湖北省黄冈中学2025届高三5月第二次模拟考试数学试题
切换试卷
切换试卷
|
2份
|
15页
|
910人阅读
|
48人下载
内容正文：
湖北省黄区中学2025届高三5月第二次模拟考试
8 -(0).,a-2ing-1--200g-9. 列
数学试卷
B.a=&
D. 无法定a,的大小
命题人:黄中 背海东 周 志
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题日要求。全
本试卷共4页,19题,满分150分,考试用时120分钟,考试时间:2025年5月17目下年15:00-17:00
题选对的得6分,部分选对的得分分,选的落8分.
★祝考利★
9. 下列论错误的是
A. 已知随机变量x雁从二项分在8n..若EX-2.X-4.则p-!
1.答题我,先将自己的姓名、准考证号、考场号,座位号填写在试卷和答题卡上,排将准考证号条形
切封贴答题去上的指完程.
B. 若随机变量:限正分事N3.).P>4)-92:则P2<<3-0.6
2.选择眉的作答:每小题选出答案后,用2铅笔纪答题卡上对应因目的答实际号涂黑,写在试卷
章稿低和答路卡上的非答因区域均无效.
C. -祖数据3.4.8.7.9. 12.13的第60百分位数为8
3.非选择题的作答:用黑色答字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内,写在试卷,草稿纸和答题卡
D. 若本数提2式+1.21,+1.一,221的方为9.则x,5.x.的方差为
上的非答题区域均无效.
4.考试结束后:请答卡上交
l0. 知物线:y-2pr(>0与M:(r-6-4-64交于A
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在提小题结出的四个选项中,只有一项是符合题E
8两点,线段A9恰为四3的直径,且直线A过驰物铁评的点.又
要的.
CD是据物线过点P的另一动,则以下结论王确的是
1.看2..卿=
A.)14
_.2
c.2
B. ]cnopr36
A.5
n.d
2. 短A-(xz1-25x54).-{1=1.4n-
C. △CP的隅长可以为14
D. 5-3附.c0-12
A.(-1x54
B. (-1123
D. (-2.-112.4)
C. f0.1.23A)
11. 已知数列a.1是壁波那契数列{1.23.58.13.21.34..这一数到以如下遂推的方法定义
3. 已知等差数列a]的前*项和为3,若4.+..-10,.--15,则使5.<的最大.值为
_. 12
C._
p.15
8.“L.1a”+.{neN”.数列(h对子确定的正数上,存在正整数x使得人“D十b.
B.13
4. 已知一个台母线长为2,倒面晚开图是一个题心角为的身环,则圆台上下底面固厚长之差的绝对
立,则称数判为“永阶可分折数死”,以下说法正确的是
为
_
A. 看数列(c. 是首项为2.会差为2的等差数列,则(c.)为3阶可分拆数列”
D.2
D.dr
B. 若数列[c上满足心“跟。[weN”所e跟),则对Vr一,不存在正整数上。使得数列l]为险可分
5.在△4BC.-2.+4-A-xD.-.则
”
B.5
A.2
D.7
C.)
6. 已知甲篇中有2个红球3个里球,乙箱中有1个红球和3个黑球《医有球除颜色外完全相同),某学
C. 若数列le)的前:项和为s.-3”-afa0,且数列e.)为”l除可分折数列”,则实数a-0
生先从甲箱中随机取出1个球放入乙,箱,得从乙中蕴机取出2个球,记“从乙篇中取出的球是2个
D. 若敢烈fc]是C.-.前:项和为,则neN'且w→3时.
球为事件,则P(D)二
c
m.1
r.c.+a+mi+- 1
7. 设跳/002o-]+2ax.gt0-af-20-sgo. 曲线y-/00与y-800拾有一个交点第。-
三.空题;本题提3小题,小题5分,共15分.
D.
.知多项式(x+1(2x-3-(-1+(-1+a(r-+(*-1+(r-1+
_.)
B.-
则++"__
13. 涵数/(r)-r'-3x+3a在区词[-2.-)的为[48,※的取范图为
潮北用命学2025届高三5月第三次模考试数试卷 第1页(4页)
湖此者共用中学2025高三5月第二次提拟考试数学试卷 第2页(共4页)
14. 我们规定,在2到而体中,取其异的两条接的中点连线称为该四面体的一条”内校”,三条内技两两
17.(本题15分)
直的四面体称为“接四体。
某公等准各了一个不造明的箱子,该稻子中装有6个大小一样的小球,其中2个为红色,1个为白色
如左图,在看校因题体P-ABC,若△42C的边长分删为ac.则P-A2C外接球表面积5= )
3个为蓝色,颗工甲。乙两人选行热球游戏,在每轮比赛中,两人各从精子中一次抽出3个小球,得分
规则如下,若抽出的三个小球的颜色相同,得8分;若抽出的三个小球中有两球的题急相网,得4分;
若挂出的三个小球的颜色各不相院,得2分,第一轮得分指同,则进抒第二轮,直至出现两人得分
不问,得分多者获得公司提前准各的奖,游戏结束.
(1)记单第一轮得分为义,求点的率分布列及数学期望
(2)求两人共治,轮小球的概率P。
如右用,在空间直角毫标系中,x0y平内有因0:^4y-4.直线y=-、5与因0交于4.两点.
P为xOy平面下方一点,若P-A20为重校因面体,其外接球表醒颗5(t)的取指范刻是
四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说题,证确过院或演算步题
15.(本题13分)
18.(本题17分)
己知中心在玩点,病点在;上的园线点的高心为2,过考的方焦点存直子x缺直线
在△4C中,A.8.C的对选分别为a.A.6.已知a:4.c-.-45”
该直线被E裁得的注长为6.
(D求siC的
(1)的方程。
(2)在边ac上取一点D. 使得cos乙4oc-2-5.求tanzDAcC的值.
(2)看面积为12的AAaC的三个项点均在E上.边&C过F,边4A过原点,求直线DC方程
(3)已知&(.0,过点T(0.0)的直线1与E在y右例交于不同的两点P.②.1上存在点5是
.-两.:且sf+f-:试.的范
16.(本题15分)
如图,在料三枝桂4BC-4BC,1AC.A4与平面49C所成正话值为3:A4-~6
19.(题17分)
t数/(x)-ef-1.r(2)_.hr.1.
AB-C-35.4C-5A.点E为段AC中点.且点平面AaC所作技到在AC
(2)若××(丙<5)是方程/(s)+1-g(r+20(-0的两个实题。当+七Jln2-435-]
(1)明/og
(14C1
时1. *2题。
(3)当2且nN时,试比校与的大小,并说哩由
湖北共用中学2025届高三5月第三次题扣考试数学试卷 第3页(共4页)
湖北量用中2025篇高三5月累三次提拟考试数学试卷 第4页(共4页)湖北省黄冈中学 2025 届高三第二次模拟考试数学答案 第 1 页（共 13 页）
湖北省黄冈中学 2025 届高三 5 月第二次模拟考试
数学参考答案及评分细则
1.【答案】B
【解析】因为
22 4z z ，所以 2z . 故选：B．
2.【答案】C
【解析】� = � ∈ Z − 2 ≤ � ≤ 4 = −2, − 1,0,1,2,3,4 ．由 6
�+1
≥ 1，可得−1 < � ≤ 5，所以� = � − 1 <
� ≤ 5 ．所以� ∩ � = 0,1,2,3,4 . 故选：C．
3.【答案】B
【解析】等差数列 na 中， 4 6 10a a ， 5 5a .
又 5 9 15a a ，所以 95 15a ，解得 9 3a .
设等差数列{ }na 的公差为 d，根据等差数列通项公式 1 ( 1)na a n d ，
可得
5 1
9 1
4 5
8 3
a a d
a a d
，解得 2d ， 1 13a ， 13 2( 1) 2 15na n n ，
213 21 14
2n
S n n n
n n
，由 0nS 解得 0 14n ，则使 0nS 的最大 n值为13 . 故选：B.
4.【答案】A
【解析】设圆台的侧面展开图扇环的内圆半径为 1r ，外圆半径为 2 2 1, ( )r r r ，
则圆台母线长为 2 12 r r ，
设圆台上、下底面圆半径分别为 3 4 3 4, ( )r r r r ，则 1 23 4
2π 2π2π , 2π
3 3
r rr r ，
4 3 2 1
2 42 ( ) ( )
3 3
r r r r ，圆台上下底面圆周长之差的绝对值为
4
3
. 故选：A．
5.【答案】C
【解析】因为 AB AD AB AD
，所以
2 2
AB AD AB AD
，
即 2 2 2 22 2AAB A DAB D ABD ADAB A
，所以 4 0AB AD
，即 0AB AD
uuur uuur
，
因为 3 3 1 32 2 2 2AC AB BC AB BD AB AD AB AB AD
,
所以
1 3
2 2
AC AD AB AD AD
221 3 3 3
2 2 2
AB AD AD AD
. 故选：C．
6.【答案】D
【解析】记“从甲箱中取出的球为红球”为事件�1，记“从甲箱中取出的球为黑球”为事件�2，所以� � =
� �1 � �∣�1 + � �2 � �∣�2 =
2
5
× 3
10
+ 3
5
× 3
5
= 12
25
. 故选：D．
7.【答案】C
湖北省黄冈中学 2025 届高三第二次模拟考试数学答案 第 2 页（共 13 页）
【解析】令函数 2( ) ( ) ( ) 2cos ( 3
3
3)h x f x g x x a x a
，
可得 2 2(6 ) 2cos[ (6 )] [(6 ) 3] 3 2cos(2
3
) (3 )
3
3h x x a x a x a x a 22cos ( 3 3
3
)x a x a ，
即 ( ) (6 )h x h x ，所以函数 ( )h x 关于直线 3x 对称，
因为函数 ( )y f x 与 ( )y g x 恰有一个交点，所以 (3) 0h ，
可得 22cos (3 3) 3 2 3 0a a a ，解得 2
3
a ，
当
2
3
a ， 3x 时， 22cos 3 0, ( 3) 0
3
x a a x ≥ ，所以 2
3
a . 故选：C．
8.【答案】A
【解析】令 e 2cosxf x x ，则 e 2sinxf x x ，
当
π
2
0,x
时， sin 0x ，故 e 2sin 0xf x x 恒成立，
故 e 2cosxf x x 在 π20,x
上单调递增，
又 0 1 2 1 0f ，
π
4π 0
4
e 2f
，由零点存在定理得
π0,
4
，
令 e 2sin 1xg x x ，则 e 2cosxg x x ，
由上面的求解可知 e 2cosxg x x 在 π0, 2x
上单调递增，且存在
π0,
4
，使得 0g ，
当 0,x 时， 0g x ，当 π,
2
x
时， 0g x ，
所以 e 2sin 1xg x x 在 0,x 上单调递减，在 π, 2x
上单调递增，
又 0 0g ，
π
2π 0
2
e 3g
，故 g x 的零点 π, 2
， 0g ，所以 . 故选：A．
9.【答案】BCD
【解析】对于 A 中，由 ) 2E X np （ ，
3
) (1 4)D X np p （ ，解得 1
3
p ，所以 A 正确；
对于 B 中，由正态曲线的对称性，可得 4) 2) 0.2P P （ （ ，则
1 ( 4) ( 2) 1 0.2 0.22 3) 0.3
2 2
P PP （ ，所以 B 错误；
对于 C 中，由于 7 0.6=4.2 ，则第 60 百分位数为由小到大排列的第 5 个数为 9，所以 C 错误；
对于 D 中，若样本数据 12 1x ， 22 1x ，， 2 1nx 的方差为 9，则 1 2, , , nx x x 的方差为
9
4
，所以 D 不
正确. 故选：BCD.
10.【答案】AC
【解析】对于 A，如图，分别过 A，B，M作抛物线准线的垂线，垂足分别为 1A， 1B ， 1M ，
湖北省黄冈中学 2025 届高三第二次模拟考试数学答案 第 3 页（共 13 页）
由于圆的直径 AB过焦点 F，则 (6,4)M 到准线的距离为
1 1
1 82 2 2
AA BB AF BF AB
MM
，
又 1 6 2
pMM ， 6 8
2
p
，解得 4p ，故 A 正确；
对于 B，设直线 CD的方程为 2x my ， 1 1( , )C x y 2 2( , )D x y ，又抛物线
2: 8W y x ，
由 2
2
8
x my
y x
可得 2 8 16 0y my ，则 1 2 8y y m ， 1 2 16y y ，
2 2
1 2
1 2 48 8
y yx x ，
1 2 1 1
1 1
36 369 2 9( 2) 20 2 20 32CF DF x x x x
x x
≥ （当且仅当 1 6x 时等号成立），故 B 错误；
对于 C， (6,4)M ， (2,0)F ， 4 2MF ，设 CFM△ 的周长为 l，
则 14 2 4 2 4 2 8l CF FM CM CF CM MM ≥ ，周长的最小值为 4 2 8 14 ，故 C
正确；
对于 D， 1
2
23
2
COF
DOF
CFS x
S DF x
△
△
， 1 23 4x x ，
1 2 4x x ，则 2 23 4 4x x （ ） ，解得 2
2
3
x 或 2 （舍），
1 6x ， 1 2
2 326 4
3 3
CD x x p ，故 D 错误. 故选：AC.
11.【答案】ACD
【解析】对于 A：由题意可知 2nc n ， 3 2 6nc n ， 3 2 6nc c n 所以 3 3n nc c c ，所以 nc 为“3
阶可分拆数列”；
对于 B：存在，理由如下：由已知得 1 2 3 1 21, 1, 2a a a a a ， 1 2 3, , 2c m c m c m ， 3 1 2c c c ，
即 1 2 1 2c c c ， 对 m R，当正整数 1k 时，存在 2n ，使得 k n k nc c c 成立，即数列 nc 为“1 阶
可分拆数列”.
对于 C： 3nnS a Q ，当 1n 时， 1 3c a ，当 2n 时， 1 11 3 3 2 3n n nn n nc S S a a ，
若数列 nc 为“1 阶可分拆数列”，则存在正整数 n使得 1 1n nc c c 成立，
当 1n 时， 2 1 1c c c ，即 6 2 3 a ，解得 0a ，当 2n 时， 12 3 3 2 3n na ，即 14 3 3n a ，
因 0a ，所以3 3a ，又 14 3 12n ，故方程 14 3 3n a 无解，符合条件的实数a的值为 0.
对于 D： *2 1 ,n n na a a n N ，当 2n 时， 2 1 1 1 1n n n n n n n na a a a a a a a ，
2 2 2 2
1 2 3 na a a a 21 2 3 2 1 3 4 3 2 4 5 4 3 1 1n n n na a a a a a a a a a a a a a a a a
湖北省黄冈中学 2025 届高三第二次模拟考试数学答案 第 4 页（共 13 页）
2
1 2 1 1 1n n n na a a a a a a ，
2 2 2 2
1 2 3 1 1 1n n na a a a a a ，
若
3
n
n n
a
c ， 3 11 21 2 3 13 3 3 3 3
n n
n n n
a a aa aT ①，
3 11 2
2 3 4 1
1
3 3 3 3 3 3
n n
n n n
a a aa aT ②，
由①-②可得 1 2 1 3 2 4 3 11 2 3 4 1
2
3 3 3 3 3 3 3
n n n
n n n
a a a a a a a a a aT
1 2 2
3 4 1
1
3 3 3 3 3
n n
n n
a a a a
1 2 2
2 1 2 2 1
1 1
3 3 3 3 3 3
n n
n n
a a a a
22 1
1 1
3 3 3
n
n n
aT ，
2 1, 03
n
n n n
aT T ， 22 1 2
2 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3
n
n n nn
aT T T ，
3 1
5n
T ，
当 *nN 且 3n 时， 2 2 2 21 2 3 1 1n n n nT a a a a a a 成立.故 D 正确，故选：ACD．
12.【答案】18
【解析】令� = 2 可得�1 + �2 + �3 + �4 + �5 + �6 = 27，令� = 0， − �1 + �2 − �3 + �4 − �5 + �6 = 9，相
加可得�2 + �4 + �6 = 18.
13.【答案】
1 ,4
2
【解析】因为 3 3 3f x x x a ，则 23 3 3 1 1f x x x x ，
所以当 1x 或 1x 时 0f x ，当 1 1x 时 0f x ，
所以 f x 在 , 1 ， 1, 上单调递增，在 1,1 上单调递减，
且 2 2 3f a ， 1 2 3f a ， 1 2 3f a ，
因为 f x 在区间 2, m 的值域为 4,8 ，所以 1 2 3 8f a ，解得 2a ，
此时 3 3 6f x x x ， 2 1 2 3 =4f f a ，
又 1 2 8f f ， 1 2m ≤ ，则 12 ,4
2
m ma
，故答案为：
1 ,4
2
．
14.【答案】
2 2 2( )
2
a b c 6π,8
【解析】如图，连接 1 2 3 4 1 3 1 4 3 2 4 2, , , , ,M M M M M M M M M M M M ，
由题知， 1 3M M 平行且等于
1
2
PB， 4 2M M 平行且等于
1
2
PB，
所以 1 3 4 2/ /M M M M ， 1 3 4 2M M M M ，故 1 3 2 4M M M M 为平行四边形，
所以对角线 1 2 3 4M M M M O ，则O是 1 2 3 4,M M M M 的中点，
同理O也是 5 6M M 的中点，故“垂棱四面体”的三条内棱交于一点，
湖北省黄冈中学 2025 届高三第二次模拟考试数学答案 第 5 页（共 13 页）
由三条内棱两两垂直，易知 1 3 2 4M M M M 为菱形，则 1 3 1 4M M M M ，
显然 1 3 1 42 , 2PB M M AC M M ，故 PB AC ，同理 ,PA BC PC AB ，
所以“垂棱四面体” P ABC 可补为如下图示的长方体，
设长宽高分别为 , ,x y z，则其外接球半径 2 2 2
1
2
R x y z ，
P ABC 外接球表面积 2 2 2 24π π( )S R x y z ，
显然
2 2 2AB x y ，
2 2 2BC y z ，
2 2 2AC x z ，又
2 2 2 2 2 2AB BC AC a b c ，
2 2 2 2 2 22( )a b c x y z ，
2 2 2
2 2 2 2 ( )4π π( )
2
a b cS R x y z ，
2 2 2( )
2
a b cS .
同理，题设右图可将 P ABO 补成长方体， 三棱锥 P ABO 外接球表面积为 2 2 2
1 ( )π
2
S AB BO AO ，
设 1 1 2 2( )A x y B x y, , ( , )， 联立
2 2 4
3
x y
y kx
，得 2 2(1 ) 2 3 1 0k x kx ，则 2 212 4(1 ) 0k k ，
所以
1 2 2
1 2 2
2 3
1
1
1
kx x
k
x x
k
，则
1 2 2
2
1 2 2
1
3
1
2 3
4
y y
k
ky y
k
，
由 , ,A B O为某长方体的三个顶点，结合题设新定义，易知 ABO△ 中 ,A B为锐角，
所以只需角O为锐角，即 0OA OB
，则
2
1 2 1 2 2
2 4 0
1
kx x y y
k
，解得
2 10
2
k ≤ ，
又 2
2 2 2
1 21( ) ( )xB y yxA ，
2 2 2
2 2BO x y ，
2 2 2
1 1AO x y ，
所以
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2
1 [( ) ( ) ] π [( ) ( ) 3 3 ]π
2
S x x y y x y x y x x y y x x y y ，
则
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 3 2 3 3 3(3 4 ) 6(1+2 ) 6[( ) ( ) ] π= π= 12 π
1 1 1 1 1 1
k k kS k
k k k k k k
，
2 10
2
k ≤ ， =0k 时 S k 最小，最小值为 6π，又 2 1
2
k 时， 8S k ，
S k 的取值范围是 6π,8 . 故答案为：
2 2 2( )
2
a b c 6π,8
15.【答案】（1） 10sin
10
C ；（2）
1tan
7
DAC .
【解析】（1）[方法一]：正余弦定理综合法
湖北省黄冈中学 2025 届高三第二次模拟考试数学答案 第 6 页（共 13 页）
由余弦定理得 2 2 2
22 cos 16 2 2 4 2 10
2
b a c ac B ，所以 10b .
由正弦定理得
sin 10sin
sin sin 10
c b c BC
C B b
··········································· 5 分
[方法二]【最优解】：几何法
过点 A作 AE BC ，垂足为 E．在Rt ABE△ 中，由 2, 45c B= = °，可得 1AE BE ，
又 4a ，所以 3EC ．在Rt AEC△ 中， 2 2 10AC AE EC ，因此
10
101
1i
0
s nC ．······ 5 分
（2）[方法一]：两角和的正弦公式法
由于
2 5cos
5
ADC ， ,2
ADC
，所以 2
5sin 1 cos
5
ADC ADC .
由于 ,
2
ADC
，所以 0,
2
C
，所以 2
3 10cos 1 sin
10
C C .
所以 sin sinDAC DAC sin ADC C
sin cos cos sinADC C ADC C
5 3 10 2 5 10 2
5 10 5 10 10
.
由于 0,
2
DAC
，所以 2
7 2cos 1 sin
10
DAC DAC .
所以
sin 1tan
cos 7
DACDAC
DAC
.···························································13 分
[方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法
在（1）的方法二的图中，由 2 5cos
5
ADC ，可得 cos cos( ) cos
5
2 5ADE ADC ADC ，
从而
sinsin cos , tan 2
5 co
5
s
2 DAEDAE ADE DAE
DAE
．
又由（1）可得 tan 3
ECEAC
AE
，所以
tan tan 1tan tan( )
1 tan tan 1 3 2 7
3 2EAC EADDAC EAC EAD
EAC EAD
．······················ 13 分
[方法三]：几何法+正弦定理法
在（1）的方法二中可得 101, 3,AE CE AC ．
由
2 5cos
5
ADC ，可得 cos cos( ) cos
5
2 5ADE ADC ADC ，从而 sin
5
5ADE ．
在Rt ADE△ 中， 5, cos 2
sin
AEAD ED AD ADE
ADE
，所以 1CD CE DE ．
湖北省黄冈中学 2025 届高三第二次模拟考试数学答案 第 7 页（共 13 页）
在 ACD△ 中，由正弦定理可得
0
sin sin 2
1
CDDAC C
AD
，
由于 0,
2
DAC
，所以 2
7 2cos 1 sin
10
DAC DAC ，
所以
sin 1tan
cos 7
DACDAC
DAC
.··························································13 分
[方法四]：构造直角三角形法
如图，作 AE BC ，垂足为 E，作DG AC ，垂足为点 G．
在（1）的方法二中可得 101, 3,AE CE AC ．
由
2 5cos
5
ADC ，可得 2cos , sin 1 cos
5 5
2 5 5ADE ADE ADE ．
在Rt ADE△ 中， 2 25, 2, 1
sin
AEAD DE AD AE CD CE DE
ADE
．
由（1）知 10sin
10
C ，所以在 Rt CDG△ 中， 2 2 3sin ,
0
1
1
0 10
10
DG CD C CG CD DG ，
从而
10
107AG AC CG ．
在 Rt ADG△ 中，
1tan
7
DGDAG
AG
，所以
1tan
7
DAC ．······························· 13 分
16.【答案】（1）证明见解析；（2） 3 2
19
【解析】（1）证明： 3 2AB BC ， 2AC AB ，△ABC为等腰直角三角形.
取线段 AC 的中点M ，连接 EM ， BM ，
AB BC ，M 为 AC 的中点， BM AC ，············································ 1 分
1 1/ /AA CC ， 1 1AA CC ，
四边形 1 1AAC C是平行四边形， 1 1/ /AC AC ， 1 1AC AC ，
E ，M 分别是 1 1AC ， AC 的中点，
四边形 1AA EM 是平行四边形， 1/ /EM AA ，
1 1/ /AA BB ， 1/ /EM BB ，
1AC BB ， AC EM ，···························································· 4 分
EM BM M ， AC 平面 BEM ，
EB 平面 BEM ， EB AC ． ······················································5 分
（2）解：由（1）可知， AC 平面 BEM ，
过点 E在平面 BEM 内作 EO BM ，垂足为点O，
AC 平面 BEM ， EO 平面 BEM ， EO AC ，
EO BM ， BM AC M ， BM 、 AC 平面 ABC， EO 平面 ABC，
湖北省黄冈中学 2025 届高三第二次模拟考试数学答案 第 8 页（共 13 页）
直线 1AA 与平面 ABC所成的角为 EMO ， tan 3
EOEMO
OM
， 3EO OM ，
2 2 10 10EM EO OM OM ， 1OM ， 3EO ，································ 7 分
3 2AB BC ， 2AC AB ， 6AC ，
2 2 2AB BC AC ， AB BC ， M 为 AC 的中点， 1 3
2
MB AC ，
以点O为坐标原点，在平面 ABC内过O作 BM 的垂线为 x轴，
OB所在直线为 y轴，OE所在直线为 z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则 (3, 1,0)A ， (0,2,0)B ， (0, 1,0)M ， ( 3, 1,0)C ， (0,0,3)E ，·······························8 分
(0,1,3)ME
，则 1 1 (3, 1,0) (0,1,3) (3,0,3)OA OA AA OA ME
点 1(3,0,3)A ， 1
6 6 6 18(0,1,3) (0, , )
19 19 19 19
AF AA
，
则
6 18 51 18(3, 3,0) (0, , ) (3, , )
19 19 19 19
BF BA AF
，又 (3,3,0)CB
，
设平面 BCF 的法向量为 ( , , )m x y z ，
则
3 3 0
51 183 0
19 19
m CB x y
m BF x y z
，
取 1x ，得 (1, 1, 6)m ，·····························································10 分
设平面 ABF的法向量为 ( , , )n x y z ， ( 3,3,0)AB
，
则
3 3 0
51 183 0
19 19
n AB x y
n BF x y z
，取 3x ，得 (3,3, 1)n
，································12 分
2 22222
3 3 6
1 9
|
1
| | 6 3 2cos , |
6| | | ( ) 13 3| 119 2( )
m nm n
m n
（ ）
，··················14 分
平面 ABF与平面CBF 夹角的余弦值为 3 2
19
．···········································15 分
17.【答案】(1)分布列见解析，18
5
. (2) 97
200
× 103
200
�−1
【解析】（1）X 的可能取值为：8，4，2 概率分别为：
�(� = 8) = ∁3
3
∁6
3 =
1
20
；�(� = 4) = ∁1
1∁2
2+∁3
1∁2
2+∁2
1∁3
2+∁1
1∁3
2
∁6
3 =
13
20
；�(� = 2) = ∁2
1∁1
1∁3
1
∁6
3 =
3
10
；
所以 X 的概率分布列为
X 8 4 2
p
1
20
13
20
3
10
�(�) = 8 × 1
20
+ 4 × 13
20
+ 2 × 3
10
= 18
5
. ···················································7 分
（2）记乙一轮比赛的得分为 Y，事件��为“一轮比赛甲乙得分相同”，
湖北省黄冈中学 2025 届高三第二次模拟考试数学答案 第 9 页（共 13 页）
则�(��) = �(� = � = 8) + �(� = � = 4) + �(� = � = 2)
= �(� = 8)�(� = 8) + �(� = 4)�(� = 4) + �(� = 2)�(� = 2)
= 1
20
2
+ 13
20
2
+ 3
10
2
= 103
200
.
记事件 B 为“第 n轮比赛甲乙得分不同”，则�(�) = 1 − �(��) =
97
200
.
所以两人共抽 n轮小球的概率
�� = �(�1�2⋯��−1�) = �(�1)�(�2)⋯�(��−1)�(�) =
97
200
× 103
200
�−1
. ························15 分
18.【答案】(1)
2
2 1
3
yx (2 3 7 6 0x y 或 3 7 6 0x y 或 2x (3)
535, 7 3
3
【解析】（1）圆锥曲线 E的离心率为 2，故 E为双曲线，
因为 E中心在原点、焦点在 x轴上，所以设 E的方程为
2 2
2 2 1 0, 0
x y a b
a b
，
令 x c ，解得
2by
a
，所以有
22 6b
a
①
又由离心率为 2，得
2
21 2
b
a
②，由①②解得
2
2
1
3
a
b
，
所以双曲线 E的标准方程是
2
2 1
3
yx ．·····················································3 分
（2）设 1 1,B x y ， 2 2,C x y ，由已知，得 2,0F ，根据直线 AB过原点及对称性，知
1 2 1 2 1 2
12 2 2 12
2ABC BOC
S S OF y y c y y y y △ △ ， ······························4 分
由题意可知直线 BC的斜率不为 0，
设直线 BC的方程为 2x my ，
联立直线 BC与双曲线 E的方程，得
2
2 1
3
2
yx
x my
，化简整理，得 2 23 1 12 9 0m y my ，
所以
1 2 2
1 2 2
12
3 1
9
3 1
my y
m
y y
m
，且 2 2 2Δ 144 36 3 1 36 36 0m m m ，
所以
2
2
1 2 1 2 1 2 2
6 12 2 4 2 12
3 1
ABCS y y y y y y
m
m
，
整理得 4 29 7 0m m ，解得
7
3
m 或 0m ，
所以直线 BC的方程是 3 7 6 0x y 或3 7 6 0x y 或 2x ．······························ 7 分
（3）若直线 l斜率不存在，此时直线 l与双曲线右支无交点，不合题意，
故直线 l斜率存在，设直线 l方程 2y kx ， 3 3,P x y ， 4 4,Q x y ，
湖北省黄冈中学 2025 届高三第二次模拟考试数学答案 第 10 页（共 13 页）
联立直线 l与双曲线 E的方程，得
2
2 1
3
+2
yx
y kx
，
化简整理，得 2 2 043 7k x kx ，
所以 3 4 2
4
3
kx x
k
， 3 4 23
7x x
k
，且 2 2 2Δ 16 28 3 84 12 0k k k ，
直线 l与 E在 y轴的右侧交于不同的两点 P，Q，
2
2
2
2
22
2
Δ=84 12 0
3 0
34 0
33
7
7
00
3
k
kk
kk
kk
k
k
，解得 7 3k ．········································ 9 分
设点 S的坐标为 0 0,x y ，由TP SQ PS TQ
，得
TP SP
TQ SQ
，
则
0
3 3
4 4
0x x x
x x x
，变形得到 3 4 3 4 0
2 ( )x xx x x ， 3 40
3 4
2 7
2
x
x x k
x x
，
代入 2y kx 中，解得 0
3
2
y ，························································ 12 分
设过点T与双曲线 E右支相切的直线为 1l ， 1l 与
3
2
y 的交点为 1S ，
过点T与双曲线 E的渐近线 3y x 平行的直线为 2l ， 2l 与
3
2
y 的交点为 2S ，
S 点的轨迹为线段 1 2S S （不含端点），·····················································14 分
由
7 2
3
2
y x
y
解得 1
7 3( , )
2 2
S ， 由
3 2
3
2
y x
y
解得 2
7 3 3( , )
6 2
S ，
2 2SM SF t ， 2 2 20 0 01 2 2x x y t ，
整理得
2
2
0 0
3 2 1
2 4
tx y
，
1
2
t ，
即 S点的轨迹为以 3( ,0)
2
为圆心，
2 1
4
t
为半径的圆与线段 1 2S S 的交点，
7 3 7 3
2 2 6
， 2 29 2 1 7 3 3 3( )
4 4 6 2 2
t
≤ （ ），解得
535 7 3
3
t ≤ ，
t 的范围是 535, 7 3
3
．······························································ 17 分
湖北省黄冈中学 2025 届高三第二次模拟考试数学答案 第 11 页（共 13 页）
19．【答案】（1）证明见解析 （2） 2 5， （3） 2 4! e nnn
【解析】（1）设 ln 1( ) ( ) (e 1) , 0,x xh x f x g x x
x
，
易证得 e 1x x ≥ （当且仅当 0x 时取等号），
lnln 1 1 1(e 1) e ln 1 e ln 1x x x xxh x x x x x x
x x x
1 ln 1 ln 1 0x x x x
x
≥ ，当且仅当 ln 0x x 时取等号，
( )f x g x ≥ . （当且仅当 ln 0x x 时等号成立）··········································5 分
（2）设 ( ) 1 ( 2) ( 2)xh x f x a x e a x ，
对函数 e , ex xx x ，设 x 上一点为 00 , exx ，过点 00 , exx 的切线方程为 0 0 0e ex xy x x ，
将 2,0 代入上式得 0 0 0 0e e 2 1x x x x ，
过 2,0 的 x 的切线方程为 1 1 1
e e
y x ，整理得
1 2
e e
y x ，
要使 exy 与 ( 2)y a x 有两个交点，则
1
e
a .
由题意可知 1 22 1x x ，由
1 1
2 1
2 2
1 1 2
12 2
e 2 0 e 2 2, e
2e 2 0 e 2
x x
x x
x x
ax a ax a x
xax a ax a
，
令
2
1
2
2
xt
x
，则
1,t ， 1 1 2 2etx x t t ，
1 1 2 2 lntx x t t ，即 1 2
ln ln2 , 2
1 1
t t tx x
t t
， 1 2
( 1) ln 4
1
t tx x
t
，
令
2
12ln( 1) ln 4,
1 1
m
t tt t tm t
t t
t
，令
2
2 2
11 2 12ln , 1 0
t
t t n t
t t t
n t
t
，
n t 在 1, 上递增.
因为 1 0n ，所以 0n t 在 1, 上恒成立. 所以 0m t 在 1, 上恒成立.
m t 在 1, 上递增.
又 3ln5 42 3l 2 4, 5
2
nm m ，当
3ln 5( ) 3ln 2 4 4
2
m t
， 时， 2 5t ， ，
2
1
2
2
x
x
的取值范围是
2 5， . ···························································· 11 分
（3）易证得 ln 1 0x x ≥ （当且仅当 1x 时取等号），
取
1
1
x
t
（其中 Nt ），有
1 1ln 1 0
1 1t t
≥ ，有 1 1ln 1 12 1
t
t
≥ ，
又由 2 24 4 1 4 4t t t t ，有 22 1 4 1t t t ，有 2 1 2 1t t t ，
湖北省黄冈中学 2025 届高三第二次模拟考试数学答案 第 12 页（共 13 页）
有 2 1 2 1 1t t t ，有 12 1 2
1
t t
t
，有 1 2 1
1
t t
t
，
可得 1 1ln 1 1 1 2 12 1t t tt ≥ ，有
1 1
0 0
1 ln 1 2 1 2
2
n n
i i
i n i i n n
，
有 1 ln1 ln 2 ln 2
2
n n n ，有 ln ! 2 4n n n ，
当 2n≥ 且 *nN 时， 2 4! e nnn ．······················································ 17 分
湖北省黄冈中学 2025 届高三第二次模拟考试数学答案 第 13 页（共 13 页）
附件二
试题双向细目表
科目 数 学
题号 题型 分值 考点（知识点） 能力点
难易度
（难、中、易）
试题
来源
1 单选 5 复数的概念与运算 数学运算 易 原创
2 单选 5 集合的运算、集合的关系 数学运算 易 原创
3 单选 5 等差数列综合 数学运算 易 原创
4 单选 5
空间几何体的表面积与体
积
数学运算 易 改编
5 单选 5
平面向量的数量积、平
面向量基本定理
数学运算 易 改编
6 单选 5 条件概率、计数原理 数学建模 中 原创
7 单选 5 三角函数的图象与性质 数学运算 中 改编
8 单选 5 函数的单调性、零点
数学运算
数据处理
难 改编
9 多选 6 统计综合 数据处理 易 原创
10 多选 6
直线与抛物线的几何性质
综合
数学运算
数据处理
中 原创
11 多选 6 数列新定义问题
数学运算
逻辑推理
难 改编
12 填空 5 二项式定理 数学运算 易 原创
13 填空 5 三次函数的单调性与最值 数学运算 中 改编
14 填空 5
球的切接问题、直线与圆
的综合
数学运算
逻辑推理
难 改编
15 解答题 13 三角函数与解三角形 数学运算 易 改编
16 解答题 15 立体几何与空间向量
数学运算
直观想象
中 改编
17 解答题 15 分布列、统计概率综合
数学运算
逻辑推理
中 改编
18 解答题 17 直线与双曲线综合
数学运算
数据处理
难 改编
19 解答题 17 导数综合
数学运算
逻辑推理
难 改编
说明：试题来源应注明自创，改编，移用（改编和移用要注明出处）
资源预览图
