第六章 §6.2　等差数列（新高考通用）-【2026年高考数学一轮备考·学霸专练】

第六章数列 §6.2　等差数列 【考情分析·探规律】 考点 3年考情（2021-2024） 命题趋势 等差数列及其前n项和 2024·全国甲卷 2024·全国甲卷 2024·全国新Ⅱ卷 2023·全国甲卷 2023·全国乙卷 2023·全国新Ⅰ卷 2022·全国乙卷 2022·北京卷 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，能在具体的问题情境中识别数列的等差关系并能用等差数列的有关知识解决相应的问题，熟练掌握等差数列通项公式与前n项和的性质，该内容是新高考卷的必考内容，一般给出数列为等差数列，或通过构造为等差数列，求通项公式及前n项和，需综合复习。 【知识梳理】　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*). (2)等差中项 由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b. 2.等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝. 3.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列. (4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列. (5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列. 4.等差数列前n项和的常用性质 (1)当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n是关于n的二次函数. (2)在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值. 【名师点拨】 1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p. 2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值. 3.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列. 4.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数). 【随堂练习】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　) (2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(　　) (3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.(　　) (4)等差数列的前n项和公式是常数项为0且关于n的二次函数.(　　) 2.在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝21，则其公差等于(　　) A.2 B.3 C.6 D.18 3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a4的值为(　　) A.－7 B.－10 C.－12 D.10 4.在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若a1＋a8＋a6＝6，则S9＝　　　　　　.  【名师点拨】 1.掌握等差数列的常用性质 (1)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列. (2)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列. (3)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列. (4)若两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则. (5)数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数). 2.解题时灵活应用以下结论 若等差数列{an}的项数为偶数2n，则 (1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； (2)S偶－S奇＝nd，. 若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则 (1)S2n＋1＝(2n＋1)an＋1； (2). 【必练核心题型】 题型一　等差数列基本量的运算 【典例】1.(2024·新课标全国Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝　　　　.  【典例】2.广丰永和塔塔高九层，每至夜色降临，金灯齐明，塔身晶莹剔透，远望犹如仙境.某游客从塔底层(一层)进入塔身，即沿石阶逐级攀登，一步一阶，此后每上一层均沿塔走廊绕塔一周以便浏览美景，现知底层共二十六级台阶，此后每往上一层减少两级台阶，顶层绕塔一周需十二步，每往下一层绕塔一周需多三步，则这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周停止共需(　　) A.352步 B.387步 C.332步 D.368步 【变式训练】 变式1.(2025·南通模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5＝5，a1＋S11＝46，则a3·a10是{an}中的(　　) A.第28项 B.第29项 C.第30项 D.第32项 变式2.若冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.8尺，最后三个节气日影长之和为4.5尺，则春分时节的日影长为(　　) A.5.1尺 B.4.5尺 C.4.1尺 D.3.5尺 题型二　等差数列的判定与证明 【典例】1.(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，则“数列{an}为等差数列”的充要条件是(　　) A.当n≥2时，an＋1－an＝d(d为常数) B.an＝kn＋b(k，b为常数) C.Sn＝an2＋bn(a，b为常数) D.2an＋1＝an＋an＋2 【典例】2.已知数列{an}中，a1＝2，a2＝3，an＝2an－1－an－2＋3(n≥3). ①求a3的值； ②证明：数列{an－an－1}(n≥2)是等差数列； ③求数列{an}的通项公式. 【变式训练】 变式1.(2025·晋中模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝，且当n≥2(n∈N*)时，2Sn·Sn－1＝－an. (1)证明：数列是等差数列； (2)设数列{bn}满足bn＝，求b1＋b101的值. 题型三　等差数列的性质 命题点1　项的性质 【典例】1.(多选)(2024·南阳模拟)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，则下列结论中正确的是(　　) A.若a1＋a2＋a3＝5，a3＋a4＋a5＝11，则a5＋a6＋a7＝20 B.若a2＋a11＝4，则S12＝24 C.若a1<0，S15<0，则S6<S5 D.若{an}和{anan＋1}都为递增数列，则an>0 命题点2　和的性质 【典例】2.(2025·咸阳模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝2，S8＝12，则S20等于(　　) A.30 B.58 C.60 D.90 【典例】3.已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn与Tn，且，则等于(　　) A. B. C. D. 命题点3　奇、偶项的性质 【典例】4.在等差数列{an}中，奇数项之和为220，偶数项之和为165.若此数列的项数为10，则此数列的公差为　　　　　　；若此数列的项数为奇数，则此数列的中间项是　　　　　　.  【变式训练】 变式1.设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意正整数n，都有，则等于(　　) A. B. C. D. 变式2.(多选)(2024·广州模拟)在等差数列{an}中，a1>0，则下列命题正确的是(　　) A.若a3＋a7＝4，则S9＝18 B.若a1＋a2＝5，a3＋a4＝9，则a7＋a8＝17 C.若S15>0，S16<0，则> D.若S9＝S10，则S18>0 变式3.等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n＝　　　　.  【限时训练】（限时：60分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知数列{an}为等差数列，a1+a2+a3=9，a3+a7=10，则a8等于(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1≠0，若a6=2a4，则等于(　　) A.12 B.10 C.9 D.6 3.数列{an}的前n项和Sn=n2+3n+m，若p：m=0，q：数列{an}是等差数列，则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 4.(2025·烟台模拟)记等差数列{an}的前n项和为Sn，若{an}的公差为，首项a1∈，sin a1=sin a2，则S16等于(　　) A.24π B.32π C.56π D.64π 5.(2024·包头模拟)已知等差数列{an}中，a1=9，a4=3，设Tn=|a1|+|a2|+…+|an|，则T21等于(　　) A.245 B.263 C.281 D.290 6.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1(an+1-1)=an(an+1)，若[x]表示不超过x的最大整数，bn=，则数列{bn}的前2 024项和T2 024等于(　　) A.1 012 B.1 011 C.2 024 D.2 025 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.(2025·辽宁名校联合体联考)数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn=kn2-2n(k∈R)，则下列结论正确的是(　　) A.a1=k-2 B.{an}为等差数列 C.{an}不可能为常数列 D.若{an}为递增数列，则k>0 8.(2024·株洲模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则以下四个选项中正确是(　　) A.若a5=0，则S9=0 B.若S6-S9=a10，且a2>a1，则a8<0且a9>0 C.若S16=64，且在前16项中，偶数项的和与奇数项的和之比为3∶1，则公差为2 D.若(n+1)Sn>nSn+1，且=，则S3和S4均是Sn的最大值 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=1，a7+a8+a9=12，则S10=　　　　　　.  10.已知各项均为正数的数列{an}满足2=+(n∈N*，且n≥2)，a1=1，a2=2，则a30=　　　　　　.  四、解答题(共28分) 11.(13分)(2023·新高考全国Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令bn=，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和. (1)若3a2=3a1+a3，S3+T3=21，求{an}的通项公式；(6分) (2)若{bn}为等差数列，且S99-T99=99，求d.(7分) 12.(15分)数列{an}的前n项和为Sn，2-2anSn+an=0(n≥2，n∈N*)，且a1=1. (1)证明：为等差数列；(6分) (2)对于任意n∈N*，不等式2nan+1+<0恒成立，求实数λ的取值范围.(9分) 【尖子生加餐特训】每小题5分，共10分 13.(2024·汉中模拟)图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽图案，会徽的主题图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，则第n个三角形的面积为(　　) A. B. C. D. 14.已知Sn为各项均为正数的数列{an}的前n项和，a1=3且Sn+Sn+1=-，则an=　　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章数列 §6.2　等差数列 【考情分析·探规律】 考点 3年考情（2021-2024） 命题趋势 等差数列及其前n项和 2024·全国甲卷 2024·全国甲卷 2024·全国新Ⅱ卷 2023·全国甲卷 2023·全国乙卷 2023·全国新Ⅰ卷 2022·全国乙卷 2022·北京卷 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，能在具体的问题情境中识别数列的等差关系并能用等差数列的有关知识解决相应的问题，熟练掌握等差数列通项公式与前n项和的性质，该内容是新高考卷的必考内容，一般给出数列为等差数列，或通过构造为等差数列，求通项公式及前n项和，需综合复习。 【知识梳理】　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*). (2)等差中项 由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b. 2.等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝. 3.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列. (4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列. (5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列. 4.等差数列前n项和的常用性质 (1)当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n是关于n的二次函数. (2)在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值. 【名师点拨】 1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p. 2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值. 3.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列. 4.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数). 【随堂练习】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　) (2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(　　) (3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.(　　) (4)等差数列的前n项和公式是常数项为0且关于n的二次函数.(　　) 【答案】(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 【解析】(3)若公差d＝0，则通项公式不是n的一次函数. (4)若公差d＝0，则前n项和不是n的二次函数. 2.在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝21，则其公差等于(　　) A.2 B.3 C.6 D.18 【答案】A 【解析】由题意知，设等差数列{an}的公差为d， a1＋a2＋a3＝3a1＋3d＝3，a4＋a5＋a6＝3a1＋12d＝21， 两式相减得9d＝18，所以d＝2. 3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a4的值为(　　) A.－7 B.－10 C.－12 D.10 【答案】A 【解析】设等差数列{an}的公差为d， 因为3S3＝S2＋S4， 所以3(3a1＋3d)＝(2a1＋d)＋(4a1＋6d)， 又a1＝2，所以d＝－3， 所以a4＝a1＋3d＝－7. 4.在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若a1＋a8＋a6＝6，则S9＝　　　　　　.  【答案】18 【解析】设等差数列{an}的公差为d， 则a1＋a8＋a6＝a1＋(a1＋7d)＋(a1＋5d)＝3(a1＋4d)＝3a5， 所以a5＝2， 所以S9＝＝9a5＝18. 【名师点拨】 1.掌握等差数列的常用性质 (1)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列. (2)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列. (3)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列. (4)若两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则. (5)数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数). 2.解题时灵活应用以下结论 若等差数列{an}的项数为偶数2n，则 (1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； (2)S偶－S奇＝nd，. 若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则 (1)S2n＋1＝(2n＋1)an＋1； (2). 【必练核心题型】 题型一　等差数列基本量的运算 【典例】1.(2024·新课标全国Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝　　　　.  【答案】95 【解析】方法一　(基本量法) 设数列{an}的公差为d， 则由题意得 解得 则S10＝10a1＋d ＝10×(－4)＋45×3＝95. 方法二　(利用下标和性质) 设数列{an}的公差为d， 由a3＋a4＝a2＋a5＝7， 3a2＋a5＝5， 得a2＝－1，a5＝8， 故d＝＝3，a6＝11， 则S10＝×10＝5(a5＋a6) ＝5×19＝95. 【典例】2.广丰永和塔塔高九层，每至夜色降临，金灯齐明，塔身晶莹剔透，远望犹如仙境.某游客从塔底层(一层)进入塔身，即沿石阶逐级攀登，一步一阶，此后每上一层均沿塔走廊绕塔一周以便浏览美景，现知底层共二十六级台阶，此后每往上一层减少两级台阶，顶层绕塔一周需十二步，每往下一层绕塔一周需多三步，则这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周停止共需(　　) A.352步 B.387步 C.332步 D.368步 【答案】C 【解析】设从第n层到第n＋1层所走的台阶数为an，绕第n＋1层一周所走的步数为bn， 由已知可得a1＝26，an＋1－an＝－2，n∈{1，2，3，4，5，6，7}， b8＝12，bn－bn＋1＝3，n∈{1，2，3，4，5，6，7}， 所以数列{an}为首项为26，公差为－2的等差数列，故an＝28－2n，n∈{1，2，3，4，5，6，7，8}， 数列{bn}为公差为－3的等差数列，故bn＝36－3n，n∈{1，2，3，4，5，6，7，8}， 设数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn， 所以S8＝＝152， T8＝＝180， S8＋T8＝152＋180＝332， 故这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周停止共需332步. 【解题技巧】 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”). (2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d. 【变式训练】 变式1.(2025·南通模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5＝5，a1＋S11＝46，则a3·a10是{an}中的(　　) A.第28项 B.第29项 C.第30项 D.第32项 【答案】C 【解析】设等差数列{an}的公差为d， 则 解得 所以a3·a10＝(a1＋2d)(a1＋9d)＝9×(－5)＝－45， 令an＝a1＋(n－1)d＝13－2(n－1)＝－45， 得n＝30，即a3·a10是{an}中的第30项. 变式2.若冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.8尺，最后三个节气日影长之和为4.5尺，则春分时节的日影长为(　　) A.5.1尺 B.4.5尺 C.4.1尺 D.3.5尺 【答案】A 【解析】设冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长构成等差数列{an}，公差为d，由题意得 解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝11.4－0.9n， 所以a7＝11.4－0.9×7＝5.1， 即春分时节的日影长为5.1尺. 题型二　等差数列的判定与证明 【典例】1.(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，则“数列{an}为等差数列”的充要条件是(　　) A.当n≥2时，an＋1－an＝d(d为常数) B.an＝kn＋b(k，b为常数) C.Sn＝an2＋bn(a，b为常数) D.2an＋1＝an＋an＋2 【答案】BCD 【解析】对于A，当n≥1时，an＋1－an＝d⇔数列{an}为等差数列，A错误； 对于B，若数列{an}为等差数列，则an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，符合an＝kn＋b的形式， 若an＝kn＋b，则an＋1－an＝k(n＋1)＋b－kn－b＝k(常数)，即数列{an}为等差数列， 故数列{an}的通项公式可以表示为an＝kn＋b⇔数列{an}为等差数列，B正确； 对于C，若数列{an}为等差数列，则Sn＝na1＋n，符合Sn＝an2＋bn的形式， 若Sn＝an2＋bn，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an2＋bn－a(n－1)2－b(n－1)＝2an＋b－a， 当n＝1时，a1＝a＋b符合上式，故an＝2an＋b－a，即数列{an}为等差数列， 故数列{an}的前n项和可以表示为Sn＝an2＋bn的形式⇔数列{an}为等差数列，C正确； 对于D，由2an＋1＝an＋an＋2，可得an＋1－an＝an＋2－an＋1⇔数列{an}为等差数列，D正确. 【典例】2.已知数列{an}中，a1＝2，a2＝3，an＝2an－1－an－2＋3(n≥3). ①求a3的值； ②证明：数列{an－an－1}(n≥2)是等差数列； ③求数列{an}的通项公式. ①【解析】在数列{an}中，a1＝2，a2＝3， 且an＝2an－1－an－2＋3， 令n＝3，可得a3＝2a2－a1＋3＝7. ②证明　由an＝2an－1－an－2＋3(n≥3)， 当n≥2时，可得an＋1＝2an－an－1＋3， 则(an＋1－an)－(an－an－1)＝3， 又由a1＝2，a2＝3，可得a2－a1＝1， 所以{an＋1－an}是公差为3的等差数列， 即数列{an－an－1}(n≥2)是公差为3的等差数列. ③【解析】由②知，数列{an＋1－an}是首项为1，公差为3的等差数列，即an＋1－an＝3n－2， 所以当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1) ＝2＋[1＋4＋7＋…＋(3n－5)] ＝2＋ ＝n2－n＋4， 又a1＝2满足上式，所以an＝n2－n＋4， 即数列{an}的通项公式为an＝n2－n＋4. 【解题技巧】判断数列{an}是等差数列的常用方法 (1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数. (2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立. (3)通项公式法：验证an＝pn＋q. (4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn. 【变式训练】 变式1.(2025·晋中模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝，且当n≥2(n∈N*)时，2Sn·Sn－1＝－an. (1)证明：数列是等差数列； (2)设数列{bn}满足bn＝，求b1＋b101的值. (1)证明　因为2Sn·Sn－1＝－an(n≥2)， 所以2Sn＋1·Sn＝－an＋1， 则2Sn·Sn＋1＝Sn－Sn＋1， 因为S1＝a1＝≠0，易知Sn≠0， 所以＝2， 又＝2， 所以数列是首项与公差都为2的等差数列. (2)【解析】由(1)得＝2＋2(n－1)＝2n， 则Sn＝， 当n＝1时，b1＝＝－2； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝＝－·， 所以bn＝， 所以b1＋b101＝－2＋＝－. 题型三　等差数列的性质 命题点1　项的性质 【典例】1.(多选)(2024·南阳模拟)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，则下列结论中正确的是(　　) A.若a1＋a2＋a3＝5，a3＋a4＋a5＝11，则a5＋a6＋a7＝20 B.若a2＋a11＝4，则S12＝24 C.若a1<0，S15<0，则S6<S5 D.若{an}和{anan＋1}都为递增数列，则an>0 【答案】BC 【解析】对于A，由a1＋a2＋a3＝5，a3＋a4＋a5＝11，可得(a3＋a4＋a5)－(a1＋a2＋a3)＝6d＝6，所以d＝1，又由a5＋a6＋a7＝(a1＋a2＋a3)＋12d＝5＋12＝17≠20，所以A错误； 对于B，由S12＝＝24，所以B正确； 对于C，由S15＝＝15a8<0，所以a8<0，又因为a1<0，可得an<0(n＝1，2，…，8)，所以S6－S5＝a6<0，所以C正确； 对于D，因为{an}为递增数列，可得公差d>0，因为{anan＋1}为递增数列，可得an＋2an＋1－anan＋1＝an＋1·2d>0，所以对任意的n≥2，an>0，但a1的正负不确定，所以D错误. 命题点2　和的性质 【典例】2.(2025·咸阳模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝2，S8＝12，则S20等于(　　) A.30 B.58 C.60 D.90 【答案】D 【解析】由数列{an}为等差数列， 可知S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12，S20－S16也为等差数列， 由S4＝2，S8＝12，则S8－S4＝10， 故S12－S8＝18，S16－S12＝26，S20－S16＝34， 即有S12＝18＋S8＝30，S16＝26＋S12＝56，S20＝34＋S16＝90. 【典例】3.已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn与Tn，且，则等于(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为{an}，{bn}均为等差数列， 所以， 因为，所以. 命题点3　奇、偶项的性质 【典例】4.在等差数列{an}中，奇数项之和为220，偶数项之和为165.若此数列的项数为10，则此数列的公差为　　　　　　；若此数列的项数为奇数，则此数列的中间项是　　　　　　.  【答案】－11　55 【解析】令S奇＝220，S偶＝165， 若此数列的项数为10，则S偶－S奇＝5d， 所以－55＝5d，所以d＝－11； 若此数列的项数为奇数，设项数为2n－1，则 S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＝＝nan， S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n－2＝＝(n－1)an， 所以，解得n＝4， 所以第4项是此数列的中间项，a4＝＝55. 【解题技巧】等差数列的性质 (1)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an； (2)若{an}是公差为d的等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列； (3)在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)，S2n－1＝(2n－1)an. 【变式训练】 变式1.设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意正整数n，都有，则等于(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由等差数列的性质可得， . 变式2.(多选)(2024·广州模拟)在等差数列{an}中，a1>0，则下列命题正确的是(　　) A.若a3＋a7＝4，则S9＝18 B.若a1＋a2＝5，a3＋a4＝9，则a7＋a8＝17 C.若S15>0，S16<0，则> D.若S9＝S10，则S18>0 【答案】ABD 【解析】S9＝＝18，故A正确； 设等差数列的公差为d，则(a3＋a4)－(a1＋a2)＝4d＝4，得d＝1，则a7＋a8＝(a1＋a2)＋12d＝5＋12＝17，故B正确； S15＝＝15a8>0，则a8>0，S16＝＝8(a8＋a9)<0，则a8＋a9<0，即0<a8<－a9，所以<，故C错误； 若S9＝S10，则a10＝0，S18＝＝9(a9＋a10)＝9a9，因为a1>0，a10＝0，所以公差d＝<0，则a9＝a10－d>0，所以S18>0，故D正确. 变式3.等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n＝　　　　.  【答案】10 【解析】因为等差数列{an}共有2n＋1项， 所有奇数项之和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝＝(n＋1)an＋1＝132， 所有偶数项之和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝＝nan＋1＝120， 所以， 解得n＝10. 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知数列{an}为等差数列，a1+a2+a3=9，a3+a7=10，则a8等于(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】C 【解析】由a1+a2+a3=3a2=9，得a2=3， 由a3+a7=2a5=10，得a5=5， 又a2+a8=2a5，即有3+a8=2×5=10， 故a8=7. 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1≠0，若a6=2a4，则等于(　　) A.12 B.10 C.9 D.6 【答案】C 【解析】设{an}的公差为d， 由a6=2a4，可得a1+5d=2(a1+3d)， 得d=-a1≠0， 则S24===-252a1， a30=a1+29d=-28a1， 故=9. 3.数列{an}的前n项和Sn=n2+3n+m，若p：m=0，q：数列{an}是等差数列，则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 【答案】D 【解析】当m=0时，Sn=n2+3n，则a1=S1=4， an=Sn-Sn-1=n2+3n-(n-1)2-3(n-1)=2n+2(n≥2)， a1=4也满足an=2n+2， 所以an-an-1=2(n≥2)，故数列{an}为等差数列； 由数列{an}为等差数列可知a1=4+m，a2=10+m-(4+m)=6，a3=18+m-(10+m)=8成等差数列， 所以2a2=a1+a3，即12=12+m，解得m=0. 综上可知，p是q的充要条件. 4.(2025·烟台模拟)记等差数列{an}的前n项和为Sn，若{an}的公差为，首项a1∈，sin a1=sin a2，则S16等于(　　) A.24π B.32π C.56π D.64π 【答案】D 【解析】因为等差数列{an}的公差为， 所以a2=a1+，即sin a2=sin=cos a1， 即sin a1=cos a1，则tan a1=1， 又a1∈，则a1=， 故S16=16×+×=64π. 5.(2024·包头模拟)已知等差数列{an}中，a1=9，a4=3，设Tn=|a1|+|a2|+…+|an|，则T21等于(　　) A.245 B.263 C.281 D.290 【答案】C 【解析】在等差数列{an}中， 由a1=9，a4=3，得公差d==-2， 则an=a1+(n-1)d=-2n+11， 显然当n≤5时，an>0，当n≥6时，an<0， 所以T21=|a1|+|a2|+…+|a21| =(a1+a2+…+a5)-(a6+a7+…+a21) =2(a1+a2+…+a5)-(a1+a2+…+a21) =2×-=281. 6.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1(an+1-1)=an(an+1)，若[x]表示不超过x的最大整数，bn=，则数列{bn}的前2 024项和T2 024等于(　　) A.1 012 B.1 011 C.2 024 D.2 025 【答案】D 【解析】∵an+1(an+1-1)=an(an+1)， ∴-=an+1+an， 即(an+1-an)(an+1+an)=an+1+an， ∵an>0，∴an+1+an>0，∴an+1-an=1， ∵a1=1， ∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列， ∴an=n， ∴Sn=， ∴==， ∴bn=== ∴T2 024=2+=2+2 023=2 025. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.(2025·辽宁名校联合体联考)数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn=kn2-2n(k∈R)，则下列结论正确的是(　　) A.a1=k-2 B.{an}为等差数列 C.{an}不可能为常数列 D.若{an}为递增数列，则k>0 【答案】ABD 【解析】对于A选项，当n=1时，a1=S1=k-2，A正确； 对于B选项，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=kn2-2n-[k(n-1)2-2(n-1)]=2kn-(k+2)， 显然当n=1时，上式也成立，所以an=2kn-(k+2). 因为an-an-1=2kn-(k+2)-[2k(n-1)-(k+2)]=2k， 所以{an}是以2k为公差的等差数列，B正确； 对于C选项，由上可知，当k=0时，{an}为常数列，C错误； 对于D选项，若{an}为递增数列，则公差2k>0，即k>0，D正确. 8.(2024·株洲模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则以下四个选项中正确是(　　) A.若a5=0，则S9=0 B.若S6-S9=a10，且a2>a1，则a8<0且a9>0 C.若S16=64，且在前16项中，偶数项的和与奇数项的和之比为3∶1，则公差为2 D.若(n+1)Sn>nSn+1，且=，则S3和S4均是Sn的最大值 【答案】ABD 【解析】对于A，因为{an}是等差数列，a5=0，所以S9==9a5=0，故A正确； 对于B，因为a2>a1，所以公差d=a2-a1>0，即{an}是递增数列， 因为S6-S9=a10，即S9-S6=-a10，所以a9+a8+a7=-a10， 即a10+a9+a8+a7=0，则a8+a9=0，所以a8<0且a9>0，故B正确； 对于C，因为S16=64，所以=64，则a1+a16=8，则a8+a9=8， 又a2+a4+a6+a8+a10+a12+a14+a16=8a9，a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=8a8， 所以8a9=3×8a8，即a9=3a8，故4a8=8，得a8=2，a9=6， 所以{an}的公差为a9-a8=4，故C错误； 对于D，因为(n+1)Sn>nSn+1，即>， 即>，整理得d<0， 因为=，所以(a6+a2)(a6-a2)=0， 由于a6-a2=4d≠0，所以a6+a2=0，故2a4=0，即a4=0， 因为d<0，所以{an}是递减数列，则a3>0，a5<0， 所以S3>S2>S1，S3=S4>S5>S6>…， 故S3和S4均是Sn的最大值，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=1，a7+a8+a9=12，则S10=　　　　　　.  【答案】25 【解析】方法一　∵a7+a8+a9=3a8=12，∴a8=4， 又a3=1， ∴a3+a8=5，∴S10===25. 方法二　设{an}的公差为d， ∵a7+a8+a9=3a8=12，∴a8=4， 又a3=1，∴d==， 则a1=a3-2d=1-2×=-， ∴S10=10a1+d=25. 10.已知各项均为正数的数列{an}满足2=+(n∈N*，且n≥2)，a1=1，a2=2，则a30=　　　　　　.  【答案】2 【解析】因为2=+， 由等差中项的定义可知，数列{}是首项=1，公差d=-=4-1=3的等差数列， 所以=+(n-1)d=1+3(n-1)=3n-2， 由此可知=3×30-2=88， 又因为an>0，所以a30=2. 四、解答题(共28分) 11.(13分)(2023·新高考全国Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令bn=，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和. (1)若3a2=3a1+a3，S3+T3=21，求{an}的通项公式；(6分) (2)若{bn}为等差数列，且S99-T99=99，求d.(7分) 【解析】(1)∵3a2=3a1+a3， ∴3d=a1+2d，解得a1=d， ∴S3=3a2=3(a1+d)=6d， an=a1+(n-1)d=nd， 又T3=b1+b2+b3=++=， ∴S3+T3=6d+=21， 即2d2-7d+3=0， 解得d=3或d=(舍去)， ∴an=nd=3n. (2)∵{bn}为等差数列，∴2b2=b1+b3， 即=+， ∴6==， 即-3a1d+2d2=0， 解得a1=d或a1=2d， ∵d>1，∴an>0， 又S99-T99=99， 由等差数列的性质知，99a50-99b50=99， 即a50-b50=1，∴a50-=1， 即-a50-2 550=0， 解得a50=51或a50=-50(舍去). 当a1=2d时，a50=a1+49d=51d=51， 解得d=1，与d>1矛盾，舍去； 当a1=d时，a50=a1+49d=50d=51， 解得d=. 综上，d=. 12.(15分)数列{an}的前n项和为Sn，2-2anSn+an=0(n≥2，n∈N*)，且a1=1. (1)证明：为等差数列；(6分) (2)对于任意n∈N*，不等式2nan+1+<0恒成立，求实数λ的取值范围.(9分) (1)证明　当n≥2，n∈N*时，an=Sn-Sn-1， 则2-2Sn(Sn-Sn-1)+Sn-Sn-1=0， 化简得Sn-1-Sn=2SnSn-1， 又Sn≠0，所以-=2， 又==1， 所以是以1为首项，2为公差的等差数列. (2)【解析】由(1)得=1+(n-1)×2=2n-1， 则Sn=， 故an= 则an+1=-=-， 由2nan+1+<0， 得-+<0， 则λ<， 令cn=， 则cn+1-cn=-=>0， 所以数列{cn}为递增数列， 又c1=，故λ<， 所以实数λ的取值范围是. 【尖子生加餐特训】每小题5分，共10分 13.(2024·汉中模拟)图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽图案，会徽的主题图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，则第n个三角形的面积为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】记OA1，OA2，…，OAn的长度构成的数列为{an}， 由题意知，OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，且△OA1A2，△OA2A3，…，△OA7A8都是直角三角形， 所以a1=1，且=+1(n≥2，n∈N*)， 所以数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以=1+(n-1)×1=n， 由an>0，所以an=. 所以第n个三角形的面积为an×1=. 14.已知Sn为各项均为正数的数列{an}的前n项和，a1=3且Sn+Sn+1=-，则an=　　　　　　.  【答案】2n+1 【解析】因为Sn+Sn+1=-， 即2(Sn+Sn+1)=-3， ① 当n=1时，2(S1+S2)=-3， 又因为a1=3，即-2a2-15=0， 解得a2=5或a2=-3(舍去)， 当n≥2时，2(Sn-1+Sn)=-3， ② ①②两式相减，可得 (an+1+an)(an+1-an-2)=0， 因为an>0，可得an+1-an=2(n≥2)， 又a2-a1=2，所以an+1-an=2(n∈N*)， 所以数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列， 所以an=3+(n-1)×2=2n+1. 学科网（北京）股份有限公司 $$