精品解析：辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

2024—2025学年度下学期期中考试高一试题 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1. 集合，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑数百年让无数观赏者入迷，某爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角，处作圆弧所在圆的切线，两条切线交于点，测得，，则《蒙娜丽莎》中女子嘴唇的长度约为（单位：）（ ） A. B. C. D. 3. 函数的单调减区间是（ ） A. B. C. D. 4. 已知非零向量，满足，若，则在方向上的投影的数量为（ ） A. 5 B. 1 C. D. 5. 已知，，，则下列选项正确的是（ ） A B. C. D. 6. “欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名.与黄鹤楼、岳阳楼、滕王阁齐名，是中国古代四大名楼之一、下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面点看楼顶点的仰角为，沿直线前进80米到达点，此时看点的仰角为，若，则楼高约为（ ）（，结果保留2位小数） A. 80.56米 B. 81.46米 C. 84.32米 D. 86.56米 7. 如图，点在以为直径圆上，其中，过向点处的切线作垂线，垂足为，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，且，，则（ ） A. B. 或 C. 或 D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 最大值为 C. 若，则 D. 若与的夹角为，则 10. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则有两个解 B. 若，则是锐角三角形 C. 若是锐角三角形，则 D 若，则 11. 下列说法正确的有（ ） A. B. 已知，则 C. D. 在，角，，的对边分别为，，，若，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 求值________． 13. 设向量，，满足，，，则的最大值为________． 14. 已知函数，是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，若在区间上单调，则的最大值是________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，，，且． （1）求实数m值； （2）求； （3）求向量与的夹角θ． 16. 已知函数的图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的单调递增区间； （3）求函数在区间上值域． 17. 已知为锐角三角形，角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足： （1）求角A的取值范围； （2）当角A取最大值时，若，求面积的取值范围． 18. 已知函数， （1）若，，求函数的解析式及对称轴； （2）若，，，且，求的值； （3）已知，函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，是一个零点，当时，方程恰有三个不相等的实数根、、，求实数a的取值范围以及的值． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出的一个几何问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”．意大利数学家托里拆利给出了解答：当的三个内角均小于时，满足的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．利用以上知识解决下面问题： （1）若是边长为的等边三角形，求该三角形的费马点到各边的距离之和； （2）的内角，，所对的边分别为，，，且，点为的费马点． （ⅰ）若，求； （ⅱ）求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度下学期期中考试高一试题 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1. 集合，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】易知，即可判断. 【详解】有已知， 则， 故选：C. 2. 达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑数百年让无数观赏者入迷，某爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角，处作圆弧所在圆的切线，两条切线交于点，测得，，则《蒙娜丽莎》中女子嘴唇的长度约为（单位：）（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆弧的圆心为，根据切线性质可知，进而确定半径与弧长. 【详解】 设圆弧的圆心为， 则易知， 又， 则， 即为正三角形， 所以半径， 则弧长为， 故选：B. 3. 函数的单调减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由辅助角公式结合正弦函数单调性可判断选项正误； 【详解】，因在上单调递减，则， 则. 故选：D 4. 已知非零向量，满足，若，则在方向上的投影的数量为（ ） A. 5 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量垂直时数量积为0，可求得，进而可求得投影数量. 【详解】因为，所以， 因为，可得，所以， 所以在方向上的投影的数量为. 故选：A. 5. 已知，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角恒等变换公式化简，结合函数单调性比较大小. 【详解】化简可得，由，则，即； ， ，由，则，即， 所以， 故选：D. 6. “欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名.与黄鹤楼、岳阳楼、滕王阁齐名，是中国古代四大名楼之一、下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面点看楼顶点的仰角为，沿直线前进80米到达点，此时看点的仰角为，若，则楼高约为（ ）（，结果保留2位小数） A. 80.56米 B. 81.46米 C. 84.32米 D. 86.56米 【答案】B 【解析】 【分析】设，分别在与中利用正弦定理，列方程，解方程即可. 【详解】由已知设，则，， 在中，由正弦定理得， 即， 又在中，由正弦定理得， 即， 则， 则， 故选：B. 7. 如图，点在以为直径的圆上，其中，过向点处的切线作垂线，垂足为，则的最大值是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用转化法求得数量积，即可得最值. 【详解】 如图所示，易知，，， 过点作于点，则四边形为矩形， 则， 又， 所以， 即的最大值为， 故选：C. 8. 已知，，且，，则（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同角的正余弦的平方关系，求得，，进而求得，，进而利用两角差的正切公式可求. 【详解】因为，，所以，所以， 因为，，所以， 又，所以，所以， 所以，所以， 所以. 故选：D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 最大值为 C. 若，则 D. 若与的夹角为，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算及三角恒等变换化简，结合三角函数性质判断各选项. 【详解】由已知向量，， A选项：若，则，解得，A选项正确； B选项：，所以的最大值为，B选项错误； C选项：由，则，解得，C选项正确； D选项：由与的夹角为，且，，则，， D选项错误； 故选：AC. 10. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，下列说法正确的是（ ） A 若，，，则有两个解 B. 若，则是锐角三角形 C. 若是锐角三角形，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由余弦定理可得c的可能情况，据此可判断解的个数；对于B，由数量积运算律可得B为锐角，据此可判断选项正误；对于C，由诱导公式及三角函数单调性可判断选项正误；对于D，由正弦定理边角互化，结合两角和的正弦公式可判断选项正误. 【详解】对于A，由余弦定理， ，则或，经验证均满足三角形三边关系，则三角形有两解，故A正确； 对于B，，则B为锐角，但题目条件不足，无法判断其他角的情况，故B错误； 对于C，因是锐角三角形，则， 因正弦函数在上单调递增，， 则，故C正确； 对于D，由正弦定理边角互化可得， 则，故D正确. 故选：ACD 11. 下列说法正确的有（ ） A. B. 已知，则 C. D. 在，角，，的对边分别为，，，若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据三角恒等变换分别化简判断即可. 【详解】A选项：由诱导公式可知， 又， 即， 所以， A选项错误； B选项：由已知， 则，B选项正确； C选项：，C选项正确； D选项：由已知在中，， 又设，则在中，，， 所以， ， D选项正确； 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 求值________． 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式化简. 【详解】由诱导公式可知， 故答案为：. 13. 设向量，，满足，，，则的最大值为________． 【答案】； 【解析】 【分析】如图，设，由题可得终点C所在图形，据此可得答案. 【详解】如图，设，由题可得，， 取AB中点为D，过D做AB垂线，在垂线上取点E，F，使， 从而可使，再以E，F为圆心，为半径作圆， 则当一点G分别在两圆优弧上时，. 注意到，则，即终点C在两圆优弧上. 由图可得，当C在圆E优弧上，且C，E，O三点共线时最大. 则. 故答案为： 14. 已知函数，是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，若在区间上单调，则的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数零点与对称轴可确定，即，再结合函数的单调性可得最值. 【详解】由已知是函数的一个零点，是函数的一条对称轴， 则，即，即，， 又函数在区间上单调， 则，即， 所以，解得且， 当，即时，， 此时，，解得，， 又，即， 此时， 当，则，函数不单调； 当，即时，， 此时，，解得，， 又，即， 此时， 当，则，函数单调，满足题意； 综上所述的最大值为， 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，，，且． （1）求实数m的值； （2）求； （3）求向量与的夹角θ． 【答案】（1）-4 （2） （3）（或） 【解析】 【分析】（1）利用向量的坐标运算即可求解； （2）利用向量的坐标运算求得的坐标； （3）利用向量的夹角的坐标运算公式可求得，进而可求夹角. 【小问1详解】 由题意可知，， 又，可得， 解得． 【小问2详解】 由（1）可知， 可得， 因此； 【小问3详解】 易知 又，可得 所以向量与的夹角 （或） 16. 已知函数的图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的单调递增区间； （3）求函数在区间上的值域． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象确定函数最值与周期，再代入点坐标，可得函数解析式； （2）利用整体代入法可得函数单调区间； （3）可得在上的值域，再利用换元法结合二次函数性质可得值域. 【小问1详解】 由图象可知， 且，即， 又，所以； 所以， 又， 解得，， 又，则， 所以； 【小问2详解】 令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，， 又， 所以函数在上的单调递增区间为和； 【小问3详解】 当，则， 即 设， 则，， 所以当时，取得最小值为； 当时，取得最大值为， 故在上的值域为. 17. 已知为锐角三角形，角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足： （1）求角A的取值范围； （2）当角A取最大值时，若，求面积取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边可配凑得到的取值范围，根据为锐角三角形可求得的取值范围； （2）法一：由正弦定理可得，进而，转化为的函数，求得的范围，可求面积的范围.法二：，利用余弦定理，结合锐角三角形求得的范围，可求面积的范围. 【小问1详解】 由题意知 得， 由正弦定理可得：，即， ∴， 又，所以A的取值范围为； 【小问2详解】 由（1）知：； 法一、由正弦定理得：， 所以， ， 又A+B+C=π，则， ， 因为为锐角三角形， ∴，即，解得：， 则，， 所以， 所以的面积的取值范围为. 法二、求b的范围 ，， 因为为锐角三角形， 所以，即， 解得，， 所以的面积的取值范围为. 18. 已知函数， （1）若，，求函数的解析式及对称轴； （2）若，，，且，求的值； （3）已知，函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，是一个零点，当时，方程恰有三个不相等的实数根、、，求实数a的取值范围以及的值． 【答案】（1）答案见解析； （2）； （3），. 【解析】 【分析】（1）根据函数周期性可得，分类讨论，结合正弦函数性质利用整体法求解即可； （2）利用已知可求得，结合同角三角函数的平方关系可求得，进而利用可求值； （3）根据图象变换可得，再根据函数零点可得，进而结合正弦函数的图像与性质分析运算. 【小问1详解】 函数，． 则的最小正周期， 因为，，所以函数的最小正周期， 所以，解得 ①当时，，令，解得， 所以函数图象的对称轴为 ②当时，，令，解得， 所以函数的图象的对称轴为； 【小问2详解】 当， 由，则， 由，则，可得， 所以 . 【小问3详解】 由题意可知， 因为是的一个零点，即，所以， 所以或， 故或，又，（舍）， 故，则， 当时，，设，则，则原式可化为， 即的图象在区间内与水平直线的图象有3个不同的交点， 作出在上的图象如下图所示， 所以当时，即，与恰有3个不同的交点，故实数a的取值范围为， 设与的3个不同的交点分别为、、，则、， ∴，即，整理得． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出的一个几何问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”．意大利数学家托里拆利给出了解答：当的三个内角均小于时，满足的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．利用以上知识解决下面问题： （1）若是边长为的等边三角形，求该三角形的费马点到各边的距离之和； （2）的内角，，所对的边分别为，，，且，点为的费马点． （ⅰ）若，求； （ⅱ）求的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据费马点的定义可知点位置，即可得解； （2）（i）设，，，由正弦定理可证，再结合三角形面积可得，进而可得解；（ii）设，，，，可得，再由正弦定理分别表示，，，再由勾股定理可得方程，结合基本不等式可得最值. 【小问1详解】 因为为等边三角形，三个内角均小于， 故费马点在三角形内， 由正三角形对称性可知点为三角形中心， 即满足，且， 如图： 过作于，则，， 故， 因为为等边三角形，费马点到各边的距离相等 所以该三角形的费马点到各边的距离之和为； 【小问2详解】 （ⅰ）因为，由正弦定理， 且，， 所以，，得， 所以的三个角都小于， 则由费马点定义可知，， 设，，，，，，， 由得：， 整理得， 又． 故； （ⅱ）由（ⅰ）知，所以点在内部，且， 设，，，，，， 令，，，， 所以． 由余弦定理得，， 由勾股定理得，，即， 所以， 即， 而，，所以， 当且仅当，即时，等号成立． 设，则，解得或（舍去）， 由，， 所以 又 故的最大值为，此时，即 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $