精品解析：2025年广东省深圳市深汕合作区二模数学试卷

2024-2025学年深圳市中考综合模拟 数学（二） （考试时长：90分钟 满分：100分） 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，中国古老的汉族传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱，请观察下图窗花图案，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ） A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C. 两条直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例 D. 两点之间线段最短 3. 2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约的月背样本，实现世界首次月背采样返回，标志着我国对月球背面的研究又进入了一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，某条楼梯及栏杆可以看作三角形与平行四边形构成，若，则该楼梯的坡角的值为（ ） A. B. C. D. 6. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形中，，垂足为，点在线段上，过点作，，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 因式分解：____． 10. 随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要是由黑、白两种小正方形组成，现对由三个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是两个白色小正方形和一个黑色小正方形的概率为______． 11. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为__________． 12. 如图，已知中，，，与关于所在直线对称，反比例函数恰好经过点，则______． 13. 如图，在中，，，，，则______． 三、解答题（本大题共7小题，共61分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤） 14. 计算：． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 某学校为了了解学生在课堂中的专注度，在全校范围内随机抽取了一些学生进行“我的课堂时间管理”问卷调查，设计的问题：你在课堂中的专注度时间为多少？答案选项为：．，．，．，．，将调查结果整理后绘制如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题： （1）本次调查总人数为______人； （2）请把条形统计图补充完整； （3）请估计该校1600名学生中课堂专注度在20分钟及以上的人数为______人； （4）为了提高该校学生在课堂中的专注度时间，假如你是该校学生，请给出一条合理化建议． 17. “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实双减政策，丰富学生的课余活动，开设了书法社团，计划为学生购买，两种型号“文房四宝”共40套．已知某文化用品店每套型号的“文房四宝”的标价比A型号的“文房四宝”的标价高，若按标价购买共需花费元，其中购买A型号“文房四宝”花费元． （1）求每套型号的“文房四宝”的标价． （2）该中学的课余活动进行得如火如荼，另一所学校也打算购入A，两种型号的工具开展相关活动．考虑到购买较多，店主同意该中学按A型号“文房四宝”八折，型号“文房四宝”满套送一套的优惠价，已知，两种型号的“文房四宝”每套进价分别为元和元，学校购买了A型号“文房四宝”套，若通过此单生意，该店获利不低于元，则该校至少买了多少套型“文房四宝”？ 18. 如图，在中，以上一点为圆心，为半径的与、相交于、，连接． （1）从以下三个信息中选择两个作为条件，剩余的一个作为结论组成一个真命题，并写出你的证明过程． ①平分；②；③直线是的切线．你选择的条件是______，结论是______（填序号）； （2）在（1）的条件下，若，，求图中阴影部分的面积． 19. 太阳灶是利用凹面镜会聚光的性质把太阳能收集起来，用于做饭、烧水的一种器具．目前应用最广泛的聚光式太阳造是利用镜面反射汇聚阳光，如图1，这种太阳灶的镜面设计，可以看成是抛物线绕其对称轴旋转一周所得的旋转抛物面，其原理是，如图2，若有一束平行光沿对称轴方向射向这个抛物面，则反射光线都会集中反射到一特殊点（即抛物线的焦点）的位置，于是形成聚光，达到加热的目的．若抛物线的表达式为，则抛物线的焦点为． （1）已知在平面直角坐标系中，某款太阳灶抛物线的表达式为，则焦点的坐标是______； （2）如图3，用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与轴重合，顶点与原点重合，若太阳灶采光面的直径为1.5米，凹面深度为0.25米，求抛物线的表达式______； （3）如图4，在（2）的条件下，为平行于轴的入射光线，为反射光线，为切点，为焦点，当时，求点的横坐标； （4）如图5，在（1）的条件下，点是焦点，表示太阳灶边缘（最远程）反射光同对称轴的夹角，当为时，求点的坐标． 20. （1）如图1，在矩形中，，将沿折叠，的对应点恰好落在边上．若，求． （2）如图2，在矩形中，为边上的一点，，，，求． （3）如图3，在（2）的条件下，是射线上的一点，且，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年深圳市中考综合模拟 数学（二） （考试时长：90分钟 满分：100分） 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，中国古老的汉族传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱，请观察下图窗花图案，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．据此求解即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．不是中心对称图形，不符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ） A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C. 两条直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例 D. 两点之间线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意易证，根据证明方法即可求解． 【详解】解：O为、的中点， ，， （对顶角相等）， 在与中， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的证明，正确使用全等三角形的证明方法是解题的关键． 3. 2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约的月背样本，实现世界首次月背采样返回，标志着我国对月球背面的研究又进入了一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：数据384000用科学记数法表示为， 故选：C． 4. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项、幂的乘方、单项式除法、同底数乘法等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据合并同类项、幂的乘方、单项式除法、同底数乘法法则逐项判断即可． 【详解】解：A． ，计算正确，符合题意； B． ，计算错误，不符合题意； C． ，计算错误，不符合题意； D． ，计算错误，不符合题意． 故选A． 5. 如图，某条楼梯及栏杆可以看作三角形与平行四边形构成，若，则该楼梯的坡角的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据平行四边形的性质可得，然后由三角形内角和即可求得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ， ， ， ． 故选：C． 6. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键．根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木头剩余1尺”，即可得出方程组即可． 【详解】解：∵用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺， ∴； ∵将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺， ∴． ∴所列方程组为． 故选：B． 7. 如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据作图可得，进而逐项分析判断即可求解． 【详解】解：根据作图可得，故A，C正确； ∴在的垂直平分线上， ∴，故D选项正确， 而不一定成立，故B选项错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了作角平分线，垂直平分线的判定，熟练掌握基本作图是解题的关键． 8. 如图，菱形中，，垂足为，点在线段上，过点作，，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由菱形的性质以及已知条件可得，，再根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理可得、，进而得到，四边形是平行四边形，即，，，，再根据可得，再整理得，最后解一元二次方程即可解答． 【详解】解：∵菱形中，，垂足为， ∴，， ∴，， ∵点在线段上，过点作， ∴，四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，整理得：， 解得：或（不合题意舍弃）． 故选：D． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 因式分解：____． 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】， 故答案为： 10. 随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要是由黑、白两种小正方形组成，现对由三个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是两个白色小正方形和一个黑色小正方形的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了树状图法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键． 根据题意，画出树状图，根据概率公式即可求解． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图知，共有 8 种等可能结果，其中恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的有 3 种结果，所以恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为． 故答案为：． 11. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据位似图形的性质即可求出答案． 【详解】解：， ， 设周长为，设周长为， 和是以点为位似中心的位似图形， ． ． 和的周长之比为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质． 12. 如图，已知中，，，与关于所在直线对称，反比例函数恰好经过点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】在中，根据，，求出，勾股定理求出，连接，交于点，过点作轴，根据对称可得，得出，等面积法求出，求出，根据，求出，根据，求出，求出点，根据反比例函数的图象经过点，即可求解． 【详解】解：∵中，，， ∴，， 连接，交于点，过点作轴， 根据对称可得， ∴，， ∴， ∵，则， 解得：， ∵，则， 解得：， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理，轴对称的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 13. 如图，在中，，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过作交的延长线于点，过作交的延长线于点，则，，根据，，求出，勾股定理求出，结合，求出，证明，得出，求出，，再根据勾股定理即可求出． 【详解】解：如图，过作交的延长线于点，过作交的延长线于点， 则，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形，平行线的判定等知识点，解题的关键是正确做出辅助线． 三、解答题（本大题共7小题，共61分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，三角函数值，先计算零指数幂，负整数指数幂，三角函数值，再加减即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解： ． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 16. 某学校为了了解学生在课堂中的专注度，在全校范围内随机抽取了一些学生进行“我的课堂时间管理”问卷调查，设计的问题：你在课堂中的专注度时间为多少？答案选项为：．，．，．，．，将调查结果整理后绘制如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题： （1）本次调查总人数为______人； （2）请把条形统计图补充完整； （3）请估计该校1600名学生中课堂专注度在20分钟及以上的人数为______人； （4）为了提高该校学生在课堂中的专注度时间，假如你是该校学生，请给出一条合理化建议． 【答案】（1）50 （2） 补充条形统计图如下图所示： （3）1024 （4）按时作息，保证休息时间（答案不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，画条形统计图，用样本估计总体，从统计图中获取有用信息是解题的关键． （1）用选项的人数除以选项所占的百分比即可得到调查的学生的总数； （2）根据（1）中所求总人数，先求出选项的人数，再补全条形统计图即可； （3）用全校总人数乘以、选项所占的百分数即可求解； （4）可从多方面作答，例如保证充足的睡眠等，答案不唯一，合理即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知，本次调查选择选项的人数为19人，所占百分比为， 所以本次调查总人数为（人）， 故答案为：50． 【小问2详解】 解：由（1）可知本次调查总人数为50人， 所以本次调查选择选项的人数为（人）， 图略； 【小问3详解】 解：（人） 故答案为：1024． 【小问4详解】 解：按时作息，保证休息时间．（答案不唯一，合理即可） 17. “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实双减政策，丰富学生的课余活动，开设了书法社团，计划为学生购买，两种型号“文房四宝”共40套．已知某文化用品店每套型号的“文房四宝”的标价比A型号的“文房四宝”的标价高，若按标价购买共需花费元，其中购买A型号“文房四宝”花费元． （1）求每套型号的“文房四宝”的标价． （2）该中学的课余活动进行得如火如荼，另一所学校也打算购入A，两种型号的工具开展相关活动．考虑到购买较多，店主同意该中学按A型号“文房四宝”八折，型号“文房四宝”满套送一套的优惠价，已知，两种型号的“文房四宝”每套进价分别为元和元，学校购买了A型号“文房四宝”套，若通过此单生意，该店获利不低于元，则该校至少买了多少套型“文房四宝”？ 【答案】（1）每套型号的“文房四宝”的标价为100元； （2）该校至少买了套型“文房四宝”． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系正确列方程，找出数量关系正确列不等式． （1）设每套A型号的“文房四宝”的标价为x元，则每套B型号的“文房四宝”的标价为元，根据购买、两种型号“文房四宝”共40套，列出分式方程，解方程即可； （2）设该校至少买了套型“文房四宝”，根据该店获利不低于2100元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设每套型号的“文房四宝”的标价为x元，则每套型号的“文房四宝”的标价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是分式方程的解，且符合题意， 答：每套型号的“文房四宝”的标价为100元． 【小问2详解】 解：设该校至少买了套型“文房四宝”， 由（1）知每套型号的“文房四宝”的标价为（元）， 当 时，根据题意，得： ， 解得：（舍去）， 当时，根据题意，得： ， 解得： ∵为整数， ∴最小取， 综上，该校至少买了套型“文房四宝”． 答：该校至少买了套型“文房四宝”． 18. 如图，在中，以上一点为圆心，为半径的与、相交于、，连接． （1）从以下三个信息中选择两个作为条件，剩余的一个作为结论组成一个真命题，并写出你的证明过程． ①平分；②；③直线是的切线．你选择的条件是______，结论是______（填序号）； （2）在（1）的条件下，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）①②，③ （2） 【解析】 【分析】（1）选择的条件是①②，结论是③；理由：连接，根据等腰三角形性质可得，根据角平分线性质得，可得，得，即得； （2）先求出，，得，再阴影部分的面积等于三角形的面积减去扇形的面积，即可． 【小问1详解】 解：选择的条件是①②，结论是③． 理由如下： 如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； 故答案为：①②，③（答案不唯一）； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查构造真命题，角平分线定义，等腰三角形性质，圆切线的判定和性质，扇形的面积，三角形面积，勾股定理，含30度的直角三角形的性质等知识．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 19. 太阳灶是利用凹面镜会聚光的性质把太阳能收集起来，用于做饭、烧水的一种器具．目前应用最广泛的聚光式太阳造是利用镜面反射汇聚阳光，如图1，这种太阳灶的镜面设计，可以看成是抛物线绕其对称轴旋转一周所得的旋转抛物面，其原理是，如图2，若有一束平行光沿对称轴方向射向这个抛物面，则反射光线都会集中反射到一特殊点（即抛物线的焦点）的位置，于是形成聚光，达到加热的目的．若抛物线的表达式为，则抛物线的焦点为． （1）已知在平面直角坐标系中，某款太阳灶抛物线的表达式为，则焦点的坐标是______； （2）如图3，用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与轴重合，顶点与原点重合，若太阳灶采光面的直径为1.5米，凹面深度为0.25米，求抛物线的表达式______； （3）如图4，在（2）的条件下，为平行于轴的入射光线，为反射光线，为切点，为焦点，当时，求点的横坐标； （4）如图5，在（1）的条件下，点是焦点，表示太阳灶边缘（最远程）反射光同对称轴的夹角，当为时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，熟练进行计算是解题的关键． （1）根据题意即可解答； （2）利用待定系数法即可解答； （3）过点作轴交于点，利用等腰直角三角形的性质表示出点的坐标，代入抛物线即可解答； （4）设，利用等腰直角三角形的性质表示出点的坐标，代入抛物线即可解答． 【小问1详解】 解：， 所以焦点的坐标是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵为1.5， ∴， ∵为0.25米， ∴， 设抛物线的表达式的表达式为， 把代入可得， 解得， 所以抛物线的表达式的表达式为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图，过点作轴交于点， 根据题意可得点为焦点，坐标为， 轴，轴， ， ， ， 为等腰直角三角形， 设， ， 当点在轴右边时，设， 把代入， 可得， 解得（负值舍去）， 当点在轴左边时，点的横坐标为，即， 综上，点的横坐标为或； 【小问4详解】 解：, 为等腰直角三角形， 设， , ， 把代入抛物线表达式为， 解得（负值舍去）， ． 20. （1）如图1，在矩形中，，将沿折叠，的对应点恰好落在边上．若，求． （2）如图2，在矩形中，为边上的一点，，，，求． （3）如图3，在（2）的条件下，是射线上的一点，且，求． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确利用分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据折叠和矩形的性质可得，再解直角三角形可得，即可解答； （2）根据角度转换得到，可得，设，再用表示即可解答； （3）分两种情况，即点在线段上和点在线段的延长线上，逐一解答即可． 【详解】解：（1）由翻折可得， 四边形为矩形， ， ， ， ； （2）四边形为矩形， ， ，， ， ， ， ， ， 设， ， ， 解得， ； （3）如图，当点在线段上， 过点作交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图，当点在线段延长线上， 过点作交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ． 综上所述，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $