精品解析：海南省海口市第四中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

海口四中2024-2025学年度第二学期期中考试 高一年级数学试题 考生注意：本试卷共有19道题，时间120分钟，满分为150分. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意先解出集合B，进而求出交集. 【详解】由题意，，所以. 故选：D. 2. 在复平面内，复数（为虚数单位），则（ ） A. 的实部为2 B. C. D. 对应的点位于第一象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据除法化简复数，根据实部、模、共轭复数、复数对应点逐项判断即可. 【详解】， 故实部为1，，，对应的点位于第四象限 故选：B 3. 已知向量，且，则（ ） A. 10 B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据共线向量的坐标表示，利用数量积的坐标表示，可得答案. 【详解】由，则，可得，解得， 所以. 故选：A. 4. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据各选项中函数式，直接判断单调性即得. 【详解】函数在区间上单调递增，A不是； 函数在上单调递增，B不是； 函数在上单调递减，C是； 函数在上单调递增，D不是. 故选：C 5. 已知为第二象限角且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及二倍角公式求解即得. 【详解】由为第二象限角，得，由，得， 所以. 故选：C 6. 如图，水平放置的的斜二测直观图为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算得出，，然后还原直观图得到，结合勾股定理计算即可. 【详解】因为，， 所以，所以，即， 因为，所以，， 所以， 还原直观图得到，如图所示： 此时，所以. 故选：D. 7. 在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理化简已知条件，求得，利用平方的方法化简，求得，进而求得. 【详解】， ∴，， ∴； 又知，平方可得， ∴，∴. 故选：C 8. 17世纪30年代，意大利数学家卡瓦列利在《不可分量几何学》一书中介绍了利用平面图形旋转计算球体体积的方法.如图，是一个半圆，圆心为，是半圆的外切矩形.以直线为轴将该平面图形旋转一周，记，阴影部分，半圆所形成的几何体的体积分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆锥的体积公式、球的体积公式以及圆柱的体积公式，通过加减，可得答案. 【详解】以直线为轴将该平面图形旋转一周，所形成的几何体为一个圆锥， 底面直径为，（为半圆半径），则，，则， 半圆所形成的几何体为一个半球，设整个球的体积为，则， 以直线为轴将该平面图形旋转一周，长方形形成的几何体为圆柱， 设体积为，阴影部分所形成的几何体体积等于圆柱体积减去半球体积， 则.故，，. 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列命题中，正确的有（ ） A. 最小值是4 B. “”是“"的充分不必要条件 C. 若，则 D. 函数（且 ）的图象恒过定点 【答案】BD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断A；解不等式，由充分必要条件可判断B；利用特殊值验证可判断C；利用对数函数性质可判断D. 【详解】对于A，当时，（当且仅当时取等号）， 当时，（当且仅当时取等号）， 所以没有最小值，故A错误； 对于B，由得或，所以“”是“"的充分不必要条件，故B正确； 对于C，当时，，但 ，故C错误； 对于D，当时，，所以函数（且 ）的图象恒过定点，故D正确. 故选:BD.` 10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递减 D. 该图象向右平移个单位可得的图象 【答案】ABD 【解析】 【分析】由图象求得函数解析式，然后根据正弦函数性质及图象变换判断各选项． 【详解】根据函数的部分图象，可得，，所以，故A正确； 利用五点法作图，可得，可得，所以，令，求得，为最小值，故函数的图象关于直线对称，故B正确； 当时，，函数没有单调性，故C错误； 把的图象向右平移个单位可得的图象，故D正确． 故选：ABD． 11. 设点D是所在平面内一点，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则点D是边BC的中点 B. 若，则直线AD经过的垂心 C. 若，则点D在边BC的延长线上 D. 若，且，则是面积的一半 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据中点的性质即可判断；对B，根据垂心的性质及数量积公式即可判断；对C，根据向量的运算得到，即可判断；对D，根据三点共线的性质即可求解. 【详解】对A，，即， 即，即点是边的中点，故A正确； 对B，设的中点为， ， 即，故AD过的垂心，故B正确； 对C，， 即， 即， 即点在边的延长线上，故C错误； 对D，，且， 故，且， 设， 则，且， 故三点共线，且， 即是面积的一半，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知平面向量满足，与的夹角为，则的值______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据平面向量数量积的定义计算；再根据求向量模长的方法，结合向量数量积的运算法则即可求解. 【详解】因为，与的夹角为， 所以，，. 则. 故答案为： 13. 已知正四棱锥的侧面积为4，底面边长为2，则该四棱锥的体积_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用侧面积求出斜高，再计算正四棱锥的高，然后求解体积． 【详解】顶点P在底面的射影是正方形ABCD的中心， 正四棱锥的侧面积为S侧面=4•∴PE= ∴正四棱锥的高OP= 所以棱锥的体积 故答案为 【点睛】本题考查了正四棱锥的结构特征及棱锥体积公式的应用. 14. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的平分线交AC于点D，且，则的最小值＝______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意求出角的大小，再结合角平分线的长度得到的关系，再结合基本不等式求出的最小值 【详解】因为，由正弦定理得， 因为，所以，故， 则的面积为， 即即， 所以，当且仅当时取等号， 所以，的最小值为． 故答案为：． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知复数，，且是纯虚数. （1）求的值及； （2）设复数，在复平面上对应的点为，，若四边形是复平面内的平行四边形，求点对应的复数. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由共轭复数以及复数的乘法，根据纯虚数的概念，建立方程，结合复数的几何意义，可得答案； （2）根据平行四边形的性质，结合相等向量的坐标表示，以及复数的几何意义，可得答案. 【小问1详解】 因为，所以，所以， 因为是纯虚数，所以，解得， 所以，则，所以， 【小问2详解】 复数，在复平面上对应的点为，，则， 因为四边形是复平面内的平行四边形，所以，所以， 则点对应的复数为. 16. 在中，角、、所对的边分别为、、，已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理进行边化角，利用三角函数恒等式化简等式，可得答案； （2）由余弦定理以及三角形面积公式，可得答案. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得 所以，即， 因为，所以，， 所以； 【小问2详解】 由余弦定理可得， ，即， 所以. 17. 如图，在中，，，，点在边的延长线上. （1）求； （2）若，，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理以及题目中的条件，解得角的值，根据三角形内角和以及正弦和角公式，可得答案. （2）法一：由图形的性质，根据向量的线性运算以及数量积的运算律，可得答案；法二：先由余弦定理求得的长，根据向量数乘可得线段的长，利用正弦定理求角以及余弦定理求边，可得答案. 【小问1详解】 中，由正弦定理， 因为，，所以， 所以， 则 . 【小问2详解】 方法1：因为，所以， 所以， 则. 方法2：在中，由余弦定理得 ， 因为为线段上靠近的三等分点，所以. 因为，所以， 因为为锐角，所以， 在中，由余弦定理得，， 所以. 18. 已知 （1）求的单调递增区间； （2）若函数在区间上恰有两个零点，. ①求的取值范围；②求的值. 【答案】（1） （2）①或；② 【解析】 【分析】（1）利用三角函数恒等式化简函数解析式，根据整体思想以及正弦函数的单调性，可得答案； （2）①由函数的图象变换作图，根据函数与方程的关系，可得答案；②由正弦函数的对称性，建立方程，可得答案. 【小问1详解】 ， 结合正弦函数的图象与性质可得：当， 即时，函数单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 ①令，当时，， ，所以， 所以要使在区间上恰有两个零点，的取值范围为或； ②设，是函数的两个零点（即，）， 由正弦函数图象性质可知， 即，所以. 19. 人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活．所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份．在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要运用距离进行测试，经常使用的测量距离有曼哈顿距离和余弦距离．若二维空间有两个点，则A，B之间的曼哈顿距离为：．A，B之间的余弦距离为，其中为A，B之间的余弦相似度． （1）若，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离； （2）已知，且． ①求N，P之间的余弦距离； ②求N，P之间的曼哈顿距离． 【答案】（1）曼哈顿距离为2，余弦距离为 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意代入题目中的公式可得答案； （2）①根据条件和两角和的余弦公式可求答案；②先求解，结合和角公式可得答案. 【小问1详解】 由题意； 因为， 所以余弦距离为. 【小问2详解】 ①由题意， 由，可得，故； 因，故， 则， 又， 所以N，P之间的余弦距离为. ②由①可知，， ， 因，则， 所以N，P之间的曼哈顿距离为： . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海口四中2024-2025学年度第二学期期中考试 高一年级数学试题 考生注意：本试卷共有19道题，时间120分钟，满分为150分. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数（为虚数单位），则（ ） A. 的实部为2 B. C. D. 对应的点位于第一象限 3. 已知向量，且，则（ ） A. 10 B. C. 6 D. 4. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知为第二象限角且，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，水平放置的的斜二测直观图为，若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 17世纪30年代，意大利数学家卡瓦列利在《不可分量几何学》一书中介绍了利用平面图形旋转计算球体体积的方法.如图，是一个半圆，圆心为，是半圆的外切矩形.以直线为轴将该平面图形旋转一周，记，阴影部分，半圆所形成的几何体的体积分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列命题中，正确的有（ ） A. 最小值是4 B. “”是“"的充分不必要条件 C. 若，则 D. 函数（且 ）的图象恒过定点 10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递减 D. 该图象向右平移个单位可得的图象 11. 设点D是所在平面内一点，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则点D是边BC的中点 B. 若，则直线AD经过的垂心 C. 若，则点D在边BC的延长线上 D. 若，且，则是面积的一半 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知平面向量满足，与的夹角为，则的值______. 13. 已知正四棱锥的侧面积为4，底面边长为2，则该四棱锥的体积_____． 14. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的平分线交AC于点D，且，则的最小值＝______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知复数，，且是纯虚数. （1）求的值及； （2）设复数，在复平面上对应的点为，，若四边形是复平面内的平行四边形，求点对应的复数. 16. 在中，角、、所对的边分别为、、，已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 17. 如图，在中，，，，点在边的延长线上. （1）求； （2）若，，求的长. 18. 已知 （1）求的单调递增区间； （2）若函数在区间上恰有两个零点，. ①求的取值范围；②求的值. 19. 人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活．所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份．在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要运用距离进行测试，经常使用的测量距离有曼哈顿距离和余弦距离．若二维空间有两个点，则A，B之间的曼哈顿距离为：．A，B之间的余弦距离为，其中为A，B之间的余弦相似度． （1）若，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离； （2）已知，且． ①求N，P之间的余弦距离； ②求N，P之间的曼哈顿距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $