精品解析：吉林省通化市梅河口市博文学校2023-2024学年高二下学期第二次考试（期中）数学试题

2023--2024学年第二学期第二次考试 高二数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有 A. 24 B. 30 C. 40 D. 60 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：按偶数字在个位分类：个位只能是2或者4，十位在余下4个中选择，百位在余下3个中选择．所以答案是2×4×3=24，故选A． 考点：主要考查分步计数原理的应用． 点评：特别注意偶数其个位必定是偶数字． 2. 一个口袋内装有大小相同的6个白球和2个黑球，从中取3个球，则共有（　　）种不同的取法 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接由组合数定义得解． 【详解】由题可得：一个口袋内装有大小相同的8个球中， 从中取3个球，共有种不同的取法. 故选D 【点睛】本题主要考查了组合数的定义，属于基础题． 3. 已知函数，则函数的单调递减区间是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 对函数进行求导，然后求出导函数大于零时，自变量的取值范围，别忘记定义域. 【详解】函数的定义域为， ， 当时，函数单调递减，即而，解不等式得： ，故本题选D. 【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间的问题，解题的关键是正确求出导数和正确解出不等式. 4. 若在的展开式中，第4项是常数项，则n的值为（　　）． A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式展开式的第项，根据第4项是常数项即可求n. 【详解】展开式第4项为， ∵第4项是常数项， ∴，即， 故选：D. 5. 在一个具有五个行政区域的地图上（如图），用四种颜色给这五个行政区着色，当相邻的区域不能用同一颜色时，则不同的着色方法共有（ ） A. 72种 B. 84种 C. 180种 D. 390种 【答案】A 【解析】 【分析】可分2种情况讨论：若选3种颜色时，必须同色且同色；若4种颜色全用，只能同色或同色，其它不相同，从而可得结果. 【详解】选用3种颜色时，必须同色且同色，与进行全排列， 涂色方法有种； 4色全用时涂色方法：同色或同色，有种情况， 涂色方法有种， 不同的着色方法共有种，故选A. 【点睛】本题主要考查分步计数原理与分类计数原理的应用，属于简单题.有关计数原理的综合问题，往往是两个原理交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率. 6. 高考期间，为保证考生能够顺利进入考点，交管部门将5名交警分配到该考点周边三个不同路口疏导交通，每个路口至少1人，至多2人，则不同的分配方案共有（ ） A. 60种 B. 90种 C. 125种 D. 150种 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分2步进行分析：将5名交警分成1、2、2的三组；将分好的三组全排列，对应3个路口，由分步乘法计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意，分2步进行分析： 将5名交警分成1、2、2的三组，有种分组方法； 将分好的三组全排列，对应3个路口，有种情况， 则共有种分配方案. 故选:B. 7. 被除的余数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，可得出，结合二项展开式可得出被除的余数. 【详解】因为， 则， 因为能被整除， 故被除的余数为. 故选：A. 8. 设、分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，．且．则不等式的解集是　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得的奇偶性及单调性，再根据得到，从而得到不等式的解集. 【详解】解：令， 因为当时，，即 故在上单调递增， 又，分别是定义上的奇函数和偶函数， 所以， 为奇函数，关于原点对称，所以在上单调递增． ，， 所以当或时，即 不等式的解集为. 故选：D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9. 下列求导过程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】AC选项结合导数的乘法运算法则即可判断；B选项根据基本初等函数的求导公式即可判断；D选项结合复合函数的求导法则即可判断. 【详解】A选项：因为，所以，故A正确； B选项：因为，故B正确； C选项：因为，所以，故C正确； D选项：因为，故D错误； 故选：ABC. 10. 下列等式正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用排列数和组合数公式求解即可. 【详解】根据组合数公式得，则A错误； 根据排列数公式得，则B正确； 根据排列数公式得，则C正确； 根据组合数公式得，， 即，则D正确． 故选:BCD. 11. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】求导判断函数单调性，求得极值，并结合函数性质判断出，再逐项判断即可. 【详解】， 当或 则在和单调递增， 当，则在单调递减， 故，， 因为，， 故，， 注意到，所以． 所以A错误，BCD正确． 故选：BCD． 三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分.） 12. 已知，则正整数___________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据组合数和排列数的运算即可求得答案. 【详解】由题意，，得. 故答案为：6. 13. 在的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，则含x项的系数等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式的性质，求得，得出展开式的通项为，结合通项，即可求解. 【详解】由题意，在的展开式中，只有第三项的二项式系数最大， 根据二项展开式的性质，可得，解得， 所以该二项式为，则展开式的通项为， 令，可得，所以含项的系数为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了二项展开式中的二项式系数的性质，以及指定项系数的求解，其中解答中熟记展开式中二项式系数的性质和二项展开式的通项是解答的关键，意在考查推理与运算能力. 14. 已知函数，不等式对任意的恒成立，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据奇函数的定义推出为上的奇函数，再利用导数推出在上单调递增，再利用奇偶性和单调性将不等式化为对任意的恒成立，再参变分离得对任意的恒成立，然后构造函数，再利用导数求出其最小值可得结果． 【详解】因为， 所以为上的奇函数． 又， 所以在上单调递增， 不等式对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，所以， 所以当时，，在上为增函数； 当时，，在上为减函数， 所以， 设，显然为上的增函数， 因为，， 所以存在，使得， 所以，此时， 所以，即的最大值为． 故答案为：． 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，， （1）若，总有成立，故； （2）若，总有成立，故； （3）若，使得成立，故； （4）若，使得，故． 四、解答题：（共6小题共70分） 15. 甲乙丙丁戊五个同学 （1）排成一排，甲乙不相邻，共有多少种不同的排列方法？ （2）排成一排，甲不在首位，乙不在末位，共有多少种不同排列方法？ （3）去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，共有多少种不同游览方法？ （4）分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，共有多少种不同分配方法？ 【答案】（1）72； （2）78； （3）243； （4）150. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用不相邻问题插空法列式计算即得. （2）求出无限制条件的排列数，去掉甲在首位或者乙在末位的排列数即可. （3）根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算即得. （4）把5人按或分组，再把每一种分组方法安排到三个城市即可得解. 【小问1详解】 排成一排，甲乙不相邻，先将丙丁戊排成一列有种方法，再将甲乙插空隙中，有种方法， 所以共有不同排法数为（种）. 【小问2详解】 排成一排，无限制条件的排列有，甲不在首位，乙不在末位的反面是甲在首位或乙在末位，共有， 则甲不在首位，乙不在末位的不同排法有（种）. 【小问3详解】 去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，因此每个人都有种选择， 所以不同游览方法有（种）. 【小问4详解】 分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，则先把5人按分组，有种分组方法， 按分组，有种分组方法，因此不同分组方法数为， 再把每一种分组安排到三个城市，有种方法， 所以不同分配方法种数是. 16. 已知，求： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）-2；（2）-1094；（3）1093；（4）2187. 【解析】 【分析】 利用赋值法，分别将，，代入二项展开式中，求出部分项的系数之和，得出①②③式； （1）由②-①，即可得的值； （2）由(②-③)，即可得的值； （3）由(②+③)，即可得的值； （4）根据二项展开式的通项得到展开式中每项系数的符号，然后去掉绝对值并结合（2）和（3）中的结果求解即可． 【详解】解：令则①； 令则②； 令则③； （1）②-①得：； （2）(②-③)得：； （3）(②+③)得：； （4）由展开式可知均为负值，均为正值， 则. 【点睛】关键点点睛：本题考查二项式展开式的系数和问题，由于二项式定理中的字母可取任意数或式，所以利用赋值法是求解二项展开式各项系数和的关键，考查计算和转化能力． 17. 记为数列的前项和，已知，且，. （1）证明：为等差数列； （2）求的通项公式； （3）若，求数列的前项和. 【答案】（1） ，， ，， 数列是首项为1，公差为的等差数列； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将原式两边同时除以，构造等差数列即可； （2）由（1）可得，根据得到与的关系式，再利用累乘法求解即可； （3）利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 即， ， 两式作差得， 即， ， 即，， ，； 【小问3详解】 ， ， ， ， . 18. 已知函数. （1）求的极值； （2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）求得，得出函数的单调性，结合极值的概念，即可求解； （2）根据题意，转化为任意，不等式恒成立，设，求得，得出函数的单调性，求得的最小值，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数，可得， 令，即，解得； 令，即，解得， 所以函数在区间单调递减，单调递增， 当时，取得极小值，极小值为，无极大值. 【小问2详解】 解：由不等式恒成立，即恒成立， 即对于任意，不等式恒成立， 设，可得， 令，即，解得； 令，即，解得， 所以在上单调递减，在单调递增， 所以，当时，函数取得极小值，同时也时最小值，， 所以，即，所以实数的取值范围为. 19. 已知函数，是的导函数. （1）若，求的单调区间； （2）若存在实数使成立，求的取值范围. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求导函数，利用导数研究函数的单调性即可； （2）分类讨论求解函数的最大值，然后利用有解问题转化求解即可. 【小问1详解】 ， 所以， 令，得，令，得， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 ， 则， 当时，恒成立，所以在上单调递减； 所以，所以在上单调递减， 所以，不符合题意； 当时，令得，令得， 所以在单调递减，在单调递增. 当时，，所以在上单调递增，， 所以在上单调递增，所以，符合题意； 当时，，所以在单调递减，在单调递增，，所以， 若，即，则在[0，1]上单调递减， 所以，不符合题意； 若，即，则存在，使， 所以在单调递减，在单调递增， 若存在使成立，则， 解得，所以. 综上：的取值范围为. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023--2024学年第二学期第二次考试 高二数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有 A. 24 B. 30 C. 40 D. 60 2. 一个口袋内装有大小相同的6个白球和2个黑球，从中取3个球，则共有（　　）种不同的取法 A. B. C. D. 3. 已知函数，则函数的单调递减区间是 A. B. C. D. 4. 若在的展开式中，第4项是常数项，则n的值为（　　）． A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 5. 在一个具有五个行政区域的地图上（如图），用四种颜色给这五个行政区着色，当相邻的区域不能用同一颜色时，则不同的着色方法共有（ ） A. 72种 B. 84种 C. 180种 D. 390种 6. 高考期间，为保证考生能够顺利进入考点，交管部门将5名交警分配到该考点周边三个不同路口疏导交通，每个路口至少1人，至多2人，则不同的分配方案共有（ ） A. 60种 B. 90种 C. 125种 D. 150种 7. 被除的余数是（ ） A. B. C. D. 8. 设、分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，．且．则不等式的解集是　　 A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9. 下列求导过程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列等式正确的是（    ） A. B. C. D. 11. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分.） 12. 已知，则正整数___________. 13. 在的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，则含x项的系数等于__________. 14. 已知函数，不等式对任意的恒成立，则的最大值为________． 四、解答题：（共6小题共70分） 15. 甲乙丙丁戊五个同学 （1）排成一排，甲乙不相邻，共有多少种不同的排列方法？ （2）排成一排，甲不在首位，乙不在末位，共有多少种不同排列方法？ （3）去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，共有多少种不同游览方法？ （4）分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，共有多少种不同分配方法？ 16. 已知，求： （1）； （2）； （3）； （4）. 17. 记为数列的前项和，已知，且，. （1）证明：为等差数列； （2）求的通项公式； （3）若，求数列的前项和. 18. 已知函数. （1）求的极值； （2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数，是的导函数. （1）若，求的单调区间； （2）若存在实数使成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $