精品解析：2025年广东普宁市九年级数学中考模拟考试一模试卷

2025年普宁市中考模拟考试 数学试题 说明： 1．全卷共8页，考试用时120分钟，满分为120分． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔戎钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号，用2B铅笔在每张答题卡的“考场号”拦、“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹铜笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 5．北生务必保持答题卡的整沽． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一个正确选项，请将正确答案填涂在答题卡的相应位置．） 1. 二十四节气是古代劳动人民长期经验积累和智慧的结晶，它精确地反映了自然节律变化．请你用数学的眼光观察下列四副代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“白露”的作品，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（　　） A. 2a3+3a2＝5a5 B. （﹣a）2+a2＝0 C. （a﹣b）2＝a2﹣b2 D. 3a3b2÷a2b＝3ab 3. 如图所示是皮影戏，它是中国民间古老的传统艺术，皮影戏是用灯光把人物剪影照射在银幕上，则它的投影属于（ ） A 平行投影 B. 中心投影 C. 既是平行投影又是中心投影 D. 无法确定 4. 分解因式：（ ） A. B. C. D. 5. 某物体静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力G方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，如图所示木制衣帽架由三个全等菱形组成，根据需要之间的距离可以调节，若时，，则长为（　　） A. B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 如图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，在间加绑一条安全绳（线段）量得，则的长度为（ ） A. 0.8m B. 1m C. 1.5m D. 2m 9. 已知的半径是关于的方程的增根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（　　） A 相切 B. 相交 C. 相离 D. 平行 10. 呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的），的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3．下列说法不正确的是（ ） A. 呼气酒精浓度K越大，的阻值越小 B. 当K＝0时，的阻值为100 C. 当K＝10时，该驾驶员为非酒驾状态 D. 当时，该驾驶员为醉驾状态 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将下列各题的正确答案写在答题卡的相应位置．） 11. 航天员的宇航服加入了气凝胶可以抵御太空的高温，气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，气凝胶颗粒尺寸通常小于米，数据用科学记数法表示为___________． 12. 不等式组的解集是___________． 13. 从甲、乙、丙、丁四人中随机选取2人参加元旦晚会，则甲被选中的概率是______． 14. 如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间_________s． 15. 图1中周长为20的矩形纸片剪掉一块边长为1的正方形后，将剩下的部分沿线剪开，拼成不重叠、无缝隙的矩形（如图2），则图2中________． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分．） 16. 计算： 17. 记式子． （1）填空：若要使式子有意义，则值不能为_______ （2）化简． 18. 为激发学生热爱科学的兴趣，树立科技报国的远大志向，学校开展七年级科学知识竞赛．每班选派1组（8人）参赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀．七年级（1）班和（2）班的成绩整理成如下：请认真阅读信息，回答下列问题： 小明同学对这两个班的成绩进行了如下分析： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率 七年级（1）班 7 七年级（2）班 7 c （1）填空：___________，___________．________； （2）小强认为两个班级成绩的平均数相等，因此两个班成绩一样好．小明认为小强的观点比较片面，请结合上表中的信息帮助小明说明理由（写出两条）． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 如图，点E是矩形的边上的一点，且． （1）尺规作图（请用铅笔）：作的平分线，交的延长线于点F，连接．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）试判断四边形的形状，并说明理由． 20. 2025年春晚名为《秧》的机器人舞蹈，凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件； 型机器人每台每天可分拣快递18万件． （1）求A、两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备购买A、两种型号智能机器人共10台，费用不超过700万元，选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 21. 根据以下材料，探索完成任务． 探究车牌识别系统的识别角度 材料1 图1是地下停车库坡道出入口的侧面示意图．地下停车库高，长． 材料2 为了便于管理，物业在图这个车库出入口处安装车牌识别设备，如图中设像头点位于点正上方，，，，三点共线．摄像头在斜坡上的有效识别区域为，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭． 材料3 汽车从地下车库驶出，在斜坡上保持匀速行驶，车库限速． （1）如图1，求斜坡坡度； （2）如图2，当时，求的长，并判断此时车辆以最高限速行驶到达点时，问门是否已经打开，请通过计算说明．（参考数据：，） 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．） 22. 【问题背景】如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点．且在实数范围内与都有意义． （1）【知识技能】请直接写出：的值是___________，点坐标___________，点坐标___________ （2）【构建联系】是直线上方的抛物线上一点，过点作轴的垂线交直线于点，求线段的最大值： （3）【深入探究】在抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由． 23. 某数学活动小组对一个数学问题作如下探究： （1）【初步感知】如图①，正方形的四个顶点在上，点在弧上，连接、，若在上取一点，使得，连接，发现与全等，请说明理由； （2）【变式探究】如图②，正方形的四个顶点在上，若点在弧上，过点作，探究线段问的数量关系，并说明理由： （3）【拓展延申】如图③，在中，，，．点为边上一动点，连接，点为边上一动点，连接，以为边，在右侧作等边，连接．当点从的四等分点（靠近点）出发，向终点运动，同时，点从点出发，向终点运动，运动过程中，始终保持，则点所经过的路径长为___________．（直接写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年普宁市中考模拟考试 数学试题 说明： 1．全卷共8页，考试用时120分钟，满分为120分． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔戎钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号，用2B铅笔在每张答题卡的“考场号”拦、“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹铜笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 5．北生务必保持答题卡的整沽． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一个正确选项，请将正确答案填涂在答题卡的相应位置．） 1. 二十四节气是古代劳动人民长期经验的积累和智慧的结晶，它精确地反映了自然节律变化．请你用数学的眼光观察下列四副代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“白露”的作品，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A． 不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B． 是轴对称图形，故该选项符合题意； C． 不是轴对称图形，故该选项不符合题意； D． 不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列运算正确的是（　　） A. 2a3+3a2＝5a5 B. （﹣a）2+a2＝0 C. （a﹣b）2＝a2﹣b2 D. 3a3b2÷a2b＝3ab 【答案】D 【解析】 【分析】根据同类项的合并、完全平方差公式、单项式除以单项式法则计算各项得到结果，即可作出判断． 【详解】解：A、原式不能合并，不符合题意； B、原式＝a2+a2＝2a2，不符合题意； C、原式＝a2﹣2ab+b2，不符合题意； D、原式＝3ab，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题综合考查了整式的运算，涉及了同类项的合并、完全平方差公式、单项式除以单项式，灵活的利用相应的公式与法则进行计算是解题的关键. 3. 如图所示是皮影戏，它是中国民间古老的传统艺术，皮影戏是用灯光把人物剪影照射在银幕上，则它的投影属于（ ） A. 平行投影 B. 中心投影 C. 既是平行投影又是中心投影 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心投影和平行投影的知识，根据由太阳光形成的投影是平行投影、由灯光形成的投影是中心投影判断即可． 【详解】解：皮影戏是用灯光把人物剪影照射在银幕上，它的投影属于中心投影． 故选B． 4. 分解因式：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了提取公因式和公式法进行因式分解，熟练掌握知识点是解题的关键． 将先提取公因式，再运用平方差公式分解即可． 详解】解：， 故选：A． 5. 某物体静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力G方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，根据题意结合图形可知是重力与斜面形成的三角形的外角，从而可求得的度数． 【详解】解：重力的方向竖直向下， 重力与水平方向夹角为， 摩擦力的方向与斜面平行，， ， 故选：C． 6. 如图，如图所示木制衣帽架由三个全等的菱形组成，根据需要之间的距离可以调节，若时，，则长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理等知识，连接，相交于点O，根据菱形的性质可得，，，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，相交于点O， ∵衣帽架是由三个全等的菱形构成的，间的距离调节到， ∴， ∵菱形中，， ∴，，， ∴， 故选：D． 7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式．根的判别式建立关于m的等式，即可求解． 【详解】解：原方程可化为， 由题意知， 解得． 故选：B． 8. 如图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，在间加绑一条安全绳（线段）量得，则的长度为（ ） A. 0.8m B. 1m C. 1.5m D. 2m 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，两条直线截一组平行线，截得的对应线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， 故选C 9. 已知的半径是关于的方程的增根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（　　） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 平行 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的增根以及直线和圆的关系，熟练掌握直线和圆的关系是解题的关键．根据题意得到，求出，得到圆的半径，比较半径与圆心到直线的距离的大小，即可得到答案． 【详解】解：的半径是关于的方程的增根 ∴ ∴ ∴的半径是2， ∵圆心到直线的距离， 直线与的位置关系是相切． 故选：A． 10. 呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中），的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3．下列说法不正确的是（ ） A. 呼气酒精浓度K越大，的阻值越小 B. 当K＝0时，的阻值为100 C. 当K＝10时，该驾驶员为非酒驾状态 D. 当时，该驾驶员为醉驾状态 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象分析即可判断A，B，根据图3公式计算即可判定C，D． 【详解】解：根据函数图象可得， A.随的增大而减小，则呼气酒精浓度K越大，的阻值越小，故正确，不符合题意； B. 当K＝0时，的阻值为100，故正确，不符合题意； C. 当K＝10时，则，该驾驶员为酒驾状态，故该选项不正确，符合题意； D. 当时，，则，该驾驶员为醉驾状态，故该选项正确，不符合题意； 故选:C. 【点睛】本题考查了函数图像，根据函数图像获取信息是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将下列各题的正确答案写在答题卡的相应位置．） 11. 航天员的宇航服加入了气凝胶可以抵御太空的高温，气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，气凝胶颗粒尺寸通常小于米，数据用科学记数法表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可．本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键． 【详解】解：∵， 故答案为：． 12. 不等式组的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的求解，分别求出不等式①②的解集，再求出最后结果即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集是， 故答案为：． 13. 从甲、乙、丙、丁四人中随机选取2人参加元旦晚会，则甲被选中的概率是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求出事件或的概率．解题的关键是画出树状图展示所有种等可能的结果，再找出甲被选中的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】解：画树状图为： 共有种等可能的结果，其中甲被选中的结果数为种， ∴甲被选中的概率． 故答案为：． 14. 如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间_________s． 【答案】2 【解析】 【分析】把一般式化为顶点式，即可得到答案． 【详解】解：∵h=-5t2+20t=-5（t-2）2+20， 且-5＜0， ∴当t=2时，h取最大值20， 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式． 15. 图1中周长为20的矩形纸片剪掉一块边长为1的正方形后，将剩下的部分沿线剪开，拼成不重叠、无缝隙的矩形（如图2），则图2中________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，标注字母，设，则,证明，利用相似三角形的性质求解，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，标注字母： 由题意可得：，， ∵图1中周长为20的矩形纸片， ∴图1中大的矩形的长与宽的和为， 设，则, ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去） ∴，， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是矩形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线是解本题的关键. 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分．） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握负整指数幂运算法则，特殊角的三角函数值是解题的关键． 先把特殊角三角函数值代入，计算乘方与开方，并求绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 17. 记式子． （1）填空：若要使式子有意义，则值不能为_______ （2）化简． 【答案】（1），0，1 （2）或 【解析】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，分式有意义的条件，熟知以上知识是解题的关键． （1）根据分式有意义的条件解答即可； （2）根据分式混合运算的法则把原式进行化简即可． 【小问1详解】 解：由题意得，，，， ∴或0或， 故答案为：，0，1； 【小问2详解】 解： ． 18. 为激发学生热爱科学的兴趣，树立科技报国的远大志向，学校开展七年级科学知识竞赛．每班选派1组（8人）参赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀．七年级（1）班和（2）班的成绩整理成如下：请认真阅读信息，回答下列问题： 小明同学对这两个班成绩进行了如下分析： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率 七年级（1）班 7 七年级（2）班 7 c （1）填空：___________，___________．________； （2）小强认为两个班级成绩的平均数相等，因此两个班成绩一样好．小明认为小强的观点比较片面，请结合上表中的信息帮助小明说明理由（写出两条）． 【答案】（1）；7； （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是方差，加权平均数，中位数和众数． （1）根据中位数，众数和优秀率的定义和计算公式计算即可； （2）从优秀率，中位数，众数和方差等角度中选出两个进行分析即可． 【小问1详解】 解：将七年级（1）班组的成绩按照从小到大的顺序排列为：3，7，7，7，8，9，10，10； 位于中间的两个数为7和8， 故中位数为：； 在七年级（2）班组中，出现次数最多的是7分； 故； ； 故答案为：；7； 【小问2详解】 解：小强的观点比较片面，理由不唯一，例如： ①七年级（1）班成绩的优秀率为，高于七年级（2）班成绩的优秀率， 从优秀率的角度看，七年级（1）班成绩比七年级（2）班好； ②七年级（1）班成绩的中位数为7．5，高于七年级（2）班成绩的中位数， 从中位数的角度看，七年级（1）班成绩比七年级（2）班组好； ③七年级（2）班的方差为0．73，低于七年级（1）班的方差， 从方差的角度看，七年级（2）班成绩比七年级（1）班组好； 因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好， 所以小强的观点比较片面． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 如图，点E是矩形的边上的一点，且． （1）尺规作图（请用铅笔）：作的平分线，交的延长线于点F，连接．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）四边形是菱形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据矩形的性质和平行线的性质得出，结合角平分线的定义可得，则，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 四边形是菱形； 理由：∵矩形中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定以及菱形的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 20. 2025年春晚名为《秧》的机器人舞蹈，凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件； 型机器人每台每天可分拣快递18万件． （1）求A、两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备购买A、两种型号智能机器人共10台，费用不超过700万元，选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 【答案】（1）型智能机器人的单价为80万元，型智能机器人的单价为60万元 （2）购买A型号智能机器人5台，购买B型号智能机器人5台，能使每天分拣快递的件数最多 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用等知识点，正确列出方程组和函数表达式成为解题的关键． （1）设A型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设每天分拣快递的件数为万件，购买A型号智能机器人，且为整数）台，则购买型号智能机器人台，根据题意可得，然后根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元， ，解得． 答：A型智能机器人的单价为80万元，型智能机器人的单价为60万元． 【小问2详解】 解：设每天分拣快递的件数为万件，购买A型号智能机器人，且为整数）台，则购买型号智能机器人台， 根据题意得：， ，解得：， ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值． （台）， ∴购买A型号智能机器人5台，购买B型号智能机器人5台，能使每天分拣快递的件数最多． 21. 根据以下材料，探索完成任务． 探究车牌识别系统的识别角度 材料1 图1是地下停车库坡道出入口的侧面示意图．地下停车库高，长． 材料2 为了便于管理，物业在图这个车库出入口处安装车牌识别设备，如图中设像头点位于点正上方，，，，三点共线．摄像头在斜坡上的有效识别区域为，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭． 材料3 汽车从地下车库驶出，在斜坡上保持匀速行驶，车库限速． （1）如图1，求斜坡的坡度； （2）如图2，当时，求的长，并判断此时车辆以最高限速行驶到达点时，问门是否已经打开，请通过计算说明．（参考数据：，） 【答案】（1）； （2）闸门B没有打开，见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，再根据直角三角形中边、角关系解答即可． 根据、的长度即可求出斜坡的坡度； 过点作于点，设，则，利用勾股定理可以得到，根据，可得，解方程求出的值，即可得到：，如果车辆以的速度行驶即可通过，而识别系统需要，所以车辆以最高限速行驶到达点时，门没有打开． 【小问1详解】 解：， ， ，， ， 斜坡的坡度为； 【小问2详解】 解：如下图所示，过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ，， ， 解得：， ， 车辆以最高限速行驶到达点所用时间为： 秒， ， 闸门没有打开． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．） 22. 【问题背景】如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点．且在实数范围内与都有意义． （1）【知识技能】请直接写出：的值是___________，点坐标___________，点坐标___________ （2）【构建联系】是直线上方的抛物线上一点，过点作轴的垂线交直线于点，求线段的最大值： （3）【深入探究】在抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）1，； （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）由二次根式有意义的条件可得，即二次函数的解析式为； 当时，求x的值，当时求出y的值，进而确定点B、C的坐标；则求得 （2）先运用待定系数法求出直线的解析式，设，从而表示出N的坐标，进而表示出的关系式，然后根据二次函数的性质求最值即可解答； （3）①如图1：在上截取，作，连接，先说明与抛物线的交点符合条件，再求出直线的解析式为，进而求得直线的解析式为，由解得，进而确定点E的坐标；如图2，在①的图形中，作，交抛物线于，交于，易得直线的解析式为：；进而得到，即，设，则，解得：，即；由待定系数法可得直线BG的解析式为，则解得，进而求得点的坐标． 【小问1详解】 解：∵在实数范围内与都有意义， ∴，解得：， ∴二次函数的解析式为， 令，即，解得：或， ∴， 令，即，即． 故答案为：1，． 【小问2详解】 解：设直线的表达式为， 代入，，得，解得： 直线的解析式为：， 设， 轴， ∴轴， ， ∵， ∴ ， ， ， 当时，． 【小问3详解】 解：①如图1：在上截取，作，连接， ， ， ， ， ， ， ， 与抛物线的交点符合条件， 直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， 将点代入可得，解得：， 直线的解析式为：， 由，解得：（舍去）或， 当时，， ； ②如图2，在①的图形中，作，交抛物线于，交于， ， ， ，即， 设，即，解得：． 运用待定系数法可得：直线的解析式为， ∴，解得：（舍去）或， 当时，， ． 综上所述：或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数及其图象的性质、二次根式有意义的条件、等腰三角形的判定和性质、一元二次方程的解法、求一次函数的解析式等知识，灵活运用相关知识成为解题的关键． 23. 某数学活动小组对一个数学问题作如下探究： （1）【初步感知】如图①，正方形的四个顶点在上，点在弧上，连接、，若在上取一点，使得，连接，发现与全等，请说明理由； （2）【变式探究】如图②，正方形的四个顶点在上，若点在弧上，过点作，探究线段问的数量关系，并说明理由： （3）【拓展延申】如图③，在中，，，．点为边上一动点，连接，点为边上一动点，连接，以为边，在右侧作等边，连接．当点从的四等分点（靠近点）出发，向终点运动，同时，点从点出发，向终点运动，运动过程中，始终保持，则点所经过的路径长为___________．（直接写出结果） 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意易得，然后可根据“”证明三角形全等即可； （2）连接，过点A作，交延长线为H，由题意易得是直径，，则有，然后可得四边形是正方形，进而可知，最后问题可求证； （3）以为边作等边三角形，连接，证明，通过得到点在以为直径的圆弧上运动，起点为的中点，终点为点，连接，交圆弧于点，求出的最小值，通过证明，利用弧长公式得到点所经过的路径长． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形， 弧弧 又 ； 【小问2详解】 解：，理由如下： 连接，过点作，交的延长线为，如图所示： 四边形是正方形， ， 直径，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：以为边作等边，连接， 是等边三角形， ， ， ， ， 当点和点运动过程中，始终保持， 则点在以为直径的圆弧上运动． ∵ 当点位于靠近点四等分点时， 则 ，又 此时，点与点重合，点与中点处重合； 当点D运动到点A时，显然点E与点C重合，此时点F与M重合； 综上，点在以为直径的圆弧上运动，起点为的中点，终点为点． ， 是等边三角形， ， ， 则点所经过的路径长 【点睛】本题考查正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，圆周角的性质，弧长公式，相似三角形的判定和性质，本题的关键在于构造全等三角形，利用定点定长的特点发现隐圆从而解决路径长问题． 第1页/共1页 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