精品解析：上海市进才中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

进才中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】解一元二次不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以， 又，所以. 故答案为： 2. 复数的虚部为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法化简复数值，然后根据定义得出复数的虚部. 【详解】，即虚部为. 故答案为： 3. 从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为偶数的概率是_________． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率. 【详解】总的基本事件有，共10个， 两个不同的数之和为偶数包含的基本事件有，共4个， 所以所求概率. 故答案为： 4. 已知向量与的夹角为120°，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的定义直接求解即可. 【详解】由，得，而向量与的夹角为120°，且， 所以. 故答案为： 5. 甲、乙两人各射击一次，命中的概率分别为0.8和0.6，两人同时命中的概率为0.5，则甲、乙两人至少有一人命中的概率为__________． 【答案】0.9## 【解析】 【分析】代入和事件概率公式，即可求解. 【详解】设甲射击命中的事件为，乙射击命中的事件为， 则. 故答案为： 6. 在的展开式中，常数项为__________. 【答案】672 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式，计算即可得结果. 【详解】由题意得， 令，解得，故常数项为. 故答案为： 7. 已知甲、乙两组数据分别为两组学生射击移动靶时的命中率，其茎叶图如图所示．其中，．若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的茎叶图，由中位数求出，由平均数求出即得. 【详解】由乙组数据的中位数为，则甲组数据的中位数为33，即， 由两组数据的平均数相等，得，解得， 所以. 故答案为：24 8. 若，，则被7除所得的余数为________． 【答案】 【解析】 【分析】应用赋值法计算系数和，再应用二项式化简计算余数即可. 【详解】若， 令，， 只有不是7的倍数，则被7除所得的余数为6. 故答案为：6. 9. 已知函数，，则的最小值为________________. 【答案】 【解析】 【分析】求导后结合正弦函数的取值分析即可. 【详解】因为，令，可得，而，， 所以，，函数单调递减；，，函数单调递增， 所以时函数最小为值， 所以函数在的最小值分别为. 故答案为：. 10. “杨辉三角”是数学史上的一个伟大成就．在如图所示的“杨辉三角”中，去掉所有的数字1，余下的数逐行从左到右排列，得到数列为2，3，3，4，6，4，5，10，…，若，，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“杨辉三角”确定的位置，再分析出去掉所有的之后的位置，从而得到的最大值. 【详解】依据“杨辉三角”的分布规律及可知最后一个出现在第行的第个数， 去掉所有之后是第行第个数，所以的最大值为， 故答案为：. 11. 某制药公司生产某种胶囊，其中胶囊中间部分为圆柱，且圆柱高为，左右两端均为半球形，其半径为，若其表面积为，则胶囊的体积取最大值时______. 【答案】 【解析】 【分析】先运用表面积公式得到，后将体积用表示，求导，借助单调性研究最值即可. 【详解】依题意，， 故，，令，则. ,单调递增；,单调递减； 则当，取最大值. 故答案为：. 12. 设、、、是1、2、3、4、5、6、7、8的一个排列，，则集合中所有元素的和为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，，，，分析可得出的最大值为16，最小值为，列表分析能取到区间内的所有偶数，即可得出集合中所有元素之和. 【详解】对于集合中的元素，不妨设，，，， 则 为偶数， 根据题意可知，，，，， 则， 不妨取，此时，取最小值， 当取最小值时，最大，且的最小值为， 则的最大值为，接下来验证可取内的所有偶数， 对取特殊值进行验证，列表如下： 因此，集合的所有元素之和为. 故答案为： . 二、选择题：（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 在以下调查中，适合用普查的是（ ）. A. 调查某批次汽车的抗撞击能力 B. 调查一批LED灯的寿命 C. 调查某城市居民的食品消费结构 D. 调查一个班级学生的身高情况 【答案】D 【解析】 【分析】根据普查的概念判断即可； 【详解】A选项，每个批次生产的汽车的数量非常多，且调查汽车抗重击能力具有破坏性，不适合使用普查，应使用抽样调查； B选项，调查一批LED灯的寿命具有破坏性，不宜使用普查，应使用抽样调查； C选项，某城市居民数量非常多，不适合使用全面普查，应使用抽样调查； D选项，一个班级学生的身高情况，人数较少，适合用普查； 故选：D 14. 函数在定义域内可导且导函数为，且的图象如图所示，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用排除法，根据的符号判断的单调性，可排除A，D；再根据导数的几何意义排除C. 【详解】观察导函数图象可知在区间先正后负，在区间先负后正， 故函数在区间内先递增后递减，在区间内先递减后递增， 结合4个选项的图象，可排除A，D； 由导函数的函数值是变化的，即函数在递减区间的斜率也是变化的，排除C， 故选：B． 15. 若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数为“十全十美数”，如208，136都是“十全十美数”，则一共有（ ）个“十全十美数”． A. 36 B. 42 C. 48 D. 54 【答案】D 【解析】 【分析】利用分类加法原理，根据三位数的具体情况，由列举法，可得答案. 【详解】任取一个＂十全十美三位数＂，包含有一个0的三位数：，分别为： 含有相同数字的三位数：，分别为：424， 不含有0，并且没有相同数字的三位数，分别为： 共54个. 故选：D. 16. 设，为非负整数，为正整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．若为质数，为不能被整除的正整数，则，这个定理是费马在1636年提出的费马小定理，它是数论中的一个重要定理．现有以下2个命题：①；②对于任意正整数，，则下列说法正确的是（ ） A. ①真②真 B. ①假②真 C. ①真②假 D. ①假②假 【答案】A 【解析】 【分析】利用费马小定理结合二项式定理，判断①②的真假即可. 【详解】对于①：因为， 所以被7除所得余数为1，所以被7除所得余数为2，所以，故①正确； 对于②：由费马小定理得：当是不能被7整除的正整数时，有，所以， 有，所以； 若能被7整除，则，又，所以. 所以对于任意正整数，，故②正确. 故选：A 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知如图，在直三棱柱中，，. （1）求该直三棱柱的侧面积和体积； （2）求直线与所成的角. 【答案】（1）侧面积为；体积为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用柱体表面积和体积公式计算可得结果； （2）由异面直线夹角求法可求得其大小. 【小问1详解】 根据题意可得， 所以该直三棱柱的侧面积为； 该直三棱柱的体积为； 【小问2详解】 根据题意可将直三棱柱补全成如图所示的正方体： 易知，且三角形为等边三角形， 直线与所成的角与直线与所成的角相等，为 即可得直线与所成的角为. 18. 已知． （1）求函数的单调减区间； （2）求函数的最小值，以及取最小值时自变量的取值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的恒等式化简函数解析式，利用整体思想以及复合函数单调性，由正弦函数的单调区间，建立不等式组，可得答案； （2）利用求导法则求导，利用整体思想以及余弦函数的最值，建立方程，可得答案. 【小问1详解】 ， 令，其中， 解得，其中， 所以函数的单调减区间为. 【小问2详解】 ， 易知当时，其中，函数取得最小值为， 所以函数取得最小值时，，其中. 19. 某学校初二年级的学生有1200人，其中男生800人，女生400人，为了了解初二年级学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，测量身高所得的统计数据如下频率分布直方图和频率分布表（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）． 初二男生身高样本的频率分布直方图 组别 频数 频率 4 0.10 8 12 0.30 2 0.05 初二女生身高样本的频率分布表 （1）求的值，并利用初二男生身高频率分布直方图估计男生样本的平均数； （2）若女生身高的样本方差为70.4，男生身高的样本方差为89，请根据题目图表所给信息，求初二年级学生身高的样本平均数和方差． 【答案】（1），169 （2）平均数为166，方差为100.8． 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求，再代入平均数公式，即可求解； （2）首先根据频率公式计算，再计算女生的平均数，再根据（1）的结果，代入总体平均数公式和总体方差公式，即可求解. 【小问1详解】 可得， 此时男生身高平均数为． 【小问2详解】 结合分布表，，因此，进而，此时计算得到女生身高平均数为． 因此初二年级身高平均数为，方差为． 20. 已知椭圆过点，其右焦点为．过点作与坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点，且直线与直线交于点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若，求直线的方程； （3）是否存在实数，使得恒成立？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在； 【解析】 【分析】（1）将已知点的坐标代入题干中所给的方程，可得答案； （2）根据向量的数乘，可得中点的横坐标，利用点差法，建立直线斜率与中点坐标的等量关系，结合直线斜率的公式，建立方程，解得中点坐标以及斜率，再利用点斜式方程，可得答案 （3）由（2）可得直线的斜率与直线斜率的等量关系，求得点的坐标，从而求得直线的斜率，根据垂直直线的斜率关系，可得直线与直线的位置关系，根据向量加减法的几何意义，可得答案. 【小问1详解】 将点代入，可得，解得，故. 【小问2详解】 设，，，由为的中点，则， 分别将，代入，则， 两式相减可得，整理可得， 由，则，设直线的斜率为， 由图可知直线过，由（1）易知，则， 可得，解得，则， 所以直线的方程为. 【小问3详解】 由（2）易知，则，即， 故直线的方程为，将代入，可得， 由，则直线的斜率为，由，则， 由，则易知，即. 21. 已知函数，为坐标平面上一点．若函数的图象上存在与不同的一点，使得直线是函数在点处的切线，则称点具有性质． （1）若，判断点是否具有性质，并说明理由； （2）若，证明：除原点外函数的图象上所有的点均具有性质； （3）若，证明：“点具有性质”的充要条件是“” ． 【答案】（1） 点具有性质，理由如下： 在函数上，，则， 在点处的切线方程斜率， 得切线方程为，即， 将代入，，或．． 当时，直线为，切线方程也为， 即函数的图象上存在与不同的一点， 使得直线是函数在点处的切线，点具有性质． 当时，直线为，切线方程为， 即函数的图象上存在与不同的一点， 使得直线是函数在点处的切线，点具有性质． （2） 由，得， 设， 所以函数在点处的切线方程为， 又点在切线上，所以， 整理得， 当时，，即点都为原点，不符合性质； 当时，，即存在与不同的一点， 使得直线是函数在点处的切线. （3） 设，函数的导数为， 所以在点Q处的切线方程为即． 必要性：若点具有性质，则点需要满足． 令，则． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取得最小值． 与是不同的点，，即． 充分性：当时，令 当时，，又，方程必然有解， 即存在使得直线是函数的图象的切线，具有性质. 综上所述，点具有性质的充要条件是． 【解析】 【分析】（1）由新定义，根据导数的几何意义求出在点处的切线方程，将代入求出点的坐标，即可下结论； （2）由新定义，设，根据导数的几何意义可得在点处的切线方程，代入点的坐标可得，分类讨论即可证明； （3）由新定义，设，根据导数的几何意义可得在点处的切线方程，结合充分条件、必要条件的定义证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 进才中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，，则_____. 2. 复数的虚部为________. 3. 从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为偶数的概率是_________． 4. 已知向量与的夹角为120°，，则______． 5. 甲、乙两人各射击一次，命中的概率分别为0.8和0.6，两人同时命中的概率为0.5，则甲、乙两人至少有一人命中的概率为__________． 6. 在的展开式中，常数项为__________. 7. 已知甲、乙两组数据分别为两组学生射击移动靶时的命中率，其茎叶图如图所示．其中，．若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则________． 8. 若，，则被7除所得的余数为________． 9. 已知函数，，则的最小值为________________. 10. “杨辉三角”是数学史上的一个伟大成就．在如图所示的“杨辉三角”中，去掉所有的数字1，余下的数逐行从左到右排列，得到数列为2，3，3，4，6，4，5，10，…，若，，则的最大值为________． 11. 某制药公司生产某种胶囊，其中胶囊中间部分为圆柱，且圆柱高为，左右两端均为半球形，其半径为，若其表面积为，则胶囊的体积取最大值时______. 12. 设、、、是1、2、3、4、5、6、7、8的一个排列，，则集合中所有元素的和为________． 二、选择题：（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 在以下调查中，适合用普查的是（ ）. A. 调查某批次汽车的抗撞击能力 B. 调查一批LED灯的寿命 C. 调查某城市居民的食品消费结构 D. 调查一个班级学生的身高情况 14. 函数在定义域内可导且导函数为，且的图象如图所示，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 15. 若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数为“十全十美数”，如208，136都是“十全十美数”，则一共有（ ）个“十全十美数”． A. 36 B. 42 C. 48 D. 54 16. 设，为非负整数，为正整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．若为质数，为不能被整除的正整数，则，这个定理是费马在1636年提出的费马小定理，它是数论中的一个重要定理．现有以下2个命题：①；②对于任意正整数，，则下列说法正确的是（ ） A. ①真②真 B. ①假②真 C. ①真②假 D. ①假②假 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知如图，在直三棱柱中，，. （1）求该直三棱柱的侧面积和体积； （2）求直线与所成的角. 18. 已知． （1）求函数的单调减区间； （2）求函数的最小值，以及取最小值时自变量的取值． 19. 某学校初二年级的学生有1200人，其中男生800人，女生400人，为了了解初二年级学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，测量身高所得的统计数据如下频率分布直方图和频率分布表（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）． 初二男生身高样本的频率分布直方图 组别 频数 频率 4 0.10 8 12 0.30 2 0.05 初二女生身高样本的频率分布表 （1）求的值，并利用初二男生身高频率分布直方图估计男生样本的平均数； （2）若女生身高的样本方差为70.4，男生身高的样本方差为89，请根据题目图表所给信息，求初二年级学生身高的样本平均数和方差． 20. 已知椭圆过点，其右焦点为．过点作与坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点，且直线与直线交于点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若，求直线的方程； （3）是否存在实数，使得恒成立？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由． 21. 已知函数，为坐标平面上一点．若函数的图象上存在与不同的一点，使得直线是函数在点处的切线，则称点具有性质． （1）若，判断点是否具有性质，并说明理由； （2）若，证明：除原点外函数的图象上所有的点均具有性质； （3）若，证明：“点具有性质”的充要条件是“” ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $