精品解析：吉林省通化市梅河口市博文学校2023-2024学年高一下学期第三次考试数学试题

2023-2024学年第二学期第三次考试 高一数学试卷 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求） 1. 已知向量、满足，，则（ ） A. －2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算性质计算可得结果. 【详解】， 故选：D. 2. 下列抽样调查中，最适合用分层抽样法抽样的是（ ） A. 某兴趣小组10人决定去郊游，选择1人去购买所需物品 B. 从100名学生中抽取20人调查其身体发育情况 C. 某校有2000名学生，其中高一年级700人，高二年级600人，高三年级700人，现从中抽取20人了解其在校学习压力的情况 D. 从某生产线的30名工人中选出5人调查其工作强度情况 【答案】C 【解析】 【分析】利用分层抽样的定义逐个分析判断即可 【详解】解：对于A，10人没有明显差异，且只选1人，所以不需要分层抽样； 对于B，100名学生没有明显差异，所以不适用分层抽样； 对于C，三个年级的学生个体差异比较明显，所以适用分层抽样； 对于D，30名工人没有明显差异，所以不适用分层抽样， 故选：C 3. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据复数的除法运算法则求出复数，然后根据共轭复数的概念即可得解. 【详解】由题意可得，则. 故答案为：B 4. 在中，，，，则等于（ ） A. B. 10 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理进行求解即可. 【详解】因为，， 所以， 由正弦定理可得， 故选：C 5. 在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则过B、E、三点的平面截正方体所得的截面图形的面积为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先作出截面图形，易知截面为菱形，再结合菱形面积公式求解即可 【详解】设平面交棱AD于F， 由正方体性质及平面与平面平行的性质定理得，， 由勾股定理可得四边形所有边长的长度为， 所以是菱形，且为的中点， 取的中点，连接，则 ， 故． 故选：C． 6. 设，是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则或 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,即可判断选项. 【详解】对于A, 若,,,则由直线与平面位置关系必有,所以A正确; 对于B, 若,,由直线与平面位置关系可得或,所以B正确; 对于C, 若,,,由平面与平面的位置关系可知,所以C正确; 对于D, 若,,则,或与相交都可能,所以D错误. 综上可知,错误的为D 故选:D 【点睛】本题考查了空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系判断,对空间想象能力要求较高,属于基础题. 7. 如图所示，在正方体中，M，N分别为棱，的中点，则下列四个结论正确的是( ) A. 直线AM与是相交直线 B. 直线AM与BN是平行直线 C. 直线AM与BN所成角的余弦值为 D. 直线AM与平面所成角的余弦值为 【答案】C 【解析】 【分析】A：根据异面直线的判断方法即可判断；B：连接、，根据异面直线判断方法即可判断；C：连接、、EN，为直线与所成的角(或其补角)，解△即可；D：连接DM，∠AMD即为直线AM与平面所成角，解△AMD即可． 【详解】对于A，∵M、C、平面，M，A平面，∴直线AM与是异面直线，故A错误； 对于B，连接、，∵A、M、平面，B，N平面，∴直线与是异面直线，故B错误； 对于C，设的中点为点，连接、、EN， 易知EN∥CD且EN=CD，AB∥CD且AB=CD，∴AB∥EN且AB=EN， ∴四边形ABNE是平行四边形，∴BN∥AE， ∴为直线与所成的角(或其补角)， 设正方体的边长为1，则在三角形中， ，，， ∴，故C正确； 对于D，连接DM，∵平面，∴是直线与平面所成的角， 在△中，，故D错误； 故选：C﹒ 8. 已知四面体中，，，，直线与所成的角为，且二面角为锐二面角．当四面体的体积最大时，其外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理及均值不等式判定当底面为等腰三角形时面积最大，再确定当垂直底面时，高最大，利用外接球的性质确定球心，在中求出半径. 【详解】如图， 因为， 所以，即，当且仅当时等号成立，此时底面△BCD面积最大，， 将AD沿平移至，则点A与到底面BCD的距离相同，且， 为使四面体ABCD高最大，则直线在底面BCD的射影为直线BC，此时面BCD，设点A在底面BCD的投影为，可知四边形BCDB'为菱形，且的外心为，此时满足二面角为锐二面角，故四面体ABCD的外接球的球心在直线上，因为，，，所以在中，，解得， 此时外接球的表面积为， 故选：B 【点睛】关键点点睛：根据所给条件确定四面体何时体积最大是本题解题的第一个关键，分别利用余弦定理、均值不等式、三角形面积公式求出底面面积最大时需满足条件，再确定何时高最大，据此确定四面体，第二个关键是确定外接球球心位置，利用方程求球的半径. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知直线a，b和平面，且，，则a与b的关系可以为（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 垂直 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据是否共面，讨论，时之间的位置关系即可. 【详解】当共面，若，则且相交；当不共面，若，则且不相交，即异面垂直关系； 故选：BCD 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 复数在复平面内对应的点在第二象限 B. 若为虚数单位，为正整数，则 C. 若复数为纯虚数，则， D. 复数的虚部为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据复数的概念与复数的运算法则，依次判断各选项即可得到答案. 【详解】对于A，复数在复平面内对应的点为，在第四象限，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，复数为纯虚数，则，故C正确； 对于D，复数 的虚部为，故D正确； 故选：CD. 11. 如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，点是线段的中点，则（ ） A. 直线与直线是异面直线 B. 直线平面 C. 直线直线 D. 二面角的大小为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，作出辅助线，得到，故直线和相交，又平面，故直线与直线是异面直线，A正确；B选项，平面，故直线与平面不平行；C选项，作出辅助线，得到所以⊥平面，得到直线直线；D选项，由面面垂直得到线面垂直，得到故为二面角的平面角，其中，D正确. 【详解】A选项，连接 ，点为正方形的中心， 故三点共线，且为中点， 又点是线段的中点，则， 故直线和相交，又平面， 故直线与直线是异面直线，A正确； B选项，由于平面，故直线与平面不平行，B错误； C选项，取的中点，连接，则，⊥， 因为为等边三角形，所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以直线直线，C正确； D选项，因为平面平面，交线为，⊥，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为⊥，，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 故为二面角的平面角，其中， 故二面角的大小为，D正确 故选：ACD 第Ⅱ卷 （非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，外接圆半径为2，，则___________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据正弦定理即可计算出结果． 【详解】由正弦定理得得 故 故答案为：2 13. 是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数m的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简得到，结合复数的概念，列出方程组，即可求解. 【详解】根据复数的运算法则，化简得， 因为复数为纯虚数，可得，解得. 故答案为：. 14. 在如图所示的三棱柱中，点A，的中点M以及的中点N所确定的平面AMN把三棱柱切割成体积不相同的两部分，则小部分的体积和大都分的体积之比为________． 【答案】13:23 【解析】 【分析】先确定平面AMN与棱交点的位置，再将上部分几何体分割成三棱锥和四棱锥，分别计算它们体积与原三棱柱体积的比，最后求比值. 【详解】设平面AMN与棱交点为，则，(可先补成四棱柱，如图易得结论 所以, ， 所以上部分几何体体积 因此小部分的体积和大都分的体积之比为 故答案为：13:23 【点睛】本题考查平面截面以及锥体与柱体体积公式,考查空间想象能力以及综合分析求解能力，属中档题. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 化简下列各式： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】利用向量的线性运算化简，即可得答案； 【详解】(1)原式； (2)原式. 【点睛】本题考查向量的加法、减法、数乘运算，考查运算求解能力，属于基础题. 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，，为中点. （1）求证：平面； （2）求证：； 【答案】（1） 如图，连接BD和AC交于点O，连接OF， 为正方形， 为BD的中点， 为DE的中点， ， 平面ACF，平面ACF， 平面ACF． （2） 因为平面平面，平面平面， 且，平面， 所以平面CDE， 平面CDE， ， 为正方形， ， ，AD，平面DAE， 平面DAE， 平面DAE， ． 【解析】 【分析】（1）连接BD和AC交于点O，连接OF，根据三角形中位线和线面平行判定定理可证； （2）利用面面垂直的性质定理证明平面CDE，然后根据线面垂直的性质结合正方形性质证明平面DAE，然后可证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，E是的中点，F是的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求与平面所成的角． 【答案】（1）取的中点为M，连接， ∵E是的中点，∴是的中位线． ∴， 又∵F是的中点，且由于是菱形， ∴，∴，且． ∴四边形是平行四边形，∴． ∵平面，平面．∴平面． （2）∵平面，平面， ∴．连接，∵底面是菱形，， ∴为正三角形 ∵F是的中点，∴．∵，∴平面． （3）． 【解析】 【分析】（1）取的中点M，根据中位线定理以及公理4可得，且，从而有，再根据线面平行的判定定理即可证出； （2）根据正三角形性质可得，再根据线面垂直的定义可得，即可根据线面垂直的判定定理证出； （3）易证平面，从而可知是与平面所成的角，解三角形即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连结交于O，∴底面是菱形，∴， ∴平面，∴，∴平面． ∴，即是在平面上的射影． ∴是与平面所成的角． ∵O，E分别是中点，∴， ∴为等腰直角三角形，∴，即与平面所成的角的大小为． 18. 如图，在三棱锥中，，，侧面底面. （1）求证：是直角三角形； （2）若，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：因为侧面底面，，平面， 故侧面，又侧面，所以. 又，，故平面. 因为平面，所以，故是直角三角形. （2）. 【解析】 【分析】（1）侧面底面，，从而得侧面，于是有. 从而再上线面垂直平面，最后可得线线垂直； （2）由侧面，计算出，再求得，由等体积法可得点到平面的距离． 【详解】（1）略； （2）由（1）知，侧面，又， 在中，可求得，故的面积为． 三棱锥的体积 由(1)知，，故 故直角三角形的面积. 设点到平面的距离为，则 故，所以.即点到平面的距离为. 【点睛】本题考查用线面垂直证明线线垂直，考查求点到平面的距离．证明线线垂直需掌握线面垂直的判定定理和性质定理．求点到平面的距离的方法是等体积法． 19. 如图，AB是的直径，C是圆周上异于A，B的点，P是平面ABC外一点，且. （1）求证：平面平面； （2）若，点D是上一点，且与C在直径AB同侧，. （ⅰ）设平面平面，求证： ； （ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的正切值. 【答案】（1）证明:如图，连接OC， ∵，∴. 又∵C是以AB为直径的圆周上一点，∴. ∵，∴，∴. ∵，平面， ∴平面ABC.又∵平面PAB，∴平面平面ABC. （2）（ⅰ）证明： 由题意，四边形ABCD是圆O的内接四边形， ∴.∵，∴. 又点D在圆O上且与C在直线AB的同侧，∴. 又∵平面PAB，平面PAB，∴平面PAB. 设平面平面， ∵平面PCD，∴. （ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）先利用线面垂直判定定理去证明平面ABC，再利用面面垂直判定定理去证明平面平面ABC； （2）（ⅰ）先利用线面平行判定定理证明平面，再利用线面平行性质定理去证明；（ⅱ）先作出平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角，再去求其正切值即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 （ⅰ）略； （ⅱ）连接PD，则， 取CD的中点E，连接PE，OE，则，， 由（ⅰ）知，平面平面，. ∴，.又∵平面PAB，平面PCD， ∴是平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角. ∵，，∴. ∵，∴是边长为1的正三角形， ∴，又∵平面ABC，∴， ∴平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的正切值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期第三次考试 高一数学试卷 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求） 1. 已知向量、满足，，则（ ） A. －2 B. C. D. 2. 下列抽样调查中，最适合用分层抽样法抽样的是（ ） A. 某兴趣小组10人决定去郊游，选择1人去购买所需物品 B. 从100名学生中抽取20人调查其身体发育情况 C. 某校有2000名学生，其中高一年级700人，高二年级600人，高三年级700人，现从中抽取20人了解其在校学习压力的情况 D. 从某生产线的30名工人中选出5人调查其工作强度情况 3. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，，则等于（ ） A. B. 10 C. D. 5. 在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则过B、E、三点的平面截正方体所得的截面图形的面积为（ ） A. 5 B. C. D. 6. 设，是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则或 C. 若，，，则 D. 若，，则 7. 如图所示，在正方体中，M，N分别为棱，的中点，则下列四个结论正确的是( ) A. 直线AM与是相交直线 B. 直线AM与BN是平行直线 C. 直线AM与BN所成角的余弦值为 D. 直线AM与平面所成角的余弦值为 8. 已知四面体中，，，，直线与所成的角为，且二面角为锐二面角．当四面体的体积最大时，其外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知直线a，b和平面，且，，则a与b的关系可以为（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 垂直 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 复数在复平面内对应的点在第二象限 B. 若为虚数单位，为正整数，则 C. 若复数为纯虚数，则， D. 复数的虚部为 11. 如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，点是线段的中点，则（ ） A. 直线与直线是异面直线 B. 直线平面 C. 直线直线 D. 二面角的大小为 第Ⅱ卷 （非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，外接圆半径为2，，则___________. 13. 是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数m的值为___________. 14. 在如图所示的三棱柱中，点A，的中点M以及的中点N所确定的平面AMN把三棱柱切割成体积不相同的两部分，则小部分的体积和大都分的体积之比为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 化简下列各式： （1）； （2）. 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，，为中点. （1）求证：平面； （2）求证：； 17. 如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，E是的中点，F是的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求与平面所成的角． 18. 如图，在三棱锥中，，，侧面底面. （1）求证：是直角三角形； （2）若，求点到平面的距离. 19. 如图，AB是的直径，C是圆周上异于A，B的点，P是平面ABC外一点，且. （1）求证：平面平面； （2）若，点D是上一点，且与C在直径AB同侧，. （ⅰ）设平面平面，求证： ； （ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $