第六章 §6.3　等比数列（新高考通用）-【2026年高考数学一轮备考·学霸专练】

第六章数列 §6.3　等比数列 【考情分析·探规律】 考点 3年考情（2021-2024） 命题趋势 等比数列及其前n项和 2024·北京、2024·全国甲卷 2023·全国甲卷、2024·天津 2023·天津卷、2024·新课标Ⅱ卷 2023·全国新Ⅱ卷、2023·北京 2023·全国甲卷、2023·全国乙卷 2022·全国乙卷、2022·天津 2021·全国甲卷、2022·浙江 掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，能在具体的问题情境中识别数列的等比关系并能用等比数列的有关知识解决相应的问题，熟练掌握等比数列通项公式与前n项和的性质，该内容是新高考卷的必考内容，一般给出数列为等比数列，或通过构造为等比数列，求通项公式及前n项和。需综合复习。 【知识梳理】　　　　 1.等比数列有关的概念 (1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示. (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2=ab. 2.等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其通项公式为an=a1qn-1. (2)等比数列通项公式的推广：an=amqn-m. (3)等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=na1；当q≠1时，Sn==. 3.等比数列的常用性质 (1)若m+n=p+q，则aman=apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w=m+n，则aman=，其中m，n，w∈N*. (2)ak，ak+m，ak+2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*). (3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和也是等比数列(b，p，q≠0). (4)若或则等比数列{an}递增. 若或则等比数列{an}递减. 4.等比数列前n项和的常用性质 若等比数列{an}的 前n项和为Sn，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n仍成等比数列(公比q=-1且n为偶数除外)，其公比为qn. 【名师点拨】 1.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a}，，{an·bn}，也是等比数列. 2.数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和. (1)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列. (2)若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q，或＝q. 3.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0. 4.等比数列{an}的前n项和Sn，可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1，0). 5.三个数成等比数列，通常设为，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为，，xq，xq3. 【随堂练习】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)等比数列的公比q是一个常数，它可以是任意实数.(　　) (2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　　) (3)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　　) (4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.(　　) 【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 【解析】(1)在等比数列中，q≠0. (2)若a＝0，b＝0，c＝0满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列. (3)当a＝1时，Sn＝na. (4)若a1＝1，q＝－1，则S4＝0，S8－S4＝0，S12－S8＝0，不成等比数列. 2.(2025·临汾模拟)在等比数列{an}中，a1=1，a5=4，则a3等于(　　) A.2 B.-2 C.±2 D.2 【答案】A 【解析】由等比数列的性质可知， =a1·a5=4，所以a3=±2， 又因为=q2>0，所以a3=2. 3.(多选)设数列{an}是各项均为正数的等比数列，则(　　) A.a3，a5，a7成等比数列 B.{}是等比数列 C.{lg an}是等比数列 D.是等比数列 【答案】ABD 【解析】设等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0). 对于A，==q8，a3·a7=(a1q2)·(a1q6)=q8，所以=a3·a7，则a3，a5，a7成等比数列，A正确； 对于B，因为=q3，所以{}是等比数列，B正确； 对于C，不妨设等比数列{an}为an=1，则lg an=0，所以{lg an}不是等比数列，C错误； 对于D，因为==，所以是等比数列，D正确. 4.在等比数列{an}中，a1=3，a1+a3+a5=21，则a7+a9=　　　　　　.  【答案】72 【解析】设等比数列{an}的公比为q， 因为a1=3，且a1+a3+a5=21， 可得a1(1+q2+q4)=21，解得q2=2， 所以a7+a9=a1(q6+q8)=24a1=72. 【名师点拨】解题时关注三个关键点 (1)当q≠0，且q≠1时，Sn=k-k·qn(k≠0)是{an}是等比数列的充要条件，此时k=. (2)由an+1=qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0. (3)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q=1与q≠1分类讨论，防止因忽略q=1这一特殊情形而导致解题失误. 【必练核心题型】 题型一　等比数列基本量的运算 【典例】1.(2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1=1，S5=5S3-4，则S4等于(　　) A. B. C.15 D.40 【答案】C 【解析】方法一　若该数列的公比q=1，代入S5=5S3-4中， 有5=5×3-4，不成立，所以q≠1. 由=5×-4， 化简得q4-5q2+4=0， 所以q2=1(舍)或q2=4， 因为此数列各项均为正数， 所以q=2，所以S4==15. 方法二　由题知1+q+q2+q3+q4=5(1+q+q2)-4， 即q3+q4=4q+4q2， 即q3+q2-4q-4=0， 即(q-2)(q+1)(q+2)=0. 由题知q>0，所以q=2. 所以S4=1+2+4+8=15. 【典例】2.我国明代的数学家、音乐理论家朱载堉创立的十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比【典例】，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如表所示，其中a1，a2，…，a13表示这些半音的频率，它们满足log2=1(i=1，2，…，12).若某一半音与D#的频率之比为，则该半音为(　　) 频率 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 半音 C C# D D# E F F# G G# A A# B C(八度) A.F# B.G C.G# D.A 【答案】B 【解析】依题意可知an>0(n=1，2，…，13). 由于a1，a2，…，a13满足log2=1(i=1，2，…，12)， 则=2，所以=， 所以数列a1，a2，…，a13为等比数列，公比q=， D#对应的频率为a4，所求半音与D#的频率之比为=， 所以所求半音对应的频率为a4·=a8，即对应的半音为G. 【解题技巧】等比数列基本量的运算的解题策略 (1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求解. (2)解方程组时常常利用“作商”消元法. (3)运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q=1的情形，否则会漏解或增解. 【变式训练】 变式1.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a2=4，=8，则a1等于(　　) A.16 B.8 C.6 D.2 【答案】D 【解析】设等比数列{an}的公比为q， 由=8， 即==8， 可得q3=8，即q=2， 又a2=4，所以a1==2. 变式2.设数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，若b1=-1，b5=8b2，(1-2n)Sn=n(n+1)Tn，则an=　　　　　　.  【答案】2n 【解析】设等比数列{bn}的公比为q， 由b5=8b2，则q3=8，解得q=2， 又b1=-1，所以bn=-2n-1， 所以Tn==1-2n， 代入(1-2n)Sn=n(n+1)Tn， 解得Sn=n(n+1)， 当n=1时，a1=S1=2， 当n≥2，n∈N*时，an=Sn-Sn-1=n(n+1)-n(n-1)=2n， a1=2满足上式，所以an=2n，n∈N*. 题型二　等比数列的判定与证明 【典例】1.(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的是(　　) A.若b2=ac，则a，b，c成等比数列 B.若{an}为等差数列，则{}为等比数列 C.若Sn=3n-1，则数列{an}为等比数列 D.若a1=1，a2=2，3an+1=an+2an+2(n∈N*)，则{an+1-an}为等比数列 【答案】BCD 【解析】对于A，当a=b=c=0时，b2=ac，此时a，b，c不成等比数列，故A错误； 对于B，若{an}为等差数列，设其公差为d，则此时有==2d>0，所以数列{}为等比数列，故B正确； 对于C，若Sn=3n-1，则a1=S1=2， an=Sn-Sn-1=3n-1-(3n-1-1)=3n-3n-1=2·3n-1(n≥2)， a1=2显然满足an=2·3n-1， 所以数列{an}为等比数列，故C正确； 对于D，因为3an+1=an+2an+2， 所以2(an+2-an+1)-(an+1-an)=0， 而a1=1，a2=2， 因此数列{an+1-an}是首项为1，公比为的等比数列，故D正确. 【典例2.已知数列{an}的首项a1=，且满足an+1=. ①求证：数列为等比数列； ②若+++…+<2 025，求满足条件的最大正整数n. ①证明　由an+1=， 得=1+·，则-2=， 又a1=-2=≠0， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. ②【解析】由①可得-2=， 所以=+2， 则++…+=+2n=+2n=1-+2n， 由+++…+<2 025， 得1-+2n<2 025，即2n-<2 024， 又函数y=2n-为增函数， 所以满足2n-<2 024的最大正整数为1 012. 【解题技巧】等比数列的四种常用判定方法 (1)定义法：若=q(q为非零常数，且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列. (2)等比中项法：若在数列{an}中，an≠0且=anan+2(n∈N*)，则{an}是等比数列. (3)通项公式法：若数列{an}的通项公式可写成an=cqn-1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列. (4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn=kqn-k(k为常数，且k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列. 【变式训练】 变式1.已知数列{an}满足an(an-1+3an+1)=4an-1an+1(n≥2，n∈N*)，且a1=1，a2=. (1)证明：数列是等比数列； (2)求{an}的通项公式. (1)证明　∵an(an-1+3an+1)=4an-1an+1(n≥2，n∈N*)， ∴an·an-1+an·3an+1=4an-1an+1， ∴+=， ∴-=3， 又-=4-1=3≠0， ∴数列是首项为3，公比为3的等比数列. (2)【解析】由(1)得-=3×3n-1=3n， ∴当n≥2时，++…+=3n-1+3n-2+…+31==，即-=， ∴=+=+1=， ∴an=， 又a1=1也满足上式， ∴数列{an}的通项公式为an=. 题型三　等比数列的性质 命题点1　项的性质 【典例】1.(2023·全国乙卷)已知{an}为等比数列，a2a4a5=a3a6，a9a10=-8，则a7=　　　　.  【答案】-2 【解析】方法一　{an}为等比数列， ∴a4a5=a3a6，∴a2=1， 又a2a9a10=a7a7a7，∴1×(-8)=(a7)3， ∴a7=-2. 方法二　设{an}的公比为q(q≠0)， 则a2a4a5=a3a6=a2q·a5q，显然an≠0， 则a4=q2，即a1q3=q2，则a1q=1， ∵a9a10=-8，则a1q8·a1q9=-8， 则q15=(q5)3=-8=(-2)3， 则q5=-2，则a7=a1q·q5=q5=-2. 【拓展训练】 下标和相等的等差(比)性质的推广 (1)若数列{an}为等比数列，且m1+m2+…+mn=k1+k2+…+kn，则·…·=·…·. (2)若数列{an}为等差数列，且m1+m2+…+mn=k1+k2+…+kn，则++…+=++…+. 【典例】已知等差数列{an}，Sn为前n项和，且a9=5，S8=16，则S11=　　　　.  【答案】33 【解析】S8==16，∴a1+a8=4， 又∵a9+a1+a8=3a6，∴a6=3， 故S11=11a6=33. 命题点2　和的性质 【典例】1.设Sn是等比数列{an}的前n项和，若S2=2，a3+a4=6，则等于(　　) A.2 B. C.3 D. 【答案】D 【解析】由题意得S2=2，S4-S2=6，S4=S2+6=8，且等比数列{an}的公比q≠-1， 则S2，S4-S2，S6-S4成等比数列， 故=S2(S6-S4)，即62=2(S6-8)， 解得S6=26，故==. 【典例】2.已知等比数列{an}有2n+1项，a1=1，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则n等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【解析】因为等比数列{an}有2n+1项，则奇数项有n+1项，偶数项有n项，设公比为q， 得到奇数项的和为1+q2+q4+…+q2n=1+q(q+q3+q5+…+q2n-1)=85， 偶数项的和为q+q3+q5+…+q2n-1=42，整体代入得q=2， 所以前2n+1项的和为=85+42=127，解得n=3. 【解题技巧】 (1)在解决与等比数列有关的问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是“若m+n=p+q，则aman=apaq”，可以减少运算量，提高解题速度. (2)在应用等比数列的性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用. 【变式训练】 变式1.(多选)下列说法正确的是(　　) A.若等比数列{an}的前n项和Sn=2n-1+t，则t=-1 B.若{an}为等比数列，且a2a7+a3a6=6，则a1a2a3…a8=81 C.若数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…成等比数列 D.项数为奇数的等比数列{an}，a1=2，S奇=，S偶=，则公比q= 【答案】BD 【解析】对于A，因为Sn=2n-1+t=t+×2n，由等比数列的前n项和公式Sn==-qn，知t=-，所以A错误； 对于B，由a2a7+a3a6=6，得到a2a7=a3a6=3，所以a1a2a3…a8==81，故B正确； 对于C，当q=-1，n为偶数时，Sn=0，显然Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…不成等比数列，所以C错误； 对于D，设数列{an}共有2m+1项，由题意得S奇=a1+a3+…+a2m+1=，S偶=a2+a4+…+a2m=，则S奇=a1+a2q+…+a2mq=2+q(a2+a4+…+a2m)=2+q=，解得q=，故D正确. 变式2.(多选)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，且满足条件a1>1，a2 024a2 025>1，(a2 024-1)(a2 025-1)<0，则下列结论正确的是(　　) A.{an}为递减数列 B.S2 024+1<S2 025 C.T2 024是数列{Tn}中的最大项 D.T4 049>1 【答案】AC 【解析】由(a2 024-1)(a2 025-1)<0， 得或 ∵a2 024a2 025>1， ∴a2 024和a2 025同号，且一个大于1，一个小于1. ∵a1>1，∴a2 024>1，0<a2 025<1， 即数列{an}的前2 024项都大于1，而从第2 025项开始都小于1，公比q=<1，且q>0. ∵a1>1，∴an=a1qn-1为减函数， 故{an}为递减数列，故A正确； ∵a2 025<1，∴a2 025=S2 025-S2 024<1， 即S2 024+1>S2 025，故B错误； 等比数列{an}的前n项积为Tn，且数列{an}的前2 024项大于1，而从第2 025项开始都小于1，故T2 024是数列{Tn}中的最大项，故C正确； T4 049=a1a2a3…a4 049=， ∵a2 025<1，∴<1，即T4 049<1，故D错误. 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知数列{an}中，a1=1，-=0，Sn为其前n项和，则S5等于(　　) A. B. C.11 D.31 【答案】B 【解析】由-=0得=， 又∵a1=1， ∴数列{an}是首项为1，公比为的等比数列， ∴S5==2-=. 2.(2025·廊坊模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1+a3+a5=1，a2+a4+a6=2，则S12-S6等于(　　) A.18 B.54 C.128 D.192 【答案】D 【解析】设等比数列{an}的公比为q， 则(a1+a3+a5)q=a2+a4+a6，解得q=2. S12-S6=a7+a8+…+a12=(a1+a2+…+a6)×26=3×26=192. 3.(2025·哈师大附中模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若=，则等于(　　) A. B.8 C.9 D.16 【答案】B 【解析】设等比数列{an}的公比为q，由=，得S6-S3=3S3，则q3==3， 又Sn为{an}的前n项和，则S3，S6-S3，S9-S6，S12-S9成等比数列，公比为q3=3， 于是S12=S3+(S6-S3)+(S9-S6)+(S12-S9)=S3+3S3+32S3+33S3=40S3， 所以==8. 4.(2023·新高考全国Ⅱ)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4=-5，S6=21S2，则S8等于(　　) A.120 B.85 C.-85 D.-120 【答案】C 【解析】方法一　设等比数列{an}的公比为q，首项为a1， 若q=1，则S6=6a1=3×2a1=3S2，不符合题意，所以q≠1. 由S4=-5，S6=21S2，可得=-5， =21×， ① 由①可得，1+q2+q4=21，解得q2=4， 所以S8==·(1+q4)=-5×(1+16)=-85. 方法二　设等比数列{an}的公比为q， 因为S4=-5，S6=21S2， 所以q≠-1，否则S4=0， 从而S2，S4-S2，S6-S4，S8-S6成等比数列， 所以(-5-S2)2=S2(21S2+5)， 解得S2=-1或S2=， 当S2=-1时，S2，S4-S2，S6-S4，S8-S6， 即为-1，-4，-16，S8+21， 易知S8+21=-64，即S8=-85； 当S2=时，S4=a1+a2+a3+a4=(a1+a2)(1+q2)=(1+q2)S2>0， 与S4=-5矛盾，舍去. 综上，S8=-85. 5.在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数R0=4，平均感染周期为7天，那么感染人数由1(初始感染者)增加到3 333大约需要的天数为(初始感染者传染R0个人为第一轮传染，这R0个人每人再传染R0个人为第二轮传染……参考数据：lg 2≈0.301 0) (　　) A.42 B.43 C.35 D.49 【答案】A 【解析】设第n轮感染的人数为an，前n轮感染的总人数为Sn，则数列{an}是首项a1=4，公比q=4的等比数列， 由Sn+1=+1≥3 333， 可得4n+1≥10 000， 两边取对数得(2n+2)lg 2≥4， 所以n+1≥≈≈6.64，n≥5.64， 所以感染人数由1增加到3 333需要6轮传染，故需要的天数约为6×7=42. 6.(2025·遵义模拟)若数列{an}满足a1=，且对任意正整数p，q都有apaq=ap+q，则等于(　　) A.4 B. C.6 D. 【答案】B 【解析】由apaq=ap+q， 得(p+q)ap+q=pap·qaq， 令bn=nan(n∈N*)， 依题意，对任意正整数p，q都有bp+q=bpbq， 令p=1，q=n(n∈N*)， 则∀n∈N*，bn+1=b1bn， 而b1=a1=，即bn+1=bn， 因此数列{bn}是以为首项，为公比的等比数列，bn=，即nan=，an=， 所以==. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.数列{an}满足a1=1，Sn-1=3an(n≥2)，则下列结论中正确的是(　　) A.a2= B.{an}是等比数列 C.an+1=an，n≥2 D.Sn-1=，n≥2 【答案】AC 【解析】由Sn-1=3an(n≥2)，当n=2时，S1=a1=3a2=1，解得a2=，故A正确； 当n≥1时，可得Sn=3an+1，所以Sn-Sn-1=3an+1-3an(n≥2)，所以an=3an+1-3an(n≥2)，即an+1=an(n≥2)，而a2=a1，故C正确，B不正确； 因为Sn-1=a1+a2+a3+…+an-1=1+=，n≥2，故D错误. 8.设等比数列{an}的前n项积为Tn，下列命题为真命题的是(　　) A.若T3=1，a8=2，则T9=16 B.若T3=1，T5=32，则a2+a3=3 C.若a2a3=2，则T3T5=8 D.若T5=32，则|a2|+|a4|≥4 【答案】BD 【解析】对于A，易知T3=，T5=，T9=， 若T3=1，则a2=1， 又因为a8=2，所以a5=±=±， 所以T9==±16，故A错误； 对于B，若T3=1，T5=32，则a2=1，a3=2，所以a2+a3=3，故B正确； 对于C，若a2a3=2，则T3T5===8，故C错误； 对于D，若T5=32，则a3=2，所以|a2|+|a4|≥2=2=4，当且仅当|a2|=|a4|=2时等号成立，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2025·南阳模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且=9，3a3+4=a5，则a6=　　　　　　.  【答案】32 【解析】设等比数列{an}的公比为q， 则==1+q3=9，解得q=2， 又因为3a3+4=a5，得12a1+4=16a1， 解得a1=1，所以a6=a1q5=32. 10.在等比数列{an}中，a1+a2+a3+a4+a5=-，a3=-，则++++=　　　　.  【答案】-44 【解析】设T5=++++， 则2T5=++++ =++++===-88， 所以T5=-44. 四、解答题(共27分) 11.(13分)(2024·南昌模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，a2=3，an+an+2=kan+1. (1)当k=2时，求S10；(5分) (2)若k=，设bn=an+1-2an，求{bn}的通项公式.(8分) 【解析】(1)当k=2时，有an+an+2=2an+1， 即an+2-an+1=an+1-an，所以{an}为等差数列， 设其公差为d， 因为a1=1，a2=3，所以d=a2-a1=2， 所以S10=1×10+×2=100. (2)当k=时，an+2=an+1-an， 所以an+2-2an+1=an+1-an=(an+1-2an)，即bn+1=bn， 且b1=a2-2a1=1，所以{bn}是以1为首项，为公比的等比数列， 所以bn=1×=. 12.(14分)(2025·池州模拟)记Sn为数列{an}的前n项和，已知=an+，a1=2. (1)求{an}的通项公式；(6分) (2)令bn=，求b1b2-b2b3+…+(-1)n+1bnbn+1.(8分) 【解析】(1)∵=an+， ∴2Sn=2nan+n(1-n)， ∴当n≥2时，2Sn-1=2(n-1)an-1+(n-1)(2-n)， 则2(Sn-Sn-1)=2nan-2(n-1)an-1+2(1-n)， 化简得an-an-1=1(n≥2)， 又∵a1=2， ∴{an}是以2为首项，1为公差的等差数列， ∴an=n+1， ∴{an}的通项公式为an=n+1. (2)由(1)知bn==2-n=， ∴当n≥2时，=-=-， 又∵b1b2=， ∴{(-1)n+1bnbn+1}是以为首项，-为公比的等比数列， ∴b1b2-b2b3+…+(-1)n+1bnbn+1==. 【尖子生加餐特训】13题6分，14题5分，共11分 13.(多选)(2024·绍兴模拟)已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，前n项积为Tn，且∀n∈N*，<0，则(　　) A.数列{an}是递增数列 B.数列{an}是递减数列 C.若数列{Sn}是递增数列，则q>1 D.若数列{Tn}是递增数列，则q>1 【答案】ACD 【解析】由题意可知Sn=，Tn=a1(a1q)…(a1qn-1)=，且∀n∈N*，<0， 故有<0且q>0(否则若q<0，则的符号会正负交替，这与∀n∈N*，<0矛盾)， 也就是有或 无论如何，数列{an}是递增数列，故A正确，B错误； 对于C，若数列{Sn}是递增数列，即Sn+1-Sn=an+1>0，由以上分析可知只能故C正确； 对于D，若数列{Tn}是递增数列，显然不可能是(否则Tn=的符号会正负交替，这与数列{Tn}是递增数列矛盾)， 从而只能是且这时有=an+1>1，故D正确. 14.若数列{an}满足+=k(k为常数)，则称数列{an}为等比和数列，k称为公比和，已知数列{an}是以3为公比和的等比和数列，其中a1=1，a2=2，则a2 025=　　　　　　.  【答案】21 012 【解析】令bn=， 则bn+bn+1=3，bn+1+bn+2=3， 两式相减可得bn+2-bn=0，即bn+2=bn， 又b1==2，所以b2=3-b1=1， 则bn=m∈N*， 即=m∈N*， 所以a2 025=a1····…·=1×2×1×2×…×1=21 012. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章数列 §6.3　等比数列 【考情分析·探规律】 考点 3年考情（2021-2024） 命题趋势 等比数列及其前n项和 2024·北京、2024·全国甲卷 2023·全国甲卷、2024·天津 2023·天津卷、2024·新课标Ⅱ卷 2023·全国新Ⅱ卷、2023·北京 2023·全国甲卷、2023·全国乙卷 2022·全国乙卷、2022·天津 2021·全国甲卷、2022·浙江 掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，能在具体的问题情境中识别数列的等比关系并能用等比数列的有关知识解决相应的问题，熟练掌握等比数列通项公式与前n项和的性质，该内容是新高考卷的必考内容，一般给出数列为等比数列，或通过构造为等比数列，求通项公式及前n项和。需综合复习。 【知识梳理】　　　　 1.等比数列有关的概念 (1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示. (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2=ab. 2.等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其通项公式为an=a1qn-1. (2)等比数列通项公式的推广：an=amqn-m. (3)等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=na1；当q≠1时，Sn==. 3.等比数列的常用性质 (1)若m+n=p+q，则aman=apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w=m+n，则aman=，其中m，n，w∈N*. (2)ak，ak+m，ak+2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*). (3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和也是等比数列(b，p，q≠0). (4)若或则等比数列{an}递增. 若或则等比数列{an}递减. 4.等比数列前n项和的常用性质 若等比数列{an}的 前n项和为Sn，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n仍成等比数列(公比q=-1且n为偶数除外)，其公比为qn. 【名师点拨】 1.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a}，，{an·bn}，也是等比数列. 2.数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和. (1)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列. (2)若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q，或＝q. 3.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0. 4.等比数列{an}的前n项和Sn，可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1，0). 5.三个数成等比数列，通常设为，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为，，xq，xq3. 【随堂练习】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)等比数列的公比q是一个常数，它可以是任意实数.(　　) (2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　　) (3)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　　) (4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.(　　) 2.(2025·临汾模拟)在等比数列{an}中，a1=1，a5=4，则a3等于(　　) A.2 B.-2 C.±2 D.2 3.(多选)设数列{an}是各项均为正数的等比数列，则(　　) A.a3，a5，a7成等比数列 B.{}是等比数列 C.{lg an}是等比数列 D.是等比数列 4.在等比数列{an}中，a1=3，a1+a3+a5=21，则a7+a9=　　　　　　.  【必练核心题型】 题型一　等比数列基本量的运算 【典例】1.(2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1=1，S5=5S3-4，则S4等于(　　) A. B. C.15 D.40 【典例】2.我国明代的数学家、音乐理论家朱载堉创立的十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比【典例】，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如表所示，其中a1，a2，…，a13表示这些半音的频率，它们满足log2=1(i=1，2，…，12).若某一半音与D#的频率之比为，则该半音为(　　) 频率 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 半音 C C# D D# E F F# G G# A A# B C(八度) A.F# B.G C.G# D.A 【变式训练】 变式1.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a2=4，=8，则a1等于(　　) A.16 B.8 C.6 D.2 变式2.设数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，若b1=-1，b5=8b2，(1-2n)Sn=n(n+1)Tn，则an=　　　　　　.  题型二　等比数列的判定与证明 【典例】1.(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的是(　　) A.若b2=ac，则a，b，c成等比数列 B.若{an}为等差数列，则{}为等比数列 C.若Sn=3n-1，则数列{an}为等比数列 D.若a1=1，a2=2，3an+1=an+2an+2(n∈N*)，则{an+1-an}为等比数列 【典例2.已知数列{an}的首项a1=，且满足an+1=. ①求证：数列为等比数列； ②若+++…+<2 025，求满足条件的最大正整数n. 【变式训练】 变式1.已知数列{an}满足an(an-1+3an+1)=4an-1an+1(n≥2，n∈N*)，且a1=1，a2=. (1)证明：数列是等比数列； (2)求{an}的通项公式. 题型三　等比数列的性质 命题点1　项的性质 【典例】1.(2023·全国乙卷)已知{an}为等比数列，a2a4a5=a3a6，a9a10=-8，则a7=　　　　.  【拓展训练】 下标和相等的等差(比)性质的推广 (1)若数列{an}为等比数列，且m1+m2+…+mn=k1+k2+…+kn，则·…·=·…·. (2)若数列{an}为等差数列，且m1+m2+…+mn=k1+k2+…+kn，则++…+=++…+. 【典例】已知等差数列{an}，Sn为前n项和，且a9=5，S8=16，则S11=　　　　.  命题点2　和的性质 【典例】1.设Sn是等比数列{an}的前n项和，若S2=2，a3+a4=6，则等于(　　) A.2 B. C.3 D. 【典例】2.已知等比数列{an}有2n+1项，a1=1，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则n等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 【变式训练】 变式1.(多选)下列说法正确的是(　　) A.若等比数列{an}的前n项和Sn=2n-1+t，则t=-1 B.若{an}为等比数列，且a2a7+a3a6=6，则a1a2a3…a8=81 C.若数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…成等比数列 D.项数为奇数的等比数列{an}，a1=2，S奇=，S偶=，则公比q= 变式2.(多选)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，且满足条件a1>1，a2 024a2 025>1，(a2 024-1)(a2 025-1)<0，则下列结论正确的是(　　) A.{an}为递减数列 B.S2 024+1<S2 025 C.T2 024是数列{Tn}中的最大项 D.T4 049>1 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知数列{an}中，a1=1，-=0，Sn为其前n项和，则S5等于(　　) A. B. C.11 D.31 2.(2025·廊坊模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1+a3+a5=1，a2+a4+a6=2，则S12-S6等于(　　) A.18 B.54 C.128 D.192 3.(2025·哈师大附中模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若=，则等于(　　) A. B.8 C.9 D.16 4.(2023·新高考全国Ⅱ)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4=-5，S6=21S2，则S8等于(　　) A.120 B.85 C.-85 D.-120 5.在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数R0=4，平均感染周期为7天，那么感染人数由1(初始感染者)增加到3 333大约需要的天数为(初始感染者传染R0个人为第一轮传染，这R0个人每人再传染R0个人为第二轮传染……参考数据：lg 2≈0.301 0) (　　) A.42 B.43 C.35 D.49 6.(2025·遵义模拟)若数列{an}满足a1=，且对任意正整数p，q都有apaq=ap+q，则等于(　　) A.4 B. C.6 D. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.数列{an}满足a1=1，Sn-1=3an(n≥2)，则下列结论中正确的是(　　) A.a2= B.{an}是等比数列 C.an+1=an，n≥2 D.Sn-1=，n≥2 8.设等比数列{an}的前n项积为Tn，下列命题为真命题的是(　　) A.若T3=1，a8=2，则T9=16 B.若T3=1，T5=32，则a2+a3=3 C.若a2a3=2，则T3T5=8 D.若T5=32，则|a2|+|a4|≥4 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2025·南阳模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且=9，3a3+4=a5，则a6=　　　　　　.  10.在等比数列{an}中，a1+a2+a3+a4+a5=-，a3=-，则++++=　　　　.  四、解答题(共27分) 11.(13分)(2024·南昌模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，a2=3，an+an+2=kan+1. (1)当k=2时，求S10；(5分) (2)若k=，设bn=an+1-2an，求{bn}的通项公式.(8分) 12.(14分)(2025·池州模拟)记Sn为数列{an}的前n项和，已知=an+，a1=2. (1)求{an}的通项公式；(6分) (2)令bn=，求b1b2-b2b3+…+(-1)n+1bnbn+1.(8分) 【尖子生加餐特训】13题6分，14题5分，共11分 13.(多选)(2024·绍兴模拟)已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，前n项积为Tn，且∀n∈N*，<0，则(　　) A.数列{an}是递增数列 B.数列{an}是递减数列 C.若数列{Sn}是递增数列，则q>1 D.若数列{Tn}是递增数列，则q>1 14.若数列{an}满足+=k(k为常数)，则称数列{an}为等比和数列，k称为公比和，已知数列{an}是以3为公比和的等比和数列，其中a1=1，a2=2，则a2 025=　　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$