精品解析：2025年山西省运城市中考一模数学试题

2024-2025学年第二学期九年级学业质量监测数学试题 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. ﹣3的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0． 【详解】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3， 故选D． 【点睛】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键． 2. 下列四个人工智能大模型图案中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：．不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．是中心对称图形，故该选项符合题意； 故选：D． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，积的乘方计算，同底数幂乘法计算，合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 4. 已知一个几何体如图所示，则该几何体的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据俯视图即为从上面看到的图形即可求解，理解简单组合体的三视图是解题的关键． 【详解】解：该几何体的俯视图是， ， 故选：． 5. 如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的，若水面和杯底互相平行且，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵两条折射光线平行，水面和杯底互相平行 ∴， ∴， ∵， ∴； 故选B． 6. 脚印信息往往对应着一个人某些方面的基本特征，某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： 脚长 ．．． 23 24 25 26 27 28 ．．． 身高 ．．． 156 163 170 177 184 191 ．．． 则与之间的函数关系式为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的实际应用，掌握运用待定系数法求函数解析式是解题关键．直接运用待定系数法求解即可． 【详解】解：设身高和脚长之间近似存在一个函数关系式为， 将代入可得： ， 解得：， ∴． 故选：C． 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出不等式组中两不等式的解集，用“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”进行判断，再在数轴上表示出解集，即可求解；掌握不等式组的解法是解题的关键． 【详解】 解：解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 原不等式组的解集为； 不等式组的解集在数轴上表示如下： 故选：B． 8. 共享经济已经进入人们的生活．小明收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为、、、的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，小明从中随机抽取两张卡片，则小明抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查树状图法或列表法求概率，利用树状图展示出所有等可能的结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意画树状图，如下： 由树状图可知，共有12种等可能出现的结果，其中抽到两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果有2种， 所以 故选：D 9. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高为（　　） A. B. 6m C. D. 25.8m 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定， 先说明，可得，再代入数值计算得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得， 所以树高为． 故选：B． 10. 如图，在扇形中，，点为的三等分点，连接，过点作交于点．连接．则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆心角和弧的关系、扇形的面积公式、解直角三角形、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据弧和圆心角的关系可得，即，进而得到，根据直角三角形的性质以及勾股定理可得、、进而得到；在中解直角三角形可得，最后根据求解即可． 【详解】解：如图： ∵在扇形中，，点为的三等分点， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ． 故选A． 第II卷 非选择题 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算的结果是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则成为解题的关键．直接根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 2024年8月20日以来，随着国产3A游戏《黑神话：悟空》在全球爆火，主要取景地山西受到全球玩家关注，山西古建筑的热度持续飙升，成为文旅产业的流量明星．国庆期间，山西共接待国内游客约3650万人次，较上年同期增长；游客旅游消费近230亿元，较上年同期翻了一番．则数据230亿用科学记数法可表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键． 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：230亿， ． 故答案为：． 13. 蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的电流（单位：A）与电阻（单位：Ω）之间的函数关系如图所示．若以该蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过A，则用电器的可变电阻至少为______Ω． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，正确求得反比例函数的性质成为解题的关键． 先求得反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：设用电器的电流（单位：A）与电阻（单位：Ω）之间的函数关系为， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴在第一象限，y随x的增大而减小， ∵蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过A， ∴用电器的可变电阻至少为Ω． 故答案为：． 14. 如图，正五边形内接于，过点D作的切线交的延长线于点F．则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，三角形内角和定理，切线的性质， 先求出中心角的度数，即可求出，再根据切线的性质可求，然后根据正多边形的外角和定理求出，最后根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵正五边形内接于， ∴． ∵， ∴． ∵是的切线， ∴， ∴． ∵是正五边形的外角， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在中，是边的中线，点是上的一点，且，连接．则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点，连接，作于点，因为，所以，则，推导出，则，所以，可证明，得，由是边的中线，求得，则，由，得，则，求得，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接，过点E作于点， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的中线， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，二次根式除法计算，实数的运算，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式除法，零指数幂和负整数指数幂，再计算算术平方根和立方根，最后计算加减法即可得到答案； （2）先把方程左边去括号，再把方程两边同时加上4进行配方，进而开平方解方程即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 17. 1947年春天，毛泽东同志亲笔为一个15岁女共产党员刘胡兰题词：“生的伟大，死的光荣”．为缅怀革命先烈的英勇事迹，传承他们的精神，今年清明节期间，学校组织七年级全体师生前往位于文水县云周西村的刘胡兰纪念馆参观．活动当天，大家在学校集合，1号车先出发，0.5小时后，2号车沿同样路线前往，结果两辆车同时到达目的地．已知学校到刘胡兰纪念馆的路程是号车的平均速度是1号车平均速度的1.2倍．求1号车从学校到目的地所用的时间． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，设1号车平均速度为，则2号车平均速度为，根据辆车的时间差列方程，解方程并检验即可． 【详解】解：设1号车平均速度为，则2号车平均速度为， 根据题意得： 解得： 经检验，是原方程的根 答：1号车从学校到目的地所用的时间． 18. 第四届全民阅读大会于2025年4月23日至25日在太原举办，大会主题是“培育读书风尚建设文化强国”，通过全民阅读构筑共有精神家园，提升社会文明程度，为以中国式现代化全面推进强国建设、民族复兴伟业提供文化滋养和精神力量．某校数学综合实践小组为了解全校2000名学生最喜欢阅读的一种图书类型进行了抽样调查，调查的图书类型包括“A人文社科类”、“B文学艺术类”、“C科普生活类”、“D少儿类”和“E其它”，并将调查情况绘制成如下两幅尚不完整的统计图． 根据调查信息，回答下列问题： （1）本次调查共抽查了_______名学生，的值为_______； （2）补全条形统计图； （3）估计该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有多少名？ （4）假如你是小组成员，请你向该校提一条合理建议． 【答案】（1）50，30 （2） 补全图形如下： （3）400名 （4） 因为喜欢“科普生活类”和“少儿类”的学生较多，建议学校多购置“科普生活类”和“少儿类”图书等. 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了利用样本估计总体． （1）用A类的人数和所占的百分比求出总人数；用A类的人数除以总人数，即可得出m的值； （2）用总人数减去A、B、C、E类的人数，得到D类的人数，即可补全条形统计图； 用360°乘以C类所占的百分比即可得出区域C的圆心角度数； （3）用学校总人数乘以样本中喜欢B文学艺术类的学生所占的百分比即可． （4）根据题意，写出建议即可． 【小问1详解】 解：这次调查的学生人数为（人）； D类的人数为（人）． ， ∴， 故答案为：50；30； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： 答：该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有400名； 【小问4详解】 略 19. 2025年春节电影档掀起观影热潮，特别是《哪吒之魔童闹海》，截止到2月23日全球票房超135亿，登顶动画电影票房排行榜．某影城为进一步吸引观众观影，提升票房，购进了玩偶杯150个、哪吒手办盲盒250个，已知每个玩偶杯和每个盲盒的进价分别为30元和50元．要使每个盲盒的售价比每个玩偶杯售价多30元，且保证全部售完后利润不低于4900元．求每个玩偶杯的售价至少为多少元？ 【答案】36元 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，设每个玩偶杯的售价为元，则每个盲盒的售价为元，根据“全部售完后利润不低于4900元”列不等式求解即可． 【详解】解：设每个玩偶杯的售价为元，则每个盲盒的售价为元， 根据题意可得： ， 解得：， 故的最小值为36， 答：每个玩偶杯的售价至少为36元． 20. 太原市晋阳湖之眼摩天轮计划于年月正式试灯营业，该摩天轮位于晋阳湖北岸，采用双侧通透立柱和全拉索轮盘设计，配备台球形吊舱，兼具安全性与科技感．图是太原市晋阳湖之眼摩天轮，图2是测量晋阳湖之眼摩天轮高度示意图．才思数学兴趣小组利用所学知识开展“测量晋阳湖之眼摩天轮高度”的综合实践活动，并写出如下报告，请完成任务． 课题 测量晋阳湖之眼摩天轮高度 测量工具 无人机、测角仪、秒表等 测量示意图 测量过程 如图，测量小组使用无人机在点处竖直上升至点处，在点处测得摩天轮顶部的仰角为，然后以的速度沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得摩天轮顶部的仰角为，底部的俯角为． 说明 点均在同一竖直平面内，且点在同一水平线上．（参考数据：，，，） 任务 求晋阳湖之眼摩天轮的高度．（结果精确到） 【答案】太原晋阳湖之眼摩天轮的高度约为米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，延长交于点，设，得出四边形是矩形，然后在中，，，则，在中，，，则，在中，，，则，最后通过线段和差即可求解，矩形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点，设， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 依题意得，， 在中，，，则， 在中，，，则， 在中，，，则， ∵， ∴， 解得，， ∴（米）， 答：太原晋阳湖之眼摩天轮的高度约为米． 21. 阅读与思考 下面是欣欣同学的数学课堂学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 利用尺规在平行四边形内作菱形今天的数学课上，老师给出了如下的一个问题： 如图1，已知四边形是平行四边形，，请利用尺规在平行四边形内作一个菱形，使得菱形的四个顶点均在平行四边形边上． 同学们以小组为单位展开了讨论． 勤学小组的作法：如图2， ①分别以点A，点为圆心，的长为半径画弧，分别交，于点和点， ②连接．结论：四边形是菱形． 勤学小组的证明：四边形是平行四边形， ．即． 由作图痕迹可知：． 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是菱形．（依据1） 善思小组的作法：如图3， ①连接，分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，交点分别为，． ②作直线分别交于点，点和点． ③连接． 结论：四边形是菱形． 善思小组的证明：由作图可知：直线垂直平分． ．（依据2） …… 任务一：请补充上面证明过程中的“依据1”，“依据2”． （1）依据1：___________；依据2：___________； 任务二： （2）请将善思小组的证明过程补充完整； 任务三： （3）在图4中用不同于材料的方法作一个满足要求的菱形．（尺规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等； （2）证明过程补充如下： ，， ， ∵，， ∴， ∴， 四边形是平行四边形， ． ． ． 又， 四边形是平行四边形 ， 平行四边形是菱形 （3）如图，菱形为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定、尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）直接根据菱形的判定定理即可解答； （2）由垂直平分线的性质可得，再证明可得，再根据四边形是平行四边形可得，即，由等量代换可得，即，进而得到；易证四边形是平行四边形，然后结合即可证明结论； （3）如图：作的角平分线交于E，再以E为圆心，以为半径画弧交于F，再连接，得到四边形是菱形． 【详解】解：（1）依据1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 依据2：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等 （2）略 （3）作的角平分线交于E，再以E为圆心，以为半径画弧交于F，再连接，得到四边形是菱形． 22. 综合与实践 果树压枝是一种果树管理技术．主要目的是通过改变枝条的生长方向和角度，来调整果树的生长趋势、促进花芽分化、增加果实产量和改善果实品质．如图1，果农李伯伯正在进行果树压枝处理，如图2，一棵枝条近似呈直线生长，端在树干上，与地面的垂直距离为、枝条经过压枝后的形状近似看成抛物线，该抛物线最低点距离地面，且与树干的水平距离为． （1）请你在图2中建立适当的平面直角坐标系，并求该抛物线的函数表达式； （2）经过压枝、树枝生长一段时间后依然满足（1）中的抛物线，且测得树枝端点处距离地面．为了使果树间不相互影响，要求树枝的最外端距离树干不得超过，试通过计算判断此树枝是否需要修剪． 【答案】（1）， 如图，以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系， （2）需要修剪 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意、掌握求函数解析式的方法是解题的关键． （1）根据题意画出直角坐标系，设该抛物线的函数表达式为，由题知，用待定系数法求函数解析式即可； （2）将代入中，得到，求出，由即可得到结论． 【小问1详解】 解：由题得 设该抛物线的函数表达式为 由题知 把代入 得 解得. 该抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解： 把代入中， 得 解得（舍去） . 需要修剪． 23. 综合与探究 问题背景 数学课上、同学们以“直角三角形的旋转”为主题展开数学活动，如图1，在中，，点是的中点，过点作交于点，连接，点是的中点，点是的中点，连接． 初步探究： （1）与的数量关系为________； 深入探究 （2）如图2将绕点逆时针旋转得到，点的对应点是点，点的对应点是点，连接，点是的中点，点是的中点，连接，，和． ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②求证：； 拓展延伸 （3）如图3，在中，，，，点是的中点，过点作于点，将绕点顺时针旋转一周，在旋转的过程中，当是以为底边的等腰三角形时，请直接写出所有满足条件的的值． 【答案】（1）； （2）①四边形为平行四边形；理由如下： ∵点是的中点，点是的中点， ∴，， ∵点是的中点，点是的中点， ∴，， ∴四边形为平行四边形； ②连接、，如图所示： ∵， ∴， 根据旋转可知：， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴点D为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据中位线的性质得出，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得出，即可得出答案； （2）①根据中位线的性质得出，，，，即可得出结论； ②连接、，证明，得出即可； （3）连接，根据勾股定理和直角三角形性质求出，，求出， ，分两种情况讨论：当在旋转过程中时，当在旋转过程中时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：（1）∵点D为的中点，G为的中点， ∴， ∵，F为的中点， ∴， ∴； （2）略 （3）连接， ∵点D为的中点，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵点D为的中点， ∴， 当在旋转过程中时，如图所示： 则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴是以为底的等腰三角形， ∴此时符合题意， ∵， ∴； 当在旋转过程中时，过点D作于点H，连接，过点B作于点G，如图所示： 则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是以为底的等腰三角形， ∴此时符合题意， ∵，， ∴． 综上分析可知：．满足条件的的值为或． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形中位线的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定，勾股定理，垂直平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期九年级学业质量监测数学试题 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. ﹣3的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个人工智能大模型图案中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 已知一个几何体如图所示，则该几何体的俯视图是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的，若水面和杯底互相平行且，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 脚印信息往往对应着一个人某些方面的基本特征，某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： 脚长 ．．． 23 24 25 26 27 28 ．．． 身高 ．．． 156 163 170 177 184 191 ．．． 则与之间的函数关系式为（　　） A. B. C. D. 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 共享经济已经进入人们的生活．小明收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为、、、的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，小明从中随机抽取两张卡片，则小明抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率是（　　） A. B. C. D. 9. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高为（　　） A. B. 6m C. D. 25.8m 10. 如图，在扇形中，，点为的三等分点，连接，过点作交于点．连接．则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 第II卷 非选择题 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算的结果是_______． 12. 2024年8月20日以来，随着国产3A游戏《黑神话：悟空》在全球爆火，主要取景地山西受到全球玩家关注，山西古建筑的热度持续飙升，成为文旅产业的流量明星．国庆期间，山西共接待国内游客约3650万人次，较上年同期增长；游客旅游消费近230亿元，较上年同期翻了一番．则数据230亿用科学记数法可表示为___________． 13. 蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的电流（单位：A）与电阻（单位：Ω）之间的函数关系如图所示．若以该蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过A，则用电器的可变电阻至少为______Ω． 14. 如图，正五边形内接于，过点D作的切线交的延长线于点F．则的度数为______． 15. 如图，在中，是边的中线，点是上的一点，且，连接．则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 1947年春天，毛泽东同志亲笔为一个15岁女共产党员刘胡兰题词：“生的伟大，死的光荣”．为缅怀革命先烈的英勇事迹，传承他们的精神，今年清明节期间，学校组织七年级全体师生前往位于文水县云周西村的刘胡兰纪念馆参观．活动当天，大家在学校集合，1号车先出发，0.5小时后，2号车沿同样路线前往，结果两辆车同时到达目的地．已知学校到刘胡兰纪念馆的路程是号车的平均速度是1号车平均速度的1.2倍．求1号车从学校到目的地所用的时间． 18. 第四届全民阅读大会于2025年4月23日至25日在太原举办，大会主题是“培育读书风尚建设文化强国”，通过全民阅读构筑共有精神家园，提升社会文明程度，为以中国式现代化全面推进强国建设、民族复兴伟业提供文化滋养和精神力量．某校数学综合实践小组为了解全校2000名学生最喜欢阅读的一种图书类型进行了抽样调查，调查的图书类型包括“A人文社科类”、“B文学艺术类”、“C科普生活类”、“D少儿类”和“E其它”，并将调查情况绘制成如下两幅尚不完整的统计图． 根据调查信息，回答下列问题： （1）本次调查共抽查了_______名学生，的值为_______； （2）补全条形统计图； （3）估计该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有多少名？ （4）假如你是小组成员，请你向该校提一条合理建议． 19. 2025年春节电影档掀起观影热潮，特别是《哪吒之魔童闹海》，截止到2月23日全球票房超135亿，登顶动画电影票房排行榜．某影城为进一步吸引观众观影，提升票房，购进了玩偶杯150个、哪吒手办盲盒250个，已知每个玩偶杯和每个盲盒的进价分别为30元和50元．要使每个盲盒的售价比每个玩偶杯售价多30元，且保证全部售完后利润不低于4900元．求每个玩偶杯的售价至少为多少元？ 20. 太原市晋阳湖之眼摩天轮计划于年月正式试灯营业，该摩天轮位于晋阳湖北岸，采用双侧通透立柱和全拉索轮盘设计，配备台球形吊舱，兼具安全性与科技感．图是太原市晋阳湖之眼摩天轮，图2是测量晋阳湖之眼摩天轮高度示意图．才思数学兴趣小组利用所学知识开展“测量晋阳湖之眼摩天轮高度”的综合实践活动，并写出如下报告，请完成任务． 课题 测量晋阳湖之眼摩天轮高度 测量工具 无人机、测角仪、秒表等 测量示意图 测量过程 如图，测量小组使用无人机在点处竖直上升至点处，在点处测得摩天轮顶部的仰角为，然后以的速度沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得摩天轮顶部的仰角为，底部的俯角为． 说明 点均在同一竖直平面内，且点在同一水平线上．（参考数据：，，，） 任务 求晋阳湖之眼摩天轮的高度．（结果精确到） 21. 阅读与思考 下面是欣欣同学的数学课堂学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 利用尺规在平行四边形内作菱形今天的数学课上，老师给出了如下的一个问题： 如图1，已知四边形是平行四边形，，请利用尺规在平行四边形内作一个菱形，使得菱形的四个顶点均在平行四边形边上． 同学们以小组为单位展开了讨论． 勤学小组的作法：如图2， ①分别以点A，点为圆心，的长为半径画弧，分别交，于点和点， ②连接．结论：四边形是菱形． 勤学小组的证明：四边形是平行四边形， ．即． 由作图痕迹可知：． 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是菱形．（依据1） 善思小组的作法：如图3， ①连接，分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，交点分别为，． ②作直线分别交于点，点和点． ③连接． 结论：四边形是菱形． 善思小组的证明：由作图可知：直线垂直平分． ．（依据2） …… 任务一：请补充上面证明过程中的“依据1”，“依据2”． （1）依据1：___________；依据2：___________； 任务二： （2）请将善思小组的证明过程补充完整； 任务三： （3）在图4中用不同于材料的方法作一个满足要求的菱形．（尺规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法） 22. 综合与实践 果树压枝是一种果树管理技术．主要目的是通过改变枝条的生长方向和角度，来调整果树的生长趋势、促进花芽分化、增加果实产量和改善果实品质．如图1，果农李伯伯正在进行果树压枝处理，如图2，一棵枝条近似呈直线生长，端在树干上，与地面的垂直距离为、枝条经过压枝后的形状近似看成抛物线，该抛物线最低点距离地面，且与树干的水平距离为． （1）请你在图2中建立适当的平面直角坐标系，并求该抛物线的函数表达式； （2）经过压枝、树枝生长一段时间后依然满足（1）中的抛物线，且测得树枝端点处距离地面．为了使果树间不相互影响，要求树枝的最外端距离树干不得超过，试通过计算判断此树枝是否需要修剪． 23. 综合与探究 问题背景 数学课上、同学们以“直角三角形的旋转”为主题展开数学活动，如图1，在中，，点是的中点，过点作交于点，连接，点是的中点，点是的中点，连接． 初步探究： （1）与的数量关系为________； 深入探究 （2）如图2将绕点逆时针旋转得到，点的对应点是点，点的对应点是点，连接，点是的中点，点是的中点，连接，，和． ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②求证：； 拓展延伸 （3）如图3，在中，，，，点是的中点，过点作于点，将绕点顺时针旋转一周，在旋转的过程中，当是以为底边的等腰三角形时，请直接写出所有满足条件的的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $