精品解析：海南省创新中学协作校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

海南省创新中学协作校联考试题 2024-2025学年度下学期期中高一数学 时间：120分钟满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知，， 则. 2. 已知在中，点在的延长线上，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题设条件和向量的线性运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】因为， 根据向量线性运算法则，可得. 故选：A． 3. 如图，是水平放置的的直观图，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法得到三角形为直角三角形，，边长，，然后即可求三角形的周长． 【详解】 根据斜二测画法得到三角形为直角三角形，， 底边长，高， 所以， 直角三角形的周长为． 故选：A． 4. 山西应县木塔，始建于1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.某同学为了估算木塔的高度MN，他在塔的附近找到一座建筑物AB，高为15m，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得木塔顶部M，建筑物顶部A的仰角分别为和，在A处测得木塔顶部M的仰角为，则可估算木塔的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中，得，在中，得，在中得，代入数值即可求得的值. 【详解】， 在中，， 在中，， 则， 由正弦定理，得，所以， 在中，. 故选：D. 5. 在中，若，，，则边上的高为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据求出，，由余弦定理求出，根据等面积法求解边上的高. 【详解】设中角所对边为 依题意，，而， 解得，，由余弦定理 故，设边上的高为 故，即， 解得. 故选：B 【点睛】此题考查利用余弦定理解三角形，求出三角形的基本量，通过等面积法求边上的高，根据正切值求正余弦值的时候注意角的取值范围对正余弦值的符号的限制. 6. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则△ABC的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理、两角和的正弦公式，结合诱导公式进行求解判断即可. 【详解】因为， 所以 ， 所以 则，即，故. 因为，， 所以， 当时，所以或. 若，则. 若，则. 当时，（舍去）， 因此的形状为直角三角形. 故选：C 7. 已知平面向量，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由题设分别在以为原点，半径为的圆上运动，且，数形结合及向量加法的几何意义确定的范围，即可得答案. 【详解】由题设，分别在以为原点，半径为的圆上运动，且， 所以，若是的中点，则，而，如下图示， 由图知，，而，即. 所以的最小值是. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 8. 设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若点的坐标为，则对应的点在第三象限 C. 若.则的模为7 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】由复数的模判断AC；由复数的基本概念和几何意义运算判断BD． 【详解】对于A，设，由，则，故A错误； 对于B，由点的坐标为，则，， 所以复数对应的点为，对应的点在第三象限，故B正确； 对于C，由，则，故C错误； 对于D，设，由，则， 所以点的集合所构成的图形的面积为，故D正确. 故选：BD. 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的值为 B. 若的值为3，则 C. 若，则与的夹角为锐角 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】结合向量平行的坐标表示列方程求，判断A，先求，结合向量的模的坐标表示求，判断B，结合共线向量定理，举反例判断C，结合向量垂直关系求，再求，，判断D. 【详解】对于A：若，则，所以的值为，故A正确； 对于B：由可得，又，所以， 所以，故B正确； 对于C：当时，，又，所以， 所以与同向，此时与的夹角为，故C错误； 对于D：若，则， 即，即，解得， 当时，，，，， ，， 所以， 当时，，，，， 所以，， 所以，故D错误. 故选：AB. 10. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈.若规定：盛水筒对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：），且此时点距离水面的高度为（单位：）（在水面下则为负数），则与的关系为.下列说法正确的是（ ） A. B. 点第一次到达最高点需要的时间为 C. 在转动的一个周期内，点在水中的时间是 D. 若在上的值域为，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据三角函数基本量求解方法，结合题意即可判断A；根据旋转角度即可判断B和C；根据三角函数图像，结合整体代换的方法即可判断D. 【详解】对于A，因为筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为， 则依题意，满足，所以， 因为筒车每分钟60s沿逆时针方向转动3圈，所以，， 则，由可得， 又因为，所以，故A正确； 对于B，由已知得，与轴正方向的夹角为， 所以点第一次到达最高点需要转动，则所需时间为，故B正确； 对于C，在转动的一个周期内，点在水中转动， 则所需要的时间是，故C错误； 对于D，若在上的值域为， 则在上的值域为， 因为，所以， 作出函数的图象，依题意需使 即，解得，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的实际应用问题.关键点在于研究图形特点，通过数据转化为三角函数解析式的基本量，进而求解三角函数解析式，从而求解答案. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知，若复数是纯虚数，则a的值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据纯虚数的概念，实部等于0，虚部不为0，列式求解即可. 【详解】由题：，解得：， 故答案为：. 12. 已知平面向量、的夹角为60°，且为单位向量，，则＝______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知，再根据向量数量积的定义与性质求解即可. 【详解】解：根据题意可得， 所以， 所以 . 故答案为： 13. 已知，若对任意的恒成立，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先将原式化简为，所以可化为，只需要求在的最大值即可. 【详解】因为 ， 所以， 因为，所以， 所以对任意的恒成立， 只需要即可. 设， 令，因为在上单调递减， 所以当时，取到最大值5， 所以，所以a的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知，复数，为虚数单位，. （1）若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围； （2）若满足，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数运算法则化简，再由复数的几何意义确定其在复平面内的对应点的坐标，结合条件列不等式可得结论； （2）由条件结合复数相等的定义和共轭复数定义可得，解方程求，再由复数运算法则求，利用复数的模的公式求结论. 【小问1详解】 因为， 所以在复平面内对应的点为， 由在复平面内对应的点位于第三象限， 得，解得， 所以的取值范围为. 【小问2详解】 依题意，， 又，则，解得，， 所以， 所以. 15. 如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为. （1）计算该模型的体积.（结果精确到） （2）现需使用油漆对个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米元，总费用是多少？（结果精确到元） 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）设圆锥的高为，由条件求出圆锥的高，结合柱体体积公式和锥体体积公式求结论； （2）结合圆柱的侧面积公式，圆锥的侧面积公式求出一个模型的表面积，再求总费用的值. 【小问1详解】 设圆锥的高为， 由题意得圆锥母线为，圆锥的底面半径为， 则， 设圆柱的底面半径为，高为，由已知可得，， 所以圆柱的体积， 圆锥的体积 ； 【小问2详解】 圆柱的侧面积为，圆柱的上底面的面积为， 圆锥侧面积为. 一个模型的表面积， 所以总费用为（元）. 16. 在中，内角的对边分别为，已知. （1）若的面积为3，求的值； （2）设，，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角的平方关系和三角形面积公式计算可得，结合平面向量数量积的定义即可求解； （2）根据平面垂直向量的坐标表示，结合三角恒等变换的化简计算即可求解. 【小问1详解】 ，，则， 的面积为，， 因此； 【小问2详解】 ，，且， 所以， 即，. ， ， ， 故. 17. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知. （1）若，求的外接圆面积； （2）若，求角. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）设的外接圆的半径为，由条件利用正弦定理化边为角可得，化简可得，由此可求，再求的外接圆面积； （2）由正弦定理化边为角，结合（1）可得，利用三角恒等变换公式可得，结合角的范围及特殊角三角函数值可得结论. 【小问1详解】 设的外接圆的半径为，由正弦定理可得， 所以， 在中，由， 可得，又 所以 所以 所以， 所以， 而，所以，即， 因为为内角，所以，所以 所以，故， 所以外接圆的面积为， 【小问2详解】 由，可得， 在中，由正弦定理得，由（1） 所以， 因为，所以， 所以， 则，得， ，或， 或. 18. 如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记， （1）请用来表示平行四边形的面积； （2）若. ①求平行四边形面积的最大值，以及面积最大时角的值； ②记（其中），求的取值范围. 【答案】（1） （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）过点作的垂线，在，中利用三角函数值表示边长，即可表示出四边形的面积； （2）①运用三角恒等变换和三角函数的性质计算关于的三角函数的最值即可；②通过建系，得出点的坐标，利用的三角函数来表示，再由三角函数的性质即可求得的范围. 【小问1详解】 过点作的垂线，垂足为，在中，， 在中，，则， 所以， 所以 【小问2详解】 ①若，由题意可得， 由（1）知： 故平行四边形的面积 由于，故， 故当时，即时，取得最大值为. ②根据题意，建立如图所示的坐标系，则，即 又，则 因，即， 则，， 解得：，， ， 由点是弧上一动点，则，则， 所以即. 则的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南省创新中学协作校联考试题 2024-2025学年度下学期期中高一数学 时间：120分钟满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知在中，点在的延长线上，且满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是水平放置的的直观图，则的周长为（ ） A. B. C. D. 4. 山西应县木塔，始建于1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.某同学为了估算木塔的高度MN，他在塔的附近找到一座建筑物AB，高为15m，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得木塔顶部M，建筑物顶部A的仰角分别为和，在A处测得木塔顶部M的仰角为，则可估算木塔的高度为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，若，，，则边上的高为 A. B. C. D. 6. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则△ABC的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 不确定 7. 已知平面向量，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 8. 设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若点的坐标为，则对应的点在第三象限 C. 若.则的模为7 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的值为 B. 若的值为3，则 C. 若，则与的夹角为锐角 D. 若，则 10. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈.若规定：盛水筒对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：），且此时点距离水面的高度为（单位：）（在水面下则为负数），则与的关系为.下列说法正确的是（ ） A. B. 点第一次到达最高点需要的时间为 C. 在转动的一个周期内，点在水中的时间是 D. 若在上的值域为，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知，若复数是纯虚数，则a的值为________. 12. 已知平面向量、的夹角为60°，且为单位向量，，则＝______. 13. 已知，若对任意的恒成立，则a的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知，复数，为虚数单位，. （1）若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围； （2）若满足，，求的值. 15. 如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为. （1）计算该模型的体积.（结果精确到） （2）现需使用油漆对个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米元，总费用是多少？（结果精确到元） 16. 在中，内角的对边分别为，已知. （1）若的面积为3，求的值； （2）设，，且，求的值. 17. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知. （1）若，求的外接圆面积； （2）若，求角. 18. 如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记， （1）请用来表示平行四边形的面积； （2）若. ①求平行四边形面积的最大值，以及面积最大时角的值； ②记（其中），求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $