第七章 §7.4　空间直线、平面的平行（新高考通用）-【2026年高考数学一轮备考·学霸专练】

第七章立体几何与空间向量 §7.4　空间直线、平面的平行 【考情分析·探规律】 考点 3年考情（2021-2024） 命题趋势 空间中的平行关系 2024·全国新Ⅰ卷、2024·全国甲卷 2024·北京卷、2024·天津卷 2023·全国新Ⅰ卷、2023·全国甲卷 2023·全国乙卷、2023·天津卷 2022·全国新Ⅱ卷、2022·全国甲卷 2022·天津卷、2022·北京卷 2021·天津卷 理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明；掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用。 【知识梳理】 1.线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 ⇒a∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 ⇒a∥b 2.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 ⇒β∥α 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 ⇒a∥b 【随堂练习】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.(　 　) (2)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(　 　) (3)若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a∥b，则α∥β.(　 　) (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线也互相平行.(　 　) 2.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(　　) A.一条直线不相交 B.两条直线不相交 C.无数条直线不相交 D.任意一条直线都不相交 3.设有两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，则下列命题正确的是(　　) A.若m∥α，n∥α，则m∥n B.若m∥α，m∥β，则α∥β C.若m∥n，m∥α，则n∥α D.若α∥β，m⊂α，则m∥β 4.如图是长方体被一平面截后得到的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为　　　.  【名师点拨】 1.掌握三种平行关系的转化 2.灵活应用以下结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. (2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. (3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b. (4)若α∥β，a⊂α，则a∥β. 【必练核心题型】 题型一　直线与平面平行的判定与性质 命题点1　直线与平面平行的判定 【典例】1.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB=2，CD=4，E为PC的中点. 求证：BE∥平面PAD. 命题点2　直线与平面平行的性质 【典例】2.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H. 求证：PA∥GH. 【变式训练】如图，四边形ABCD为长方形，点E，F分别为AD，PC的中点.设平面PDC∩平面PBE=l. 证明： (1)DF∥平面PBE； (2)DF∥l. 题型二　平面与平面平行的判定与性质 【典例】1.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E，F分别是棱B1C1，AC，BC的中点.证明：AD∥平面C1EF. 【典例】如图所示，AA1，BB1为圆台的两条不同的母线，O1，O分别为圆台的上、下底面圆的圆心.求证：A1B1∥AB. 【变式训练】如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合). (1)求证：BC∥GH； (2)若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG. 题型三　平行关系的综合应用 【典例】1.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，D，D1分别为AC，A1C1上的点. (1)当为何值时，BC1∥平面AB1D1； (2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值. 【变式训练】如图，在四棱锥A-BCDE中，N是BC的中点，四边形BCDE为平行四边形.试探究在线段AE上是否存在点M，使得MN∥平面ACD？若存在，请确定M点的位置，并给予证明；若不存在，请说明理由. 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知两个不同的平面α，β和两条不同的直线m，n，下面四个命题中，正确的是(　　) A.若m∥n，n⊂α，则m∥α B.若m∥α，n∥α且m⊂β，n⊂β，则α∥β C.若m∥α，n⊂α，则m∥n D.若m⊥α，m⊥β，则α∥β 2.如图，已知P为四边形ABCD外一点，E，F分别为BD，PD上的点，若EF∥平面PBC，则(　　) A.EF∥PA B.EF∥PB C.EF∥PC D.以上均有可能 3.(2025·贵阳模拟)设l为直线，α为平面，则l∥α的一个充要条件是(　　) A.α内存在一条直线与l平行 B.l平行α内无数条直线 C.垂直于α的直线都垂直于l D.存在一个与α平行的平面经过l 4.已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α分别交线段PA，PB，PC于点A'，B'，C'，若PA'∶AA'=2∶3，则S△A'B'C'∶S△ABC等于(　　) A.2∶3 B.2∶5 C.4∶9 D.4∶25 5.如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，等于(　　) A. B. C. D. 6.(2025·广州模拟)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AM=2MA1，BN=2NB1，过MN作一平面分别交底面△ABC的边BC，AC于点E，F，则(　　) A.MF∥EB B.A1B1∥NE C.四边形MNEF为平行四边形 D.四边形MNEF为梯形 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.下列说法不正确的有(　　) A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 8.已知三棱台ABC-A'B'C'，上、下底面边长之比为1∶2，棱AB，BC，AC的中点分别为点M，P，N，则下列结论错误的有(　　) A.A'N∥PC' B.A'P与AC为异面直线 C.AB∥平面A'C'P D.平面A'MN∥平面BCC'B' 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.如图，α∥β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC=2，CA=3，CD=1，则AB=　　　　.  10.如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件　　　　　　　　　　，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)  四、解答题(共28分) 11.(13分)如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点. (1)证明：MN∥平面PAD；(7分) (2)若平面PAD∩平面PBC=l，判断BC与l的位置关系，并证明你的结论.(6分) 12.(15分)如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，E为棱AA1的中点，AB=2，AA1=3. (1)求三棱锥A-BDE的体积；(6分) (2)在DD1上是否存在一点P，使得平面PA1C∥平面EBD.如果存在，请说明P点位置并证明；如果不存在，请说明理由.(9分) 【尖子生加餐特训】每小题5分，共10分 13.如图所示，过三棱台上底面的一边A1C1，作一个平行于棱BB1的截面，与下底面的交线为DE，若D，E分别是AB，BC的中点，则等于(　　) A. B. C. D. 14.四棱锥P-ABCD的底面是正方形，如图所示，点E是棱PD上一点，PE=PD，若=λ且满足BF∥平面ACE，则λ=　　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章立体几何与空间向量 §7.4　空间直线、平面的平行 【考情分析·探规律】 考点 3年考情（2021-2024） 命题趋势 空间中的平行关系 2024·全国新Ⅰ卷、2024·全国甲卷 2024·北京卷、2024·天津卷 2023·全国新Ⅰ卷、2023·全国甲卷 2023·全国乙卷、2023·天津卷 2022·全国新Ⅱ卷、2022·全国甲卷 2022·天津卷、2022·北京卷 2021·天津卷 理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明；掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用。 【知识梳理】 1.线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 ⇒a∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 ⇒a∥b 2.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 ⇒β∥α 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 ⇒a∥b 【随堂练习】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.(　 　) (2)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(　 　) (3)若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a∥b，则α∥β.(　 　) (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线也互相平行.(　 　) 【答案】（×）（×）（×）（×） 2.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(　　) A.一条直线不相交 B.两条直线不相交 C.无数条直线不相交 D.任意一条直线都不相交 【答案】D 【解析】因为直线a∥平面α，直线a与平面α无公共点，因此直线a与平面α内的任意一条直线都不相交. 3.设有两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，则下列命题正确的是(　　) A.若m∥α，n∥α，则m∥n B.若m∥α，m∥β，则α∥β C.若m∥n，m∥α，则n∥α D.若α∥β，m⊂α，则m∥β 【答案】D 【解析】若m∥α，n∥α，则m，n可以平行、相交或异面，故A错误； 若m∥α，m∥β，则α∥β或α，β相交，故B错误； 若m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α，故C错误； 若α∥β，m⊂α，则m∥β，故D正确. 4.如图是长方体被一平面截后得到的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为　　　.  【答案】平行四边形 【解析】∵平面ABFE∥平面DCGH， 又平面EFGH∩平面ABFE=EF， 平面EFGH∩平面DCGH=HG， ∴EF∥HG.同理EH∥FG， ∴四边形EFGH是平行四边形. 【名师点拨】 1.掌握三种平行关系的转化 2.灵活应用以下结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. (2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. (3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b. (4)若α∥β，a⊂α，则a∥β. 【必练核心题型】 题型一　直线与平面平行的判定与性质 命题点1　直线与平面平行的判定 【典例】1.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB=2，CD=4，E为PC的中点. 求证：BE∥平面PAD. 【证明】　方法一　如图，取PD的中点F，连接EF，FA. 由题意知EF为△PDC的中位线， ∴EF∥CD，且EF=CD=2. 又∵AB∥CD，AB=2，CD=4，∴ABEF， ∴四边形ABEF为平行四边形， ∴BE∥AF. 又AF⊂平面PAD，BE⊄平面PAD， ∴BE∥平面PAD. 方法二　如图，延长DA，CB相交于H，连接PH， ∵AB∥CD，AB=2，CD=4， ∴==， 即B为HC的中点， 又E为PC的中点，∴BE∥PH， 又BE⊄平面PAD，PH⊂平面PAD， ∴BE∥平面PAD. 方法三　如图，取CD的中点H，连接BH，HE， ∵E为PC的中点， ∴EH∥PD， 又EH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD， ∴EH∥平面PAD， 又由题意知ABDH， ∴四边形ABHD为平行四边形，∴BH∥AD， 又AD⊂平面PAD，BH⊄平面PAD， ∴BH∥平面PAD， 又BH∩EH=H，BH，EH⊂平面BHE， ∴平面BHE∥平面PAD， 又BE⊂平面BHE，∴BE∥平面PAD. 命题点2　直线与平面平行的性质 【典例】2.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H. 求证：PA∥GH. 【证明】　如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点， 又M是PC的中点， ∴PA∥OM， 又OM⊂平面BMD，PA⊄平面BMD， ∴PA∥平面BMD， 又PA⊂平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD=GH，∴PA∥GH. 【解题技巧】 (1)判断或证明线面平行的常用方法 ①利用线面平行的定义(无公共点). ②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α). ③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β). ④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β). (2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线. 【变式训练】如图，四边形ABCD为长方形，点E，F分别为AD，PC的中点.设平面PDC∩平面PBE=l. 证明： (1)DF∥平面PBE； (2)DF∥l. 【证明】　 (1)取PB的中点G，连接FG，EG， 因为点F为PC的中点， 所以FG∥BC，FG=BC， 因为四边形ABCD为长方形， 所以BC∥AD，且BC=AD， 所以DE∥FG，DE=FG， 所以四边形DEGF为平行四边形， 所以DF∥GE， 因为DF⊄平面PBE，GE⊂平面PBE，所以DF∥平面PBE. (2)由(1)知DF∥平面PBE， 又DF⊂平面PDC，平面PDC∩平面PBE=l， 所以DF∥l. 题型二　平面与平面平行的判定与性质 【典例】1.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E，F分别是棱B1C1，AC，BC的中点.证明：AD∥平面C1EF. 【证明】　连接BD. 因为E，F分别是棱AC，BC的中点，所以EF∥AB. 因为EF⊂平面C1EF，AB⊄平面C1EF， 所以AB∥平面C1EF. 因为D，F分别是棱B1C1，BC的中点，所以BF∥C1D，BF=C1D， 所以四边形BDC1F是平行四边形，则BD∥C1F. 因为C1F⊂平面C1EF，BD⊄平面C1EF，所以BD∥平面C1EF. 因为AB∩BD=B，AB，BD⊂平面ABD， 所以平面ABD∥平面C1EF， 因为AD⊂平面ABD，所以AD∥平面C1EF. 【典例】如图所示，AA1，BB1为圆台的两条不同的母线，O1，O分别为圆台的上、下底面圆的圆心.求证：A1B1∥AB. 【证明】　∵圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到， ∴圆台的母线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分. ∴母线AA1与母线BB1的延长线必交于一点， ∴A，A1，B，B1四点共面. ∵圆O1∥圆O，且平面ABB1A1∩圆O1=A1B1，平面ABB1A1∩圆O=AB. ∴A1B1∥AB. 【解题技巧】 (1)证明面面平行的常用方法 ①利用面面平行的判定定理. ②利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β). ③利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ). (2)当已知两平面平行时，可以得出线面平行，如果要得出线线平行，必须是与第三个平面的交线. 【变式训练】如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合). (1)求证：BC∥GH； (2)若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG. 【证明】　 (1)∵在三棱柱ABC-A1B1C1中， ∴平面ABC∥平面A1B1C1， 又∵平面BCHG∩平面ABC=BC， 且平面BCHG∩平面A1B1C1=GH， ∴由面面平行的性质定理得BC∥GH. (2)∵E，F分别为AB，AC的中点， ∴EF∥BC， ∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. 又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1AB， ∴A1GEB， ∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG. 又∵A1E∩EF=E，A1E，EF⊂平面EFA1， ∴平面EFA1∥平面BCHG. 题型三　平行关系的综合应用 【典例】1.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，D，D1分别为AC，A1C1上的点. (1)当为何值时，BC1∥平面AB1D1； (2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值. 【解析】 (1)当=1时，BC1∥平面AB1D1. 如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1. 由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形， ∴点O为A1B的中点. 在△A1BC1中，O，D1分别为A1B，A1C1的中点， ∴OD1∥BC1. 又OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1， ∴BC1∥平面AB1D1. ∴当=1时，BC1∥平面AB1D1. (2)由已知，平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D=BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1=OD1. 因此BC1∥OD1，同理AD1∥DC1. ∴==. 又=1，∴=1，即=1. 【解题技巧】解决面面平行问题的关键点 (1)在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，绝不可过于“模式化”. (2)解答探索性问题的基本策略是先假设，再严格证明，先猜想再证明是学习和研究的重要思想方法. 【变式训练】如图，在四棱锥A-BCDE中，N是BC的中点，四边形BCDE为平行四边形.试探究在线段AE上是否存在点M，使得MN∥平面ACD？若存在，请确定M点的位置，并给予证明；若不存在，请说明理由. 【解析】在线段AE上存在点M，且M为AE的中点，使得MN∥平面ACD. 证明如下： 取AD的中点G，连接CG，GM，如图. 因为M为AE的中点， 所以GM∥DE，且GM=DE. 因为N为BC的中点，且四边形BCDE为平行四边形，所以CN∥DE，且CN=DE， 所以GM∥CN，且GM=CN， 所以四边形CNMG为平行四边形. 所以GC∥MN. 因为GC⊂平面ACD，MN⊄平面ACD， 所以MN∥平面ACD. 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知两个不同的平面α，β和两条不同的直线m，n，下面四个命题中，正确的是(　　) A.若m∥n，n⊂α，则m∥α B.若m∥α，n∥α且m⊂β，n⊂β，则α∥β C.若m∥α，n⊂α，则m∥n D.若m⊥α，m⊥β，则α∥β 【答案】D 【解析】对于A，若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，故A错误； 对于B，当m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β且m与n相交时，α∥β，故B错误； 对于C，若m∥α，n⊂α，则m∥n或m与n异面，故C错误； 对于D，由线面垂直的性质可以证得，故D正确. 2.如图，已知P为四边形ABCD外一点，E，F分别为BD，PD上的点，若EF∥平面PBC，则(　　) A.EF∥PA B.EF∥PB C.EF∥PC D.以上均有可能 【答案】B 【解析】由线面平行的性质定理可知EF∥PB. 3.(2025·贵阳模拟)设l为直线，α为平面，则l∥α的一个充要条件是(　　) A.α内存在一条直线与l平行 B.l平行α内无数条直线 C.垂直于α的直线都垂直于l D.存在一个与α平行的平面经过l 【答案】D 【解析】对于A中，由α内存在一条直线与l平行，则l∥α或l⊂α，所以A不正确； 对于B中，由l平行α内无数条直线，则l∥α或l⊂α，所以B不正确； 对于C中，由垂直于α的直线都垂直于l，则l∥α或l⊂α，所以C不正确； 对于D中，如图所示，由l∥α，在直线l上任取一点P作直线a，使得a∥α，因为l∩a=P且l，a⊂平面β，所以α∥β，即充分性成立；反之，若存在一个与α平行的平面经过l，根据面面平行的性质，可得l∥α，即必要性成立，所以D正确. 4.已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α分别交线段PA，PB，PC于点A'，B'，C'，若PA'∶AA'=2∶3，则S△A'B'C'∶S△ABC等于(　　) A.2∶3 B.2∶5 C.4∶9 D.4∶25 【答案】D 【解析】∵平面α∥平面ABC， ∴A'C'∥AC，A'B'∥AB，B'C'∥BC， ∴S△A'B'C'∶S△ABC=(PA'∶PA)2， 又PA'∶AA'=2∶3，∴PA'∶PA=2∶5， ∴S△A'B'C'∶S△ABC=4∶25. 5.如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，等于(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】连接AC交BE于点G，连接FG，因为PA∥平面EBF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面EBF=FG，所以PA∥FG，所以=.又AD∥BC，E为AD的中点， 所以==，所以=. 6.(2025·广州模拟)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AM=2MA1，BN=2NB1，过MN作一平面分别交底面△ABC的边BC，AC于点E，F，则(　　) A.MF∥EB B.A1B1∥NE C.四边形MNEF为平行四边形 D.四边形MNEF为梯形 【答案】D 【解析】由于B，E，F三点共面，F∈平面BEF， M∉平面BEF，EB不过点F，故MF，EB为异面直线，故A错误； 由于B1，N，E三点共面，B1∈平面B1NE，A1∉平面B1NE，NE不过点B1，故A1B1，NE为异面直线，故B错误； ∵在平行四边形AA1B1B中，AM=2MA1， BN=2NB1，∴AM∥BN，AM=BN， 故四边形AMNB为平行四边形，∴MN∥AB. 又MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC， ∴MN∥平面ABC. 又MN⊂平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC=EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB， 显然在△ABC中，EF≠AB，∴EF≠MN， ∴四边形MNEF为梯形，故C错误，D正确. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.下列说法不正确的有(　　) A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 【答案】ABD 【解析】若两条直线和同一平面所成的角相等，这两条直线可能平行，也可能异面，也可能相交，故A错误；若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，这两个平面可能平行，也可能相交，故B错误；由线面平行的性质定理可知C正确；若两个平面垂直同一个平面，则两平面可以平行，也可以垂直，故D错误. 8.已知三棱台ABC-A'B'C'，上、下底面边长之比为1∶2，棱AB，BC，AC的中点分别为点M，P，N，则下列结论错误的有(　　) A.A'N∥PC' B.A'P与AC为异面直线 C.AB∥平面A'C'P D.平面A'MN∥平面BCC'B' 【答案】AC 【解析】对于A，因为A'N⊂平面A'C'CA，C'∈平面A'C'CA，P∉平面A'C'CA，且C'∉A'N，所以A'N，PC'是异面直线，故A错误； 对于B，因为AC⊂平面A'C'CA，A'∈平面A'C'CA，P∉平面A'C'CA，且A'∉AC，所以A'P与AC为异面直线，故B正确； 对于C，因为棱AB，BC的中点分别为点M，P，所以AC∥MP，因为AC∥A'C'，所以MP∥A'C'，可得AB∩平面A'C'PM=M，故C错误； 对于D，因为AB，AC的中点分别为点M，N，所以MN∥BC，因为MN⊄平面BCC'B'，BC⊂平面BCC'B'，所以MN∥平面BCC'B'，因为AC∥A'C'，A'C'=AC=NC，所以四边形A'C'CN为平行四边形，可得A'N∥C'C，因为A'N⊄平面BCC'B'，C'C⊂平面BCC'B'，所以A'N∥平面BCC'B'，因为MN∩A'N=N，MN，A'N⊂平面A'MN，所以平面A'MN∥平面BCC'B'，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.如图，α∥β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC=2，CA=3，CD=1，则AB=　　　　.  【答案】 【解析】∵α∥β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB， ∴CD∥AB，则=， ∴AB===. 10.如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件　　　　　　　　　　，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)  【答案】点M与点H重合(点M在线段FH上即可) 【解析】连接HN，FH，FN(图略)， 则FH∥DD1，HN∥BD，FH∩HN=H，FH，HN⊂平面FHN，DD1，BD⊂平面B1BDD1， ∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH， 则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1. 四、解答题(共28分) 11.(13分)如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点. (1)证明：MN∥平面PAD；(7分) (2)若平面PAD∩平面PBC=l，判断BC与l的位置关系，并证明你的结论.(6分) (1)【证明】　取CD中点Q，连接MQ，NQ. 因为M，N，Q分别为AB，PC，CD的中点， 故MQ∥AD，NQ∥PD， 又MQ⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， 故MQ∥平面PAD，同理NQ∥平面PAD. 又MQ，NQ⊂平面MNQ，MQ∩NQ=Q， 故平面MNQ∥平面PAD， 又MN⊂平面MNQ，故MN∥平面PAD. (2)【解析】BC∥l，证明如下. 因为四边形ABCD为平行四边形， 故AD∥BC， 又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， 故BC∥平面PAD. 又平面PAD∩平面PBC=l，BC⊂平面PBC， 故BC∥l. 12.(15分)如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，E为棱AA1的中点，AB=2，AA1=3. (1)求三棱锥A-BDE的体积；(6分) (2)在DD1上是否存在一点P，使得平面PA1C∥平面EBD.如果存在，请说明P点位置并证明；如果不存在，请说明理由.(9分) 【解析】 (1)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD， 所以V三棱锥A-BDE=V三棱锥E-ABD=AE·S△ABD =×××2×2=1. (2)当P为棱DD1的中点时满足平面PA1C∥平面EBD， 连接AC，设AC∩BD=O，连接OE，CP，A1P，如图， 因为四边形ABCD为正方形，所以O为AC的中点， 又E为棱AA1的中点， 所以OE∥A1C，又OE⊄平面PA1C，A1C⊂平面PA1C，所以OE∥平面PA1C， 又P为棱DD1的中点，所以DP∥A1E且DP=A1E，所以四边形DPA1E为平行四边形， 所以DE∥A1P， 又DE⊄平面PA1C，A1P⊂平面PA1C， 所以DE∥平面PA1C， 又DE∩OE=E，DE，OE⊂平面EBD， 所以平面PA1C∥平面EBD. 【尖子生加餐特训】每小题5分，共10分 13.如图所示，过三棱台上底面的一边A1C1，作一个平行于棱BB1的截面，与下底面的交线为DE，若D，E分别是AB，BC的中点，则等于(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】平面A1C1ED与棱BB1平行，平面BCC1B1∩平面A1C1ED=C1E，平面ABB1A1∩平面A1C1ED=A1D， 所以BB1∥A1D，BB1∥C1E， 因为平面A1B1C1∥平面ABC，平面A1B1C1∩平面A1C1ED=A1C1，平面ABC∩平面A1C1ED=DE，所以A1C1∥DE， 故几何体A1B1C1-DBE为棱柱，设棱柱的高为h， 故=S△DBE·h，且S△DBE=， 又D，E分别是AB，BC的中点， 则S△ABC=4S△DBE， 由台体体积公式得(S△DBE+S△ABC+)h=S△DBE·h， 故=. 14.四棱锥P-ABCD的底面是正方形，如图所示，点E是棱PD上一点，PE=PD，若=λ且满足BF∥平面ACE，则λ=　　　　　　.  【答案】 【解析】如图，连接BD，交AC于点O，连接OE，由四边形ABCD是正方形，得BO=OD，在线段PE上取点G，使得GE=ED， 由PE=PD，得=， 连接BG，FG，则BG∥OE， 由OE⊂平面ACE，BG⊄平面ACE， 得BG∥平面ACE， 而BF∥平面ACE，BG∩BF=B，BG，BF⊂平面BGF， 因此平面BGF∥平面ACE， 又平面PCD∩平面ACE=EC，平面PCD∩平面BGF=GF，则GF∥EC， 所以λ===. 学科网（北京）股份有限公司 $$