精品解析：2025年福建省龙岩市长汀县九年级中考适应性考试数学试卷

2025年长汀县初中毕业班质量检测 九年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 唐三彩最早、最多出土于洛阳，亦有“洛阳唐三彩”之称．下列唐三彩图形中，主视图和左视图相同的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各数在数轴上表示的点距离原点最近的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法最恰当的是（ ） A. 某校对学生进行体育达标测试，应采用抽样调查法 B. 了解我省中学生的身高状况采用抽样调查法 C. 要了解某班级学生期中数学测试成绩采用抽样调查法 D. 某工厂质检人员检测灯泡的使用寿命采用普查法 4. 下列语句正确的是（ ） A. 9的平方根是 B. 49算术平方根7 C. 25的平方根是5 D. 立方根是它本身数只有0，1 5. 光从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，这是一块玻璃的m，n两个面，且，取现有一束光线从空气射向玻璃时发生折射，光线变成，D为射线延长线上一点．已知，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 6. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 在探究圆周角的度数与它所对弧上圆心角的度数之间的数量关系时，我们分类讨论了如图所示的三种情况，经画图操作并添加辅助线将图2、图3转化为图1，从而证明了，其中体现的数学思想是（ ） A. 数形结合思想 B. 转化思想 C. 公理化思想 D. 类比思想 8. 已知，两点都在二次函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知一次函数与坐标轴交于两点．点是轴上一点，横坐标为，若的面积为，则与的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在等腰直角三角形中，，是边上的中线，将沿射线方向匀速平移，平移后的三角形记为，设与重叠部分的面积为，平移距离为，当点与点重合时，停止运动，则下列图象最符合与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6题，每题4分，共24分） 11. 分解因式结果是_____． 12. 分式方程的解是_______． 13. 如图，在中，，若，则的度数是______． 14. 如图，点在上，，则的度数为________ 15. 化学中直链烷烃的名称用“碳原子数+烷”来表示，当碳原子数为时，依次用天干甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸表示，其中甲烷、乙烷、丙烷的分子结构式如图所示，则辛烷分子结构式中“H”的个数是______． 16. 抛物线，与x轴的正半轴交于点A，顶点C的坐标为．若点P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作轴，且点Q位于一次函数的图像上．当时，的长度随t的增大而增大，则t的取值范围是______． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 计算：． 18. 化简并求值：，其中 19. 如图，在中，点是延长线上一点，，，，求证：． 20. 春节期间，人工智能题材新闻密集发酵，广受关注，相关话题讨论持续火热，海内外模型、机器人都已获得显著的技术突破，目前人工智能市场分为：决策类人工智能；：人工智能机器人；：语音类人工智能；：视觉类人工智能四大类型．为了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某公司就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）①此次共调查了______人，扇形统计图中类对应的圆心角度数为______； ②请将条形统计图补充完整； （2）将四个类型图标依次制成、、、四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率． 21. 火龙果是一种花青素、维生素E含量较为丰富的水果，有延缓衰老、调节免疫的作用．现有“白心火龙果”和“红心火龙果”两个品种，某水果店试销这两种火龙果，已知每箱的售价“红心火龙果”比“白心火龙果”贵10元，销售6箱“白心火龙果”的总价比销售5箱“红心火龙果”的总价多30元． （1）问“白心火龙果”与“红心火龙果”每箱的售价各是多少元？ （2）若“白心火龙果”每箱的进价为65元，“红心火龙果”每箱的进价为70元．现水果店购进两种火龙果共38箱，计划所花资金不高于2600元，设购进“白心火龙果”箱，销售这两种火龙果的利润为元，则该水果店应如何设计购进方案才能使得利润最大，最大利润是多少？ 22. 如图，抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点，连接． （1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段所在直线的函数表达式． （2）是线段上方抛物线上一动点，过点作轴于点，交于点．当时，求点的坐标． 23. 我们规定：当，时，由，得当且仅当时，取到等号．已知，求式子的最小值．解：令，，则由，得，当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为4，根据材料，思考下列问题： （1）______（用“”“”“”填空） （2）当，式子的最小值为______． （3）如图，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 24. 根据以下素材，探索完成任务． 折纸确定矩形一边上的三等分点 素材1 第一步：对折正方形，展开，折痕为； 第二步：将正方形沿对角线折叠，展开； 第三步：将正方形沿折叠，展开，折痕、交于点G； 第四步：过点G折叠正方形，使点D落在边上，折痕为； 则点M即为边的三等分点． 素材2 第一步：对折正方形，展开，折痕为； 第二步：将边沿折叠到的位置； 第三步：将点A沿折叠到点H的位置，折痕交正方形的边于点M； 则点M即为边的三等分点． 问题解决 任务1 证明素材1中方法的正确性． 任务2 证明素材2中方法的正确性． 任务3 已知矩形，通过折纸找出边上的一个三等分点，画出折痕，并简要说明折叠方法． 25. 如图1，正方形中，，O是边的中点，点E是正方形内一动点，，连接，过点D在的右侧作，且，连接、． （1）求证：； （2）当时，求的长； （3）如图2，若A、E、O三点共线，求点F到直线的距离； （4）直接写出线段最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年长汀县初中毕业班质量检测 九年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 唐三彩最早、最多出土于洛阳，亦有“洛阳唐三彩”之称．下列唐三彩图形中，主视图和左视图相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了三视图的知识，解题的关键是根据主视图和左视图的定义，发挥空间想象能力选出正确的选项．分别求出对应几何体的主视图和左视图即可得到答案． 【详解】解：根据从正面看到的图形和从左面看的图形相同的只有选项B符合， 故选：B． 2. 下列各数在数轴上表示的点距离原点最近的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查绝对值的含义，熟练计算无理数的绝对值是解题的关键．比较各项的绝对值，绝对值最小的即为距离最近． 【详解】解：数轴上表示的点距离原点最近的是， 故选：B． 3. 下列说法最恰当的是（ ） A. 某校对学生进行体育达标测试，应采用抽样调查法 B. 了解我省中学生的身高状况采用抽样调查法 C. 要了解某班级学生期中数学测试成绩采用抽样调查法 D. 某工厂质检人员检测灯泡的使用寿命采用普查法 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．据此判断即可． 【详解】解：A、某校对学生进行体育达标测试，应采用普查法，故本选项不符合题意； B、了解我省中学生的身高状况采用抽样调查法，本选项符合题意； C、要了解某班级学生期中数学测试成绩采用普查法，本选项不符合题意； D、某工厂质检人员检测灯泡的使用寿命采用抽样调查法，本选项不符合题意； 故选：B． 4. 下列语句正确的是（ ） A. 9的平方根是 B. 49的算术平方根7 C. 25的平方根是5 D. 立方根是它本身的数只有0，1 【答案】B 【解析】 分析】此题考查了平方根，算术平方根，立方根，根据平方根，算术平方根，立方根求解即可． 【详解】解：A．9的平方根是和3，故A错误； B．49的算术平方根7，故B正确； C．25的平方根是5和，故C错误； D．立方根是它本身的数有0，1和，故D错误． 故选：B． 5. 光从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，这是一块玻璃的m，n两个面，且，取现有一束光线从空气射向玻璃时发生折射，光线变成，D为射线延长线上一点．已知，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补． 先根据补角的定义求出的度数，进而可得出的度数，由平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：如图： ，， ， ， ， ， 故选：D． 6. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，掌握运用“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”确定不等式组的解集是解答本题的关键． 先分别求出每一个不等式的解集，然后根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”确定不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 故选：A． 7. 在探究圆周角的度数与它所对弧上圆心角的度数之间的数量关系时，我们分类讨论了如图所示的三种情况，经画图操作并添加辅助线将图2、图3转化为图1，从而证明了，其中体现的数学思想是（ ） A. 数形结合思想 B. 转化思想 C. 公理化思想 D. 类比思想 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查对数学思想的理解，理解转化思想是将一般情况转化为特殊情况成为解题的关键． 根据转换思想的含义进行判断即可． 【详解】解：由画图操作并添加辅助线将图2、图3转化为图1，可知体现了转化的思想． 故选：B． 8. 已知，两点都在二次函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，二次函数函数值的比较，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，函数增减性是解题的关键． 根据题意可得二次函数图象开口向下，对称轴直线为，离对称轴直线越远，函数值越小，由此即可求解． 【详解】解：由条件可知二次函数图象开口向下，对称轴直线为， 离对称轴直线越远，函数值越小， ，， ， 故选：B． 9. 如图，已知一次函数与坐标轴交于两点．点是轴上一点，横坐标为，若面积为，则与的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，利用数形结合的思想解决问题是关键．先求出一次函数与坐标轴的交点，，再根据三角形面积公式表示出与的函数关系式即可． 【详解】解：一次函数与坐标轴交于两点， 令，则；令，则，解得：， ，， ，， 点是轴上一点，横坐标为， ， ， ， 故选：C． 10. 如图，在等腰直角三角形中，，是边上的中线，将沿射线方向匀速平移，平移后的三角形记为，设与重叠部分的面积为，平移距离为，当点与点重合时，停止运动，则下列图象最符合与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与几何图形的综合，涉及等腰直角三角形，平移的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些性质，学会分类讨论．过点作于，由为等腰直角三角形，，可设，可得，，然后分情况讨论：当时，当时，分别求出关于、的函数，再数形结合即可求解． 【详解】解：过点作于， 为等腰直角三角形，， ， 设， ，， 当时，设交于点，交于， ， 由平移知，， 是等腰直角三角形， ， 又， ， 当时取得最大值，故排除A、B选项 当时，交于点，交于点， ， ， 又， 为等腰三角形， ， 为等腰三角形， ， ， 即当时，函数图像为开口向上的抛物线，故排除C选项 故选：D． 二、填空题（本大题共6题，每题4分，共24分） 11. 分解因式的结果是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解提公因式法，先确定公因式，再利用提公因式法分解因式即可．熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 分式方程的解是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． 先去分母，化分式方程为整式方程，直接求解即可． 【详解】解：， 去分母，原方程可化为， ∴， 经检验是原方程的解， 故答案为：． 13. 如图，在中，，若，则的度数是______． 【答案】##40度 【解析】 【分析】根据平行四边形对边平行可得，利用平行线的性质可得，因此利用直角三角形两个锐角互余求出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，难度较小，解题的关键是能够综合运用上述知识． 14. 如图，点在上，，则的度数为________ 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等边对等角，平行线的性质，先由等边对等角得到，再由平行线的性质得到，则由等边等角得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 化学中直链烷烃的名称用“碳原子数+烷”来表示，当碳原子数为时，依次用天干甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸表示，其中甲烷、乙烷、丙烷的分子结构式如图所示，则辛烷分子结构式中“H”的个数是______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了图形规律探究，解题的关键是总结归纳出图形变化规律． 根据题意，得到氢原子的数目与碳原子数的规律，即可解答． 【详解】解：观察，发现规律： 甲烷：碳原子的数目，氢原子的数目，； 乙烷：碳原子的数目，氢原子的数目，； 丙烷：碳原子的数目，氢原子的数目，； ． 与之间的关系式为； 则辛烷分子结构式中“”的个数：， 故答案为：18． 16. 抛物线，与x轴的正半轴交于点A，顶点C的坐标为．若点P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作轴，且点Q位于一次函数的图像上．当时，的长度随t的增大而增大，则t的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、坐标与图形．先由顶点C的坐标为求得抛物线的解析式，再求得抛物线和直线的交点坐标，设，，分和两种情况，利用坐标与图形性质，用t表示出，根据二次函数的性质分别求解即可． 【详解】解：∵抛物线顶点C的坐标为， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为， 联立方程组，解得或， ∴抛物线与直线的交点坐标为，， ∵点P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作轴，且点Q位于一次函数的图像上， ∴，， 当时，， ∵， ∴当时，的长度随t的增大而减小，不符合题意； 当时，， ∵， ∴当时，的长度随t的增大而增大，当时，的长度随t的增大而减小， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据负整数指数幂和零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，绝对值意义，进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 化简并求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，掌握相关运算法则是解题关键．先对括号内通分计算，再将除法化为乘法约分化简，然后将的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，在中，点是延长线上一点，，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键，证明即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴． 20. 春节期间，人工智能题材新闻密集发酵，广受关注，相关话题讨论持续火热，海内外模型、机器人都已获得显著的技术突破，目前人工智能市场分为：决策类人工智能；：人工智能机器人；：语音类人工智能；：视觉类人工智能四大类型．为了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某公司就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）①此次共调查了______人，扇形统计图中类对应的圆心角度数为______； ②请将条形统计图补充完整； （2）将四个类型的图标依次制成、、、四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率． 【答案】（1）①；；②见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、用列表法或树状图法求概率、求扇形统计图圆心角度数，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①用类的人数除以所占的百分比即可得出总人数，用乘以类所占的比例即可得出圆心角度数；②求出类的人数，再补全条形统计图即可； （2）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：①此次共调查了人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为； ②类的人数为（人）， 补全条形统计图如图所示： 故答案为：；； 【小问2详解】 解：画出树状图如下： ， 由树状图可得，共有种等可能出现结果，其中抽取到的两张卡片内容一致的情况有， ∴抽取到的两张卡片内容一致的概率为． 21. 火龙果是一种花青素、维生素E含量较为丰富的水果，有延缓衰老、调节免疫的作用．现有“白心火龙果”和“红心火龙果”两个品种，某水果店试销这两种火龙果，已知每箱的售价“红心火龙果”比“白心火龙果”贵10元，销售6箱“白心火龙果”的总价比销售5箱“红心火龙果”的总价多30元． （1）问“白心火龙果”与“红心火龙果”每箱的售价各是多少元？ （2）若“白心火龙果”每箱的进价为65元，“红心火龙果”每箱的进价为70元．现水果店购进两种火龙果共38箱，计划所花资金不高于2600元，设购进“白心火龙果”箱，销售这两种火龙果的利润为元，则该水果店应如何设计购进方案才能使得利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）“白心火龙果”每箱的售价为80元，“红心火龙果”每箱的售价为90元 （2）购进“白心火龙果”12箱，购进“红心火龙果”26箱时，利润最大，最大利润是700元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组、一次函数、一元一次不等式解应用题，读懂题意，得到相应方程组、函数及不等式是解决问题的关键． （1）设“白心火龙果”每箱的售价为元，“红心火龙果”每箱的售价为元，由等量关系列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）根据（1）中求得结论，由题意得到销售这两种火龙果的利润表达式，由一次函数性质及一元一次不等式解集即可得到答案 【小问1详解】 解：设“白心火龙果”每箱的售价为元，“红心火龙果”每箱的售价为元， 由题意可得，解得， 答：“白心火龙果”每箱的售价为80元，“红心火龙果”每箱的售价为90元； 【小问2详解】 解：由题意可得， ， 随的增大而减小， 要求所花资金不高于2600元， ，解得， 当时，取得最大值，此时，， 答：购进“白心火龙果”12箱，购进“红心火龙果”26箱时，利润最大．最大利润是700元． 22. 如图，抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点，连接． （1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段所在直线的函数表达式． （2）是线段上方抛物线上一动点，过点作轴于点，交于点．当时，求点的坐标． 【答案】（1），，， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与x轴和y轴的交点问题、求一次函数不等式、线段问题，熟练待定系数法是解题的关键． （1）把和分别代入即可求出A，B，C三点的坐标，然后利用待定系数法即可求出所在直线的函数表达式； （2）设点的坐标为，根据题意表示出，，然后利用列方程求解即可． 【小问1详解】 把代入，得， ， 把代入，得， 解得，， 点在点的左侧， ，． 设线段所在直线的函数表达式为； ∴ 解得 ∴线段所在直线的函数表达式为； 【小问2详解】 点在抛物线上， 设点的坐标为， 轴于点，交AC于点， 点的坐标为，点的坐标为， ，， 点在线段AC上方的抛物线上， ， ， ， 解得或（舍去）， 点的坐标为． 23. 我们规定：当，时，由，得当且仅当时，取到等号．已知，求式子的最小值．解：令，，则由，得，当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为4，根据材料，思考下列问题： （1）______（用“”“”“”填空） （2）当，式子的最小值为______． （3）如图，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 【答案】（1） （2）6 （3） 【解析】 【分析】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用． （1）根据题意可知， （2）令，，则由，即可得出答案． （3）设，根据题意可得出，即可得出当且仅当，即时，，四边形面积． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 故答案为： 【小问2详解】 解：令，，则由， 得 当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为6， 故答案为：6； 【小问3详解】 解：设，已知，， 则由等高三角形可知：， ， ， 四边形的面积 当且仅当，即时，取等号， 四边形面积的最小值为． 24. 根据以下素材，探索完成任务． 折纸确定矩形一边上的三等分点 素材1 第一步：对折正方形，展开，折痕为； 第二步：将正方形沿对角线折叠，展开； 第三步：将正方形沿折叠，展开，折痕、交于点G； 第四步：过点G折叠正方形，使点D落在边上，折痕为； 则点M即为边的三等分点． 素材2 第一步：对折正方形，展开，折痕为； 第二步：将边沿折叠到的位置； 第三步：将点A沿折叠到点H的位置，折痕交正方形的边于点M； 则点M即为边的三等分点． 问题解决 任务1 证明素材1中方法的正确性． 任务2 证明素材2中方法的正确性． 任务3 已知矩形，通过折纸找出边上的一个三等分点，画出折痕，并简要说明折叠方法． 【答案】任务1：见解析；任务2：见解析；任务3：见解析 【解析】 【分析】任务1：由折叠和正方形的性质可证，有，同理，有，结合矩形的性质可得，则，即可证明点M是的三等分点； 任务2：连接，设正方形边长为a，由折叠可得，，由折叠和正方形的性质可证，有，设，则，，在中，利用勾股定理求得，即可判定点M是三等分点 任务2：方法一：参照任务一的方法即可折出矩形的一个三等分点；方法二：首先两次对折矩形形成新的矩形，再结合任务一的方法即可找到三等分点；方法三：参照任务二的方法即可折出矩形的一个三等分点． 【详解】解：任务1： ∵四边形为正方形， ∴， 由折叠可得：， ， ∵， ∴， ， 同理， ， ， 则， ∵四边形是矩形， ∴， ， ， 即点M是的三等分点； 任务2：连接，如图， 设正方形边长为a，由折叠可得， ， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ， 设，则，， 在中，， ，解得， ， 即点M是三等分点 任务3： 方法一： 第一步：对折矩形，展开，折痕为； 第二步：沿对角线折叠矩形，展开，再沿折叠矩形， 展开，折痕，交于点G， 第四步：过点G折叠矩形，使折痕； 则点H即为的一个三等分点． 方法二： 第一步：两次对折矩形，展开，折痕分别为、； 第二步：沿折叠矩形，展开；再沿折叠矩形，展开，交折痕于点N； 第三步：沿折叠矩形，折痕交于点M， 则点M即为所求作的三等分点． 方法三： 第一步：将边沿折叠到落到边的位置； 第二步：折叠矩形，使点A与点E重合，点B与点F重合，展开，折痕为； 第三步：将点E沿折叠到点N的位置，将点A沿折叠到点P的位置，折痕交边于点M； 则点M即为边的一个三等分点． . 【点睛】本题主要考查折叠的性质、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形性质和找到对应的等分点． 25. 如图1，正方形中，，O是边的中点，点E是正方形内一动点，，连接，过点D在的右侧作，且，连接、． （1）求证：； （2）当时，求长； （3）如图2，若A、E、O三点共线，求点F到直线的距离； （4）直接写出线段的最小值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可得，，再证明，即可得证； （2）连接，由题意可得，由勾股定理可得，，最后由全等三角形的性质即可得解； （3）过点作交的延长线于点，由（2）知，结合全等三角形的性质可得，证明，由相似三角形的性质求解即可； （4）连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，则由题意可知点在以点为圆心、长为半径的圆上运动，连接，证明得出，再由，即可得解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：连接，如图所示： ∵，是边的中点， ∴， 在中，则， 在中，，则， 由（1）中可知； 【小问3详解】 解：过点作交的延长线于点，如图所示： 由（2）知， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴点F到直线的距离为； 【小问4详解】 解：连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，则由题意可知点在以点为圆心、长为半径的圆上运动，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴； ∴， ∵，，点在以点为圆心、长为半径的圆上运动， ∴， ∴， ∴线段的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$