精品解析：北京市第九中学2024-2025学年高二下学期期中数学试卷

北京九中2024—2025学年度第二学期期中统练 高二数学 2025.5 （考试时间120分钟，满分150分） 一、单项选择题.（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，选对得4分，选错或不答的得0分.） 1. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2. 在的展开式中，常数项为（ ） A. B. C. D. 3. 某城市的汽车牌照号码由个英文字母后接个数字组成，其中个数字互不相同的牌照号码共有（ ）个 A. B. C. D. 4. 设等比数列的公比，前项和为，则（ ） A. B. C. D. 5. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，，则下列错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列满足，，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为，其中甲班女生占，乙班女生占；则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 9. 下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.图（1）中阴影三角形的个数为1，记为，图（2）中阴影三角形的个数为3，记为，以此类推，，，…，数列构成等比数列.设的前n项和为，若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 已知是数列的前n项和，且，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. 若数列单调递增，则的取值范围是 D. 若，则 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知的展开式的二项式系数之和为16，则___________；各项系数之和为___________.(用数字作答) 12. 盒子里有5个球，其中有2个白球和3个红球，每次从中抽出1个球，抽出的球不再放回，则在第1次抽到白球的条件下，第2次抽到红球的概率为__________.（用数字作答） 13. 随机变量X的分布列是 X -2 1 2 P a b 若，则_________． 14. 若数列满足，，则数列的通项公式______，设为数列的前项和，那么当______时的值最小. 15. 已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论： ①的第2项小于3； ②为等比数列； ③为递减数列； ④中存在小于的项． 其中所有正确结论的序号是__________． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知为等差数列，为各项均为正数的等比数列， （1）求和的通项公式； （2）求 的前n项和. 17. 我市某工厂生产、两种零件，其质量测试按指标划分，指标大于或等于的为正品，小于的为次品.现随机抽取这两种零件各100个进行检测，检测结果统计如下： 测试指标 零件 8 12 40 30 10 零件 9 16 40 28 7 （Ⅰ）试分别估计、两种零件为正品的概率； （Ⅱ）生产1个零件，若是正品则盈利50元，若是次品则亏损10元；生产1个零件，若是正品则盈利60元，若是次品则亏损15元，设为生产1个零件和一个零件所得的总利润，求的分布列和数学期望； 18. 甲、乙两名同学积极参与体育锻炼，对同一体育项目，在一段时间内甲进行了6次测试，乙进行了7次测试.每次测试满分均为100分，达到85分及以上为优秀.两位同学的测试成绩如下表： 次数 同学 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 甲 80 78 82 86 95 93 — 乙 76 81 80 85 89 96 94 （1）从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，求该次测试成绩超过90分的概率； （2）从甲同学进行的6次测试中随机选取4次，设X表示这4次测试成绩达到优秀的次数，求X的分布列及数学期望EX； （3）从乙同学进行的7次测试中随机选取3次，设Y表示这3次测试成绩达到优秀的次数，试判断数学期望EY与（2）中EX的大小.（结论不要求证明） 19. 在数列中，，. （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）若，求数列的前n项和. 20. 现代战争中，经常使用战斗机携带空对空导弹攻击对方战机，在实际演习中空对空导弹的命中率约为，由于飞行员的综合素质和经验的不同，不同的飞行员使用空对空导弹命中对方战机的概率也不尽相同．在一次演习中，红方的甲、乙两名优秀飞行员发射一枚空对空导弹命中蓝方战机的概率分别为和，两名飞行员各携带4枚空对空导弹． （1）甲飞行员单独攻击蓝方一架战机，连续不断地发射导弹攻击，一旦命中或导弹用完即停止攻击，各次攻击相互独立，求甲飞行员能够命中蓝方战机的概率？ （2）蓝方机群共有8架战机，若甲、乙共同攻击（战机均在攻击范围之内，每枚导弹只攻击其中一架战机，甲，乙不同时攻击同一架战机）． ①若一轮攻击中，每人只有两次进攻机会，记一轮攻击中，击中蓝方战机数为，求的分布列； ②若实施两轮攻击（用完携带的导弹），记命中蓝方战机数为，求的数学期望． 21. 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推．设该数列的前项和为，规定：若，使得，则称为该数列的“佳幂数”． （1）将该数列的“佳幂数”从小到大排列，直接写出前4个“佳幂数”； （2）试判断50是否为“佳幂数”，并说明理由； （3）（ⅰ）求满足的最小的“佳幂数”； （ⅱ）证明：该数列的“佳幂数”有无数个． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京九中2024—2025学年度第二学期期中统练 高二数学 2025.5 （考试时间120分钟，满分150分） 一、单项选择题.（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，选对得4分，选错或不答的得0分.） 1. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理. 【详解】方法一：利用等差数列的基本量 由，根据等差数列的求和公式，， 又. 故选：D 方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式， ，故. 故选：D 方法三：特殊值法 不妨取等差数列公差，则，则. 故选：D 2. 在的展开式中，常数项为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】写出二项展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】的展开式通项为， 令，可得，因此，展开式中常数项为. 故选：D. 3. 某城市的汽车牌照号码由个英文字母后接个数字组成，其中个数字互不相同的牌照号码共有（ ）个 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求从26个英文字母中选出2个英文字母的方法数，再求出后接4个数字组成的方法数，由分步计数原理即可得结论． 【详解】解：先从26个英文字母中选出2个英文字母的方法数为，后接4个数字组成的方法数为，所以由分步计数原理可得不相同的牌照号码共有个. 故选：D． 4. 设等比数列的公比，前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出． 【详解】设数列的首项为. ∵数列为等比数列，且公比 ∴，，且 ∴ 故选：B. 5. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，，则下列错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用对立事件概率性质，条件概率公式，互斥事件概率公式计算，逐个判断即可. 【详解】对于选项，根据对立事件概率公式，已知，则，所以选项正确.  对于选项 ，根据条件概率公式：.已知，，则，所以选项正确.  对于选项，因为，且，所以. 已知，，则，所以选项正确.  对于选项，根据概率的加法公式：. 已知，，，则，所以选项错误.  故选：D. 6. 已知数列满足，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用递推关系即求. 【详解】依题意有，则， 由此得，，，． 故选：C． 7. 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为，其中甲班女生占，乙班女生占；则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由全概率公式计算即可． 【详解】设“该社区居民遇到一位进行民意调查的同学是甲班同学”为事件，则“该社区居民遇到一位进行民意调查的同学是乙班同学”为事件，“该社区居民遇到一位进行民意调查的同学是女生”为事件， 由题意得，，，， 所以， 故选：C． 8. 已知数列满足，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件得出最小项为，再利用累加法，即可得出答案. 【详解】因为，所以当时，，当时，， 所以，显然的最小值是， 又，，则， 所以的最小值是； 故选：A 9. 下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.图（1）中阴影三角形的个数为1，记为，图（2）中阴影三角形的个数为3，记为，以此类推，，，…，数列构成等比数列.设的前n项和为，若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得，再求出，即可得到方程，解得即可； 【详解】解：易知，所以，由，得，所以. 故选：C 10. 已知是数列的前n项和，且，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. 若数列单调递增，则的取值范围是 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，得到，两式相减得，可判定A不正确；得到，两式相减，得到，可得判定B不正确；由，得到，，根据为递增数列，得到，且，求得，可判定C不正确；当和时，和，得到数列的奇数项是以为首项，2为公差的等差数列，偶数项是以为首项，公差为2的等差数列，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】对于A中，由，当时，可得， 两式相减，可得，即，所以A不正确； 对于B中，由，可得， 两式相减，可得，所以B不正确； 对于C中，由，可得，， 则， ， 因为数列为递增数列，可得，且， 可得且， 解得，所以C不正确； 对于D中，由， 令，可得，即，因为，所以， 令，可得，即，所以， 因为，且，所以， 所以数列的奇数项是以为首项，2为公差的等差数列， 偶数项是以为首项，公差为2的等差数列， 则 ，所以D正确； 故选：D. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知的展开式的二项式系数之和为16，则___________；各项系数之和为___________.(用数字作答) 【答案】 ①. 4 ②. 81 【解析】 【分析】根据二项式系数和的公式，求解；再根据赋值法求各项系数之和. 【详解】展开式中的二项式系数的和是，所以， 令，，即各项系数和为. 故答案为：； 12. 盒子里有5个球，其中有2个白球和3个红球，每次从中抽出1个球，抽出的球不再放回，则在第1次抽到白球的条件下，第2次抽到红球的概率为__________.（用数字作答） 【答案】##0.75 【解析】 【分析】设第1次抽到白球为事件A，第2次抽到红球为事件B，求出，，利用条件概率公式求出概率. 【详解】设第1次抽到白球为事件A，第2次抽到红球为事件B， 则，， 则在第1次抽到白球的条件下，第2次抽到红球的概率为. 故答案为： 13. 随机变量X的分布列是 X -2 1 2 P a b 若，则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】由于分布列的概率之和为1，以及，列出关于的方程，再根据方差公式即可求出． 【详解】解：由题意可知，∴， 所以． 故答案为：． 14. 若数列满足，，则数列的通项公式______，设为数列的前项和，那么当______时的值最小. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】依题意可得是公差的等差数列，即可求出通项公式，再令，求出的取值范围，根据数列的单调性，即可确定的值最小时的值. 【详解】因为，所以是公差的等差数列，又， 所以， 令，即，解得，又公差，所以数列单调递增， 所以， 即数列的前项均为负数，所以当时的值最小. 故答案为：； 15. 已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论： ①的第2项小于3； ②为等比数列； ③为递减数列； ④中存在小于的项． 其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】推导出，求出、的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③. 【详解】由题意可知，，， 当时，，可得； 当时，由可得，两式作差可得， 所以，，则，整理可得， 因为，解得，①对； 假设数列为等比数列，设其公比为，则，即， 所以，，可得，解得，不合乎题意， 故数列不是等比数列，②错； 当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对； 假设对任意的，，则， 所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对. 故答案为：①③④. 【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知为等差数列，为各项均为正数的等比数列， （1）求和的通项公式； （2）求 的前n项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由题目条件结合等差数列的通项公式基本量运算和等比数列通项公式基本量运算求解即可； （2）结合等差数列求和公式和等比数列求和公式，由分组求和法可得答案. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为， 由题意可知，，可得，， 所以，． 【小问2详解】 结合（1）可得： . 17. 我市某工厂生产、两种零件，其质量测试按指标划分，指标大于或等于的为正品，小于的为次品.现随机抽取这两种零件各100个进行检测，检测结果统计如下： 测试指标 零件 8 12 40 30 10 零件 9 16 40 28 7 （Ⅰ）试分别估计、两种零件为正品的概率； （Ⅱ）生产1个零件，若是正品则盈利50元，若是次品则亏损10元；生产1个零件，若是正品则盈利60元，若是次品则亏损15元，设为生产1个零件和一个零件所得的总利润，求的分布列和数学期望； 【答案】（I），； （II）的分布列为 35 50 110 . 【解析】 【分析】（Ⅰ）分别计算出A，B的正品数，利用古典概型的概率公式计算即可； （Ⅱ）生产1件A和1件B可以分为以下四种情况：A，B都为正品，A次B正，A正B次，A次B次，利用相互独立事件的概率公式及数学期望的定义计算即可. 【详解】（Ⅰ）∵指标大于或等于的为正品，且、两种零件为正品的频数分别为80和75， ∴、两种零件为正品的概率估计值分别为，. （Ⅱ）由题意知可能取值为，35，50，110， ，， ，， ∴的分布列为 35 50 110 ∴的数学期望为. 【点睛】本题考查了古典概型的概率计算公式、相互独立事件的概率计算公式、数学期望，属于中档题． 18. 甲、乙两名同学积极参与体育锻炼，对同一体育项目，在一段时间内甲进行了6次测试，乙进行了7次测试.每次测试满分均为100分，达到85分及以上为优秀.两位同学的测试成绩如下表： 次数 同学 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 甲 80 78 82 86 95 93 — 乙 76 81 80 85 89 96 94 （1）从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，求该次测试成绩超过90分的概率； （2）从甲同学进行的6次测试中随机选取4次，设X表示这4次测试成绩达到优秀的次数，求X的分布列及数学期望EX； （3）从乙同学进行的7次测试中随机选取3次，设Y表示这3次测试成绩达到优秀的次数，试判断数学期望EY与（2）中EX的大小.（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）的分布列为 所以. （3） 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据，代入古典概型的概率计算公式即可求解； （2）根据题意先求出所有的可能取值，然后分别求出每一个值对应的概率，列出分布列并计算出期望即可求解； （3）根据题意先求出所有的可能取值，然后分别求出每一个值对应的概率，计算出期望与（2）中期望即可求解； 【小问1详解】 由题意可知：甲、乙两名同学共进行的13次测试中，测试成绩超过90分的共4次，由古典概型的概率计算公式可得， 所以从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，求该次测试成绩超过90分的概率. 【小问2详解】 由题意可知：从甲同学进行的6次测试中随机选取4次，这4次测试成绩达到优秀的次数的可能取值为1，2，3， 则；；， 所以的分布列为 所以. 【小问3详解】 由题意可知：从乙同学进行的7次测试中随机选取3次，这3次测试成绩达到优秀的次数的可能取值为0，1，2，3， 则；；；； 所以的分布列为 所以， . 19. 在数列中，，. （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）若，求数列的前n项和. 【答案】（1） 由已知可得，，， 所以，数列是以为首项，为公比的等比数列. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知求出，，即可得出证明； （2）根据等比数列通项公式得出，即可得出答案； （3）根据已知得出，进而裂项求和，即可得出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以有， 所以，. 【小问3详解】 由（2）可知， 所以， 所以，， 所以有数列的前n项和. 20. 现代战争中，经常使用战斗机携带空对空导弹攻击对方战机，在实际演习中空对空导弹的命中率约为，由于飞行员的综合素质和经验的不同，不同的飞行员使用空对空导弹命中对方战机的概率也不尽相同．在一次演习中，红方的甲、乙两名优秀飞行员发射一枚空对空导弹命中蓝方战机的概率分别为和，两名飞行员各携带4枚空对空导弹． （1）甲飞行员单独攻击蓝方一架战机，连续不断地发射导弹攻击，一旦命中或导弹用完即停止攻击，各次攻击相互独立，求甲飞行员能够命中蓝方战机的概率？ （2）蓝方机群共有8架战机，若甲、乙共同攻击（战机均在攻击范围之内，每枚导弹只攻击其中一架战机，甲，乙不同时攻击同一架战机）． ①若一轮攻击中，每人只有两次进攻机会，记一轮攻击中，击中蓝方战机数为，求的分布列； ②若实施两轮攻击（用完携带的导弹），记命中蓝方战机数为，求的数学期望． 【答案】（1） （2）①分布列： 0 1 2 3 4 ②数学期望为. 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得； （2）①依题意的可能取值为，1，2，3，4，求出所对应的概率，即可得到分布列； ②记甲命中战机数为，则，记乙命中战机数为，则，则根据二项分布的期望公式计算可得； 【小问1详解】 设甲、乙两名飞行员发射的第枚导弹命中对方战机分别为事件，，则，． 设甲飞行员能够击中蓝方战机为事件，则，所以 所以 【小问2详解】 解：①依题意的可能取值为，1，2，3，4， 则， ， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 ②记两轮攻击中：甲命中战机数为，则， 乙命中战机数为，则， 所以． 21. 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推．设该数列的前项和为，规定：若，使得，则称为该数列的“佳幂数”． （1）将该数列的“佳幂数”从小到大排列，直接写出前4个“佳幂数”； （2）试判断50是否为“佳幂数”，并说明理由； （3）（ⅰ）求满足的最小的“佳幂数”； （ⅱ）证明：该数列的“佳幂数”有无数个． 【答案】（1）1、2、3、18； （2）50不是“佳幂数”，理由如下： 由题意可得，数列如下： 第1组：1； 第2组：1，2； 第3组：1，2，4； … 第组：， 则该数列的前项的和为： ，① 当时，， 则， 由于，对，， 故50不是“佳幂数”． （3）（ⅰ）1897； （ⅱ）证明：由（ⅰ）知：． 当，且取任意整数时，可得“佳幂数”， 所以，该数列的“佳幂数”有无数个. 【解析】 【分析】（1）由数列的“佳幂数”的定义求解即可； （2）由题意求出，由“佳幂数”的定义判断即可； （3）(i)根据（2）中的分组先确定时，所分组数的范围，结合新定义配出的形式，确定出的最小值；(ii)根据(i)中的结论证明即可. 【小问1详解】 因为，所以1为该数列的“佳幂数”； 又因为，， 所以2、3、18也为该数列的“佳幂数”； 所以该数列的前4个“佳幂数”为：1、2、3、18； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （ⅰ）在①中，要使，有， 出现在第44组之后，又第组的和为，前组和为， 第组前项的和为． 则只需． 所以，则，此时， 所以对应满足条件的最小“佳幂数”. （ⅱ）略 【点睛】方法点睛：解答数列新定义的基本步骤 ①审题：仔细阅读材料，认真理解题意； ②建模：将已知的条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，分清该数列是等差数列还是等比数列，是求通项还是前项和； ③求解：求出该问题的数学解； ④还原：将所求结果还原到原问题中. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $