第六章 §6.4　数列中的构造问题（新高考通用）-【2026年高考数学一轮备考·学霸专练】

第六章数列 §6.4　数列中的构造问题 【考情分析·探规律】 考点 3年考情（2021-2024） 命题趋势 数列中的构造问题 2023·全国乙卷 2023·天津 2023·北京卷 2023·新课标Ⅱ卷 2022·全国新Ⅱ卷 2021·全国新Ⅰ卷 该内容是新高考卷的必考内容，一般给出数列为等比数列，或通过构造为等比数列，求通项公式及前n项和。需综合复习。 【名师点拨】 求数列通项公式的方法除了我们前面学习过的公式法、累加法、累乘法，还有构造法，其总的思想是根据数列的递推公式，利用构造法转化为特殊的数列(等差、等比数列或可利用累加、累乘求解的数列)求解. 【必练核心题型】 题型一　待定系数法 命题点1　an+1=pan+q(p≠0，1，q≠0) 【典例】1.已知数列{an}中，a1=5且an+1=4an+6，则an=　　　　　　.  【答案】7×4n-1-2 【解析】因为an+1=4an+6， 所以an+1+2=4an+8=4(an+2)， 又因为a1+2=5+2=7≠0， 所以=4， 所以数列{an+2}是以7为首项，4为公比的等比数列， 所以an+2=7×4n-1⇒an=7×4n-1-2. 命题点2　an+1=pan+qn+c(p≠0，1，q≠0) 【典例】2.已知数列{an}满足an+1=4an-12n+4，且a1=4，若ak=2 024，则k等于(　　) A.253 B.506 C.1 012 D.2 024 【答案】B 【解析】设an+1+λ(n+1)+u=4(an+λn+u)， 所以an+1=4an+3λn+3u-λ， 所以 所以an+1-4(n+1)=4(an-4n). 又a1-4=0， 故{an-4n}为常数列，所以an=4n. 由ak=4k=2 024，解得k=506. 命题点3　an+1=pan+qn(p≠0，1，q≠0，1) 【典例】3.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=an+1-2n+1，a1=2，则an=　　　　　　.  【答案】(n+1)2n-1 【解析】因为Sn=an+1-2n+1， Sn-1=an-2n(n≥2)， 两式相减得Sn-Sn-1=(an+1-2n+1)-(an-2n)， 即an+1=2an+2n. 两边同除以2n+1可得-=(n≥2)， 又S1=a2-22=2，得a2=6， 满足-=， 所以数列是首项为=1，公差为的等差数列， 故=1+=， 即an=(n+1)2n-1. 【解题技巧】 　 形式 构造方法 an+1=pan+q 引入参数c，构造新的等比数列{an-c} an+1=pan+qn+c 引入参数x，y，构造新的等比数列{an+xn+y} an+1=pan+qn 两边同除以qn+1，构造新的数列 【变式训练】 变式1.(多选)已知数列{an}，下列结论正确的有(　　) A.若a1=2，2(n+1)an-nan+1=0，则an=n·2n B.在数列{an}中，a1=1，且an=2an-1+3(n≥2，且n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an=2n+1-3 C.若a1=2，an=an-1+(n≥2)，则数列是等比数列 D.已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+n-1，则数列{an}的通项公式为an=2n-n+1 【答案】AB 【解析】∵2(n+1)an-nan+1=0， ∴=， ∴是首项为=2，公比为2的等比数列， ∴=2·2n-1，∴an=n·2n，故A正确； 由an=2an-1+3(n≥2)，得an+3=2(an-1+3)， 即=2， 又a1+3=1+3=4， ∴数列{an+3}是首项为4，公比为2的等比数列， ∴an+3=4×2n-1，即an=2n+1-3， ∴数列{an}的通项公式为an=2n+1-3，故B正确； 根据题意，an=an-1+ ⇔-=1，n≥2， 又=6，∴是首项为6，公差为1的等差数列，故C错误； 设an+1+k(n+1)+b=2(an+kn+b)， ∴an+1=2an+kn+b-k， 由an+1=2an+n-1， 得解得 ∴=2， 即{an+n}是首项为a1+1=2，公比为2的等比数列. ∴an+n=2×2n-1=2n，故an=2n-n，故D错误. 题型二　取倒数法和取对数法 命题点1　取倒数法 【典例】1.已知数列{an}中，a1=1，an+1=(n∈N*)，则an=　　　　　　.  【答案】 【解析】因为an+1=(n∈N*)， 所以=+1， 设+t=3， 所以3t-t=1，解得t=， 所以+=3， 又+=1+=， 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，所以+=×3n-1=， 所以an=. 命题点2　取对数法 【典例2.(2025·岳阳模拟)已知数列{an}满足a1=10，an+1=10，若as·at=a10，则s+t的最大值为(　　) A.10 B.12 C.16 D.18 【答案】D 【解析】由an+1=10可得an>0， lg an+1=lg(10)=2lg an+1， 故lg an+1+1=2(lg an+1)， 又lg a1+1=2，故{lg an+1}是首项为2，公比为2的等比数列， 则lg an+1=2n，故an=， 由as·at=a10可得·==， 故2s+2t=210， 则210≥2=2=， 故+1≤10，得0<s+t≤18，当且仅当s=t=9时取等号， 故s+t的最大值为18. 【解题技巧】 (1)形如an+1=的递推公式，两边同时取倒数转化为=·+的形式，化归为bn+1=pbn+q型，求出的通项公式，再求an. (2)形如an+1=p的递推公式，两边同取以p为底的对数，得logpan+1=qlogpan+1，将logpan看成整体，运用待定系数法求得logpan的表达式，再得出an. 【变式训练】 变式1.在数列{bn}中，b1=-1，bn+1=，则数列{bn}的通项公式bn=　　　　.  【答案】 【解析】bn+1=的两边同时取倒数， 得=，即=+3， 因此+3=2， 又+3=2， 故是以2为首项，2为公比的等比数列， 则+3=2·2n-1=2n，可得bn=. 变式2.设数列{an}满足a1=100，an>0，且10an=(n≥2)，则an=　　　　　　.  【答案】 【解析】由10an=(n≥2)且an>0，两边取对数得lg an+1=2lg an-1，n≥2， 令xn=lg an，则xn+1=2xn-1，n≥2， 整理得xn-1=2(xn-1-1)， 又x1-1=lg a1-1=1， 所以数列为首项为1，公比为2的等比数列， 则xn-1=2n-1，故xn=2n-1+1， 故an=1. 【拓展训练】 特征根法求an＋2＝pan＋1＋qan型的通项公式 an＋2＝pan＋1＋qan对应于一元二次方程x2－px－q＝0，此方程为该数列的特征根方程. (1)若特征根方程有两个不等实根α，β，则an＝A·αn＋B·βn，A，B由a1，a2的值决定； (2)若特征根方程只有一个实根α，则an＝(An＋B)·αn，A，B由a1，a2的值决定. 【典例】1.已知数列{an}满足a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)，则an＝　　　　　　.  【答案】1＋2n－1 【解析】an＋2＝3an＋1－2an，其特征方程为x2＝3x－2， 解得x1＝1，x2＝2， 令an＝c1·1n＋c2·2n， 由得 ∴an＝1＋2n－1. 【典例】2.已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，4an＋2＝4an＋1－an(n∈N*)，则an＝　　　　　　.  【答案】 【解析】4an＋2＝4an＋1－an， 其特征方程为4x2＝4x－1，解得x1＝x2＝， 令an＝(c1＋nc2)， 由得∴an＝. 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共20分) 1.在数列{an}中，Sn为其前n项和，首项a1=1，又函数f(x)=x3-an+1sin x+(2an+1)x+1，若f'(0)=0，则S2 025等于(　　) A.22 023-2 024 B.22 024-2 025 C.22 025-2 026 D.22 026-2 027 【答案】D 【解析】因为f(x)=x3-an+1sin x+(2an+1)x+1， 所以f'(x)=3x2-an+1cos x+2an+1， 若f'(0)=0，则an+1=2an+1， 所以an+1+1=2(an+1)， 又a1+1=2，所以数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以an+1=2n，所以an=2n-1， 故Sn=-n=2n+1-n-2， 所以S2 025=22 026-2 027. 2.已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+n，则a4等于(　　) A.17 B.18 C.19 D.20 【答案】C 【解析】方法一　因为an+1=2an+n， 所以an+1+n+2=2an+2n+2=2(an+n+1)， 又a1+1+1=1+1+1=3， 即数列{an+n+1}是以3为首项，2为公比的等比数列， 即an+n+1=3·2n-1， 即an=3·2n-1-n-1， 故a4=3·23-4-1=19. 方法二　由an+1=2an+n，a1=1， 故a2=2a1+1=3， a3=2a2+2=8，a4=2a3+3=19. 3.(2025·宜宾模拟)一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房(如图)，【典例】如：从蜂房A只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房……以此类推，用an表示蜜蜂爬到n号蜂房的方法数，则a2 023a2 025-等于(　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 【答案】B 【解析】依题意，an=an-1+an-2(n≥3)， a1=1，a2=2，a3=a1+a2=3， 当n≥2时，anan+2-=an(an+1+an)-=anan+1+-=+an+1(an-an+1)=-an+1an-1=-(an-1an+1-)， a1a3-=-1， 所以数列{anan+2-}是首项为-1，公比为-1的等比数列， 所以a2 023a2 025-=(-1)×(-1)2 023-1=-1. 4.在数列{an}中，a1=1，an+1=3an-2n-1(n∈N*)，记cn=3n-2×(-1)nλan，若数列{cn}为递增数列，则实数λ的取值范围为(　　) A. B.(-2，1) C.(-1，1) D.(0，1) 【答案】A 【解析】由an+1=3an-2n-1， 得=·-， 即-=， 而-=0，则-=0， 即an=2n-1， 则cn=3n-2×(-1)nλ·2n-1=3n-(-2)nλ， 由数列{cn}为递增数列，得∀n∈N*，cn+1>cn恒成立， 则∀n∈N*，3n+1-(-2)n+1λ>3n-(-2)nλ， 即3n-1>(-2)n-1λ恒成立， 当n为奇数时，λ<恒成立，数列为递增数列，的最小值为1，则λ<1， 当n为偶数时，λ>-恒成立，数列为递减数列，-的最大值为-，则λ>-， 所以实数λ的取值范围为. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 5.已知数列{an}的前n项和为Sn，a2=3，且an+1=3Sn+2(n∈N*)，则下列说法正确的有(　　) A.a1= B.S4= C.{an}是等比数列 D.是等比数列 【答案】ABD 【解析】由题意，数列{an}的前n项和为Sn，a2=3，且an+1=3Sn+2， 则a2=3S1+2=3a1+2， 所以a1=，故A正确； 因为an+1=3Sn+2， ① 所以当n≥2 时，an=3Sn-1+2， ② ①-②得an+1-an=3an，即an+1=4an， 当n=1时，a1=，不满足a2=4a1， 故数列{an}不是等比数列，故C错误； 当n≥2时，an+1=4an， 则a3=4a2=12，a4=4a3=48， 故S4=+3+12+48=，故B正确； 由an+1=3Sn+2， 得Sn+1-Sn=3Sn+2， 所以Sn+1=4Sn+2， 令Sn+1+λ=4(Sn+λ)， 则Sn+1=4Sn+3λ， 所以3λ=2，即λ=， 所以Sn+1+=4，即=4， 故是首项为S1+=a1+=1， 公比为4的等比数列，故D正确. 6.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，an+1=4an+3×4n，则(　　) A.a2=24 B.为等比数列 C.S10= D.log2(4a100-3S100+1)=200 【答案】ACD 【解析】选项A，由题意得a2=4a1+3×4=24，A正确； 选项B，将an+1=4an+3×4n两边同时除以4n+1， 得=+， 即-=， 则是首项为=，公差为的等差数列，不是等比数列，B错误； 选项C，由=+(n-1)=n， 得an=3n×4n-1， 所以Sn=3+6×4+9×42+…+3n×4n-1， ① 则4Sn=3×4+6×42+9×43+…+3n×4n， ② ①-②得，-3Sn=3+3×(4+42+43+…+4n-1)-3n×4n=3+3×-3n×4n=-(3n-1)×4n-1， 即Sn=， 则S10=，C正确； 选项D，因为4an-3Sn+1=4×3n×4n-1-3×+1=4n， 所以log2(4a100-3S100+1)=log24100=log22200=200，D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 7.已知数列{an}中，a1=1，a2=2，an+1-5an+4an-1=0(n∈N*，n≥2)，则{an}的通项公式为　　　　　　.  【答案】an= 【解析】因为当n≥2时，an+1-5an+4an-1=0， 所以an+1-an=4(an-an-1)， 又a1=1，a2=2，则a2-a1=1， 所以{an+1-an}是以1为首项，4为公比的等比数列， 所以an+1-an=4n-1， 从而an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=4n-2+4n-3+…+41+40+1 =+1=， 当n=1时，a1=1满足上式， 所以an=. 8.(2025·南京模拟)已知数列{an}满足a1=1，2an+1-an+anan+1=0(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为　　　　　　.  【答案】an= 【解析】在数列{an}中，a1=1，2an+1-an+anan+1=0，显然an≠0， 则有=2·+1， 即+1=2， 而+1=2， 因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以+1=2n， 即an=. 四、解答题(共28分) 9.(13分)(2025·湖北云学重点高中联盟联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，a2=1且Sn+1=2Sn+n(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式；(6分) (2)设数列{bn}满足bn=log2(an+1)，数列{bn}的前n项和为Tn，求+++…+.(7分) 【解析】 (1)由Sn+1=2Sn+n，可得an+1=Sn+n， 令n=1，可得a2=S1+1=1，即S1=a1=0， 由Sn+1=2Sn+n可得Sn+1+(n+1)+1=2(Sn+n+1)，且S1+1+1=2≠0， 可知数列{Sn+n+1}是首项为2，公比为2的等比数列， 则Sn+n+1=2×2n-1=2n，可得Sn+n=2n-1，即an+1=2n-1， 则an=2n-1-1，n≥2， 且a1=0符合上式，所以an=2n-1-1. (2)由(1)可得bn=log2(an+1)=log22n-1=n-1， 则bn+1-bn=n-(n-1)=1， 可知{bn}是首项b1=0，公差为1的等差数列， 可得Tn==， 当n≥2时，则==2， 所以+++…+ =2 =2. 10.(15分)(2025·八省联考)已知数列{an}中,a1=3,an+1=. (1)证明:数列为等比数列;(5分) (2)求{an}的通项公式;(4分) (3)令bn=,证明:bn<bn+1<1.(6分) (1)【证明】　∵an+1=, ∴==+, ∴1-=-=, 又1-=≠0, ∴数列是首项为,公比为的等比数列. (2)【解析】由(1)知1-=, 故an==. (3)证明　bn==· ===1-, 显然数列为递增数列, 且3·-2>0对n∈N*恒成立, ∴数列为递减数列, ∴数列{bn}为递增数列,且bn<1,∴bn<bn+1<1. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章数列 §6.4　数列中的构造问题 【考情分析·探规律】 考点 3年考情（2021-2024） 命题趋势 数列中的构造问题 2023·全国乙卷 2023·天津 2023·北京卷 2023·新课标Ⅱ卷 2022·全国新Ⅱ卷 2021·全国新Ⅰ卷 该内容是新高考卷的必考内容，一般给出数列为等比数列，或通过构造为等比数列，求通项公式及前n项和。需综合复习。 【名师点拨】 求数列通项公式的方法除了我们前面学习过的公式法、累加法、累乘法，还有构造法，其总的思想是根据数列的递推公式，利用构造法转化为特殊的数列(等差、等比数列或可利用累加、累乘求解的数列)求解. 【必练核心题型】 题型一　待定系数法 命题点1　an+1=pan+q(p≠0，1，q≠0) 【典例】1.已知数列{an}中，a1=5且an+1=4an+6，则an=　　　　　　.  命题点2　an+1=pan+qn+c(p≠0，1，q≠0) 【典例】2.已知数列{an}满足an+1=4an-12n+4，且a1=4，若ak=2 024，则k等于(　　) A.253 B.506 C.1 012 D.2 024 命题点3　an+1=pan+qn(p≠0，1，q≠0，1) 【典例】3.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=an+1-2n+1，a1=2，则an=　　　　　　.  【变式训练】 变式1.(多选)已知数列{an}，下列结论正确的有(　　) A.若a1=2，2(n+1)an-nan+1=0，则an=n·2n B.在数列{an}中，a1=1，且an=2an-1+3(n≥2，且n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an=2n+1-3 C.若a1=2，an=an-1+(n≥2)，则数列是等比数列 D.已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+n-1，则数列{an}的通项公式为an=2n-n+1 题型二　取倒数法和取对数法 命题点1　取倒数法 【典例】1.已知数列{an}中，a1=1，an+1=(n∈N*)，则an=　　　　　　.  命题点2　取对数法 【典例2.(2025·岳阳模拟)已知数列{an}满足a1=10，an+1=10，若as·at=a10，则s+t的最大值为(　　) A.10 B.12 C.16 D.18 【变式训练】 变式1.在数列{bn}中，b1=-1，bn+1=，则数列{bn}的通项公式bn=　　　　.  变式2.设数列{an}满足a1=100，an>0，且10an=(n≥2)，则an=　　　　　　.  【拓展训练】 特征根法求an＋2＝pan＋1＋qan型的通项公式 an＋2＝pan＋1＋qan对应于一元二次方程x2－px－q＝0，此方程为该数列的特征根方程. (1)若特征根方程有两个不等实根α，β，则an＝A·αn＋B·βn，A，B由a1，a2的值决定； (2)若特征根方程只有一个实根α，则an＝(An＋B)·αn，A，B由a1，a2的值决定. 【典例】1.已知数列{an}满足a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)，则an＝　　　　　　.  【典例】2.已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，4an＋2＝4an＋1－an(n∈N*)，则an＝　　　　　　.  【限时训练】（限时：60分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共20分) 1.在数列{an}中，Sn为其前n项和，首项a1=1，又函数f(x)=x3-an+1sin x+(2an+1)x+1，若f'(0)=0，则S2 025等于(　　) A.22 023-2 024 B.22 024-2 025 C.22 025-2 026 D.22 026-2 027 2.已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+n，则a4等于(　　) A.17 B.18 C.19 D.20 3.(2025·宜宾模拟)一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房(如图)，【典例】如：从蜂房A只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房……以此类推，用an表示蜜蜂爬到n号蜂房的方法数，则a2 023a2 025-等于(　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 4.在数列{an}中，a1=1，an+1=3an-2n-1(n∈N*)，记cn=3n-2×(-1)nλan，若数列{cn}为递增数列，则实数λ的取值范围为(　　) A. B.(-2，1) C.(-1，1) D.(0，1) 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 5.已知数列{an}的前n项和为Sn，a2=3，且an+1=3Sn+2(n∈N*)，则下列说法正确的有(　　) A.a1= B.S4= C.{an}是等比数列 D.是等比数列 6.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，an+1=4an+3×4n，则(　　) A.a2=24 B.为等比数列 C.S10= D.log2(4a100-3S100+1)=200 三、填空题(每小题5分，共10分) 7.已知数列{an}中，a1=1，a2=2，an+1-5an+4an-1=0(n∈N*，n≥2)，则{an}的通项公式为　　　　　　.  8.(2025·南京模拟)已知数列{an}满足a1=1，2an+1-an+anan+1=0(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为　　　　　　.  四、解答题(共28分) 9.(13分)(2025·湖北云学重点高中联盟联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，a2=1且Sn+1=2Sn+n(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式；(6分) (2)设数列{bn}满足bn=log2(an+1)，数列{bn}的前n项和为Tn，求+++…+.(7分) 10.(15分)(2025·八省联考)已知数列{an}中,a1=3,an+1=. (1)证明:数列为等比数列;(5分) (2)求{an}的通项公式;(4分) (3)令bn=,证明:bn<bn+1<1.(6分) 学科网（北京）股份有限公司 $$