精品解析：北京市中国农业大学附属中学2026-2027学年高二上学期期中练习数学试题

北京市中国农业大学附属中学2026-2027学年高二上学期期中练习数学试题 2026.11 总分：100分 时间：90分钟 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列说法不正确的是（ ） A. 底面是正多边形的直棱柱是正棱柱 B. 斜棱柱的侧面可能是矩形 C. 棱柱的侧棱相互平行 D. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 【答案】D 【解析】 【分析】根据正棱柱、斜棱柱、棱柱、正棱锥的定义，逐一验证各选项是否正确. 【详解】选项A正确：即正棱柱的定义； 选项B正确：斜棱柱是侧棱不垂直于底面的棱柱，将直棱柱的上底面沿垂直于底面某条边的方向平移可以得到斜棱柱，这条边所在的侧面在平移前后均为矩形； 选项C正确：棱柱的结构特征之一； 选项D错误：顶点在底面上的投影为底面正多边形中心的棱锥才是正棱锥. 2. 在空间四边形中，等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量加减运算法则进行计算. 【详解】. 故选：C 3. 已知点、、不共线，对空间任意一点，若，则点、、、（ ） A. 不共面 B. 共面 C. 不一定共面 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】根据共面向量的基本定理可得出结论. 【详解】因为，则， 即，即，所以共面， 又因为它们有公共点，所以点、、、共面. 故选：B. 4. 已知直线的方向向量分别为和，则直线的位置关系（ ） A. 垂直 B. 平行 C. 异面 D. 根据的取值而定 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 所以，因此两直线位置关系为垂直． 5. 如图，在平行六面体中，，为线段CH的中点，则可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合空间向量的线性运算分析求解即可. 【详解】由题可得：， 所以. 故选：B. 6. 平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为 A. π B. π C. 4π D. π 【答案】B 【解析】 【详解】球半径，所以球的体积为，选B. 7. 设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到； ，，则没有公共点，∴，即能得到； ∴“”是“”的必要不充分条件． 8. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（ ）. A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平面平面，可知平面，利用等体积法求点到面的距离. 【详解】如图，底面为正方形， 当相邻的棱长相等时，不妨设， 分别取的中点，连接， 则，且，平面， 可知平面，且平面， 所以平面平面， 过作的垂线，垂足为，即， 由平面平面，平面， 所以平面， 由题意可得：，则，即， 则，可得， 所以四棱锥的高为. 故选：D. 9. 我国古代数学名著《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑中，平面，，且，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据线面垂直的条件建立空间直角坐标系，设棱长为具体数值简化计算，写出相关点的坐标并求出两条直线的方向向量，再利用空间向量的夹角公式取绝对值，计算得到异面直线所成角的余弦值． 【详解】 因为平面，平面，所以，， 又，如图，以为原点，分别以所在直线为轴， 过点且平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 不妨设， 则，，，，，， 所以，， 设异面直线与所成角为，则， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 10. 如图，在棱长为1的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点（不包含端点），给出下列四个命题： ①对任意点Q，都有； ②存在点Q，使得平面； ③当点Q在平面内时，四棱锥的体积是； ④过点Q且与垂直的平面截正方体所得截面面积的最大值为． 其中正确命题是（） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可证平面，进而可判断①；作出截面，其中分别为的中点，若平面，则与重合，可判断②；求得四棱锥的体积可判断③；求得过点且与垂直的平面截正方体所得截面面积的最大值判断④. 【详解】由正方体，得平面， 又平面，所以， 由正方形，可得， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以，故①正确; 平面在正方体内的截面为，其中分别为的中点，又平面平面，若平面， 则，则与重合，不符合题意，故②错误; 由题意知点在平面内时，与重合，连接交于， 由正方体性质可得：平面，且， 又，可求得：， 所以，故③正确; 对于④，如下图，在平面内，可以作，垂足为点， 过点在平面内作交于, 因为平面平面,平面平面, 且平面,所以平面, 又平面,所以, 因为平面,所以平面, 平面截正方体 截面为平行四边形, 因为平面,平面， 所以，故平行四边形为矩形. 因为从变化至中点时，截面面积逐渐变大， 当与点重合时, 为中点,截面面积最大, 此时为，最长，故此时截面面积最大， 而,, 截面面积为, 此时,, 截面面积为,故④正确. 而当从至中点变化到时，截面的面积不变，始终为， 故④正确. 二、填空题（共5小题，每题4分，共20分） 11. 已知向量，，则等于____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量的减法运算坐标表示和模长公式计算即可. 【详解】，. 12. 已知是平面的一个法向量，点在内，则点到平面的距离为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用空间向量求点到平面的距离. 【详解】因为， 所以点到平面的距离为：. 故答案为： 13. 已知，．若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出且与不共线，根据数量积公式列出不等式并排除向量反向时的值，即可得出答案. 【详解】由题意可知，，且与不共线．由，解得．若与共线， 则，即，则，与方向相反需要舍去， 因此实数的取值范围为． 故答案为： 14. 已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l⊥m；②m∥；③l⊥． 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________． 【答案】如果l⊥α，m∥α，则l⊥m或如果l⊥α，l⊥m，则m∥α. 【解析】 【分析】将所给论断，分别作为条件、结论加以分析. 【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题： （1）如果l⊥α，m∥α，则l⊥m. 正确； （2）如果l⊥α，l⊥m，则m∥α.正确； （3）如果l⊥m，m∥α，则l⊥α.不正确，有可能l与α斜交、l∥α. 【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力. 15. 如图，已知正方体的棱长为4，，，分别是棱，，的中点，设是该正方体表面上的一点，若，则点的轨迹围成图形的面积是______；的最大值为______． 【答案】 ①. ②. 12 【解析】 【分析】如图，分别取，，的中点，，，连接，可证明六边形为正六边形，从而可求其面积，利用向量数量积的几何意义可求的最大值. 【详解】∵，∴点在平面上， 如图，分别取，，的中点，，， 连接， 因为为中点，故， 又由正方体可得，， 故，故四边形为平行四边形，故， 故，故四点共面，同理可证四点共面， 故五点共面，同理可证四点共面， 故六点共面，由正方体的对称性可得六边形为正六边形. 故点的轨迹是正六边形， 因为正方体的棱长为4，所以正六边形的边长为， 所以点的轨迹围成图形的面积是． 如图， ， ∴的最大值为12． 故答案为：，12． 三、解答题（共4小题，16题10分，17题15分，18题10分，19题15分，共50分） 16. 已知，，，，． （1）求； （2）若，求实数，的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的坐标运算，利用数量积的计算公式，可得答案； （2）根据平行向量的坐标表示，建立方程组，可得答案. 【小问1详解】 ，， ，， ； 【小问2详解】 因为，所以设， 即，故，解得. 17. 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是的中点． （1）求证: 平面平面； （2）求证: 平面； （3）求三棱锥体积． 【答案】 （1）在三棱柱中，底面ABC，所以AB， 又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面 ，因为AB平面，所以平面平面. （2）取AB中点G，连结EG，FG， 因为E，F分别是、的中点，所以FG∥AC，且FG=AC， 因为AC∥，且AC=，所以FG∥，且FG=， 所以四边形为平行四边形，所以EG， 又因为EG平面ABE，平面ABE， 所以平面. （3）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）由直线与平面垂直证明直线与平行的垂直；（2）证明直线与平面平行；（3）求三棱锥的体积就用体积公式. （1）略 （2）略 （3）因为=AC=2，BC=1，AB⊥BC，所以AB=， 所以三棱锥的体积为：==. 考点：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行的证明；考查几何体的体积的求解等基础知识，考查同学们的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、逻辑推理能力，考查数形结合思想、化归与转化思想． 18. 如图，正方形的边长为2，B，C分别为，的中点，在五棱锥中，F为棱的中点，平面与棱，分别交于G，H． （1）求证：； （2）若底面，且，求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）∵ 四边形 为正方形， 是 的中点，， 又 平面 ， 平面 , 平面 ，且平面 平面 ， . （2） . 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定、性质推理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量法列式求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 底面 ， ， ， 如图，建立空间直角坐标系 ，则 ，，，，，， 设平面 的法向量为， 则 即 令 ，则 ，∴ ， 设直线 与平面 所成角为 ， ， ， ， ∴， 因此直线 与平面 所成角的大小为 . 19. 如图，已知等腰梯形中，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）二面角的余弦值为；（Ⅲ）存在点P，使得平面，且． 【解析】 【详解】试题分析：（ I ） 根据直线与平面垂直的判定定理，需证明垂直平面内的两条相交直线．由题意易得四边形是菱形，所以，从而，即，进而证得平面．（Ⅱ） 由（ I ）可知，、、两两互相垂直，故可以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求得二面角的余弦值．（Ⅲ）根据直线与平面平行的判定定理，只要能找到一点P使得PM平行平面内的一条直线即可．由于，故可取线段中点P，中点Q，连结．则，且．由此即可得四边形是平行四边形，从而问题得证． 试题解析：（ I ） 由题意可知四边形是平行四边形，所以，故． 又因为，M为AE的中点所以， 即 又因为， 所以四边形是平行四边形． 所以 故． 因为平面平面， 平面平面，平面 所以平面． 因为平面， 所以． 因为，、平面， 所以平面． （Ⅱ） 以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，，． 平面的法向量为． 设平面的法向量为， 因为，， ， 令得，． 所以， 因为二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为． （Ⅲ） 存在点P，使得平面． 法一: 取线段中点P，中点Q，连结． 则，且． 又因为四边形是平行四边形，所以． 因为为的中点，则． 所以四边形是平行四边形，则． 又因为平面，所以平面． 所以在线段上存在点，使得平面，． 法二：设在线段上存在点，使得平面， 设，（），，因为． 所以． 因为平面， 所以， 所以， 解得， 又因为平面， 所以在线段上存在点，使得平面，． 考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、二面角． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市中国农业大学附属中学2026-2027学年高二上学期期中练习数学试题 2026.11 总分：100分 时间：90分钟 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列说法不正确的是（ ） A. 底面是正多边形的直棱柱是正棱柱 B. 斜棱柱的侧面可能是矩形 C. 棱柱的侧棱相互平行 D. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 2. 在空间四边形中，等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知点、、不共线，对空间任意一点，若，则点、、、（ ） A. 不共面 B. 共面 C. 不一定共面 D. 无法判断 4. 已知直线的方向向量分别为和，则直线的位置关系（ ） A. 垂直 B. 平行 C. 异面 D. 根据的取值而定 5. 如图，在平行六面体中，，为线段CH的中点，则可表示为（ ） A. B. C. D. 6. 平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为 A. π B. π C. 4π D. π 7. 设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（ ）. A. 1 B. 2 C. D. 9. 我国古代数学名著《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑中，平面，，且，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在棱长为1的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点（不包含端点），给出下列四个命题： ①对任意点Q，都有； ②存在点Q，使得平面； ③当点Q在平面内时，四棱锥的体积是； ④过点Q且与垂直的平面截正方体所得截面面积的最大值为． 其中正确命题是（） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 二、填空题（共5小题，每题4分，共20分） 11. 已知向量，，则等于____________． 12. 已知是平面的一个法向量，点在内，则点到平面的距离为______. 13. 已知，．若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_____． 14. 已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l⊥m；②m∥；③l⊥． 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________． 15. 如图，已知正方体的棱长为4，，，分别是棱，，的中点，设是该正方体表面上的一点，若，则点的轨迹围成图形的面积是______；的最大值为______． 三、解答题（共4小题，16题10分，17题15分，18题10分，19题15分，共50分） 16. 已知，，，，． （1）求； （2）若，求实数，的值． 17. 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是的中点． （1）求证: 平面平面； （2）求证: 平面； （3）求三棱锥体积． 18. 如图，正方形的边长为2，B，C分别为，的中点，在五棱锥中，F为棱的中点，平面与棱，分别交于G，H． （1）求证：； （2）若底面，且，求直线与平面所成角的大小． 19. 如图，已知等腰梯形中，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $