北京市第九中学2024-2025学年高二下学期期中数学试卷

北京九中2024—2025学年度第二学期期中统练

高二数学

2025.5

（考试时间120分钟，满分150分）

一、单项选择题.（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，选对得4分，选错或不答的得0分.）

1. 已知等差数列的前项和为，若，则（    ）

A.  B.  C. 1 D.

2. 在的展开式中，常数项为（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 某城市的汽车牌照号码由个英文字母后接个数字组成，其中个数字互不相同的牌照号码共有（    ）个

A.  B.  C.  D.

4. 设等比数列的公比，前项和为，则（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，，则下列错误的是（    ）

A.  B.

C.  D.

6. 已知数列满足，，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为，其中甲班女生占，乙班女生占；则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知数列满足，且，则的最小值是（    ）

A.  B.

C.  D.

9. 下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.图（1）中阴影三角形的个数为1，记为，图（2）中阴影三角形的个数为3，记为，以此类推，，，…，数列构成等比数列.设的前n项和为，若，则（    ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

10. 已知是数列的前n项和，且，则下列选项中正确的是（    ）

A.

B.

C. 若数列单调递增，则的取值范围是

D. 若，则

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11. 已知的展开式的二项式系数之和为16，则___________；各项系数之和为___________.(用数字作答)

12. 盒子里有5个球，其中有2个白球和3个红球，每次从中抽出1个球，抽出的球不再放回，则在第1

次抽到白球的条件下，第2次抽到红球的概率为__________.（用数字作答）

13. 随机变量X的分布列是

X	-2	1	2
P	a	b

若，则_________．

14. 若数列满足，，则数列的通项公式______，设为数列的前项和，那么当______时的值最小.

15. 已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：

①的第2项小于3；   ②为等比数列；

③为递减数列；       ④中存在小于的项．

其中所有正确结论的序号是__________．

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16. 已知为等差数列，为各项均为正数的等比数列，

（1）求和的通项公式；

（2）求 的前n项和.

17. 我市某工厂生产、两种零件，其质量测试按指标划分，指标大于或等于的为正品，小于的为次品.现随机抽取这两种零件各100个进行检测，检测结果统计如下：

测试指标
零件	8	12	40	30	10
零件	9	16	40	28	7

（Ⅰ）试分别估计、两种零件为正品的概率；

（Ⅱ）生产1个零件，若是正品则盈利50元，若是次品则亏损10元；生产1个零件，若是正品则盈利60元，若是次品则亏损15元，设为生产1个零件和一个零件所得的总利润，求的分布列和数学期望；