2025年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试卷（新高考II卷地区适用）

机密★启用前 试卷类型：II 2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题部分请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，非选择题部分请用0.5mm的黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上非答题区域的答案均无效。 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题意。 1．若，则 A．4 B． C． D． 2．已知集合，，则 A． B． C． D． 3．已知，，，则向量在方向上的投影向量为 A． B． C． D． 4．若，则 A． B． C． D． 5．正四棱台上底面边长为1，下底面边长为2，若一个球的球心到正四棱台各个面的距离均等于该球的半径，则正四棱台与该球的体积之比为 A． B． C． D． 6．已知且，则二项式的展开式中，常数项为 A． B． C．1 D．24 7．若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围为 A． B． C． D． 8．已知，是双曲线C：的焦点，过C上一点P作两条渐近线的平行线，分别交x轴于M，N两点，记，的面积分别为，，若的最小值为，则C的离心率为 A． B． C． D．2 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给的四个选项中，有多个选项符合题意，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。 9．已知数列的前项和为，则下列说法正确的是 A． B．为的最小值 C． D． 10．在平面直角坐标系的第一象限内随机取一个整数点，若用随机变量表示从这个点中随机取出的一个点的横、纵坐标之和，表示，同时发生的概率，则 A．当时， B．当时， C．当时，的均值为4 D．当（且）时， 11．已知函数，则下列说法正确的是 A．若恒成立，则 B．当时，的零点只有1个 C．若函数有两个不同的零点，，则 D．当时，若不等式恒成立，则正数的取值范围是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，，，若，是△ABC的角平分线，点在 上，，，则△ABC的面积为 ▲ . 13．亚冬会期间，某校学生会组织甲，乙，丙，丁，戊5个志愿服务团，前往A，B，C这3个比赛场地进行志愿服务，若每个场地至少分配1个志愿服务团，每个志愿服务团只能在1个场地进行服务，并且甲团只能去A场地，则不同的分配方法种数为 ▲ ． 14．已知直线：与圆：相切于点T，A是圆上一动点，点P满足，且以P为圆心，为半径的圆恰与相切，则的最大值为 ▲ ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分。在解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本题满分13分） 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，，为线段的中点. （1）证明：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 16．（本题满分15分） 设函数，其中. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）讨论的单调性； 17．（本题满分15分） 已知数列满足，. （1）求的通项公式； （2）记的前项和为，求证：. 18．（本题满分17分） 在一个足够大的不透明袋中进行一个轮摸球试验，规则如下：每一轮试验时，袋中均有红、黑、白三种颜色的球，从中随机摸出一个球（摸出的球不再放回），若摸出红球．则试验成功；若摸出白球，则试验失败；若摸出黑球，则进入判定环节：判定时，放回两个黑球取出一个白球，再从中随机摸出一个球，若为白球则试验失败，否则试验成功．若试验成功，则结束试验，若试验失败，则进行下一轮试验，直至成功或轮试验进行完．已知第轮试验开始时，袋中有1个红球，个黑球，个白球． （1）求第1轮试验成功的概率； （2）某团队对这个试验进行了一定的研究，请若干志愿者进行了5轮试验，并记录了第轮试验成功志愿者的比例，记，发现与线性相关，求关于的经验回归方程，并预测试验轮数足够大时，试验成功志愿者的比例； （3）记试验结束时，试验成功的概率为，证明：． 参考数据：． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 19．（本题满分17分） 由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.设椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比.已知椭圆与椭圆相似. （1）求椭圆的离心率； （2）若椭圆与椭圆的相似比为，当时，求椭圆的方程； （3）当时，设椭圆的左顶点为A，右顶点为B，且椭圆过点A作两条斜率为的直线分别交椭圆于（异于）两点，设在轴的上方，过点作直线的平行线交椭圆于点，若直线过椭圆的左焦点，求的值. 数学试题 第 1 页 （共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学（II卷）参考答案及解析 1．【答案】A 【详解】由，得， 所以，则. 故选A. 2．【答案】A 【详解】由得，解得，所以，故选A． 3．【答案】B 【详解】向量在方向上的投影向量为. 故选B 4．【答案】C 【详解】由，可得 ， 则，则， 故选C． 5．【答案】B 【详解】如图作出正四棱台的轴截面图，可知这个等腰梯形的内切圆就是内切球的最大圆， 根据，设球的半径为，则由直角三角形中的勾股定理得： ， 利用等面积法：， 可得：， 解得：， 再由棱台体积公式得：， 由球的体积公式得：， 所以正四棱台与球的体积之比是：， 故选B. 6．【答案】D 【详解】因为，所以， 所以. 所以二项式的展开式中，常数项为：. 故选D 7．【答案】B 【详解】所以时递减， 时，递增，是极值点， 因为函数在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数， 所以，即， 故选B. 8．【答案】A 【详解】由双曲线的对称性，不妨设，如图， 则过点P作两条渐近线的平行线分别为， 令，可得， 所以，， 由，代入得， 当且仅当，即时等号成立， 此时，，所以. 故选A. 9．【答案】AC 【详解】利用和与项的关系，分和分别求得数列的通项公式，检验合并即可判定A; 根据数列的项的正负情况可以否定B;根据前16项都是正值可计算判定C;注意到可计算后否定D. 【详解】, , 对于也成立， 所以，故A正确； 当时，,当n=17时,当时，, 只有最大值，没有最小值，故B错误； 因为当时，,∴，故C正确； ， 故D错误. 故选AC. 10．【答案】ACD 【详解】对于A，当时，整数点共个，则， 由得，即满足，的点的坐标为， 因此，A正确； 对于B，当时，整数点共个， 满足的整数点为，则，B错误； 对于C，当时，的可能取值有、、、、， 满足的点为，则， 满足的点为、，则， 满足的点为、、，则， 满足的点为、，则， 满足的点为，则， 当时，，C正确； 对于D，满足的解为，则，D正确. 故选ACD. 11．【答案】BCD 【详解】对于A，定义域为，由得：， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ，则，A错误； 对于B，定义域为，， 当时，，在上单调递增， 又，， ，使得，当时，有且仅有一个零点，B正确； 对于C，，， ； 要证，只需证，即证， 不妨令，则只需证， 令，则， 令， 则， 在上单调递增，，， 即恒成立，，C正确； 对于D，当时，由得：， 即，； 令，则，在上单调递增， 由得：，； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，， 即，D正确. 故选BCD 12．【答案】 【详解】在中，由角平分线定理得，所以， ，即，解得，， 所以. 13．【答案】 【详解】由题设，5个团去往3个场地，可按人数分组为、两种， 按分组， 若甲一人成组，则其它4人的分组有种，再把两组安排到有种， 若甲所在的组有两人，则选一人与甲去往有种，余下3人分成两组有种，再把两组安排到有种， 所以共有种； 按分组， 若甲一人成组，则其它4人的分组有种，再把两组安排到有种， 若甲所在的组有三人，则选两人与甲去往有种，余下2人分成两组安排到有种， 所以共有种； 综上，共有种分配方法. 14．【答案】/ 【分析】设，由题意可得，整理可得点P的轨迹，由此可设，则是关于的式子，利用基本不等式得最值即可. 【详解】设，则， 直线：与圆：相切于点T，则， 以P为圆心，为半径的圆恰与相切， 则可得，化简可得，且， 从而可设，且， 则， 由于，当且仅当，即时，等号成立， 所以，故的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据直线与圆的位置关系、距离公式，确定点的轨迹方程，根据轨迹方程确定动点坐标，从而将所求问题转化为坐标关系，结合不等式或者函数求解最值即可. 15．（1）连接BD交AC于点H，连接HE. 因为四边形ABCD是正方形，根据正方形对角线性质，可知H是BD的中点. 又因为E为线段PD的中点，在△PBD中，可得. 由于平面ACE，平面ACE，所以直线平面ACE. （2）因为底面ABCD是边长为2的正方形，所以AB⊥AD. 又因为AB⊥PD，AD∩PD=D，且AD、PD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD. 在平面PAD内作Ax⊥AP，分别以Ax，AP，AB为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系A−xyz. 又底面ABCD为边长为2的正方形，，则， ，； ； 设平面PAC的一个法向量为，则，即， 令，得， 设直线AE与平面PAC所成角为θ，， 即直线AE与平面PAC所成角正弦值为. 16．（1）当时，，故， 此时函数在处的切线方程为：. （2）由题意，的定义域为， ， 则当时，单调递增；当时，单调递减. 故函数在上单调递减，在上单调递增. 17．（1）由题设条件，可得若，则， 用反证法，假设，由题设条件，显然，这与已知条件矛盾，所以. 因为，所以，，，所以，， 由得，所以， 又，所以是首项、公比均为的等比数列. 所以，则. （2）显然时，成立， 当时，，所以，所以， 所以，即，所以， 所以. 综上，，得证. 18．（1）第1轮试验中有1个红球，1个黑球，2个白球， 摸出红球，即试验成功的概率为， 摸出黑球且试验成功的概率为， 所以第1轮试验成功的概率为； （2）， 所以，则所求经验回归方程为， 当试验轮数足够大，即足够大时，x接近于0，则y接近于， 故预测成功志愿者的比例为； （3）依题意，轮试验失败的概率为，设第轮试验失败的概率为， 则，发生有两种可能，直接摸出白球，概率为， 或者摸出黑球后再摸出白球，概率为， 所以， 则，因此. 19．（1）对于椭圆，则长轴长为，短轴长为，焦距为， 椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为， 依题意可得，所以， 则椭圆的离心率. （2）因为， 由（1），可得， 解得， 所以为； （3）设，由对称性可得， 设，则 由消得，， 方程的判别式， 由已知为方程的根， 所以， 所以， ，， . 第 page number 页，共 number of pages 页 数学参考答案及解析 第 page number 页 （共 number of pages 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$