精品解析：江西省宜春市十校2024-2025学年高三下学期第二次联考（三模）数学试题

宜春十校2024~2025学年高三（下）第二次联考 数 学 （高安二中，万载中学，宜春一中，樟树中学，奉新一中，宜丰中学，丰城九中，樟树滨江中学，铜鼓中学，宜春九中） 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的描述法化简集合，再结合集合的交集运算即可. 【详解】因为集合，所以由，可得， 所以. 故选：C. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 5 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据求出，再用模的坐标表示求解即可. 【详解】向量，，由，得，则， 所以. 故选：B 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法运算、乘方运算得到，再由共轭复数得到. 【详解】，所以， 故选：A 4. 已知，若“，”为假命题，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定为全称量词命题，再利用恒成立问题求解. 【详解】命题“，”是存在量词命题，其否定为全称量词命题， 其否定为：，，而函数的值域为， 由“，”为假命题，得“，”为真命题，则， 所以的取值范围是. 故选：C 5. 如图是根据某校学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则该次数学成绩的50%分位数约为（采用四舍五入法精确到1）（ ） A. 76 B. 77 C. 78 D. 79 【答案】B 【解析】 【分析】从频率分布直方图中求出各组的频率，判断出50%分位数在第三组内，列式求解即可. 【详解】从左到右前2个小组的频率分别为，，第3个小组的频率为， 又，， 故50%分位数在内，. 故选：B. 6. 在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为（为常数），其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型中，当时，学习率为0.25；当时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为（ ）（已知） A. 31 B. 32 C. 33 D. 34 【答案】D 【解析】 【分析】可先根据已知条件求出初始学习率和衰减系数，进而得到学习率关于训练迭代轮数的表达式，最后根据学习率的要求求出训练迭代轮数的最小值. 【详解】因为衰减学习率模型为， 所以根据已知条件可得：① ② 用②式除以①式可得： ,化简可得：. 将代入①式中可得：. 所以衰减学习率模型为. 当学习率衰减到0.05以下时，即. 化简上述不等式得：，所以. 因为为正数，所以最小值取34. 故选：D. 7. 已知，，，动点满足，若，则直线（为原点）斜率的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】设，由题分析可知点为的中点，得，根据化简可得，从而可知点在以为圆心，为半径的圆上.根据直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，数形结合即可求解. 【详解】设，由，，得点为的中点，则. 又，，则，， 因此，即， 点在以为圆心，为半径的圆上， 设直线OM（O为原点）斜率为， 由图知当直线OM与圆相切时，直线OM的斜率取得最大值，此时， 则圆心到直线OM的距离等于半径，即，解得或， 所以直线OM（O为原点）斜率的最大值为. 故选：B 8. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，且，是棱的中点，设平面，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理，选择作为基底分别表示和向量，再根据向量共线的条件求出参数即可. 【详解】选择作为基底，； ，由已知点在平面内，即与，共面，可得， 又由是的中点，可得，代换可得： ； 与共线，即，可得：，即 ，解得. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将图象上的所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的零点为， C. 图象的对称轴方程为， D. 的单调递减区间为， 【答案】BC 【解析】 【分析】由图象变换得到解析式，根据余弦型函数的周期、零点、对称轴、单调递减区间即可计算得到正确选项. 【详解】的图象上每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）得到图象， 再将所有的点向左平移个单位长度得到的图象， 对于A，的最小正周期，A错误； 对于B，令，得，解得，则的零点为，B正确； 对于C，令，得，则图象的对称轴方程为，C正确； 对于D，令，得，的单调递减区间为，D错误. 故选：BC 10. 如图，圆台的上、下底面半径分别为1和2，侧面积为，四边形为其轴截面，四边形绕逆时针旋转60°到四边形，则（ ） A. 圆台的高为 B. 圆台的体积为 C. D. 圆台的外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据圆台侧面积公式计算出母线长，再利用勾股定理计算出圆台的高，即可判断A；利用圆台的体积公式计算可判断B；如图作辅助线，利用余弦定理和勾股定理计算各边长可判断C；分类讨论外接球球心在圆台内和圆台外，通过半径长构建方程，求出符合题意的球心和半径，利用球的体积公式计算即可判断D. 【详解】 对于A，设圆台的母线长为，则圆台的侧面积，所以，即. 过点作于点，则， 在中，，所以圆台的高为，故A正确； 对于B，圆台的体积，故B错误； 对于C，过点作于点，连接，则， 在中，，根据余弦定理，， 在中，，所以，故C正确； 对于D，设圆台的外接球的球心为点，则点在直线上，设外接球半径为， 若球心在线段上，即在圆台内，设到圆台上底面距离为，则到下底面距离为， 则有，整理可得，解得， 所以，则外接球的表面积为. 若球心在线段外，即在圆台外，设到圆台下底面距离为，则到上底面距离为， 则有，整理得，不符合题意，舍去. 所以，圆台的外接球的表面积为，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知A，B为两个事件，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则的最小值可能为0.38 C. 若，，A，B相互独立，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据事件的包含关系结合条件概率公式即可判断A，D；根据事件的和与积求解，即可判断B；根据独立事件的性质即可判断C. 【详解】对于A，因为，所以，由于，则，故A正确； 对于B，因为，，所以， 由于，则，所以的最小值不可能为0.38，故B不正确； 对于C，若，，A，B相互独立，则，则，故C正确； 对于D，若，则，所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列中，，，若，，则前10项的和为_____________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据递推关系式可确定数列为等差数列，设公差为，求得的值，从而得，于是可得前10项的和. 【详解】若，，则， 则数列为等差数列，设公差为， 由，可得，则， 所以， 则前10项的和为. 故答案为：. 13. 已知为椭圆的右焦点，为原点，为上一点，，若，则的离心率为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】由条件可知为直角三角形，结合椭圆定义确定关系，由此可求离心率. 【详解】取椭圆的左焦点，连结， 在中，由，得， 设，由，得， 由为直角三角形，得，则， 所以椭圆的离心率是. 故答案为： 14. 已知函数满足：①，；②，．若是方程的实根，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据②将方程变形为，由①知为增函数，从而，变形构造函数可得，代入可得结果. 【详解】由②及题设条件，得. 由①，知为增函数，得，即 即. 令，则. 又为增函数，所以，即，所以， 故. 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：，． 【答案】（1） （2）设，求导得， 函数在上单调递减，恒成立，即，因此， 设，求导得，函数在上单调递增， 则，则，即， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求导得切线斜率，再确定切点纵坐标，从而得切线方程. （2）构造函数求导确定单调性即可得，再设，求导确定单调性，从而可得，结合指数与对数运算即可证得结论. 【小问1详解】 函数，求导得，则，又， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 略 16. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求； （2）若的面积为1，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理及和角的正弦公式化简求解. （2）利用（1），得到当时，由正弦定理得，结合，得出即可. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 即，则， 由，得，又， 所以. 【小问2详解】 （2）由（1）求解知，，所以， 由正弦定理得，所以，所以， 又， ∴， ∴. 17. 某电视台为迎接2025年新春佳节的到来，特举办一个有奖竞猜节目，问题有生活类、益智类两类．每位参赛者回答次，每次回答一个问题，每位参赛者回答的第1个问题均从生活类题库中随机抽取，规定：对所有的问题若答对则下一题从益智类题库中随机抽取；若答错，则下一题从生活类题库中随机抽取．已知答对一个生活类题目得10元，答错得0元；答对一个益智类题目得20元，答错得0元．已知李明答对每个生活类题目的概率均为，答对每个益智类题目的概率均为，且每次回答正确与否相互独立． （1）记李明前两题累计获奖为元，求的分布列及数学期望； （2）记李明第题回答正确的概率为证明：为等比数列，并求的通项公式． 【答案】（1）随机变量的分布列为： 0 10 30 . （2）证明：若李明第道题目回答正确，则第道回答益智类题目，此时他回答正确的概率为， 若李明第道题目回答错误，则第道回答生活类题目，此时他回答正确的概率为， 所以，则， 而，因此数列是首项为，公比为的等比数列，即， 所以， 所以的通项公式是. 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到随机变量的可能取值为，结合规定，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，求得其数学期望. （2）若李明第道题目回答正确，则第道回答益智类题目，回答正确的概率为，若李明第道题目回答错误，则第道回答生活类题目，回答正确的概率为，得到关系式，结合等比数列的定义，即可得证. 【小问1详解】 依题意，随机变量的可能取值为， 李明答对每个生活类题目的概率均为，答对每个益智类题目的概率均为， 当时，两道生活类题目都答错，； 当时，第1道生活类题目答对且第2道益智类题目答错或者第1道生活类题目答错，第2道生活类题目答对， 即； 当时，第1道生活类题目答对且第2道益智类题目答对，， 所以随机变量的分布列为： 0 10 30 所以. 【小问2详解】 略 18. 在三棱锥中，，，与平面所成的角为． （1）若，，如图，过点作平面，分别交，于点，． ①求证：平面； ②设，为平面内的动点，求周长的最小值． （2）若，，求二面角的取值范围． 【答案】（1）①证明：由⊥平面，平面，得⊥， 由，得⊥平面BCD，而平面，则⊥， 又，，平面，则⊥平面， 又平面，则⊥，而，平面， 所以平面PCD； ②1； （2）. 【解析】 【分析】（1）（i）根据线面垂直得到⊥，⊥，从而得到⊥平面，所以⊥，所以平面PCD. （ii）建立空间直角坐标系，平面的一个法向量为，设点关于平面对称的点为，则，要想最小，则需三点共线，此时的最小值为的长，设，且，从而得到方程组，解得，故，，故△CGH周长的最小值为. （2）在平面BCD的投影为以为圆心，为半径的圆，设，求出两平面的法向量，设二面角的大小为，则，换元得到，从而求出答案. 【小问1详解】 （i）略 （ii）由，得，，则， 过点作，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 由，得，， 则，，， 则平面的一个法向量为， 设点关于平面对称的点为，则， ，要最小，则需三点共线， 此时的最小值为的长，其中，且， 则且，而，解得， 故，； 所以△CGH周长的最小值为. 【小问2详解】 PB与平面BCD所成的角， 以为坐标原点，所在直线为轴，平行的直线为轴，垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为，故， PB与平面BCD所成的角，，则点在平面BCD的投影为以为圆心，为半径的圆， 设，， 设平面的法向量为，则， 令，得，平面的法向量为， 设二面角的大小为，由图形知，二面角是锐二面角，， 则， 令，则， 又在上单调递减，因此， 所以二面角的取值范围为. 19. 已知双曲线的两条渐近线分别为，，若点，分别在，上（，不同于原点），且直线是的切线，则称是的“渐切三角形”．已知在点处的切线方程为． （1）写出的一个“渐切三角形”的顶点，的坐标及切线的方程，并求出其面积； （2）已知点，分别在，上，的面积为，试问是否是的“渐切三角形”？并说明理由； （3）若是的“渐切三角形”，与相切的切点的横坐标大于0，为的左焦点，证明：为定值． 【答案】（1），，（答案不唯一）； （2）是，理由:若直线斜率不存在，不妨设，则， 则，得， 此时直线与曲线相切，即是的“渐切三角形”， 若直线斜率存在，设， 联立，得， 则，即， 则， 又点到直线的距离， 则， 得， 联立，得， 则， 则直线与曲线相切，即是的“渐切三角形”， 综上可得，若的面积为，则是的“渐切三角形”. （3）证明：若切点为时，直线的方程为，此时， 因，则，即， 利用对称性可知； 若切点不为，可设切点为，则直线， 联立，得， 则由，可得， 联立，得，即， 设点，，则， 则， ， 则 ， （说明：由图知，与始终同号，故成立） ， 则 ， 因，则，故为定值. 【解析】 【分析】（1）先根据渐近线方程得出，再取切点为即可根据条件求出； （2）分直线斜率不存在，和斜率存在两种情况讨论，设直线方程，联立方程组，求，进而利用的面积为，即可发现直线与曲线相切； （3）切点为容易求出，切点不为时，先根据直线与曲线相切得出，再将直线与联立得出韦达定理，进而求出、，即可求出，进而得出为定值. 【小问1详解】 由题意可得，双曲线的渐近线方程为，故， 则，且在点处的切线方程为， 不妨取切点为，则切线方程为，此时， 则. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜春十校2024~2025学年高三（下）第二次联考 数 学 （高安二中，万载中学，宜春一中，樟树中学，奉新一中，宜丰中学，丰城九中，樟树滨江中学，铜鼓中学，宜春九中） 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 5 D. 20 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 4. 已知，若“，”为假命题，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是根据某校学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则该次数学成绩的50%分位数约为（采用四舍五入法精确到1）（ ） A. 76 B. 77 C. 78 D. 79 6. 在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为（为常数），其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型中，当时，学习率为0.25；当时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为（ ）（已知） A. 31 B. 32 C. 33 D. 34 7. 已知，，，动点满足，若，则直线（为原点）斜率的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 8. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，且，是棱的中点，设平面，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将图象上的所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的零点为， C. 图象的对称轴方程为， D. 的单调递减区间为， 10. 如图，圆台的上、下底面半径分别为1和2，侧面积为，四边形为其轴截面，四边形绕逆时针旋转60°到四边形，则（ ） A. 圆台的高为 B. 圆台的体积为 C. D. 圆台的外接球的表面积为 11. 已知A，B为两个事件，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则的最小值可能为0.38 C. 若，，A，B相互独立，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列中，，，若，，则前10项的和为_____________． 13. 已知为椭圆的右焦点，为原点，为上一点，，若，则的离心率为____________． 14. 已知函数满足：①，；②，．若是方程的实根，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：，． 16. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求； （2）若的面积为1，，求的值． 17. 某电视台为迎接2025年新春佳节的到来，特举办一个有奖竞猜节目，问题有生活类、益智类两类．每位参赛者回答次，每次回答一个问题，每位参赛者回答的第1个问题均从生活类题库中随机抽取，规定：对所有的问题若答对则下一题从益智类题库中随机抽取；若答错，则下一题从生活类题库中随机抽取．已知答对一个生活类题目得10元，答错得0元；答对一个益智类题目得20元，答错得0元．已知李明答对每个生活类题目的概率均为，答对每个益智类题目的概率均为，且每次回答正确与否相互独立． （1）记李明前两题累计获奖为元，求的分布列及数学期望； （2）记李明第题回答正确的概率为证明：为等比数列，并求的通项公式． 18. 在三棱锥中，，，与平面所成的角为． （1）若，，如图，过点作平面，分别交，于点，． ①求证：平面； ②设，为平面内的动点，求周长的最小值． （2）若，，求二面角的取值范围． 19. 已知双曲线的两条渐近线分别为，，若点，分别在，上（，不同于原点），且直线是的切线，则称是的“渐切三角形”．已知在点处的切线方程为． （1）写出的一个“渐切三角形”的顶点，的坐标及切线的方程，并求出其面积； （2）已知点，分别在，上，的面积为，试问是否是的“渐切三角形”？并说明理由； （3）若是的“渐切三角形”，与相切的切点的横坐标大于0，为的左焦点，证明：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $