第七章 §7.3　空间点、直线、平面之间的位置关系（新高考通用）-【2026年高考数学一轮备考·学霸专练】

第七章立体几何与空间向量 §7.3　空间点、直线、平面之间的位置关系 【考情分析·探规律】 考点 3年考情（2021-2024） 命题趋势 点线面的位置关系及其判断 2024·全国甲卷、2024·北京 2024·天津卷、2024·全国甲卷 2024·天津、2024·新课标Ⅱ卷 2023·北京、2023·全国甲卷 2022·全国乙卷、2022·浙江 2022·全国甲卷、2021·浙江卷 2021·全国新Ⅱ卷 理解、掌握空间中点线面的位置关系及相关的图形和符号语言，熟练掌握平行关系的判定定理和性质定理及其应用，熟练掌握垂直关系的判定定理和性质定理及其应用，该内容是新高考卷的常考内容，需强化巩固复习。 【知识梳理】 1.基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. 基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行. 2.“三个”推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面. 3.空间中直线与直线的位置关系 4.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 图形语言 符号语言 公共点 直线与平面 相交 a∩α=A 1个 平行 a∥α 0个 在平面内 a⊂α 无数个 平面与平面 平行 α∥β 0个 相交 α∩β=l 无数个 5.等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 6.异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)范围：. 【名师点拨】 1.过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线. 2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角. 【随堂练习】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)没有公共点的两条直线是异面直线.(　　) (2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.(　　) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.(　　) (4)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面.(　　) 【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 【解析】(1)两条平行直线也没有公共点，故错误. (2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误. (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误. (4)由于a不平行于平面α，且a⊄α，则a与平面α相交，故平面α内有与a相交的直线，故错误. 2.用符号表示“点A不在直线m上，直线m在平面α内”，正确的是(　　) A.A∉m，m⊂α B.A∉m，m∈α C.A⊄m，m⊂α D.A⊄m，m∈α 【答案】A 【解析】由题意用符号表示“点A不在直线m上，直线m在平面α内”，即A∉m，m⊂α. 3.(多选)下列命题正确的是(　　) A.空间任意三个点确定一个平面 B.一个点和一条直线确定一个平面 C.两条相交直线确定一个平面 D.空间两两平行的三条直线确定一个或三个平面 【答案】CD 【解析】A中，空间不共线的三点确定一个平面，A错； B中，只有点在直线外时才能确定一个平面，B错； C中，两条相交直线确定一个平面，C正确； D中，空间两两平行的三条直线确定一个平面或三个平面，D正确. 4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为　　　　　　.  【答案】60° 【解析】因为M，N分别为棱BC和棱CC1的中点， 所以MN∥BC1， 又在正方体ABCD-A1B1C1D1中， AC∥A1C1， 所以∠A1C1B或其补角为异面直线AC和MN所成的角， 又在正方体ABCD-A1B1C1D1中，△A1C1B为正三角形， 所以∠A1C1B=60°， 即异面直线AC和MN所成的角为60°. 【名师点拨】 (1)异面直线的判定：经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线. (2)异面直线所成角的范围：两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角. 【必练核心题型】 题型一　基本事实的应用 【典例】1.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线； (3)DE，BF，CC1三线交于一点. 【证明】 (1)如图所示， 连接B1D1. 因为EF是△C1D1B1的中位线， 所以EF∥B1D1. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD， 所以EF，BD确定一个平面， 即D，B，F，E四点共面. (2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接A1C， 设A1，C，C1确定的平面为α， 又设平面BDEF为β. 因为Q∈A1C1，所以Q∈α. 又Q∈EF，所以Q∈β， 所以Q是α与β的公共点， 同理，P是α与β的公共点. 所以α∩β=PQ. 又A1C∩β=R， 所以R∈A1C，R∈α，且R∈β. 则R∈PQ，故P，Q，R三点共线. (3)因为EF∥BD且EF<BD， 所以DE与BF相交，设交点为M， 则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1， 得M∈平面D1DCC1， 同理，M∈平面B1BCC1. 又平面D1DCC1∩平面B1BCC1=CC1， 所以M∈CC1. 所以DE，BF，CC1三线交于一点. 【解题技巧】共面、共线、共点问题的证明 (1)共面：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内. (2)共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上. (3)共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点. 【变式训练】 变式1.如图，已知空间四边形ABCD，E，F分别是AB，BC的中点，G，H分别在CD和AD上，且满足==2.求证： (1)E，F，G，H四点共面； (2)EH，FG，BD三线共点. 【证明】　 (1)因为E，F分别为AB，BC的中点， 所以EF∥AC. 又因为= 所以GH∥AC. 所以EF∥GH， 所以E，F，G，H四点在同一平面内， 即E，F，G，H四点共面. (2)因为E，F分别为AB，BC的中点， 所以EF∥AC，EF=AC. 由题意知==2，HG∥AC，HG=AC， 所以四边形EFGH为梯形，直线EH和FG必相交，设交点为M， 即EH∩FG=M， 因为EH⊂平面ABD， 所以点M∈平面ABD， 同理可得点M∈平面BCD. 又因为平面ABD∩平面BCD=BD， 所以点M∈直线BD， 所以直线EH，FG，BD三线共点. 题型二　空间位置关系的判断 【典例】1.(多选)下列推断中，正确的是(　　) A.若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l B.若α∩β=l，a⊂α，b⊂β，a∩b=A，则A∈l C.l⊄α，A∈l⇒A∉α D.A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合 【答案】ABD 【解析】对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β=l，由基本事实3可知M∈l，A对； 对于B，若a⊂α，b⊂β，a∩b=A，则A∈α，A∈β，因为α∩β=l，所以A∈l，B对； 对于C，若l∩α=A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，C错； 对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，故α，β重合，D对. 【典例】2.(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，当点P在线段BC1上(不包含端点)运动时，下列直线中一定与直线OP异面的是(　　) A.AB1 B.A1C C.A1A D.AD1 【答案】BCD 【解析】对于A，如图①，连接AB1，C1D，BD， 当P为BC1的中点时，OP∥DC1∥AB1，故A不正确； 对于B，如图②，连接A1C，A1C1，AC， 因为A1C⊂平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O∉A1C，P∉平面AA1C1C， 所以直线A1C与直线OP一定是异面直线，故B正确； 对于C，如图②，因为A1A⊂平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O∉A1A，P∉平面AA1C1C， 所以直线A1A与直线OP一定是异面直线，故C正确； 对于D，如图③，连接AD1，D1C，AC， 因为AD1⊂平面AD1C，O∈平面AD1C，O∉AD1，P∉平面AD1C， 所以直线AD1与直线OP一定是异面直线，故D正确. 【解题技巧】判断空间直线的位置关系一般有两种方法：一是构造几何体(如长方体、空间四边形等)模型来判断.二是排除法.特别地，对于异面直线的判定常用到结论：“平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.” 【变式训练】 变式1.空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC=∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是(　　) A.平行 B.异面 C.相交或平行 D.平行或异面或相交均有可能 【答案】D 【解析】根据条件作出示意图，容易得到以下三种情况， 由图可知AB与CD有相交、平行、异面三种情况. 变式2.若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列结论正确的是(　　) A.l与l1，l2都不相交 B.l与l1，l2都相交 C.l至多与l1，l2中的一条相交 D.l至少与l1，l2中的一条相交 【答案】D 【解析】如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确. 题型三　异面直线所成的角 【典例】1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BD的中点，则直线B1E与A1D所成的角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 【答案】A 【解析】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1=DC，A1B1∥DC， 所以四边形A1B1CD为平行四边形， 则有A1D∥B1C， 所以直线B1E与A1D所成的角等于直线B1E与B1C所成的角， 设正方体的棱长为2，则BB1=2，BE=CE=B1C=2 B1E== 在△EB1C中，cos∠EB1C== 所以∠EB1C=30°. 所以直线B1E与A1D所成的角为30°. 【典例】2.如图，已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为2，E为棱PA的中点，则异面直线BE与PC所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】连接AC，取AC的中点O，连接OE，OB， 由题意知，EO∥PC，则异面直线BE与PC所成的角为∠BEO(或其补角)， 在△BEO中，EO=1，BO=BE= 则cos∠BEO== 则异面直线BE与PC所成角的余弦值为. 【解题技巧】异面直线所成角的求法 方法 解读 平移法 将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线，形成三角形求解 补形法 在该几何体的某侧补接上一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解 【变式训练】 变式1.(2025·崇明模拟)已知底面半径为1的圆柱，O是其上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线.若直线OA与BC所成角的大小为则BC=　　　　　　.  【答案】 【解析】如图所示，过A作母线AD，连接OD， 则∠OAD为直线OA与BC所成的角， 则∠OAD= 在Rt△OAD中，可得AD== 即BC=. 变式2.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=8，AD=6，异面直线BD与AC1所成角的余弦值为则该长方体外接球的表面积为(　　) A.90π B.196π C.784π D. 【答案】B 【解析】连接AC与BD交于O点，则O为AC中点， 取CC1的中点E，连接BE，OE，则AC1∥OE， 所以∠EOB为异面直线BD与AC1所成的角(或补角)， 设CE=x，AB=8，AD=6，则BE=OB=OC=5，OE= 在△OBE中，由余弦定理得BE2=OB2+OE2-2OB×OE×cos∠EOB， 若cos∠EOB= 则36+x2=25+25+x2-2 解得x=2(负值舍去)， 若cos∠EOB=-则36+x2=25+25+x2+2方程无解， 所以CC1=2x=4 所以长方体的体对角线长为=14， 所以长方体的外接球的半径R=7， 所以长方体外接球的表面积S=4πR2=196π. 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.若直线上有两个点在平面外，则(　　) A.直线上至少有一个点在平面内 B.直线上有无穷多个点在平面内 C.直线上所有点都在平面外 D.直线上至多有一个点在平面内 【答案】D 【解析】根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内. 2.下列说法正确的是(　　) A.空间中两直线的位置关系有三种：平行、垂直和异面 B.若空间中两直线没有公共点，则这两直线异面 C.和两条异面直线都相交的两直线是异面直线 D.若两直线分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则这两直线可能相交，也可能异面 【答案】D 【解析】对于A，空间中两直线的位置关系有三种：平行、相交和异面，故A错误； 对于B，若空间中两直线没有公共点，则这两直线异面或平行，故B错误； 对于C，和两条异面直线都相交的两直线是异面直线或相交直线，故C错误； 对于D，如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，当A'B所在直线为a，BC'所在直线为b时，a与b相交，当A'B所在直线为a，B'C所在直线为b时，a与b异面，若两直线分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则这两直线可能相交，也可能异面，故D正确. 3.下列推理错误的是(　　) A.A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α B.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β=AB C.A∈l，l⊂α⇒A∈α D.若直线a⊂α，直线b⊂β，则a与b为异面直线 【答案】D 【解析】由A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，根据基本事实2可得l⊂α，故A正确； 由A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，根据基本事实3可得α∩β=AB，故B正确； 由A∈l，l⊂α可得A∈α，故C正确； 由于平面α和平面β位置不确定，则直线a与直线b位置亦不确定，可能异面、相交、平行、重合，故D错误. 4.在三棱锥A-BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF∩HG=P，则点P(　　) A.一定在直线BD上 B.一定在直线AC上 C.可能在直线AC上，也可能在BD上 D.不在直线AC上，也不在直线BD上 【答案】B 【解析】因为EF∩HG=P，E，F，G，H四点分别是AB，BC，CD，DA上的点，所以EF在平面ABC内，HG在平面ACD内，所以P既在平面ABC内，又在平面ACD内，所以P在平面ABC和平面ACD的交线上，又平面ABC∩平面ACD=AC，所以P∈AC. 5.已知平面α∩平面β=l，点A，C∈α，点B∈β，且B∉l，又AC∩l=M，过A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是(　　) A.直线CM B.直线BM C.直线AB D.直线BC 【答案】B 【解析】已知过A，B，C三点确定的平面为γ，则AC⊂γ.又AC∩l=M，则M∈γ，又平面α∩平面β=l，则l⊂α，l⊂β，又因为AC∩l=M，所以M∈β，因为B∈β，B∈γ，所以β∩γ=BM. 6.安徽徽州古城与四川阆中古城、山西平遥古城、云南丽江古城被称为中国四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底层部分可近似看作一个正方体ABCD-A1B1C1D1.已知该正方体中，点E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过D1，E，F三点的平面与平面ABCD的交线为l，则直线l与直线AD1所成的角为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】如图所示，在平面AA1D1D中，连接D1E与DA的延长线交于点H， 则HA=AD， 在平面CC1D1D中，连接D1F与DC的延长线交于点G，则GC=CD，则GH为平面D1EF与平面ABCD的交线l，且GH∥AC， 而在等边△ACD1中AC与AD1所成的角为 故l与直线AD1所成的角为. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.给出以下四个命题，其中错误的是(　　) A.不共面的四点中，其中任意三点不共线 B.若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面 C.若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面 D.依次首尾相接的四条线段必共面 【答案】BCD 【解析】反证法：如果四个点中，有3个点共线，第4个点不在这条直线上， 根据基本事实2的推论可知，这四个点共面，这与已知矛盾，故A正确； 如图1，A，B，C，D共面，A，B，C，E共面，但A，B，C，D，E不共面，故B错误； 如图2，a，b共面，a，c共面，但b，c异面，故C错误； 如图3，a，b，c，d四条线段首尾相接，但a，b，c，d不共面，故D错误. 　　 图1　　　　 图2　　　 　　图3 8.如图，四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，E，F分别是棱PD，PA的中点，下列说法正确的有(　　) A.多面体ABF-DCE是三棱柱 B.直线BF与PC互为异面直线 C.平面ADP与平面BCP的交线平行于EF D.四棱锥P-ABCD和四棱锥P-BCEF的体积之比为8∶3 【答案】BCD 【解析】对于A，多面体ABF-DCE中，由直线AF∩DE=P，得平面ABF与平面DCE不平行，显然多面体ABF-DCE中不存在平行的两个面，则该多面体不是三棱柱，A错误； 对于B，由E，F分别是棱PD，PA的中点，得EF∥AD∥BC，BF⊂平面BCEF，C∈平面BCEF，P∉平面BCEF，C∉BF，因此直线BF与PC互为异面直线，B正确； 对于C，由AD∥BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，则AD∥平面PBC，令平面PBC∩平面PAD=l，而AD⊂平面PAD，则l∥AD∥EF，C正确； 对于D，连接AC，CF，令四棱锥P-ABCD的体积为V，由E，F分别是棱PD，PA的中点，得V三棱锥P-BCF=V三棱锥B-PCF=V三棱锥B-PCA=V三棱锥P-ABC=V，V三棱锥P-CEF=V三棱锥C-PEF=V三棱锥C-PDA=V三棱锥P-ADC=V，因此四棱锥P-BCEF的体积V四棱锥P-BCEF=V三棱锥P-BCF+V三棱锥P-CEF=V，D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知α，β是不同的平面，l，m，n是不同的直线，P为空间中一点.若α∩β=l，m⊂α，n⊂β，m∩n=P，则点P与直线l的位置关系用符号表示为　　　　.  【答案】P∈l 【解析】∵m⊂α，n⊂β，m∩n=P， ∴P∈α且P∈β，又α∩β=l， ∴点P在直线l上，即P∈l. 10.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有　　　　对.  【答案】3 【解析】画出该正方体的直观图如图所示， 易知异面直线有(AB，GH)，(AB，CD)，(GH，EF).故共有3对. 四、解答题(共27分) 11.(13分)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，CC1的中点. (1)求异面直线A1E与D1F所成角的余弦值；(7分) (2)求三棱锥A1-D1EF的体积.(6分) 【解析】 (1)如图，设BB1的中点为H，连接HF，EH，A1H，因为F是CC1的中点， 所以A1D1∥CB∥HF，A1D1=CB=HF， 因此四边形A1D1FH是平行四边形， 所以D1F∥A1H，D1F=A1H， 因此∠EA1H是异面直线A1E与D1F所成的角或其补角，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是AB的中点， 所以A1E=A1H== EH== 由余弦定理可知，cos∠EA1H=== 所以异面直线A1E与D1F所成角的余弦值为. (2)因为A1D1∥HF，HF⊄平面A1D1E，A1D1⊂平面A1D1E， 所以HF∥平面A1D1E， 因此点H，F到平面A1D1E的距离相等， 即=== =D1A1· =×2×=1， 所以三棱锥A1-D1EF的体积为1. 12.(14分)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F分别为AA1，CC1的中点，M为AB上一点. (1)若D1E与CM相交于点K，求证：D1E，CM，DA三条直线相交于同一点；(4分) (2)若AB=2，AA1=4，∠BAD=求点D1到平面FBD的距离.(10分) (1)【证明】　∵D1E与CM相交于点K， ∴K∈D1E，K∈CM， 而D1E⊂平面ADD1A1，CM⊂平面ABCD， 且平面ADD1A1∩平面ABCD=AD， ∴K∈AD， ∴D1E，CM，DA三条直线相交于同一点K. (2)【解析】∵四边形ABCD为菱形，AB=2， ∴BC=CD=2， 而四棱柱的侧棱AA1⊥底面ABCD， ∴CC1⊥底面ABCD， 又∵F是CC1的中点，CC1=4，∴CF=2， ∴BF=DF=2 又∵四边形ABCD为菱形，∠BAD= ∴BD=AB=2， ∴S△FBD=×2×=. 连接D1F，D1B(图略)，设点D1到平面FBD的距离为h，点B到平面DD1F的距离为d， 则d=2sin = 又∵= ∴×S△FBD×h=××d， ∴××h=××4×2× 解得h=. 即点D1到平面FBD的距离为. 【尖子生加餐特训】13题5分，14题6分，共11分 13.(2025·绵阳模拟)在平行四边形ABCD中，AB⊥BD，BC=2CD=2，沿对角线BD将△CBD折起，所得四面体ABCD外接球的表面积为24π，则异面直线AB与CD所成的角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 【答案】D 【解析】取BC中点O1，AD中点O2，BD中点F， 则O1为△BCD外心，O2为△ABD外心，O1F∥CD，O2F∥AB， 因为AB=CD=2，则O1F=O2F=1， 翻折后，过O1作直线垂直于平面BCD，过O2作直线垂直于平面ABD，两直线的交点O即为四面体ABCD的外接球球心，设外接球的半径为r， 由题意可得4πr2=24π，可得r= 即OA=OC=且O1C=O2A= 则由勾股定理可得OO1=OO2=1， 由O1F=O2F=1得四边形OO1FO2为菱形， 由OO2⊥平面ABD，O2F⊂平面ABD，可得OO2⊥O2F， 所以四边形OO1FO2为正方形，∠O1FO2=90°， 由O1F∥CD，O2F∥AB可得异面直线AB与CD所成的角为∠O1FO2=90°. 14.(多选)(2025·常州模拟)如图，在正四面体ABCD中，已知AB=2，O为棱AB的中点.现将等腰Rt△EAB绕其斜边AB旋转一周(假设△EAB可以穿过正四面体内部)，则在旋转过程中，下列结论正确的是(　　) A.△EAB绕斜边AB旋转一周形成的旋转体体积为 B.O，C，D，E四点共面 C.点E到CD的最近距离为-1 D.异面直线CD与AE所成角的范围为 【答案】BD 【解析】对于A，因为AB=2，所以等腰Rt△EAB的直角边为斜边的高为1， 旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥组合体，其圆锥的底面半径为1，高为1， 所以形成的旋转体的体积V=2××π×12×1=故A不正确； 对于B，在正四面体ABCD中，各个侧面都是等边三角形，因为O为棱AB的中点， 所以DO⊥AB，CO⊥AB，又DO∩CO=O，且DO，CO⊂平面DOC， 所以AO⊥平面DOC，又AO⊥OE，OE与平面DOC有公共点O， 所以OE在平面DOC内，所以O，C，D，E四点共面，故B正确； 对于C，设F为CD的中点，O为AB的中点，则点E在以O为圆心，1为半径的圆上，如图， 由图可知当F，O，E三点共线，且当点E运动到E1的位置时，E到CD的距离最小， 在Rt△BOF中，BO=1，BF=则OF=所以FE1=-1，故C不正确； 对于D，由B，C分析可知，CD在圆锥的底面所在平面内，由圆锥轴截面中，∠AEO= 由线面角的概念可知，AE与圆锥底面中的直线所成的最小角就是∠AEO，最大角一定为由此可知异面直线CD与AE所成角的范围为故D正确. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章立体几何与空间向量 §7.3　空间点、直线、平面之间的位置关系 【考情分析·探规律】 考点 3年考情（2021-2024） 命题趋势 点线面的位置关系及其判断 2024·全国甲卷、2024·北京 2024·天津卷、2024·全国甲卷 2024·天津、2024·新课标Ⅱ卷 2023·北京、2023·全国甲卷 2022·全国乙卷、2022·浙江 2022·全国甲卷、2021·浙江卷 2021·全国新Ⅱ卷 理解、掌握空间中点线面的位置关系及相关的图形和符号语言，熟练掌握平行关系的判定定理和性质定理及其应用，熟练掌握垂直关系的判定定理和性质定理及其应用，该内容是新高考卷的常考内容，需强化巩固复习。 【知识梳理】 1.基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. 基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行. 2.“三个”推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面. 3.空间中直线与直线的位置关系 4.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 图形语言 符号语言 公共点 直线与平面 相交 a∩α=A 1个 平行 a∥α 0个 在平面内 a⊂α 无数个 平面与平面 平行 α∥β 0个 相交 α∩β=l 无数个 5.等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 6.异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)范围：. 【名师点拨】 1.过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线. 2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角. 【随堂练习】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)没有公共点的两条直线是异面直线.(　　) (2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.(　　) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.(　　) (4)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面.(　　) 2.用符号表示“点A不在直线m上，直线m在平面α内”，正确的是(　　) A.A∉m，m⊂α B.A∉m，m∈α C.A⊄m，m⊂α D.A⊄m，m∈α 3.(多选)下列命题正确的是(　　) A.空间任意三个点确定一个平面 B.一个点和一条直线确定一个平面 C.两条相交直线确定一个平面 D.空间两两平行的三条直线确定一个或三个平面 4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为　　　　　　.  【名师点拨】 (1)异面直线的判定：经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线. (2)异面直线所成角的范围：两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角. 【必练核心题型】 题型一　基本事实的应用 【典例】1.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线； (3)DE，BF，CC1三线交于一点. 【变式训练】 变式1.如图，已知空间四边形ABCD，E，F分别是AB，BC的中点，G，H分别在CD和AD上，且满足==2.求证： (1)E，F，G，H四点共面； (2)EH，FG，BD三线共点. 题型二　空间位置关系的判断 【典例】1.(多选)下列推断中，正确的是(　　) A.若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l B.若α∩β=l，a⊂α，b⊂β，a∩b=A，则A∈l C.l⊄α，A∈l⇒A∉α D.A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合 【典例】2.(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，当点P在线段BC1上(不包含端点)运动时，下列直线中一定与直线OP异面的是(　　) A.AB1 B.A1C C.A1A D.AD1 【变式训练】 变式1.空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC=∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是(　　) A.平行 B.异面 C.相交或平行 D.平行或异面或相交均有可能 变式2.若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列结论正确的是(　　) A.l与l1，l2都不相交 B.l与l1，l2都相交 C.l至多与l1，l2中的一条相交 D.l至少与l1，l2中的一条相交 题型三　异面直线所成的角 【典例】1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BD的中点，则直线B1E与A1D所成的角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 【典例】2.如图，已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为2，E为棱PA的中点，则异面直线BE与PC所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 【变式训练】 变式1.(2025·崇明模拟)已知底面半径为1的圆柱，O是其上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线.若直线OA与BC所成角的大小为则BC=　　　　　　.  变式2.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=8，AD=6，异面直线BD与AC1所成角的余弦值为则该长方体外接球的表面积为(　　) A.90π B.196π C.784π D. 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.若直线上有两个点在平面外，则(　　) A.直线上至少有一个点在平面内 B.直线上有无穷多个点在平面内 C.直线上所有点都在平面外 D.直线上至多有一个点在平面内 2.下列说法正确的是(　　) A.空间中两直线的位置关系有三种：平行、垂直和异面 B.若空间中两直线没有公共点，则这两直线异面 C.和两条异面直线都相交的两直线是异面直线 D.若两直线分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则这两直线可能相交，也可能异面 3.下列推理错误的是(　　) A.A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α B.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β=AB C.A∈l，l⊂α⇒A∈α D.若直线a⊂α，直线b⊂β，则a与b为异面直线 4.在三棱锥A-BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF∩HG=P，则点P(　　) A.一定在直线BD上 B.一定在直线AC上 C.可能在直线AC上，也可能在BD上 D.不在直线AC上，也不在直线BD上 5.已知平面α∩平面β=l，点A，C∈α，点B∈β，且B∉l，又AC∩l=M，过A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是(　　) A.直线CM B.直线BM C.直线AB D.直线BC 6.安徽徽州古城与四川阆中古城、山西平遥古城、云南丽江古城被称为中国四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底层部分可近似看作一个正方体ABCD-A1B1C1D1.已知该正方体中，点E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过D1，E，F三点的平面与平面ABCD的交线为l，则直线l与直线AD1所成的角为(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.给出以下四个命题，其中错误的是(　　) A.不共面的四点中，其中任意三点不共线 B.若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面 C.若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面 D.依次首尾相接的四条线段必共面 8.如图，四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，E，F分别是棱PD，PA的中点，下列说法正确的有(　　) A.多面体ABF-DCE是三棱柱 B.直线BF与PC互为异面直线 C.平面ADP与平面BCP的交线平行于EF D.四棱锥P-ABCD和四棱锥P-BCEF的体积之比为8∶3 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知α，β是不同的平面，l，m，n是不同的直线，P为空间中一点.若α∩β=l，m⊂α，n⊂β，m∩n=P，则点P与直线l的位置关系用符号表示为　　　　.  10.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有　　　　对.  四、解答题(共27分) 11.(13分)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，CC1的中点. (1)求异面直线A1E与D1F所成角的余弦值；(7分) (2)求三棱锥A1-D1EF的体积.(6分) 12.(14分)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F分别为AA1，CC1的中点，M为AB上一点. (1)若D1E与CM相交于点K，求证：D1E，CM，DA三条直线相交于同一点；(4分) (2)若AB=2，AA1=4，∠BAD=求点D1到平面FBD的距离.(10分) 【尖子生加餐特训】13题5分，14题6分，共11分 13.(2025·绵阳模拟)在平行四边形ABCD中，AB⊥BD，BC=2CD=2，沿对角线BD将△CBD折起，所得四面体ABCD外接球的表面积为24π，则异面直线AB与CD所成的角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 14.(多选)(2025·常州模拟)如图，在正四面体ABCD中，已知AB=2，O为棱AB的中点.现将等腰Rt△EAB绕其斜边AB旋转一周(假设△EAB可以穿过正四面体内部)，则在旋转过程中，下列结论正确的是(　　) A.△EAB绕斜边AB旋转一周形成的旋转体体积为 B.O，C，D，E四点共面 C.点E到CD的最近距离为-1 D.异面直线CD与AE所成角的范围为 学科网（北京）股份有限公司 $$