精品解析：2025年甘肃省武威市凉州区西营镇红星九年制学校中考二模数学试题

2024-2025学年第二学期九年级二模数学试卷 一、选择题（共30分，每小题1.5分） 1. 的值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的性质．解题的关键是掌握一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是 根据绝对值的性质直接求解． 【详解】解：根据负数的绝对值是它的相反数，得 故选：B． 2. 若是关于的方程： 的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系的计算是关键． 根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：若是关于的方程： 的两个实数根， ∴， ∴，， ∴， 故选：C ． 3. 已知二次函数的图象如图所示，抛物线顶点坐标为．则下列结论：①；②；③；④；⑤（k为实数）有两个不等实根．正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数得图象与一次函数得图象之间的关系等知识；根据图象判断系数的符号，判断①；对称轴判断②；特殊值判断③；对称轴结合顶点坐标，以及特殊点，解不等式，判断④；图象法判断⑤． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，顶点坐标为，与轴交于负半轴， ∴， ∴， ∴，故①正确，②错误； 由图象可知：当时，，故③错误； ∵， ∴， ∴， 由图象可知：当时：，解得：； 当时：，解得：， ∴，故④正确； ∵， ∴，此方程的根的个数可以通过观察与两个图象的交点个数， ∵，当时，， ∴直线必过点，如图： 由图可知：与两个图象必有两个交点， ∴有两个不相等的实数根，故⑤正确； 综上：正确的有3个； 故选B． 4. 一副三角尺按图所示方式摆放，，固定，将绕点顺时针旋转，角的度数变大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，根据，固定，将绕点顺时针旋转，故是变大的，、、都是变小的，即可作答． 【详解】解：∵，固定，将绕点顺时针旋转， ∴结合图形，得是变大的，、、都是变小的， 故选：A． 5. 如图，点，，在上，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的内角和定理，对顶角相等，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由圆周角定理得，设与相交于点，由三角形的内角和定理和对顶角相等得，求出的度数即可． 【详解】解：由题意得， 设与相交于点， ，， ， 又，， ， 故选：C． 6. 若从四个数中任意选择一个数记作，再从该四个数中任意选择一个数记作，则成立的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法求概率，正确列表成为解题的关键． 先根据题意列表确定所有等可能结果数以及满足题意的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： a b 2 4 ， ，2 ， ，4 2 2， 2，2 2， 2，4 ， ，2 ， ，4 4 4， 4，2 4， 4，4 由列表可得共有16中等可能结果，其中满足有8种，则概率为． 故选C． 7. 如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，直线与反比例函数的图象的另一支交于点B，轴于点C，连接．若的面积为5，则的值为（ ） A. 5 B. C. 10 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点以及反比例函数的定义，设点，则点，，由求出，即可得出结论，求出的值是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴于点， 设点，则点，， 轴， ，， ， ， ， ， 故选：B． 8. 如图，在矩形中，，，点H，F分别在边上，点E，G在对角线上．如果四边形是菱形，那么线段的长为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接交于，易证得，可得，由勾股定理求得的长，求得的长，证，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． 【详解】解：连接交于，如图：       四边形是菱形， ，， 四边形是矩形， ，， ， 在与中， ， ， ， 中，，， ， ， ，， ， ， 即， ， 故选：D． 【点睛】此题考查了菱形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等知识．准确作出辅助线是解此题的关键． 9. 如图，在中，平分，．若，，，则线段的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，解直角三角形，勾股定理．作于点，由角平分线的性质求得，由特殊角的三角函数值求得，求得，，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：作于点， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 故选：B． 10. 小明在参观某工厂时发现了一个工件，并画出如图所示的三视图，则该工件体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体和圆柱的计算，解题的关键是正确地得到几何体的形状，这样才可以求体积．根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起，体积是两个圆柱体的体积的和． 【详解】解：根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起， 底面直径分别是和， 高分别是和， 体积为：． 该工件的体积是． 故选：A 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则它的另一个根为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若为方程的两个根，则与系数的关系式：，．根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：设另一个根为，由题意得 ， ∴， 故答案为：． 12. 已知抛物线，，是抛物线上任意两点，若对于，，都有，则的取值范围为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、一元一次不等式组的应用，正确求出的值，并分两种情况讨论是解题关键．先求出的值，再求出，，然后分两种情况：①和②，根据得出的符号，由此即可得． 【详解】解：∵，是抛物线上任意两点， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴，， ∴， ①当时，要使，则， ∴， 解得，符合题设； ②当时，要使，则， ∴， 解得， ∴此时； 综上，的取值范围为或， 故答案为：或． 13. 如图，在中，，，，D为边上一动点，将线段绕点C按逆时针方向旋转得到线段，连接，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点C作于点K，将线段绕点C逆时针旋转得到，连接，延长交的延长线于点J，证明，得出，证明四边形是正方形，得出，说明点E在直线上运动，当点E与点J重合时，的值最小，求出，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点C作于点K，将线段绕点C逆时针旋转得到，连接，延长交的延长线于点J， ∵将线段绕点C逆时针旋转，得到线段， ∴， ∵， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴点E在直线上运动，当点E与点J重合时，的值最小， 在中，，，， ∴，，， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 14. 如图，⊙的内接正六边形的边长为6，点P是弧的中点，则弧的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质、弧长公式等知识点，正确地添加辅助线是解题的关键．连接、、、、，因为⊙的内接正六边形的边长为6，可得，，即可判断是等边三角形，即，由点P是弧的中点，，则，根据弧长公式即可求解． 【详解】解：如图所示，连接、、、、， ⊙的内接正六边形的边长为6， ，， ，， 是等边三角形， ， 点P是弧的中点， ， ， ， 弧的长为：， 故答案为：． 15. 如图，在直角坐标系中，正方形的顶点A、C分别在x轴和y的正方向上，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点E，若点，则点E的坐标是 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵正方形 ∴ ∵点E在反比例函数图象上，且点E的纵坐标为3， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在中，平分，与 相交于点F．若，的面积为2，则图中阴影四边形的面积为________ 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质．解题的关键是明确同高三角形面积的比就是对应底边的比． 由四边形是平行四边形，得到，结合平分可得，进而得到，从而点E为的中点．根据得到，根据相似三角形的性质可推出，根据同高三角形面积的比就是对应底边的比求出，进而求出，根据即可求得答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：10 17. 如图，是外接圆的直径，，，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由直径所对的原周角是90度得出，同弧所对的圆周角相等可得出，进而可求出，再根据勾股定理得出，最后比较即可． 【详解】解：∵是外接圆的直径， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的原周角是90度，勾股定理，解直角三角形的相关计算，掌握这些知识是解题的关键． 18. 如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是______． 【答案】##平方厘米 【解析】 【分析】本题考查平行投影，与是位似图形，求出位似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：由平行投影可知与是位似图形， ， ， 与的位似比为， ， ， 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19. 的顶点均在格点上，请在网格中按要求作图． （1）将向左平移三个单位长度，再向下平移个单位长度得到； （2）画出关于点成中心对称的； 【答案】（1） 图，即为所求； （2） 如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的平移，中心对称图形的性质，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． （1）根据图形平移的性质作图即可； （2）根据中心对称图形的性质作图即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. （1）计算：； （2）先化简，再求值： 其中 【答案】（1）4；（2），1 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，分式化简求值，熟练掌握特殊角的三角函数值，二次根式混合运算法则，分式混合运算法则，是解题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值，二次根式混合运算法则，进行计算即可； （2）先根据分式混合运算法则进行化简，然后整体代入求值即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ∵， ∴， ∴原式 21. 某影院放映《哪吒2》，周末场观影人数比工作日场多人．周末场人均票价比工作日场人均票价少元，周末场和工作日场的票房收入均为元．求工作日场的观影人数是多少人？ 【答案】工作日场的观影人数是人 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，根据“周末场人均票价比工作日场人均票价少元”列方程求解即可． 【详解】解：设工作日场的观影人数是人，则周末场的观影人数是人， 根据题意得：， 整理得：， 解得：或（不符题意，舍）， 经检验是原方程的解，且符合题意， 答：工作日场的观影人数是人． 22. 如图，将矩形绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形，点E恰好落在边上，连接，，且与相交于点P （1）求证：； （2）若，，求的长： 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴． 由旋转的性质可得， ∴． ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质等知识． （1）由矩形和旋转的性质可得，，从而得到，从而问题得证； （2）过点B作于点M，过点E作于点N，通过证明，，然后结合全等三角形的性质和勾股定理解直角三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点B作于点M，过点E作于点N． 在和中， ∴， ∴，． 在和中， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 23. 如图，中，，，平分，点是边上一点，以点为圆心，以为半径作圆，恰好经过点D． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：连接． 平分， ， ， ， ， ， ， 直线是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，欲证明是的切线，只要证明即可； （2）求出，长，可得出，设，则，可得，解方程即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在中，， ， ， ， 在中， ， ， 设，则， ， ， 解之得，或（舍去）， ． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，平行线的判定和性质，直角三角形的性质，解一元二次方程，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌切线的判定和性质． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，．求一次函数的解析式及n的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数和一次函数的结合，待定系数法式求表达式的方法，掌握待定系数法是解题的关键． 将点B代入反比例函数解析式中算出的值，点A代入反比例函数解析式中算出n的值，再将点B和点A代入然后根据待定系数法求的值. 【详解】解：将点代入反比例函数得：， ∴， 将点代入得：， ∴， 将点，代入得：， 解得， ∴一次函数的解析式． 25. 如图，是半圆的直径，点在的延长线上，切于点，，垂足为，连接． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接， ∵切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，等边对等角等等，熟知切线的性质和相似三角形的性质与判定定理是解题的关键。 （1）如图所示，连接，由切线的性质得到，则可证明，再由等边对等角和平行线的性质证明，即可证明平分； （2）先证明，求出，进而得到，则，再证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ∵是半圆的直径，切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，即， ． 26. 如图，已知四边形是某公园中的小池塘，点和点分别在点的正东与正南方向，点位于点北偏西方向，点位于点北偏东方向，经测量得米，米，求小池塘的边的长．（参考数据：，，，，结果精确到0.1米） 【答案】小池塘的边的长约为42.1米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，数形结合、正确计算是解题的关键． 过点作于点，过点作于点，得到，，然后解直角三角形求出，然后求出，，然后在中，利用求出，进而求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 则四边形是矩形， 米，． 由题意知，， 是等腰直角三角形， ， （米）， 米，（米）． 在中，， （米）， （米）． 答：小池塘的边的长约为42.1米． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点E，其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点． （1）求线段的长； （2）当时，若的面积是面积的两倍，求点D的坐标； （3）延长交x轴于点F，，试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）直线恒过定点 【解析】 【分析】（1）令，则，从而可得，求解得出、的坐标，即可得解； （2）求出，连接、、、，作轴于，轴交于，设点的坐标为，则，求出，表示出，求出直线的解析式为，从而可得，求出，表示出，结合题意得出，解方程即可得解； （3）求出，，作轴于，设，则，求出，，由等腰三角形的性质可得，得出，从而可得，求出直线的解析式为，进而可得，得出方程，解方程得出，即，求出直线的解析式为，即可得解． 【小问1详解】 解：在中，令，则， ∴， 解得：，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， 如图，连接、、、，作轴于，轴交于， ， 设点的坐标为，则， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是面积的两倍， ∴， 整理得：， 解得：或， ∵， ∴，此时， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 在中，当时，，故， 如图：作轴于， ， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， 解得：， ∴， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴直线恒过定点． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的应用、等腰三角形的性质、三角形面积公式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期九年级二模数学试卷 一、选择题（共30分，每小题1.5分） 1. 的值是（ ） A. B. C. D. 2 2. 若是关于的方程： 的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知二次函数的图象如图所示，抛物线顶点坐标为．则下列结论：①；②；③；④；⑤（k为实数）有两个不等实根．正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4. 一副三角尺按图所示方式摆放，，固定，将绕点顺时针旋转，角的度数变大的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点，，在上，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若从四个数中任意选择一个数记作，再从该四个数中任意选择一个数记作，则成立的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，直线与反比例函数的图象的另一支交于点B，轴于点C，连接．若的面积为5，则的值为（ ） A. 5 B. C. 10 D. 8. 如图，在矩形中，，，点H，F分别在边上，点E，G在对角线上．如果四边形是菱形，那么线段的长为（ ） A. 4 B. C. D. 9. 如图，在中，平分，．若，，，则线段的长为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 小明在参观某工厂时发现了一个工件，并画出如图所示的三视图，则该工件体积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则它的另一个根为__________． 12. 已知抛物线，，是抛物线上任意两点，若对于，，都有，则的取值范围为_____． 13. 如图，在中，，，，D为边上一动点，将线段绕点C按逆时针方向旋转得到线段，连接，则的最小值为________． 14. 如图，⊙的内接正六边形的边长为6，点P是弧的中点，则弧的长为______． 15. 如图，在直角坐标系中，正方形的顶点A、C分别在x轴和y的正方向上，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点E，若点，则点E的坐标是 __________． 16. 如图，在中，平分，与 相交于点F．若，的面积为2，则图中阴影四边形的面积为________ 17. 如图，是外接圆的直径，，，则的值为_______． 18. 如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是______． 三、解答题（共66分） 19. 的顶点均在格点上，请在网格中按要求作图． （1）将向左平移三个单位长度，再向下平移个单位长度得到； （2）画出关于点成中心对称的； 20. （1）计算：； （2）先化简，再求值： 其中 21. 某影院放映《哪吒2》，周末场观影人数比工作日场多人．周末场人均票价比工作日场人均票价少元，周末场和工作日场的票房收入均为元．求工作日场的观影人数是多少人？ 22. 如图，将矩形绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形，点E恰好落在边上，连接，，且与相交于点P （1）求证：； （2）若，，求的长： 23. 如图，中，，，平分，点是边上一点，以点为圆心，以为半径作圆，恰好经过点D． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求线段的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，．求一次函数的解析式及n的值． 25. 如图，是半圆的直径，点在的延长线上，切于点，，垂足为，连接． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 26. 如图，已知四边形是某公园中的小池塘，点和点分别在点的正东与正南方向，点位于点北偏西方向，点位于点北偏东方向，经测量得米，米，求小池塘的边的长．（参考数据：，，，，结果精确到0.1米） 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点E，其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点． （1）求线段的长； （2）当时，若的面积是面积的两倍，求点D的坐标； （3）延长交x轴于点F，，试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $