精品解析：湖南省娄底市多校联考2024-2025学年高二普通高中学业水平合格性考试（四）数学试题

湖南省普通高中学业水平合格性考试（四） 科目：数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁． 时量：90分钟 满分：100分 一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由共轭复数的概念可得结果. 【详解】的共轭复数. 故选：C. 2. 已知集合，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义可求得的值. 【详解】由，，且，则得. 故选：B. 3. 如图，四边形ABCD是平行四边形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量减法运算求解. 【详解】根据题意， . 故选：A 4. 已知一个弹簧振子的运动方程为，则该弹簧振子的振幅、初相分别是（ ） A. 振幅是3，初相是 B. 振幅是3，初相是 C. 振幅是4，初相是 D. 振幅是4，初相是 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用振动曲线的相关概念判断即得. 【详解】由弹簧振子的运动方程为，得该弹簧振子的振幅是3、初相是. 故选：B 5. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】全称命题的否定是特称命题. 【详解】全称命题的否定是特称命题， 所以命题“，”的否定是，. 故选：C 【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题. 6. 气象局预报，今天北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%，下列说法不正确的是（ ） A. 北京今天一定降雨，而上海一定不降雨 B. 上海今天可能降雨，而北京可能没有降雨 C. 北京和上海都可能没降雨 D. 北京降雨的可能性比上海大 【答案】A 【解析】 【分析】由概率的定义，即可得到答案. 【详解】由概率的定义可知，“今天北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%”是指下雨的可能性，是随机事件，故选项A错误. 故选：A. 7. 某中学七年级有人，八年级有人，九年级有人，若每人被抽到的可能性都为，用随机数法在该学校抽取容量为的样本，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据简单随机抽样的概率公式可得出关于的等式，解之即可. 【详解】由简单随机抽样的概率公式可得，解得. 故选：C. 8. 设，是两个不同的平面，则“内有无数条直线与平行”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据面面平行的定义以及判定定理，举例即可得出答案. 【详解】 如图，长方体中，平面. 在平面内，除直线外，其他所有与平行的直线，都与平面平行，但是平面与平面不平行； 若，根据面面平行的定义可知，平面内的直线都与平面平行. 所以，“内有无数条直线与平行”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 9. 函数的周期是（ ） A. B. C. π D. 2π 【答案】D 【解析】 【分析】根据的周期公式直接可求. 【详解】，所以， 故选：D. 10. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】函数的奇偶性单调性判断即可. 【详解】为偶函数，故A错；为奇函数且单调递增，故B正确； 是奇函数，在和单调递减，故C错；是非奇非偶函数，故D错误； 故选：B. 11. 如图，AB为圆锥底面直径，，若，则SA与圆锥底面所成角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用AB为圆锥底面直径，，得就是SA与圆锥底面所成的角，再利用可得答案. 【详解】因为AB为圆锥底面直径，， 所以是底面圆圆心，所以就是SA与圆锥底面所成的角， 因为，， 所以，又因为，所以. 故选：A. 12. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用诱导公式化简计算即可. 【详解】. 故选：C. 13. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则一定是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理化角为边，从而可得出答案. 【详解】解：因为， 所以， 则，所以， 所以是等腰三角形. 故选：B. 14. 已知，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用中间量比较，运用中间量比较 【详解】则．故选B． 【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题． 15. 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个白球”相等的事件是（ ） A. 全是红球 B. 至少有1个红球 C. 至多有1个红球 D. 1个红球，1个白球 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，写出事件“至少有1个白球”所包含的基本事件，根据选项即可判断和选择. 【详解】从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，若至少有1个白球， 则其包含的基本事件是：个白球个红球，个白球； 又至多有1个红球包含的基本事件也是：个白球个红球，个白球. 故选：. 16. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】应用基本不等式“1”的代换求最小值，注意取值条件. 【详解】由题设， 当且仅当时等号成立，故目标式的最小值为9. 故选：D 17. 已知函数，则对任意实数x，有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算，判断B；取特值进行排除，一般地利用指数幂的运算可以证明A正确. 【详解】， 所以，故B错误； ，， 所以，，故CD错误； ， 所以，A正确. 故选：A 18. 在某次演讲比赛中，由两个评委小组[分别为专业人士（记为小组A）和观众代表（记为小组B）]给参赛选手打分，根据两个评委小组给同一名选手打分的分值绘制成下表，则下列结论错误的是（ ） 评委 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A 43 47 46 48 50 47 54 50 47 B 55 36 70 66 75 68 68 62 58 A. 小组A打分的分值的平均数为48 B. 小组B打分的分值的中位数为66 C. 小组A打分的分值的极差大于小组B打分的分值的极差 D. 小组A打分的分值的极差小于小组B打分的分值的极差 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数公式判断A，将小组打分从小到大排列，即可求出中位数，从而判断B，求出极差判断C，根据数据的分布情况判断D. 【详解】由图可知，小组打分的平均数为，故A正确； 将小组打分从小到大排列为、、、、、、、、，所以中位数为，故B正确； 小组打分的分值的极差为，小组打分的分值的极差为，故C错误； 小组打分的分值相对更集中，所以小组打分的分值的方差小于小组打分的分值的方差，故D正确； 故选：C 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 19. 已知幂函数的图象经过点，那么α=___________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据幂函数的图象经过点，由求解. 【详解】因为幂函数的图象经过点， 所以， 解得， 故答案为：3 20. 若，则________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用三角函数基本关系式，弦化切，求值计算. 【详解】. 故答案为： 21. 从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据古典概型可知总有12种情况，符合题意的有6种，即答案为. 【详解】从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回地随机抽取2张，共有： ，12种； 2张卡片上的数字之积是4的倍数有：，6种； 即概率为， 故答案为：. 22. 高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，当时，函数的值域为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据高斯函数定义分类讨论求函数值． 【详解】，则， 当时，， 当时，， 当时，， ∴值域为． 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义函数，解题关键是理解新函数，利用新函数定义分类讨论求解． 三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 已知向量，． （1）当时，求向量的坐标； （2）若，求实数x的值； （3）求的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）， （3）， 【解析】 【分析】（1）由特殊角三角函数的计算和平面向量加法的坐标运算可得结果； （2）由向量平行的坐标关系列式求解； （3）先根据向量数量积的坐标公式化简函数，再根据二倍角公式化简，最后根据正弦函数性质可得最值. 【小问1详解】 当时，，， 则． 【小问2详解】 若，则，即， 所以，． 【小问3详解】 因为，， 所以． 因为， 所以当时，取得最大值，， 当时，取得最小值，． 24. 在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，边长为1，，，O为AC的中点． （1）求的体积； （2）证明：． 【答案】（1） （2） 如图，连接OB，． 根据直棱柱的性质，平面ABCD，平面ABCD， 所以． 因为底面ABCD是菱形，所以． 因为BD，平面，， 所以平面， 又平面，所以． 【解析】 【分析】（1）利用棱锥体积公式直接计算； （2）先证平面，从而可得． 【小问1详解】 根据直棱柱的性质，平面ABCD， 所以高， ， ． 【小问2详解】 略 25. 已知函数，（，且）． （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并说明理由； （3）当时，若有两个零点，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）偶函数，理由如下： 因为，定义域关于原点对称， ， 所以是偶函数． （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的真数部分大于0列出不等式组，解出即可； （2）根据函数奇偶性定义判断； （3）根据题意转化为有两解，利用函数的单调性求值域进行求解. 【小问1详解】 由题意得， 由得， 所以的定义域为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，． 令，则． 令，， 则，函数在上单调递增，， 易知，函数在上单调递增，在上单调递减． 要使有两个零点，即有两个解， 那么，则，所以实数m的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省普通高中学业水平合格性考试（四） 科目：数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁． 时量：90分钟 满分：100分 一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的共轭复数（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，四边形ABCD是平行四边形，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知一个弹簧振子的运动方程为，则该弹簧振子的振幅、初相分别是（ ） A. 振幅是3，初相是 B. 振幅是3，初相是 C. 振幅是4，初相是 D. 振幅是4，初相是 5. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 气象局预报，今天北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%，下列说法不正确的是（ ） A. 北京今天一定降雨，而上海一定不降雨 B. 上海今天可能降雨，而北京可能没有降雨 C. 北京和上海都可能没降雨 D. 北京降雨的可能性比上海大 7. 某中学七年级有人，八年级有人，九年级有人，若每人被抽到的可能性都为，用随机数法在该学校抽取容量为的样本，则（ ） A. B. C. D. 8. 设，是两个不同的平面，则“内有无数条直线与平行”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 函数的周期是（ ） A. B. C. π D. 2π 10. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，AB为圆锥底面直径，，若，则SA与圆锥底面所成角为（ ） A. B. C. D. 12. 已知，则（ ） A. B. C. D. 13. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则一定是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 14. 已知，则 A. B. C. D. 15. 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个白球”相等的事件是（ ） A. 全是红球 B. 至少有1个红球 C. 至多有1个红球 D. 1个红球，1个白球 16. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 17. 已知函数，则对任意实数x，有（ ） A. B. C. D. 18. 在某次演讲比赛中，由两个评委小组[分别为专业人士（记为小组A）和观众代表（记为小组B）]给参赛选手打分，根据两个评委小组给同一名选手打分的分值绘制成下表，则下列结论错误的是（ ） 评委 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A 43 47 46 48 50 47 54 50 47 B 55 36 70 66 75 68 68 62 58 A. 小组A打分的分值的平均数为48 B. 小组B打分的分值的中位数为66 C. 小组A打分的分值的极差大于小组B打分的分值的极差 D. 小组A打分的分值的极差小于小组B打分的分值的极差 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 19. 已知幂函数的图象经过点，那么α=___________. 20. 若，则________． 21. 从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为________． 22. 高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，当时，函数的值域为________． 三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 已知向量，． （1）当时，求向量的坐标； （2）若，求实数x的值； （3）求的最大值和最小值． 24. 在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，边长为1，，，O为AC的中点． （1）求的体积； （2）证明：． 25. 已知函数，（，且）． （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并说明理由； （3）当时，若有两个零点，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $