第七章 §7.2　球的切、接问题（新高考通用）-【2026年高考数学一轮备考·学霸专练】

第七章立体几何与空间向量 §7.2　球的切、接问题 【考情分析·探规律】 考点 3年考情（2021-2024） 命题趋势 考点1 直接求球的表面积与体积及相关应用 2024·全国新Ⅰ卷、2024·北京 2024·全国甲卷、2024·天津 2024·新课标Ⅱ卷、2023·全国乙卷2021·全国新Ⅰ卷 理解、掌握球体的表面积公式和体积公式，熟练掌握不同模型的球体的外接球和内切球的相关计算，会利用（二级）结论快速解题 ；本节内容是新高考卷的常考内容，一般有特殊几何体、墙角问题、对棱相等、侧棱垂直于底面、侧面垂直于底面的外接内切问题，需强化复习。 考点2 正方体与长方体中的球体切接问题 2023·全国甲卷 考点3 圆锥与圆柱中的球体切接问题 2021·天津卷 考点4 棱锥与棱台中的球体切接问题 2023·全国乙卷、2023·新课标Ⅰ卷 2022·全国新Ⅱ卷、2021·全国甲卷 考点5 球体切接问题中的最值及范围问题 2023·全国甲卷 2022·全国乙卷 2022·全国新Ⅰ卷 【知识梳理】　　　　　　 　　　　　 　　　　　 一、正方体与球 1.内切球：内切球直径2R=正方体棱长a. 2.棱切球：棱切球直径2R=正方体的面对角线长a. 3.外接球：外接球直径2R=正方体体对角线长a. 二、长方体与球 外接球：外接球直径2R=体对角线长(a，b，c分别为长方体的长、宽、高). 三、正棱锥与球 1.内切球：V正棱锥=S表·r=S底·h(等体积法)，r是内切球半径，h为正棱锥的高. 2.外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为E，半径为r，R2=(h-R)2+r2(正棱锥外接球半径为R，高为h). 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 四、直棱柱的外接球 球心到直棱柱两底面的距离相等，直棱柱两底面外心连线的中点为其外接球球心.R2=+r2(直棱柱的外接球半径是R，高是h，底面外接圆半径是r). 五、圆柱的外接球 R=(R是圆柱外接球的半径，h是圆柱的高，r是圆柱底面圆的半径). 六、圆锥的外接球 R2=(h-R)2+r2(R是圆锥外接球的半径，h是圆锥的高，r是圆锥底面圆的半径). 【必练核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　 题型一　外接球 命题点1　补形法 【典例】1.古代数学名著《九章算术·商功》中，将底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.若四棱锥P-ABCD为“阳马”，PA⊥平面ABCD，AB=BC=4，PA=3，则此“阳马”外接球的表面积为(　　) A. B. C.π D.41π 【典例】2.已知三棱锥S-ABC的四个顶点都在球O的球面上，且SA=BC=2，SB=AC=，SC=AB=，则球O的表面积是　　　　　　.  【变式训练】在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC=CA=2，且三棱锥P-ABC的体积为，若三棱锥P-ABC的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A.4π B. C.8π D.16π 命题点2　定义法 【典例】1.如图，在四面体ABCD中，∠ACB=∠ADB=90°，AB=2，则四面体ABCD外接球的表面积为(　　) A.2π B.4π C.8π D. 【变式训练】已知菱形ABCD的边长为2，∠B=60°.将△ABC沿AC折起，折起后记点B为P，连接PD，得到三棱锥P-ACD，如图所示，当三棱锥P-ACD的表面积最大时，三棱锥P-ACD的外接球体积为(　　) A. B. C.2π D. 命题点3　垂面法 【典例】1.已知四面体ABCD的各顶点均在球O的球面上，平面ABC⊥平面BCD，AB=BC=AC=CD=2，BC⊥CD，则球O的表面积为(　　) A. B.8π C. D.12π 【变式训练】找两个三角形的外接圆的圆心，过圆心分别作这两个三角形所在平面的垂线，两垂线的交点就是球心. 跟踪训练3　在三棱锥P-ABC中，∠BAC=90°，PA=PB=PC=BC=2，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为(　　) A. B. C. D. 题型二　内切球与棱切球 命题点1　内切球 【典例】1.(2025·洛阳模拟)已知一圆台容器的上、下底面中心分别为O1，O2，且O1O2=10，上、下底面半径分别为2，12，在圆台容器内放置一个可以任意转动的球，则该球表面积的最大值为(　　) A.96π B.192π C.48π D.248π 命题点2　棱切球 【典例】2.一个正四棱锥形骨架的底边边长为2，高为，有一个球的表面与这个正四棱锥的每条棱都相切，则该球的表面积为(　　) A.4π B.4π C.4π D.3π 【变式训练】 变式1.已知一个表面积为24的正方体，假设有一个与该正方体每条棱都相切的球，则此球的体积为(　　) A. B.4π C.8π D. 变式2.将一个母线长为3 cm，底面半径为1 cm的圆锥形木头加工打磨成一个球状零件，则能制作的最大零件的表面积为(　　) A.2π cm2 B.π cm2 C. cm2 D. cm2 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则其棱切球的表面积是(　　) A.π B.2π C.8π D.12π 2.各棱长都相等的四面体的内切球和外接球的体积之比为(　　) A.1∶27 B.1∶9 C.1∶3 D.9∶1 3.一个侧棱长为2的直棱柱的底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图为如图所示的菱形O'A'B'C'，其中O'A'=2，则该直棱柱外接球的表面积为(　　) A.8π B.16π C.32π D.64π 4.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长分别为，3，高AA1=2，则该三棱柱的外接球的表面积为(　　) A.5π B.20π C.π D.44π 5.已知三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，SA=4，BC=2，∠BAC=60°，则三棱锥S-ABC外接球的表面积为(　　) A.32π B.64π C.80π D.128π 6.(2025·常德模拟)如图，现有棱长为6 cm的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分为正三棱锥A1-EFG，且E，F，G分别为棱A1A，A1B1，A1D1上靠近A1的四等分点，若将该玉石打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的体积的最大值为(　　) A. cm3 B.36π cm3 C. cm3 D.72π cm3 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，外接球的表面积为20π，则正四棱锥P-ABCD的高可能是(　　) A.+1 B.-1 C. D.- 8.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2，AB=BC=1，∠ABC=120°，点E是侧棱BB1上的一个动点，下列结论正确的是(　　) A.直三棱柱的侧面积是4+2 B.直三棱柱的外接球表面积是8π C.直三棱柱的内置球的最大表面积为4π D.AE+EC1的最小值为2 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2025·白银模拟)在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC，PA，PB，PC两两垂直，且该三棱锥外接球的表面积为9π，则该三棱锥的体积为　　　　.  10.(2024·福州模拟)在三棱锥A-BCD中，∠ABD=∠ABC=60°，BC=BD=3，AB=6，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为　　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章立体几何与空间向量 §7.2　球的切、接问题 【考情分析·探规律】 考点 3年考情（2021-2024） 命题趋势 考点1 直接求球的表面积与体积及相关应用 2024·全国新Ⅰ卷、2024·北京 2024·全国甲卷、2024·天津 2024·新课标Ⅱ卷、2023·全国乙卷2021·全国新Ⅰ卷 理解、掌握球体的表面积公式和体积公式，熟练掌握不同模型的球体的外接球和内切球的相关计算，会利用（二级）结论快速解题 ；本节内容是新高考卷的常考内容，一般有特殊几何体、墙角问题、对棱相等、侧棱垂直于底面、侧面垂直于底面的外接内切问题，需强化复习。 考点2 正方体与长方体中的球体切接问题 2023·全国甲卷 考点3 圆锥与圆柱中的球体切接问题 2021·天津卷 考点4 棱锥与棱台中的球体切接问题 2023·全国乙卷、2023·新课标Ⅰ卷 2022·全国新Ⅱ卷、2021·全国甲卷 考点5 球体切接问题中的最值及范围问题 2023·全国甲卷 2022·全国乙卷 2022·全国新Ⅰ卷 【知识梳理】　　　　　　 　　　　　 　　　　　 一、正方体与球 1.内切球：内切球直径2R=正方体棱长a. 2.棱切球：棱切球直径2R=正方体的面对角线长a. 3.外接球：外接球直径2R=正方体体对角线长a. 二、长方体与球 外接球：外接球直径2R=体对角线长(a，b，c分别为长方体的长、宽、高). 三、正棱锥与球 1.内切球：V正棱锥=S表·r=S底·h(等体积法)，r是内切球半径，h为正棱锥的高. 2.外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为E，半径为r，R2=(h-R)2+r2(正棱锥外接球半径为R，高为h). 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 四、直棱柱的外接球 球心到直棱柱两底面的距离相等，直棱柱两底面外心连线的中点为其外接球球心.R2=+r2(直棱柱的外接球半径是R，高是h，底面外接圆半径是r). 五、圆柱的外接球 R=(R是圆柱外接球的半径，h是圆柱的高，r是圆柱底面圆的半径). 六、圆锥的外接球 R2=(h-R)2+r2(R是圆锥外接球的半径，h是圆锥的高，r是圆锥底面圆的半径). 【必练核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　 题型一　外接球 命题点1　补形法 【典例】1.古代数学名著《九章算术·商功》中，将底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.若四棱锥P-ABCD为“阳马”，PA⊥平面ABCD，AB=BC=4，PA=3，则此“阳马”外接球的表面积为(　　) A. B. C.π D.41π 【答案】D 【解析】由于PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD， 由于四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD， 所以AB，AD，PA两两互相垂直， 所以四棱锥P-ABCD可补形为长方体，且长方体的体对角线为PC==， 所以外接球的直径2R=， 所以外接球的表面积为4πR2=41π. 【典例】2.已知三棱锥S-ABC的四个顶点都在球O的球面上，且SA=BC=2，SB=AC=，SC=AB=，则球O的表面积是　　　　　　.  【答案】8π 【解析】将三棱锥S-ABC放入长方体中，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，如图所示， 则 则a2+b2+c2=8， 因为球O的直径即为长方体的体对角线， 则球O的半径为=， 所以球O的表面积是4π×=8π. 【解题技巧】满足下列条件的可以补成长方体 (1)(墙角模型)三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，如图①. (2)三棱锥的四个面均是直角三角形，如图②. (3)(对棱模型)三棱锥的对棱两两相等，则每条对棱为长方体的面对角线，如图③. 【变式训练】在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC=CA=2，且三棱锥P-ABC的体积为，若三棱锥P-ABC的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A.4π B. C.8π D.16π 【答案】D 【解析】∵三棱锥P-ABC的体积为， ∴×××PA=， ∴PA=，将三棱锥补成三棱柱，可得球心为三棱柱外接球的球心，球心到底面的距离d等于三棱柱的高PA的一半， ∵△ABC是边长为2的正三角形， ∴△ABC外接圆的半径r=， ∴球的半径为R===2， ∴该球的表面积为4π×22=16π. 命题点2　定义法 【典例】1.如图，在四面体ABCD中，∠ACB=∠ADB=90°，AB=2，则四面体ABCD外接球的表面积为(　　) A.2π B.4π C.8π D. 【答案】B 【解析】设O是AB的中点， 连接OC，OD，如图所示， 由∠ACB=∠ADB=90°， 得OA=OB=OC=OD， 所以O是四面体外接球的球心，且半径为OA=OB=OC=OD=AB=1， 所以外接球的表面积为4π×12=4π. 【解题技巧】到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可. 【变式训练】已知菱形ABCD的边长为2，∠B=60°.将△ABC沿AC折起，折起后记点B为P，连接PD，得到三棱锥P-ACD，如图所示，当三棱锥P-ACD的表面积最大时，三棱锥P-ACD的外接球体积为(　　) A. B. C.2π D. 【答案】D 【解析】由题意可得，△ACD，△ACP均为边长为2的等边三角形，△PAD，△PCD为全等的等腰三角形，则三棱锥P-ACD的表面积 S=2S△ACD+2S△PCD=2××2×2×+2××2×2sin∠PCD=2+4sin∠PCD≤2+4， 当且仅当sin∠PCD=1，即PC⊥CD时， 三棱锥P-ACD的表面积取最大值， 此时△PAD，△PCD为直角三角形， PD==2， 取PD的中点O，连接OA，OC(图略)，由直角三角形的性质可得OA=OC=OD=OP=， 即三棱锥P-ACD的外接球的球心为O， 半径R=， 故外接球体积V=π×()3=. 命题点3　垂面法 【典例】1.已知四面体ABCD的各顶点均在球O的球面上，平面ABC⊥平面BCD，AB=BC=AC=CD=2，BC⊥CD，则球O的表面积为(　　) A. B.8π C. D.12π 【答案】C 【解析】如图，取BC的中点E，BD的中点F，所以F为△BCD的外心， 连接AE，EF，设△ABC的外心为G， 因为AB=BC=AC=2， 即△ABC为等边三角形， 所以点G在AE上，连接OG，OF， 则OG⊥平面ABC，OF⊥平面BCD， 因为平面ABC⊥平面BCD，所以OG⊥OF， 因为△ABC为等边三角形，E为BC的中点， 所以AE⊥BC， 因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AE⊂平面ABC， 所以AE⊥平面BCD，则AE∥OF， 又EF⊂平面BCD，所以AE⊥EF， 同理EF⊥平面ABC，所以EF∥OG， 故四边形OGEF是矩形. 由BC⊥CD，可得BD==2， 故DF=， 又OF=EG=AE=ABsin 60°=， 设球O的半径为R，则R2=OD2=OF2+FD2=， 所以球O的表面积S=4πR2=. 【变式训练】找两个三角形的外接圆的圆心，过圆心分别作这两个三角形所在平面的垂线，两垂线的交点就是球心. 跟踪训练3　在三棱锥P-ABC中，∠BAC=90°，PA=PB=PC=BC=2，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如图，设O1是BC的中点，连接O1A，O1P，由于∠BAC=90°， 所以O1是△ABC的外心，O1A=O1B=O1C. 由于PA=PB=PC=BC=2，O1是BC的中点， 则PO1⊥BC，PO1=，O1A=1， 则P+O1A2=PA2，则PO1⊥O1A. 又O1A∩BC=O1，O1A，BC⊂平面ABC， 所以PO1⊥平面ABC，而PO1⊂平面PBC， 所以平面PBC⊥平面ABC. 由于△PBC是等边三角形，设O是△PBC的外心，连接OA，OB，OC，则OP=OB=OC， 又因为O在PO1上，所以OB=OC=OA， 则O也是三棱锥P-ABC外接球的球心. 设外接球的半径为r，根据等边三角形的性质可知r=OP=O1P=， 所以外接球的表面积为4πr2=4π×=. 题型二　内切球与棱切球 命题点1　内切球 【典例】1.(2025·洛阳模拟)已知一圆台容器的上、下底面中心分别为O1，O2，且O1O2=10，上、下底面半径分别为2，12，在圆台容器内放置一个可以任意转动的球，则该球表面积的最大值为(　　) A.96π B.192π C.48π D.248π 【答案】B 【解析】如图所示， 根据题意可知O1A=2，O2B=12，O1O2=10. 设圆台容器内能放置的最大球的球心为O，且与下底面和母线AB分别切于O2，C， 因为tan∠ABO2==， 所以∠ABO2=60°，所以∠OBO2=30°， 所以可知球的半径 R=OO2=O2Btan 30°=12×=4， 此时球的直径为2R=8<O1O2=10， 即此时球与圆台容器上底面不相切，因此圆台容器内能放置的最大球的表面积S=4πR2=192π. 命题点2　棱切球 【典例】2.一个正四棱锥形骨架的底边边长为2，高为，有一个球的表面与这个正四棱锥的每条棱都相切，则该球的表面积为(　　) A.4π B.4π C.4π D.3π 【答案】B 【解析】如图所示， 因为正四棱锥底边边长为2，高为， 所以OB=，SB=2， O到SB的距离为d==1， 同理O到SC，SD，SA的距离为1，易知O到AB，BC，CD，DA的距离也为1， 所以O为球的球心，所以球的半径为1， 所以球的表面积为4π. 【解题技巧】多面体内切球的球心与半径的确定 (1)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等. (2)正多面体的内切球和外接球的球心重合. (3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合. (4)体积分割是求内切球半径的通用做法. 【变式训练】 变式1.已知一个表面积为24的正方体，假设有一个与该正方体每条棱都相切的球，则此球的体积为(　　) A. B.4π C.8π D. 【答案】D 【解析】设正方体的棱长为a，则6a2=24，解得a=2. 又球与正方体的每条棱都相切，则正方体的面对角线长即为球的直径长，所以球的半径长是， 所以此球的体积为π×=. 变式2.将一个母线长为3 cm，底面半径为1 cm的圆锥形木头加工打磨成一个球状零件，则能制作的最大零件的表面积为(　　) A.2π cm2 B.π cm2 C. cm2 D. cm2 【答案】A 【解析】原问题可转化为求该圆锥的内切球表面积，该内切球的半径与该圆锥轴截面的内切圆半径相等， 画出该轴截面如图， 由母线长为3 cm，底面半径为1 cm可得该圆锥的高h==2(cm)， 设内切球的半径为r，则有S轴截面=×2×2=×3r+×3r+×2r， 解得r= cm，则内切球表面积，即最大零件的表面积为4πr2=2π(cm2). 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则其棱切球的表面积是(　　) A.π B.2π C.8π D.12π 【答案】B 【解析】正方体的棱切球的直径为正方体的面对角线，设棱切球的半径为R，则(2R)2=12+12=2，解得R=，所以其棱切球的表面积S=4πR2=2π. 2.各棱长都相等的四面体的内切球和外接球的体积之比为(　　) A.1∶27 B.1∶9 C.1∶3 D.9∶1 【答案】A 【解析】易知正四面体的内切球球心与外接球球心重合，设正四面体的内切球半径为r，外接球半径为R，正四面体各面面积为S，则由正四面体的体积得V=Sr×4=S(R+r)⇒R=3r，所以正四面体的内切球和外接球的体积之比为πr3∶πR3=1∶27. 3.一个侧棱长为2的直棱柱的底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图为如图所示的菱形O'A'B'C'，其中O'A'=2，则该直棱柱外接球的表面积为(　　) A.8π B.16π C.32π D.64π 【答案】C 【解析】由已知O'A'=O'C'=2，∠C'O'A'=45°， 根据斜二测画法的性质可得， 该直棱柱的底面OA=2，OC=4，OC⊥OA，OC∥AB，OA∥BC， 所以该直棱柱的底面为长为4，宽为2的矩形，其体对角线AC1==4，所以该直棱柱外接球的半径R=2，则该直棱柱外接球的表面积S=4πR2=4π×8=32π. 4.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长分别为，3，高AA1=2，则该三棱柱的外接球的表面积为(　　) A.5π B.20π C.π D.44π 【答案】B 【解析】不妨设AB=AC=，BC=3， 由余弦定理可得 cos A==-， 且A∈(0，π)，则A=， 所以△ABC的外接圆半径r==， 可得该三棱柱的外接球的半径 R==， 所以该三棱柱的外接球的表面积为4πR2=20π. 5.已知三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，SA=4，BC=2，∠BAC=60°，则三棱锥S-ABC外接球的表面积为(　　) A.32π B.64π C.80π D.128π 【答案】A 【解析】△ABC中，BC=2，∠BAC=60°，设△ABC的外接圆半径为r，根据正弦定理有2r===4，∴r=2， 如图，设点O1为△ABC的外心，O为三棱锥外接球的球心， ∵SA⊥平面ABC，∴OO1∥SA，且OS=OA， ∴OO1=SA=2， 在Rt△AO1O中，AO1=r=2，OO1=2，∠AO1O=90°，∴AO=2， 即三棱锥外接球的半径为2， ∴外接球的表面积为4π·=32π. 6.(2025·常德模拟)如图，现有棱长为6 cm的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分为正三棱锥A1-EFG，且E，F，G分别为棱A1A，A1B1，A1D1上靠近A1的四等分点，若将该玉石打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的体积的最大值为(　　) A. cm3 B.36π cm3 C. cm3 D.72π cm3 【答案】B 【解析】由题意知A1E=A1F=A1G= cm， 设点A1到平面EFG的距离为d， 而EF=EG=FG= cm， S△EFG=×××sin 60°=(cm2)， 由=，得××××=×d，解得d= cm， 棱长为6 cm的正方体的内切球的半径为3 cm， 棱长为6 cm的正方体体对角线的长度为6 cm， 因为3-=>3， 所以所求球形饰品的体积最大时即为棱长为6 cm的正方体的内切球，则该球形饰品的体积的最大值为π×33=36π(cm3). 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，外接球的表面积为20π，则正四棱锥P-ABCD的高可能是(　　) A.+1 B.-1 C. D.- 【答案】CD 【解析】依题意，外接球的球心可能在正四棱锥内，也可能在正四棱锥外，如果球心在正四棱锥内，如图1， 其中O1是正方形ABCD的中心，O是外接球的球心， ∵P-ABCD是正四棱锥， ∴PO1⊥平面ABCD，BO1=， 设外接球的半径为R， 则BO=PO=R，4πR2=20π，R=， 在Rt△BOO1中，OO1==，PO1=PO+OO1=； 如果球心在正四棱锥外，如图2， PO1=PO-OO1 =-. 8.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2，AB=BC=1，∠ABC=120°，点E是侧棱BB1上的一个动点，下列结论正确的是(　　) A.直三棱柱的侧面积是4+2 B.直三棱柱的外接球表面积是8π C.直三棱柱的内置球的最大表面积为4π D.AE+EC1的最小值为2 【答案】ABD 【解析】对于A，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos 120°=3， 所以AC=，所以直三棱柱的侧面积为2×(1+1+)=4+2，A正确； 对于B，由正弦定理可得底面△ABC的外接圆半径r1==1，易知直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球球心到底面ABC的距离为1， 所以外接球半径R==，所以外接球表面积为4πR2=8π，B正确； 对于C，若内置球与上、下底面相切，则半径为1； 若内置球与三个侧面相切，由截面图可知，该球半径等于△ABC的内切圆半径r2， 由三角形面积公式可得×(1+1+)r2=×1×1×sin 120°，解得r2=， 因为r2=<1，所以直三棱柱的内置球的最大半径为， 所以直三棱柱的内置球的最大表面积为4×π=(21-12)π，C错误； 对于D，将侧面BB1C1C绕着BB1所在直线旋转到与侧面AA1B1B共面的位置BB1C'1C'，如图， 则当A，E，C'1共线时，AE+EC1取得最小值，为==2，D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2025·白银模拟)在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC，PA，PB，PC两两垂直，且该三棱锥外接球的表面积为9π，则该三棱锥的体积为　　　　.  【答案】 【解析】由于PA=PB=PC，PA，PB，PC两两垂直，将该三棱锥放入正方体中，如图. 则该三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，故该三棱锥的外接球的半径为=PA. 由4π×=9π，得PA=. 由于PA⊥平面PBC，所以该三棱锥的体积为×PA3=. 10.(2024·福州模拟)在三棱锥A-BCD中，∠ABD=∠ABC=60°，BC=BD=3，AB=6，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为　　　　　　.  【答案】72π 【解析】由题意知∠ABD=∠ABC=60°，BC=BD=3，AB=6， 在△ABC中，由余弦定理可得 AC= = =3， 所以AC2+BC2=AB2，则AC⊥BC， 在△ABD中，由余弦定理可得 AD= = =3， 所以AD2+BD2=AB2，则AD⊥BD， 取AB的中点O，则在Rt△ABC和Rt△ABD中，OA=OB=OC=OD， 则三棱锥A-BCD外接球的球心为O，其半径为=3， 所以三棱锥A-BCD外接球的表面积为4π·=4π×=72π. 学科网（北京）股份有限公司 $$