第六章 §6.1　数列的概念（新高考通用）-【2026年高考数学一轮备考·学霸专练】

第六章数列 §6.1　数列的概念 【考情分析·探规律】 考点 3年考情（2021-2024） 命题趋势 考点1 数列的增减性 2023·全国甲卷 2022·全国乙卷 2022·北京卷 2021·全国甲卷 掌握数列的有关概念和表示方法，能利用与的关系以及递推关系求数列的通项公式，理解数列是一种特殊的函数,能利用数列的周期性、单调性解决简单的问题，该内容是新高考卷的必考内容，常考查利用与关系求通项或项及通项公式构造的相关应用，需综合复习。 考点2 递推数列及数列的通项公式 2024·全国甲卷 2023·北京卷 2022·北京卷 2022·浙江卷 2021·浙江卷 【知识梳理】　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.数列的有关概念 概念 含义 数列 按照确定的顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 数列{an}的 前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn=a1+a2+…+an 2.数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项 间的大 小关系 递增数列 an+1>an 其中 n∈N* 递减数列 an+1<an 常数列 an+1=an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3.数列与函数的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an=f(n). 4.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是表格法、图象法和解析式法. 5.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 6.数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 【名师点拨】 1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝ 2.在数列{an}中，若an最大，则 若an最小，则 【随堂练习】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.(　　) (2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.(　　) (3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.(　　) (4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　) 【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 【解析】(1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列. (2)数列中的数是可以重复的，可以构成数列. (3)数列可以是常数列或摆动数列. 2.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用小石子来研究数.如图中的数1，5，12，22，…称为五边形数，则第8个五边形数是　　　　.  【答案】92 【解析】∵5-1=4，12-5=7，22-12=10， ∴相邻两个图形的小石子数的差值依次增加3， ∴第5个五边形数是22+13=35，第6个五边形数是35+16=51，第7个五边形数是51+19=70，第8个五边形数是70+22=92. 3.已知数列{an}满足a1=1，an=n+an-1(n≥2，n∈N*)，则an=　　　　　　.  【答案】 【解析】数列{an}满足a1=1，an=n+an-1(n≥2，n∈N*)， 可得a1=1， a2-a1=2， a3-a2=3， a4-a3=4， … an-an-1=n， 以上各式相加可得an=1+2+3+…+n=(n≥2)， 又a1=1符合该式，所以an=. 4.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2-4n+1，则an=　　　　　　.  【答案】 【解析】当n=1时，a1=S1=-2； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-4n+1-[(n-1)2-4(n-1)+1]=2n-5. 因为当n=1时，不满足an=2n-5， 所以an= 【名师点拨】 1.灵活应用两个常用结论 (1)若数列{an}的前n项和为Sn，则an= (2)在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则n≥2，n∈N*. 2.掌握数列的函数性质 由于数列可以看作一个关于n(n∈N*)的函数，因此它具备函数的某些性质： (1)单调性——若an+1>an，则{an}为递增数列；若an+1<an，则{an}为递减数列，否则为摆动数列或常数列(an+1=an). (2)周期性——若an+k=an(k为非零常数)，则{an}为周期数列，k为{an}的一个周期. 【必练核心题型】 题型一　由an与Sn的关系求通项公式 【典例】1.(2025·漳州模拟)已知各项均不为0的数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn=an+1，则等于(　　) A.- B.- C. D. 【答案】A 【解析】因为3Sn=an+1，则3Sn+1=an+1+1， 两式相减可得3an+1=an+1-an， 即2an+1=-an， 令n=7，可得2a8=-a7， 且an≠0，所以=-. 【典例】2.已知数列{an}满足=n+1，则a2 025等于(　　) A.2 025 B.2 024 C.4 049 D.4 050 【答案】C 【解析】由题意可得a1+++…+=n+1， ① 当n=1时，a1=2； 当n≥2时，a1+++…+=n， ② ①②两式相减得=1，即an=2n-1. 又a1=2不满足an=2n-1， 综上所述，an= 所以a2 025=4 049. 【解题技巧】an与Sn的关系问题的求解思路 (1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn，Sn-1的关系式，再求解. (2)利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解. 【变式训练】 变式1.(多选)已知数列{an}的前n项和Sn=(3n-1)，则下列说法正确的是(　　) A.a1=1 B.数列{an}为递增数列 C.数列{an}是等比数列 D.an=2×3n-1 【答案】ABC 【解析】∵Sn=(3n-1)， ∴a1=S1=×(3-1)=1，故A正确； 当n≥2时，Sn-1=(3n-1-1)， ∴an=Sn-Sn-1=(3n-1)-(3n-1-1)=3n-1，a1=1也适合，∴an=3n-1，故D错误； ∵==3， ∴数列{an}是公比为3的等比数列，故C正确； ∵a1=1，公比大于1，∴数列{an}为递增数列，故B正确. 变式2.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n，当取得最小值时，n=　　　　　　.  【答案】3 【解析】因为Sn=n2+n， 则当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n， 又当n=1时，a1=S1=2，满足an=2n， 故an=2n， 则==+， 又y=x+在(1，3)上单调递减，在(3，+∞)上单调递增， 故当n=3时，n+取得最小值，即当n=3时，取得最小值. 题型二　由数列的递推关系求通项公式 命题点1　累加法 【典例】1.(2025·常德模拟)已知数列{an}满足a1=1，an-an+1=2nanan+1，则an=　　　　　　.  【答案】 【解析】若an+1=0，则an-an+1=0， 即an=an+1=0，这与a1=1矛盾，所以an+1≠0， 由an-an+1=2nanan+1，两边同时除以anan+1， 得-=2n， 则-=2n-1， -=2n-2， … -=22， -=2， 上面的式子相加可得-=2+22+23+…+2n-1==2n-2(n≥2)， 所以an=(n≥2)， 又a1=1符合该式，所以an=. 命题点2　累乘法 【典例2.若数列{an}满足a1=12，a1+2a2+3a3+…+nan=n2an，则a2 025=　　　　　.  【答案】 【解析】因为a1+2a2+3a3+…+nan=n2an， ① 所以a1+2a2+3a3+…+nan+(n+1)an+1=(n+1)2an+1， ② ②-①得，(n+1)an+1=(n+1)2an+1-n2an⇒=， 所以an=···…··a1=×××…××12=(n≥2)， 又a1=12也符合，所以an=， 所以a2 025=. 【解题技巧】 (1)形如an+1-an=f(n)的数列，利用累加法，即可求数列{an}的通项公式. (2)形如=f(n)的数列，利用累乘法，即可求数列{an}的通项公式. 【变式训练】 变式1.已知数列{an}中，a1=1，nan+1=2(a1+a2+…+an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为　　　　　　.  【答案】an=n 【解析】∵nan+1=2(a1+a2+…+an)， ① ∴当n≥2时，(n-1)an=2(a1+a2+…+an-1)， ② ①-②得nan+1-(n-1)an=2an， 即nan+1=(n+1)an， ∴=， ∴an=a1··…·=1××…×=n， 当n=1时，结论也成立. ∴an=n. 变式2.凸五边形有5条对角线，那么凸n+2(n≥2)边形的对角线条数为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线， 则得到在凸n+1(n≥3)边形的基础上，多一个顶点，则多n条对角线， 设凸n+2边形有f(n+2)条对角线， 所以f(n+2)-f(n+1)=n， 则f(5)-f(4)=3，f(6)-f(5)=4，…，f(n+2)-f(n+1)=n， 累加得f(n+2)-f(4)=3+4+…+n， 则f(n+2)=2+3+4+…+n=，n≥3， 当n=2时，f(4)=2也满足此式， 所以f(n+2)=，n≥2. 题型三　数列的性质 命题点1　数列的单调性 【典例】1.已知数列{an}满足an=2n2+λn(λ∈R)，则“{an}为递增数列”是“λ≥0”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由{an}为递增数列得，an+1-an=[2(n+1)2+λ(n+1)]-(2n2+λn)=λ+4n+2>0，n∈N*， 则λ>-(4n+2)对于n∈N*恒成立，得λ>-6，可得λ≥0⇒λ>-6，反之不成立. 命题点2　数列的周期性 【典例】5　(2025·孝感模拟)在数列{an}中，a1=-2，anan+1=an-1，则数列{an}的前2 025项的积为(　　) A.-1 B.-2 C.-3 D. 【答案】A 【解析】因为anan+1=an-1，an≠0， 所以an+1=1-， 又a1=-2，则a2=，a3=，a4=-2， 所以数列{an}的周期为3，且a1a2a3=-1， 设数列{an}的前n项积为Tn， 则T2 025=a1a2a3…a2 025=(-1)675=-1. 命题点3　数列的最值 【典例】6　数列{bn}满足bn=，则当n=　　　　　　时，bn取最大值为　　　　　　.  【答案】4　 【解析】方法一　∵bn+1-bn=-=， ∴当n≤3时，bn+1>bn，{bn}单调递增， 当n≥4时，bn+1<bn，{bn}单调递减， 故当n=4时，(bn)max=b4=. 方法二　令即 解得≤n≤， 又n∈N*，∴n=4， 故当n=4时，(bn)max=b4=. 【解题技巧】 (1)解决数列的周期性问题，先求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值. (2)解决数列的单调性问题，常用作差比较法，根据差的符号判断数列{an}的单调性. 【变式训练】 变式1.在数列{an}中，a1=1，a2=5，an+2=an+1-an(n∈N*)，则a2 025的值为(　　) A.5 B.-5 C.4 D.-4 【答案】C 【解析】因为a1=1，a2=5，an+2=an+1-an(n∈N*)， 所以a3=a2-a1=4，a4=a3-a2=-1，a5=a4-a3=-5，a6=a5-a4=-4，a7=a6-a5=1，a8=a7-a6=5， 故数列{an}的周期为6， 所以a2 025=a6×337+3=a3=4. 变式2.已知数列{an}的通项公式为an=kn2-n-2，若{an}为递增数列，则k的取值范围为(　　) A.(1，+∞) B.(0，+∞) C. D. 【答案】D 【解析】an=kn2-n-2，若{an}为递增数列， 则an+1>an(n∈N*)， 有k(n+1)2-(n+1)-2>kn2-n-2(n∈N*)， 解得k>(n∈N*)， 则k>， 当n=1时，=，所以k>， 则k的取值范围为. 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.观察数列1，ln 2，sin 3，4，ln 5，sin 6，7，ln 8，sin 9，…，则该数列的第12项是(　　) A.1 212 B.12 C.ln 12 D.sin 12 【答案】D 【解析】通过观察数列得出规律，数列中的项是按正整数顺序排列，且3个为一循环节，由此判断第12项是sin 12. 2.已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=n2-1，则a3等于(　　) A.-5 B.5 C.7 D.8 【答案】B 【解析】因为Sn=n2-1， 所以a3=S3-S2=(32-1)-(22-1)=5. 3.已知数列{an}的项满足an+1=an，且a1=1，则an等于(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由an+1=an，得=，所以=，=，=，…，=，=(n≥2)，所以···…··=×××…××，所以=，因为a1=1，所以an=，又因为a1=1满足上式，所以an=. 4.已知数列{an}的通项an=，则数列{an}中的最大项的值是(　　) A.3 B.19 C. D. 【答案】C 【解析】令f(x)=x+(x>0)， 运用基本不等式得f(x)≥6， 当且仅当x=3时，等号成立. 因为an=，n∈N*，所以<， 所以当n=9或n=10时，an=最大. 5.已知数列{an}满足a1=1，an-an+1=nanan+1(n∈N*)，则an等于(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】易知an≠0，由题意，得-=n， 则当n≥2时，-=n-1，-=n-2，…，-=1， 以上各式相加得 -=1+2+…+(n-1)=(n≥2)， 所以=+1=， 即an=(n≥2)， 当n=1时，a1=1适合此式， 所以an=. 6.(2025·江门模拟)物理学家法兰克·本福特提出的定律：在b进制的大量随机数据中，以n开头的数出现的概率为Pb(n)=logb.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.若=(k∈N*)，则k的值为(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 【答案】C 【解析】=P10(k)+P10(k+1)+…+P10(80)=lg +lg +…+lg =lg ， 而===2lg 3=lg 9，故k=9. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.已知数列{an}的前n项和公式为Sn=，则下列说法正确的是(　　) A.数列{an}的首项为a1= B.数列{an}的通项公式为an= C.数列{an}为递减数列 D.若数列{Sn}的前n项积为Tn，则Tn= 【答案】ABC 【解析】对于A，数列{an}的首项为a1=S1==，故A正确； 对于B，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-=，a1=适合上式，故B正确； 对于C，因为an+1-an=-=-<0，所以数列{an}为递减数列，故C正确； 对于D，Tn=×××…×=，所以数列{Sn}的前n项积Tn=，故D错误. 8.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn-an=(n-1)2，bn=，则(　　) A.Sn=n2 B.an=2n C.数列{bn}是递减数列 D.数列{bn}的最小值为 【答案】AD 【解析】∵an=Sn-Sn-1(n≥2)， ∴Sn-an=Sn-1，则Sn-1=(n-1)2， 即Sn=n2(n∈N*)， ∴a1=1，当n≥2时，an=n2-(n-1)2=2n-1， 又a1=1满足上式，∴an=2n-1(n∈N*)，故A正确，B错误； 易知bn>0，∵bn=，bn+1=， ∴==，当>1时，n>+1， ∴当1≤n<3时，bn>bn+1，当n≥3时，bn<bn+1， ∴数列{bn}不是递减数列，且当n=3时，bn取得最小值，故C错误，D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知数列{an}满足an=n2-λn，n∈N*，数列{an}是递增数列，试写出一个满足条件的实数λ的值：　　　　　　　　.  【答案】1(λ取满足λ<3的任意一个实数值即可) 【解析】因为数列{an}是递增数列，且an=n2-λn，则an+1>an， 即(n+1)2-λ(n+1)>n2-λn， 整理可得2n+1-λ>0，即λ<2n+1， 因为n∈N*，即n≥1， 所以2n+1≥3，所以λ<3.(λ取满足λ<3的任意一个实数值即可) 10.九连环是中国传统民间智力玩具，它用九个圆环相连成串，环环相扣，以解开为胜，趣味无穷.现假设有n个圆环，用an表示按照某种规则解下n个圆环所需的最少移动次数，且数列{an}满足a1=1，a2=2，an=an-2+2n-1(n≥3，n∈N*)，则解开九连环最少需要移动　　　　次.  【答案】341 【解析】由题意，an=an-2+2n-1， 故a3-a1=22， a5-a3=24， … a2n-1-a2n-3=22n-2， 以上各式相加，可得a2n-1-a1=22+24+…+22n-2=41+42+…+4n-1， 即a2n-1=1+41+42+…+4n-1==， 所以按规则解开九连环最少需要移动的次数为a9==341. 四、解答题(共28分) 11.(13分)已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足a1=1，an+1=2+1. (1)求a2的值；(5分) (2)求数列{an}的通项公式.(8分) 【解析】 (1)∵a1=1，an+1=2+1， ∴a2=2+1=2+1=3. (2)方法一　由an+1=2+1， 得Sn+1-Sn=2+1，故Sn+1=(+1)2. ∵an>0，∴Sn>0，∴=+1， 即-=1， 则-=1(n≥2)， -=1，…，-=1， 由累加法可得=1+(n-1)=n， ∴Sn=n2(n≥2)， 又S1=a1=1，满足上式，∴Sn=n2. 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1， 又a1=1适合上式，∴an=2n-1. 方法二　由an+1=2+1， 得(an+1-1)2=4Sn， 当n≥2时，(an-1)2=4Sn-1， ∴(an+1-1)2-(an-1)2=4(Sn-Sn-1)=4an. ∴--2an+1-2an=0， 即(an+1+an)(an+1-an-2)=0. ∵an>0，∴an+1-an=2(n≥2). 又∵a2-a1=2， ∴{an}为等差数列，且公差为2， ∴an=1+(n-1)×2=2n-1. 12.(15分)已知各项均不为0的数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=. (1)求{an}的通项公式；(6分) (2)若对于任意n∈N*，2n·λ≥Sn恒成立，求实数λ的取值范围.(9分) 【解析】 (1)因为数列{an}的前n项和为Sn， 且a1=1，Sn=，即4Sn=anan+1+1， 当n≥2时，可得4Sn-1=an-1an+1， 两式相减得4an=an(an+1-an-1)， 因为an≠0，故an+1-an-1=4， 所以a1，a3，…，a2n-1，…及a2，a4，…，a2n，…均为公差为4的等差数列， 当n=1时，由a1=1及S1=，解得a2=3， 所以a2n-1=1+4(n-1)=2(2n-1)-1，a2n=3+4(n-1)=2×2n-1， 所以数列{an}的通项公式为an=2n-1. (2)由(1)知an=2n-1， 可得Sn==n2， 因为对于任意n∈N*，2n·λ≥Sn恒成立， 所以λ≥恒成立， 设bn=，则bn+1-bn=-=， 当1-<n<1+，即n=1，2时， bn+1-bn>0，bn<bn+1， 当n>1+，即n≥3，n∈N*时， bn+1-bn<0，bn>bn+1， 所以b1<b2<b3>b4>b5>…， 故=b3=，所以λ≥， 即实数λ的取值范围为. 【尖子生加餐特训】每小题5分，共10分 13.在研究多光束干涉在薄膜理论中的应用时，用光波依次透过n层薄膜，记光波的初始功率为P0，记Pk为光波经过第k层薄膜后的功率，假设在经过第k层薄膜时，光波的透过率Tk==，其中k=1，2，3，…，n，为使得≥2-2 025，则n的最大值为(　　) A.31 B.32 C.63 D.64 【答案】C 【解析】由题意=，=，…，=，所以=××…×=≥2-2 025， 所以≤2 025，即n(n+1)≤4 050， 显然f(n)=n(n+1)关于n单调递增，其中n∈N*， 又f(63)=4 032<4 050<f(64)=4 160， 所以n的最大值为63. 14.(2025·遵义模拟)第24届北京冬奥会开幕式由一朵朵六角雪花贯穿全场，为不少人留下深刻印象.六角雪花曲线是由正三角形的三边生成的三条1级Koch曲线组成，再将六角雪花曲线每一边生成一条1级Koch曲线得到2级十八角雪花曲线(如图3)……依次得到n级Kn(n∈N*)角雪花曲线.若正三角形边长为1，我们称∧为一个开三角，则n级Kn角雪花曲线的开三角个数为　　　　　　，n级Kn角雪花曲线的内角和为　　　　　　.  【答案】4n+2　3π×4n-2π 【解析】依题意，n级Kn(n∈N*)角雪花曲线的每一条边生成n+1级Kn+1(n∈N*)角雪花曲线的4条边， 因此n级Kn(n∈N*)角雪花曲线的边数构成以12为首项，4为公比的等比数列， 则n级Kn(n∈N*)角雪花曲线的边数为12×4n-1=3×4n， 当n=1时，曲线有6个开三角，令n级Kn(n∈N*)角雪花曲线的开三角数为an，a1=6， 由于n级Kn(n∈N*)角雪花曲线的每一条边向外形成一个开三角，因此an+1=an+3×4n， 当n≥2时，n级Kn(n∈N*)角雪花曲线的开三角数an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=6+3(4+42+…+4n-1)=6+3×=4n+2，a1=6满足上式， 所以n级Kn(n∈N*)角雪花曲线的开三角数an=4n+2； 令n级Kn角雪花曲线的内角和为bn，显然b1=6×+6×=10π， 而n级Kn(n∈N*)角雪花曲线到n+1级Kn+1(n∈N*)角雪花曲线每增加一个开三角，其内角和增加+2×=3π， 于是bn+1=bn+3π×3×4n=bn+9π×4n， 当n≥2时，n级Kn(n∈N*)角雪花曲线的内角和 bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)=10π+9π(4+42+…+4n-1) =10π+9π×=3π×4n-2π， 又b1=10π满足上式，所以n级Kn角雪花曲线的内角和bn=3π×4n-2π. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章数列 §6.1　数列的概念 【考情分析·探规律】 考点 3年考情（2021-2024） 命题趋势 考点1 数列的增减性 2023·全国甲卷 2022·全国乙卷 2022·北京卷 2021·全国甲卷 掌握数列的有关概念和表示方法，能利用与的关系以及递推关系求数列的通项公式，理解数列是一种特殊的函数,能利用数列的周期性、单调性解决简单的问题，该内容是新高考卷的必考内容，常考查利用与关系求通项或项及通项公式构造的相关应用，需综合复习。 考点2 递推数列及数列的通项公式 2024·全国甲卷 2023·北京卷 2022·北京卷 2022·浙江卷 2021·浙江卷 【知识梳理】　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.数列的有关概念 概念 含义 数列 按照确定的顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 数列{an}的 前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn=a1+a2+…+an 2.数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项 间的大 小关系 递增数列 an+1>an 其中 n∈N* 递减数列 an+1<an 常数列 an+1=an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3.数列与函数的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an=f(n). 4.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是表格法、图象法和解析式法. 5.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 6.数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 【名师点拨】 1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝ 2.在数列{an}中，若an最大，则 若an最小，则 【随堂练习】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.(　　) (2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.(　　) (3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.(　　) (4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　) 2.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用小石子来研究数.如图中的数1，5，12，22，…称为五边形数，则第8个五边形数是　　　　.  3.已知数列{an}满足a1=1，an=n+an-1(n≥2，n∈N*)，则an=　　　　　　.  4.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2-4n+1，则an=　　　　　　.  【名师点拨】 1.灵活应用两个常用结论 (1)若数列{an}的前n项和为Sn，则an= (2)在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则n≥2，n∈N*. 2.掌握数列的函数性质 由于数列可以看作一个关于n(n∈N*)的函数，因此它具备函数的某些性质： (1)单调性——若an+1>an，则{an}为递增数列；若an+1<an，则{an}为递减数列，否则为摆动数列或常数列(an+1=an). (2)周期性——若an+k=an(k为非零常数)，则{an}为周期数列，k为{an}的一个周期. 【必练核心题型】 题型一　由an与Sn的关系求通项公式 【典例】1.(2025·漳州模拟)已知各项均不为0的数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn=an+1，则等于(　　) A.- B.- C. D. 【典例】2.已知数列{an}满足=n+1，则a2 025等于(　　) A.2 025 B.2 024 C.4 049 D.4 050 【变式训练】 变式1.(多选)已知数列{an}的前n项和Sn=(3n-1)，则下列说法正确的是(　　) A.a1=1 B.数列{an}为递增数列 C.数列{an}是等比数列 D.an=2×3n-1 变式2.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n，当取得最小值时，n=　　　　　　.  题型二　由数列的递推关系求通项公式 命题点1　累加法 【典例】1.(2025·常德模拟)已知数列{an}满足a1=1，an-an+1=2nanan+1，则an=　　　　　　.  命题点2　累乘法 【典例2.若数列{an}满足a1=12，a1+2a2+3a3+…+nan=n2an，则a2 025=　　　　　.  【变式训练】 变式1.已知数列{an}中，a1=1，nan+1=2(a1+a2+…+an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为　　　　　　.  变式2.凸五边形有5条对角线，那么凸n+2(n≥2)边形的对角线条数为(　　) A. B. C. D. 题型三　数列的性质 命题点1　数列的单调性 【典例】1.已知数列{an}满足an=2n2+λn(λ∈R)，则“{an}为递增数列”是“λ≥0”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 命题点2　数列的周期性 【典例】5　(2025·孝感模拟)在数列{an}中，a1=-2，anan+1=an-1，则数列{an}的前2 025项的积为(　　) A.-1 B.-2 C.-3 D. 命题点3　数列的最值 【典例】6　数列{bn}满足bn=，则当n=　　　　　　时，bn取最大值为　　　　　　.  【变式训练】 变式1.在数列{an}中，a1=1，a2=5，an+2=an+1-an(n∈N*)，则a2 025的值为(　　) A.5 B.-5 C.4 D.-4 变式2.已知数列{an}的通项公式为an=kn2-n-2，若{an}为递增数列，则k的取值范围为(　　) A.(1，+∞) B.(0，+∞) C. D. 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.观察数列1，ln 2，sin 3，4，ln 5，sin 6，7，ln 8，sin 9，…，则该数列的第12项是(　　) A.1 212 B.12 C.ln 12 D.sin 12 2.已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=n2-1，则a3等于(　　) A.-5 B.5 C.7 D.8 3.已知数列{an}的项满足an+1=an，且a1=1，则an等于(　　) A. B. C. D. 4.已知数列{an}的通项an=，则数列{an}中的最大项的值是(　　) A.3 B.19 C. D. 5.已知数列{an}满足a1=1，an-an+1=nanan+1(n∈N*)，则an等于(　　) A. B. C. D. 6.(2025·江门模拟)物理学家法兰克·本福特提出的定律：在b进制的大量随机数据中，以n开头的数出现的概率为Pb(n)=logb.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.若=(k∈N*)，则k的值为(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.已知数列{an}的前n项和公式为Sn=，则下列说法正确的是(　　) A.数列{an}的首项为a1= B.数列{an}的通项公式为an= C.数列{an}为递减数列 D.若数列{Sn}的前n项积为Tn，则Tn= 8.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn-an=(n-1)2，bn=，则(　　) A.Sn=n2 B.an=2n C.数列{bn}是递减数列 D.数列{bn}的最小值为 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知数列{an}满足an=n2-λn，n∈N*，数列{an}是递增数列，试写出一个满足条件的实数λ的值：　　　　　　　　.  10.九连环是中国传统民间智力玩具，它用九个圆环相连成串，环环相扣，以解开为胜，趣味无穷.现假设有n个圆环，用an表示按照某种规则解下n个圆环所需的最少移动次数，且数列{an}满足a1=1，a2=2，an=an-2+2n-1(n≥3，n∈N*)，则解开九连环最少需要移动　　　　次.  四、解答题(共28分) 11.(13分)已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足a1=1，an+1=2+1. (1)求a2的值；(5分) (2)求数列{an}的通项公式.(8分) 12.(15分)已知各项均不为0的数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=. (1)求{an}的通项公式；(6分) (2)若对于任意n∈N*，2n·λ≥Sn恒成立，求实数λ的取值范围.(9分) 【尖子生加餐特训】每小题5分，共10分 13.在研究多光束干涉在薄膜理论中的应用时，用光波依次透过n层薄膜，记光波的初始功率为P0，记Pk为光波经过第k层薄膜后的功率，假设在经过第k层薄膜时，光波的透过率Tk==，其中k=1，2，3，…，n，为使得≥2-2 025，则n的最大值为(　　) A.31 B.32 C.63 D.64 14.(2025·遵义模拟)第24届北京冬奥会开幕式由一朵朵六角雪花贯穿全场，为不少人留下深刻印象.六角雪花曲线是由正三角形的三边生成的三条1级Koch曲线组成，再将六角雪花曲线每一边生成一条1级Koch曲线得到2级十八角雪花曲线(如图3)……依次得到n级Kn(n∈N*)角雪花曲线.若正三角形边长为1，我们称∧为一个开三角，则n级Kn角雪花曲线的开三角个数为　　　　　　，n级Kn角雪花曲线的内角和为　　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$