则为（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 4. 现有下列命题，其中真命题是（ ） A. 的平方根是 B. 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方 C. 两条直线被第三条直线所截，则同位角相等 D. 相等的圆周角所对的弧相等 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下图是甲、乙两同学五次数学测试成绩的折线图，比较甲、乙的成绩，下列说法正确的是（ ） A. 甲平均分高，成绩稳定 B. 甲平均分高，成绩不稳定 C. 乙平均分高，成绩稳定 D. 乙平均分高，成绩不稳定 7. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点，之间的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 下列有关一次函数的说法中，错误的是（ ） A. y的值随着x增大而减小 B. 当时， C. 函数图象与y轴的交点坐标为 D. 函数图象经过第一、二、四象限 9. 如图，是的直径，是弦，于，，，则的长为（ ） A. 8 B. 10 C. D. 10. 如图，中，，于D，平分，且于E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点G．下列结论正确的有（　　）个． ①；②；③是等腰三角形；④；⑤； A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 分解因式： _____________． 12. 如图，在四边形中，对角线，相交于点，其中，请你再添加一个条件，使四边形为平行四边形，可以添加的条件是_______． 13. 若分式方程的解为正整数，则整数m的值为______． 14. 如图，在一次数学实践活动课中，小阳所在的学习小组计划测量学校教学楼上校训牌的高度，小阳先在教学楼前的广场C处测得校训牌下端B的仰角为，然后他朝正对教学楼方向前进到达D处，又测得该校训牌上端A处的仰角为．若教学楼的高，小阳的眼睛离地面的距离．已知A，B，E三点共线，，校训牌的顶端与教学楼顶端平齐，则校训牌的高度为___m．（结果保留整数．参考数据：）  15. 如图，矩形中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P作射线，过点C作的垂线分别交，于点M，N，则的长为________． 16. 已知，为x轴上两点，，为二次函数图象上两点，当时，二次函数y随x增大而减小，若，时，恒成立，则A、B两点的最大距离为______． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）化简：； （2）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 18. 近年来，随着全球人工智能大模型等发展迅速，人工智能日渐成为新一轮科技革命和产业革命的重要驱动力量．为了培养新时代青少年对科技的探究兴趣，某校开展了以“人工智能”为主题的知识讲座．讲座后，该校还开展了“人工智能”知识答题竞赛活动．现从该校九年级中随机抽取部分学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：；；；）．下面给出了部分信息：九年级10名学生的成绩在中的数据是90，92，92，91． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，并补全频数分布直方图；  （2）所抽取学生的竞赛成绩的中位数为________；  （3）上述调查过程中，从九年级抽取的10名学生中，成绩为前四名的学生是2男2女，现从这4人中任选两名学生参加市级“人工智能知识”的培训课程，求选中的两名学生都是女生的概率； （4）该校九年级共600人参加了此次答题竞赛活动，请估计参加竞赛活动的学生成绩不低于90分的有多少人． 19. （1）【问题背景】 如图， 是的角平分线，求证：．社团成员进行了探索研究，小明和小红提出两种不同的证明思路： 小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点B作，交的延长线于点D，利用“三角形相似”． 小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点C分别作于点D，作于点E，利用“等面积法”． 【问题解决】 请根据小明或小红的思路，将两人的证明补充完整．（任选一种即可） （2）【深度思考】 如图2，在中，，，为的平分线，的垂直平分线交的延长线于点F，连接．当时，的长为________．  20. 学习函数时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．下表是函数部分自变量与对应的函数值． x 0 1 2 y a 1 2 b （1）填空：________，________；  （2）描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象； （3）结合图象，写出函数的一条性质：______________；  （4）若点在这个函数的图象上，且，请写出的大小关系：________．（用“”连接）  21. 为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．通过市场调研发现：购进5千克甲种水果和3千克乙种水果共需38元；乙种水果每千克的进价比甲种水果多2元． （1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？ （2）已知甲、乙两种水果的售价分别为6元/千克和9元/千克，若水果店购进这两种水果共300千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果的2倍．则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 22. 如图，在中，，以为直径的交于点D，的切线交于点E． （1）求证：； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 23. 在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线（b、c是常数）与x轴的两个交点分别为，． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）当时，y的取值范围是_________； （3）点是x轴上一点，过点M作x轴的垂线交抛物线于点P，当点M和点P不重合时连结，点D是线段的中点，以为边，在的右侧作矩形，且矩形的一边长为3． ①当矩形同时有两个顶点落在此抛物线上时，求m的值； ②当此抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 24. 问题提出：如图1，E是菱形边上一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与β的数量关系． 问题探究： （1）先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数； （2）再探究一般情形，如图1，求与β的数量关系； 问题拓展： 将图1特殊化，如图3，当，，且时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $