第七章 §7.5　空间直线、平面的垂直（新高考通用）-【2026年高考数学一轮备考·学霸专练】

第七章立体几何与空间向量 §7.5　空间直线、平面的垂直 【考情分析·探规律】 考点 3年考情（2021-2024） 命题趋势 空间中的垂直关系 2024·全国新Ⅱ卷、2023·全国新Ⅱ卷 2023·全国甲卷、2023·北京卷 2022·全国甲卷、2022·全国乙卷 2022·浙江卷、2021·全国新Ⅰ卷 2021·全国新Ⅱ卷、2021·全国甲卷 2021·全国乙卷、2021·浙江卷 理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系；掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单应用。 【知识梳理】 1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 2.直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°. (2)范围：. 3.二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. (2)二面角的平面角：如图，在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. (3)二面角的范围：[0，π]. 4.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 【随堂练习】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若直线l与平面α内的两条直线都垂直，则l⊥α.(　 　) (2)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(　 　) (3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.(　 　) (4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(　 　) 【答案】（×）（√）（×）（×） 2.(2024·惠州模拟)已知l，n是两条不同的直线，α，β是不重合的两个平面，则下列命题中正确的是(　　) A.若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n B.若α⊥β，l⊂α，则l⊥β C.若l∥α，α⊥β，则l⊥β D.若l⊥α，l∥β，则α⊥β 【答案】D 【解析】由l，n是两条不同的直线，α，β是不重合的两个平面知， 在A中，若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l与n平行或异面，故A错误； 在B中，若α⊥β，l⊂α，则l与β相交、平行或l⊂β，故B错误； 在C中，若l∥α，α⊥β，则l与β相交、平行或l⊂β，故C错误； 在D中，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，故D正确. 3.(多选)如图，PA是圆柱的母线，AB是圆柱的底面直径，C是圆柱底面圆周上的任意一点(不与A，B重合)，则下列说法正确的是(　　) A.PA⊥平面ABC B.BC⊥平面PAC C.AC⊥平面PBC D.三棱锥P-ABC的四个面都是直角三角形 【答案】ABD 【解析】因为PA是圆柱的母线，AB是圆柱的底面直径，C是圆柱底面圆周上的任意一点(不与A，B重合)，则PA⊥平面ABC，故A正确； 而BC⊂平面ABC，则PA⊥BC， 又AC⊥BC，PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，则有BC⊥平面PAC，故B正确； 由A知，△PAB，△PAC都是直角三角形， 由B知，△ABC，△PBC都是直角三角形，故D正确； 假定AC⊥平面PBC，PC⊂平面PBC， 则AC⊥PC，即∠PCA=90°， 而在△PAC中∠PAC=90°，矛盾， 所以AC⊥平面PBC不正确，故C错误. 4.过平面α外一点P的斜线段是过这点的垂线段的倍，则该斜线与平面α所成的角是　　　　.  【答案】 【解析】如图，连接AB， 由PB⊥α， 知∠PAB是斜线PA与平面α所成的角， 在Rt△PAB中， 因为PA=PB， 所以sin∠PAB==， 又∠PAB∈，所以∠PAB=， 即斜线PA与平面α所成的角为. 【名师点拨】 1.灵活应用两个重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法). 2.掌握三种垂直关系的转化 线线垂直线面垂直面面垂直 【必练核心题型】 题型一　直线与平面垂直的判定与性质 【典例】1.如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，点E为垂足. (1)求证：PA⊥平面ABC； (2)当点E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形. 【证明】 (1)如图，在平面ABC内取一点D，过点D作DF⊥AC于点F. 因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，DF⊂平面ABC，所以DF⊥平面PAC. 因为PA⊂平面PAC，所以DF⊥PA. 过点D作DG⊥AB于点G， 同理可证DG⊥PA. 因为DG，DF⊂平面ABC，且DG∩DF=D， 所以PA⊥平面ABC. (2)如图，连接BE并延长交PC于点H. 因为点E是△PBC的垂心，所以PC⊥BH. 又AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC， 所以PC⊥AE. 因为AE∩BH=E，AE，BH⊂平面ABE， 所以PC⊥平面ABE. 又AB⊂平面ABE，所以PC⊥AB. 由(1)知PA⊥平面ABC， 又AB⊂平面ABC，所以PA⊥AB. 因为PA∩PC=P，PA，PC⊂平面PAC， 所以AB⊥平面PAC. 又AC⊂平面PAC，所以AB⊥AC， 即△ABC是直角三角形. 【解题技巧】证明线面垂直的常用方法及关键 (1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质. (2)证明线面垂直的关键是证明线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质. 【变式训练】 变式1.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点， 证明： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 【证明】　 (1)在四棱锥P-ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD， ∴PA⊥CD， ∵AC⊥CD，PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC， ∴CD⊥平面PAC，而AE⊂平面PAC， ∴CD⊥AE. (2)由PA=AB=BC，∠ABC=60°， 可得AC=PA. ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC. 由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD=C，PC，CD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD，而PD⊂平面PCD， ∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD， ∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD且PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD， 而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD. 又∵AB∩AE=A，AB，AE⊂平面ABE， ∴PD⊥平面ABE. 题型二　平面与平面垂直的判定与性质 【典例】1.如图1，山形图是两个全等的直角梯形ABCD和ABEF的组合图，将直角梯形ABEF沿底边AB翻折，得到如图2所示的几何体.已知AB∥CD∥EF，AB=2CD=2EF，AB⊥BE，点N在线段CE上，且EN=2NC.在几何体BCE-ADF中，解决下面问题. (1)证明：AE∥平面BND； (2)若平面BDE⊥平面ABCD，证明：BE⊥AD. 【证明】　 (1)如图，连接AC与BD相交于O，连接ON， 由于AB=2CD，且AB∥CD， 所以OC∶OA=CD∶AB=1∶2， 又EN=2NC，所以ON∥AE， 又AE⊄平面BND，ON⊂平面BND， 所以AE∥平面BND. (2)过C作CM⊥BD于M， 由于平面BDE⊥平面ABCD，且平面BDE∩平面ABCD=BD，CM⊂平面ABCD， 所以CM⊥平面BED，又BE⊂平面BED，故CM⊥BE， 又AB⊥BE，AB，CM是平面ABCD内的两相交直线，所以BE⊥平面ABCD， 又AD⊂平面ABCD，故BE⊥AD. 【解题技巧】 (1)判定面面垂直的方法 ①面面垂直的定义.②面面垂直的判定定理. (2)面面垂直性质的应用 ①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”.②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面. (3)[三垂线定理]如果平面内的一条直线和穿过这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直. (4)[三垂线定理的逆定理]如果平面内的一条直线和穿过这个平面的一条斜线垂直，那么这条直线就和斜线在平面内的射影垂直. 【变式训练】 变式1.(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB=90°. (1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C； (2)设AB=A1B，AA1=2，求四棱锥A1-BB1C1C的高. (1)【证明】　因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以A1C⊥BC， 又因为∠ACB=90°，即AC⊥BC， 因为A1C，AC⊂平面ACC1A1，A1C∩AC=C， 所以BC⊥平面ACC1A1， 又因为BC⊂平面BB1C1C， 所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C. (2)【解析】如图，过点A1作A1O⊥CC1于点O. 因为平面ACC1A1⊥平面BB1C1C，平面ACC1A1∩平面BB1C1C=CC1，A1O⊂平面ACC1A1， 所以A1O⊥平面BB1C1C， 所以四棱锥A1-BB1C1C的高为A1O. 因为A1C⊥平面ABC，AC，BC⊂平面ABC， 所以A1C⊥BC，A1C⊥AC， 在Rt△ABC与Rt△A1BC中， 因为A1B=AB，BC=BC， 所以Rt△ABC≌Rt△A1BC， 所以A1C=AC. 设A1C=AC=x，则A1C1=x， 所以O为CC1的中点，OC1=AA1=1， 又因为A1C⊥AC，所以A1C2+AC2=A， 即x2+x2=22，解得x=， 所以A1O===1， 所以四棱锥A1-BB1C1C的高为1. 题型三　垂直关系的综合应用 命题点1　线面角与二面角 【典例】1.(多选)把边长为的正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时(　　) A.AB⊥CD B.直线BD与平面ABC所成角的大小为 C.二面角A-BD-C的余弦值为- D.四面体ABCD的内切球的半径为2- 【答案】BCD 【解析】如图所示，当平面BAC⊥平面DAC时，三棱锥体积最大，记E为AC的中点，连接BE，DE，此时DE⊥平面BAC，因为AB⊂平面BAC，所以AB⊥DE，因为CD∩DE=D，所以AB与CD不垂直，A错误； 对于B，直线BD和平面ABC所成的角即为∠EBD，因为tan∠EBD==1，故∠EBD=，B正确； 对于C，由于BC=CD=BA=AD，取BD的中点G，连接AG，CG，则有CG⊥BD，AG⊥BD，故∠CGA为二面角A-BD-C的平面角.则 cos∠CGA===-，C正确； 对于D，设内切球球心为I，内切球半径为r，由等体积法知， V四面体ABCD=V三棱锥I-ABC+V三棱锥I-BCD+V三棱锥I-ACD+V三棱锥I-ABD=rS四面体ABCD， 其中，V四面体ABCD=BE·S△ACD=， S四面体ABCD=2×=+2， 故r===2-，D正确. 【拓展训练】 三余弦定理cos θ＝cos θ1·cos θ2的应用 已知AO是平面α的斜线，如图，A是斜足，OB⊥α，B是垂足，则直线AB是斜线AO在平面α内的射影，设AC是α内的任一过点A的直线，且BC⊥AC，C为垂足，又设AO与直线AB所成的角为θ1，AB与AC所成的角是θ2，AO与AC所成的角为θ，则cos θ＝cos θ1·cos θ2. 【典例】　已知PA是平面α的斜线，∠BAC在平面α内，且∠BAC＝90°，又∠PAB＝∠PAC＝60°，则PA与平面α所成的角为　　　　.  【答案】45° 【解析】如图，作P在α内的正射影O，则O在∠BAC的平分线上，∠PAO为PA与平面α所成的角， 所以cos∠PAC＝cos∠PAO·cos∠OAC， 所以cos 60°＝cos∠PAO·cos 45°， 所以cos∠PAO＝，故∠PAO＝45°， 所以PA与平面α所成的角为45°. 命题点2　垂直关系中的存在性问题 【典例】1.如图①，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD，DE⊥AB.沿DE将△AED折起到△A1ED的位置.连接A1B，A1C，M，N分别为A1C，BE的中点，连接MN，如图②. (1)求证：DE⊥A1B； (2)求证：MN∥平面A1ED； (3)在棱A1B上是否存在一点G，使得EG⊥平面A1BC？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. (1)【证明】　∵在直角梯形ABCD中，DE⊥AB，沿DE将△AED折起到△A1ED的位置， ∴DE⊥A1E，DE⊥BE. ∵A1E∩BE=E，A1E，BE⊂平面A1BE， ∴DE⊥平面A1BE， 又A1B⊂平面A1BE，∴DE⊥A1B. (2)证明　取CD的中点H，连接NH，MH，如图. ∵M，N分别为A1C，BE的中点， ∴MH∥A1D，NH∥DE. ∵MH⊄平面A1ED，A1D⊂平面A1ED， ∴MH∥平面A1ED， ∵NH⊄平面A1ED，DE⊂平面A1ED， ∴NH∥平面A1ED， 又NH∩MH=H，NH，MH⊂平面MNH， ∴平面A1ED∥平面MNH， 又MN⊂平面MNH， ∴MN∥平面A1ED. (3)【解析】取A1B的中点G，连接EG，如图. 在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，DE⊥AB， ∴BC∥DE， ∵AB=2CD， ∴AE=BE，即A1E=BE， ∴EG⊥A1B， 由(1)知DE⊥平面A1BE， 又∵DE∥BC，∴BC⊥平面A1BE， 又EG⊂平面A1BE，∴EG⊥BC， 又A1B∩BC=B，A1B，BC⊂平面A1BC， ∴EG⊥平面A1BC. 故棱A1B上存在中点G，使得EG⊥平面A1BC，且此时=1. 【解题技巧】 (1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化. (2)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证. 【变式训练】 变式1.如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AB=AD，∠BAD=90°，E，F分别是BC，AC的中点. (1)求证：AC⊥BD； (2)若平面CBD⊥平面ABD，且CB=BD，求直线BF与平面ABD所成角的正切值. (1)【证明】　取BD的中点O，连接AO，CO，如图， 在△BCD中，∵CB=CD， ∴CO⊥BD， 同理AO⊥BD， 而AO∩CO=O，AO，CO⊂平面AOC， ∴BD⊥平面AOC， 又AC⊂平面AOC，∴AC⊥BD. (2)【解析】由(1)知CO⊥BD， ∵平面CBD⊥平面ABD，平面CBD∩平面ABD=BD，CO⊂平面CBD， ∴CO⊥平面ABD， 取AO的中点N，连接FN，BN，如图， 易知CO∥FN，故FN⊥平面ABD， 故∠FBN是直线BF与平面ABD所成的角， ∵CB=CD=BD， ∴△BCD是等边三角形， 设BC=2a，则BO=a，CO=a， 在Rt△ABD中，AB=AD， ∴AO=BD=a，NO=AO=a， ∴FN=CO=a， BN==a， 故tan∠FBN===， ∴直线BF与平面ABD所成角的正切值为. 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.(2025·邯郸模拟)已知α，β是不重合的两个平面，m，n是两条直线，且α⊥β，m⊂α，n⊂β，则“m⊥n”是“m⊥β”的(　　) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】用平面ADFE代表平面α，平面ABCD代表平面β， 当m⊥n如图所示时，显然m与平面β不垂直， 反之，当m⊥β时，又n⊂β，根据线面垂直的性质有m⊥n， 所以“m⊥n”是“m⊥β”的必要不充分条件. 2.已知m，l是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列可以推出α⊥β的是(　　) A.m⊥l，m⊂β，l⊥α B.m⊥l，α∩β=l，m⊂α C.m∥l，m⊥α，l⊥β D.l⊥α，m∥l，m∥β 【答案】D 【解析】对于A，有可能出现α，β平行或相交但不垂直的情况，故A错误； 对于B，会出现平面α，β相交但不垂直的情况，故B错误； 对于C，m∥l，m⊥α，l⊥β，则α∥β，故C错误； 对于D，l⊥α，m∥l⇒m⊥α，又由m∥β⇒α⊥β，故D正确. 3.若某圆锥的侧面积为底面积的倍，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为(　　) A.2 B.3 C. D. 【答案】A 【解析】设该圆锥的底面圆半径和母线长分别为r，l，母线与底面所成的角为θ，由题意可得πrl=πr2⇒l=r， 由勾股定理可得圆锥的高h==2r， 所以圆锥的母线与底面所成角的正切值tan θ==2. 4.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在平面ABC上的射影H必在(　　) A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线AC上 D.△ABC内部 【答案】A 【解析】由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1=B，AB，BC1⊂平面ABC1，得AC⊥平面ABC1. 因为AC⊂平面ABC， 所以平面ABC1⊥平面ABC. 所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上. 5.在正四棱锥P-ABCD中，AB=2，二面角P-CD-A的大小为，则该四棱锥的体积为(　　) A.4 B.2 C. D. 【答案】C 【解析】连接AC，BD相交于点H，则H为正方形ABCD的中心， 故PH⊥底面ABCD， 取CD的中点Q，连接HQ，PQ， 则HQ⊥CD，PQ⊥CD，HQ=AD=1， 故∠PQH为二面角P-CD-A的平面角， 所以∠PQH=， 故PH=HQ=1， 所以该四棱锥的体积为×AB2·PH=. 6.如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是(　　) A.AC⊥SB B.AD⊥SC C.平面SAC⊥平面SBD D.BD⊥SA 【答案】D 【解析】由题意知SD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， 故SD⊥AC， 又四棱锥S-ABCD的底面为正方形， 即AC⊥BD， 而SD∩BD=D，SD，BD⊂平面SBD， 故AC⊥平面SBD，SB⊂平面SBD，故AC⊥SB，A正确； SD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，故SD⊥AD， 又四棱锥S-ABCD的底面为正方形， 即AD⊥CD， 而SD∩CD=D，SD，CD⊂平面SCD， 故AD⊥平面SCD，SC⊂平面SCD， 故AD⊥SC，B正确； 由于AC⊥平面SBD，AC⊂平面SAC， 故平面SAC⊥平面SBD，C正确； SD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， 故SD⊥BD， 若BD⊥SA， 而SD∩SA=S，SD，SA⊂平面SAD， 故BD⊥平面SAD，又AD⊂平面SAD， 故BD⊥AD，即∠BDA=90°， 这与正方形ABCD中∠BDA=45°矛盾，D错误. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.(2025·广州模拟)已知α，β，γ是三个不重合的平面，且α∩γ=l，β∩γ=m，则下列命题不正确的是(　　) A.若α⊥γ，β⊥γ，则l∥m B.若l∥m，则α∥β C.若α⊥β，γ⊥β，则l⊥m D.若l⊥m，则α⊥β 【答案】ABD 【解析】若α⊥γ，β⊥γ，则l∥m或l与m相交，故A错误； 若l∥m，则α∥β或α与β相交，故B错误； 若α⊥β，γ⊥β，则l⊥m，故C正确； 若l⊥m，则α与β相交，不一定是垂直，故D错误. 8.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论正确的是(　　) A.异面直线AB1与CD所成角的大小为45° B.异面直线A1B1与AC1所成角的大小为45° C.直线AC1与平面ABB1A1所成角的正弦值为 D.二面角C1-AD-B的大小为45° 【答案】ACD 【解析】如图所示， 对于A，因为CD∥AB，则AB1与CD所成的角为∠BAB1=45°，A正确； 对于B，因为AB∥A1B1， 所以AC1与A1B1所成的角为∠BAC1或其补角， 因为AB=2，BC1=BC=2，AC1=AB=2，所以AB2+B=A， 则AB⊥BC1，所以tan∠BAC1==，故∠BAC1≠45°，B错误； 对于C，因为B1C1⊥平面ABB1A1，故直线AC1与平面ABB1A1所成的角为∠B1AC1， 因为AB1⊂平面ABB1A1，则B1C1⊥AB1， 所以sin∠B1AC1==， 因此，直线AC1与平面ABB1A1所成角的正弦值为，C正确； 对于D，因为AD⊥平面CC1D1D，CD，C1D⊂平面CC1D1D，则AD⊥CD，AD⊥C1D， 所以二面角C1-AD-B的平面角为∠CDC1=45°，D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知△ABC，若直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，且l，m为两条不同的直线，则l，m的位置关系是　　　　　　.  【答案】平行 【解析】依题意知l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC=A，AB，AC⊂平面ABC，故l⊥平面ABC， 又m⊥BC，m⊥AC，BC∩AC=C，BC，AC⊂平面ABC，故m⊥平面ABC，∴l∥m. 10.如图所示，在空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，M是BD的中点，MA=1且MC=2，若二面角A-BD-C的大小为120°，则点A到点C的距离为　　　　　　.  【答案】 【解析】如图所示，连接AC， 因为AB=AD，CB=CD且M为BD的中点，所以MA⊥BD，MC⊥BD， 所以∠AMC为二面角A-BD-C的平面角，可得∠AMC=120°， 在△AMC中，因为MA=1，MC=2且∠AMC=120°， 可得AC2=MA2+MC2-2MA·MCcos 120°=1+4-2×1×2×=7， 所以AC=. 四、解答题(共27分) 11.(13分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°.将△ABD沿对角线BD折起，记折起后点A的位置为点P，且使平面PBD⊥平面BCD. 求证：(1)CD⊥平面PBD；(6分) (2)平面PBC⊥平面PCD.(7分) 【证明】　 (1)因为AD=AB，∠BAD=90°， 所以∠ABD=∠ADB=45°. 又因为AD∥BC，所以∠DBC=45°. 又∠BCD=45°，所以∠BDC=90°，即BD⊥CD. 因为平面PBD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD=BD，CD⊂平面BCD， 所以CD⊥平面PBD. (2)由CD⊥平面PBD，BP⊂平面PBD， 得CD⊥BP. 又BP⊥PD，PD∩CD=D，PD，CD⊂平面PCD，所以BP⊥平面PCD. 又BP⊂平面PBC， 所以平面PBC⊥平面PCD. 12.(14分)如图，已知三棱柱ABC-A'B'C'的侧棱垂直于底面，AB=AC，∠BAC=90°，点M，N分别为A'B和B'C'的中点. (1)证明：MN∥平面AA'C'C；(7分) (2)设AB=λAA'，当λ为何值时，CN⊥平面A'MN？试证明你的结论.(7分) (1)【证明】　取AB的中点D，BC的中点E，连接MD，DE，NE， 则有MD∥AA'，DE∥AC，NE∥CC'∥AA'，所以NE∥MD， 则NE与MD共面， 又DE⊄平面AA'C'C，AC⊂平面AA'C'C， 所以DE∥平面AA'C'C， 又MD⊄平面AA'C'C，AA'⊂平面AA'C'C， 所以MD∥平面AA'C'C， 又MD∩DE=D，MD，DE⊂平面DMNE， 所以平面DMNE∥平面AA'C'C， 又MN⊂平面DMNE， 所以MN∥平面AA'C'C. (2)【解析】连接BN，不妨设AA'=1， 则AB=AC=λAA'=λ， 所以BC==λ， 因为三棱柱ABC-A'B'C'的侧棱垂直于底面， 所以平面A'B'C'⊥平面BB'C'C， 因为AB=AC，所以A'B'=A'C'， 又点N是B'C'的中点，所以A'N⊥B'C'， 又平面A'B'C'∩平面BB'C'C=B'C'，A'N⊂平面A'B'C'， 所以A'N⊥平面BB'C'C， 又CN⊂平面BB'C'C，所以CN⊥A'N， 要使CN⊥平面A'MN，只需CN⊥BN即可， 又因为CN=BN=， 所以CN2+BN2=BC2， 即2=， 所以λ=(负值舍去)， 即当λ=时，CN⊥平面A'MN. 【尖子生加餐特训】13题5分，14题6分，共11分 13.(2024·新课标全国Ⅱ)已知正三棱台ABC-A1B1C1的体积为，AB=6，A1B1=2，则A1A与平面ABC所成角的正切值为(　　) A. B.1 C.2 D.3 【答案】B 【解析】方法一　分别取BC，B1C1的中点D，D1， 则AD=3，A1D1=， 可知S△ABC=×6×3=9， =×2×=， 设正三棱台ABC-A1B1C1的高为h， 则=×h=，解得h=， 如图，分别过A1，D1作底面的垂线，垂足为M，N， 设AM=x， 则AA1==， DN=AD-AM-MN=2-x， 可得DD1= =， 结合等腰梯形BCC1B1可得 B=+D， 即x2+=(2-x)2++4， 解得x=， 所以A1A与平面ABC所成角的正切值为 tan∠A1AD==1. 方法二　将正三棱台ABC-A1B1C1补成正三棱锥P-ABC， 则A1A与平面ABC所成的角即为PA与平面ABC所成的角， 因为==， 则=， 可知=V三棱锥P-ABC=， 则V三棱锥P-ABC=18， 设正三棱锥P-ABC的高为d， 则V三棱锥P-ABC=d××6×6×=18， 解得d=2， 取△ABC的中心为O， 则PO⊥底面ABC， 且AO=2， 所以PA与平面ABC所成角的正切值 tan∠PAO==1. 14.(多选)(2025·河池模拟)如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1，AC1⊥平面A1B1C1，AB⊥BC，AD⊥BC1，D，E分别是BC1，AC1的中点，则下列说法正确的是(　　) A.DE∥平面ABB1A1 B.AD⊥平面BCC1 C.直线AD与直线DE的夹角为 D.若∠BAC=，则二面角B-A1B1-C1的平面角的大小为 【答案】ABD 【解析】因为D，E分别是BC1，AC1的中点，所以DE∥AB， 又DE⊄平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，所以DE∥平面ABB1A1，故A正确； 因为AC1⊥平面A1B1C1，所以AC1⊥平面ABC， 又BC⊂平面ABC，所以AC1⊥BC， 因为AB⊥BC，AB∩AC1=A，AB，AC1⊂平面ABC1，所以BC⊥平面ABC1， 又AD⊂平面ABC1，所以BC⊥AD， 因为AD⊥BC1，BC∩BC1=B，BC，BC1⊂平面BCC1，则AD⊥平面BCC1，故B正确； 由于D为BC1的中点，且AD⊥BC1，AC1⊥AB，因此△ABC1是等腰直角三角形. E是AC1的中点，则∠ADE=，故直线AD与直线DE的夹角为，故C错误； 连接AB1，如图所示， 由于AC1⊥A1B1，B1C1⊥A1B1，AC1∩B1C1=C1，AC1，B1C1⊂平面AB1C1， 所以A1B1⊥平面AB1C1， 又AB1⊂平面AB1C1，则A1B1⊥AB1，因此二面角B-A1B1-C1的平面角为∠AB1C1， 由于∠BAC=，因此AB=BC，由C项分析知AB=AC1，则AC1=B1C1，因此∠AB1C1=，故D正确. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章立体几何与空间向量 §7.5　空间直线、平面的垂直 【考情分析·探规律】 考点 3年考情（2021-2024） 命题趋势 空间中的垂直关系 2024·全国新Ⅱ卷、2023·全国新Ⅱ卷 2023·全国甲卷、2023·北京卷 2022·全国甲卷、2022·全国乙卷 2022·浙江卷、2021·全国新Ⅰ卷 2021·全国新Ⅱ卷、2021·全国甲卷 2021·全国乙卷、2021·浙江卷 理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系；掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单应用。 【知识梳理】 1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 2.直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°. (2)范围：. 3.二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. (2)二面角的平面角：如图，在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. (3)二面角的范围：[0，π]. 4.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 【随堂练习】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若直线l与平面α内的两条直线都垂直，则l⊥α.(　 　) (2)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(　 　) (3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.(　 　) (4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(　 　) 2.(2024·惠州模拟)已知l，n是两条不同的直线，α，β是不重合的两个平面，则下列命题中正确的是(　　) A.若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n B.若α⊥β，l⊂α，则l⊥β C.若l∥α，α⊥β，则l⊥β D.若l⊥α，l∥β，则α⊥β 3.(多选)如图，PA是圆柱的母线，AB是圆柱的底面直径，C是圆柱底面圆周上的任意一点(不与A，B重合)，则下列说法正确的是(　　) A.PA⊥平面ABC B.BC⊥平面PAC C.AC⊥平面PBC D.三棱锥P-ABC的四个面都是直角三角形 4.过平面α外一点P的斜线段是过这点的垂线段的倍，则该斜线与平面α所成的角是　　　　.  【名师点拨】 1.灵活应用两个重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法). 2.掌握三种垂直关系的转化 线线垂直线面垂直面面垂直 【必练核心题型】 题型一　直线与平面垂直的判定与性质 【典例】1.如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，点E为垂足. (1)求证：PA⊥平面ABC； (2)当点E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形. 【变式训练】 变式1.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点， 证明： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 题型二　平面与平面垂直的判定与性质 【典例】1.如图1，山形图是两个全等的直角梯形ABCD和ABEF的组合图，将直角梯形ABEF沿底边AB翻折，得到如图2所示的几何体.已知AB∥CD∥EF，AB=2CD=2EF，AB⊥BE，点N在线段CE上，且EN=2NC.在几何体BCE-ADF中，解决下面问题. (1)证明：AE∥平面BND； (2)若平面BDE⊥平面ABCD，证明：BE⊥AD. 【变式训练】 变式1.(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB=90°. (1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C； (2)设AB=A1B，AA1=2，求四棱锥A1-BB1C1C的高. 题型三　垂直关系的综合应用 命题点1　线面角与二面角 【典例】1.(多选)把边长为的正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时(　　) A.AB⊥CD B.直线BD与平面ABC所成角的大小为 C.二面角A-BD-C的余弦值为- D.四面体ABCD的内切球的半径为2- 【拓展训练】 三余弦定理cos θ＝cos θ1·cos θ2的应用 已知AO是平面α的斜线，如图，A是斜足，OB⊥α，B是垂足，则直线AB是斜线AO在平面α内的射影，设AC是α内的任一过点A的直线，且BC⊥AC，C为垂足，又设AO与直线AB所成的角为θ1，AB与AC所成的角是θ2，AO与AC所成的角为θ，则cos θ＝cos θ1·cos θ2. 【典例】　已知PA是平面α的斜线，∠BAC在平面α内，且∠BAC＝90°，又∠PAB＝∠PAC＝60°，则PA与平面α所成的角为　　　　.  命题点2　垂直关系中的存在性问题 【典例】1.如图①，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD，DE⊥AB.沿DE将△AED折起到△A1ED的位置.连接A1B，A1C，M，N分别为A1C，BE的中点，连接MN，如图②. (1)求证：DE⊥A1B； (2)求证：MN∥平面A1ED； (3)在棱A1B上是否存在一点G，使得EG⊥平面A1BC？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式训练】 变式1.如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AB=AD，∠BAD=90°，E，F分别是BC，AC的中点. (1)求证：AC⊥BD； (2)若平面CBD⊥平面ABD，且CB=BD，求直线BF与平面ABD所成角的正切值. 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.(2025·邯郸模拟)已知α，β是不重合的两个平面，m，n是两条直线，且α⊥β，m⊂α，n⊂β，则“m⊥n”是“m⊥β”的(　　) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知m，l是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列可以推出α⊥β的是(　　) A.m⊥l，m⊂β，l⊥α B.m⊥l，α∩β=l，m⊂α C.m∥l，m⊥α，l⊥β D.l⊥α，m∥l，m∥β 3.若某圆锥的侧面积为底面积的倍，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为(　　) A.2 B.3 C. D. 4.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在平面ABC上的射影H必在(　　) A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线AC上 D.△ABC内部 5.在正四棱锥P-ABCD中，AB=2，二面角P-CD-A的大小为，则该四棱锥的体积为(　　) A.4 B.2 C. D. 6.如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是(　　) A.AC⊥SB B.AD⊥SC C.平面SAC⊥平面SBD D.BD⊥SA 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.(2025·广州模拟)已知α，β，γ是三个不重合的平面，且α∩γ=l，β∩γ=m，则下列命题不正确的是(　　) A.若α⊥γ，β⊥γ，则l∥m B.若l∥m，则α∥β C.若α⊥β，γ⊥β，则l⊥m D.若l⊥m，则α⊥β 8.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论正确的是(　　) A.异面直线AB1与CD所成角的大小为45° B.异面直线A1B1与AC1所成角的大小为45° C.直线AC1与平面ABB1A1所成角的正弦值为 D.二面角C1-AD-B的大小为45° 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知△ABC，若直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，且l，m为两条不同的直线，则l，m的位置关系是　　　　　　.  10.如图所示，在空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，M是BD的中点，MA=1且MC=2，若二面角A-BD-C的大小为120°，则点A到点C的距离为　　　　　　.  四、解答题(共27分) 11.(13分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°.将△ABD沿对角线BD折起，记折起后点A的位置为点P，且使平面PBD⊥平面BCD. 求证：(1)CD⊥平面PBD；(6分) (2)平面PBC⊥平面PCD.(7分) 12.(14分)如图，已知三棱柱ABC-A'B'C'的侧棱垂直于底面，AB=AC，∠BAC=90°，点M，N分别为A'B和B'C'的中点. (1)证明：MN∥平面AA'C'C；(7分) (2)设AB=λAA'，当λ为何值时，CN⊥平面A'MN？试证明你的结论.(7分) 【尖子生加餐特训】13题5分，14题6分，共11分 13.(2024·新课标全国Ⅱ)已知正三棱台ABC-A1B1C1的体积为，AB=6，A1B1=2，则A1A与平面ABC所成角的正切值为(　　) A. B.1 C.2 D.3 14.(多选)(2025·河池模拟)如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1，AC1⊥平面A1B1C1，AB⊥BC，AD⊥BC1，D，E分别是BC1，AC1的中点，则下列说法正确的是(　　) A.DE∥平面ABB1A1 B.AD⊥平面BCC1 C.直线AD与直线DE的夹角为 D.若∠BAC=，则二面角B-A1B1-C1的平面角的大小为 学科网（北京）股份有限公司 $$