西南名校联盟2025届“ 3+3+3”高考备考诊断性联考（四）数学试卷

西南名校联盟2025届“3+3+3”高考备考诊断性联考（四） 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答 题卡上填写清楚， 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效· 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟， 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项符合题目要求) 1.已知全集U={1,2,3},A={1,2引，B={2,3引，则(CwA)nB= A.12} B{3 C.11,3 D.{2,3 2.在复平面内，复数，=-1+i与复数2对应的点关于实轴对称，则12|= A.1 B.2 C.5 D.2 3抛物线C:y式的雅线方程为 A.=-1 1 B.x=- C=-1 2 0.y2 1 4.若cos 881 -sin 23,则sin0= B号 3 D. 5.已知等差数列{an}的前n项和为S.,若a5=15,S3=18,则公差d= A号 B. C.2 D.3 6.已知命题：“3x∈(0，+o),2x2-ax+1<0”为假命题，则实数a的取值范围是 A.（-∞，25] B.（-∞，2] C.(-∞，1] n.(m,引 数学第1页（共4页） 了、已知0为原点，椭圆C:+钻 ,=1(a>b>0)的右顶点、右焦点分别为A,F,过点0的 直线（与x轴不重合）与C分别交于点P,Q.若直线PF交线段AQ于B且AB= 号可，则C的离心率为 A号 c 8.已知函数f八x)的定义域为R,g(x)=f代x)-x+1是奇函数，h(x)=f八x)-x是偶函数， 则f(3)= A.-10 B.-8 C.8 D.10 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知直三棱柱ABC-A,B,C,的顶点都在半径为3的球O的球面上，点O到平面ABC的 距离为1，AC⊥BC,则下列说法正确的是 A.△ABC面积最大值为8 B.直三棱柱ABC-A,B,C1体积最大值为16 C点C到平面ABB,A1距离的最大值为2√2 D.四棱锥C-AB,4体积最大值为9 10.某中学九年级在体能测试后，为分析学生的跳绳成绩，随机抽取了120名学生的1 分钟跳绳的次数，将所得数据整理后，分为6组画出如图1频率分布直方图.为进一 步分析学生的成绩分布情况，经计算得到这120名学生中，跳绳次数位于 [140,150)的学生跳绳次数的方差为2，跳绳次数位于[150,160]的学生跳绳次数 的方差为2.5.则下列说法正确的是 A.a=0.005 1频率 组距 B.估计该年级学生跳绳次数的60%分位数 60 约为135 Sa C.估计该年级学生跳绳次数在140次及以 3a 上的学生跳绳次数的平均数为147.5 2a 0 D.估计该年级学生跳绳次数在140次及以 上的学生跳绳次数的方差为26.2 01001i0120130140150160跳绳的次数 图1 11.设曲线C:x-xy=4,下列说法正确的是 A.曲线C的图象在第二、四象限内 B曲线C的一条渐近线为y轴 C曲线C与直线y=4有且仅有一个交点 D.曲线C与圆0：x2+y2=9有四个交点 数学·第2页（共4页） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.设向量a,b满足|a|=1,1b|=2,1a-b|=√5，则a与b的夹角为 13.已知随机变量X服从正态分布X-N(3,σ2)，且P(X≤1)=p,P(1<X<5)=2p,则P 14已知w>0,顺次连接函数y-5 2 sino与y=5,2 2 C0s0的：意四个相邻交点，所构成 的四边形的周长为22，则w= 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知bsinB+(b+c)sinC=asinA. (1)求A; (2)若a=7,b+c=8,求△ABC的面积 16.(本小题满分15分) 如图2，在三棱锥P-ABC中，AC=BC,D为BG的中点，PB=PC=CD=AB=2,且 2 平面PBC⊥平面ABC (1)证明：平面PAB⊥平面PAC; (2)求平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值， 图2 17.(本小题满分15分) x2 y 已知双曲线C:。存=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A,B,P(25,1)在C 上，满足kpM·kpa=4 (1)求C的方程； 的，求 (2)过点Q(3,0)的直线（与x轴不重合）交C于M,N两点.若1Mw1-8 直线1的方程 数掉‘第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 在足球训练中，甲、乙、丙三人进行传球训练。每次传球按以下规则转移：当球在 甲脚下时，他有的概率继续控球（不传给别人）， 子的概率传给乙；当球在乙脚下 时，他有子的概率回传给甲，的概率传给丙；当球在丙脚下时，他有子的概率传给 2 甲，子的概率传给乙。初始时球在甲处，每次传球是相互独立的， (1)求两次传球后球在乙处的概率，以及三次传球后球在丙处的概率； (2)记n次传球后，球在甲处的概率为p,在乙处的概率为g。 (i)证明：数列.-}是等比数列： (ⅱ)求{p}和{g.l的通项公式 19.(本小题满分17分) 定义：名1,2是函数f八x)的两个极值点，若1+名2<2f(x)+f(x2),则称f八x) 为“函数”. (1)若f代x)=x+3ax2-15为“，函数”，求实数a的取值范围； (2)已知函数g(x)=2e1-x2-bx+b有两个极值点. (i)求b的取值范围； ()证明：g(x)为“r函数” 数学·第4页（共4页）西南名校联盟2025届“3+3+3”高考备考诊断性联考（四) 数学参考答案 一、单项选择题（本大题共8小题，每小咫5分，共40分.在每小愿给出的四个选项中，只 有一项符合愿目要求) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B C A D A D C 【解析】 1.由题ouA=3},所以（⊙uA)∩B=3},故选B. 2.由题：=-1-i,则|=√反，故选B. 3.抛物线C:y方方程可化为=2y,所以所求准线方程为y=方故选C A -如号os号-am号号l=所以a0-写故志人 5. 等差数列a,)中，S=型=3a=18,所以a,=6,雨a,=15,所以公若 2 d=-a=15-6=3.故选D. 3 3 6.据题意，若“x∈(0.+o,2x+<a”为假命圈，则其命题的否定：x0.+0), a≤2x+二为真命圈，所以a≤2x+-在xe(0.+o)上恒成立：由于x>0,根据基本不等式， 得2x+上≥25（当且仅当x=5时取等号.所以a≤25.故选A. 2 7.设C2=a2-b,c>0,如图1，设椭圆C的左焦点为F,连接PF, PF,QF':由于P,Q是C上关于原点对称的点，且FO曰FO, 所以四边形PFOF是口PFQF,即PF∥QF':又B=0.则 有岛品即兰甘解得如=，故：号故 IBOIFF' 图1 选D. 数学参考答案·第1页（共8项） 8.由g(x)=f(x)-x+1是奇函数，所以g(-x)=f(-x)+x+1=-g(x)=-f(x)+x-1,即 f(x)+(-x)=-2①，由h(x)=f(x)-x是偶函数，所以(-x)=f（-x)-(-x)'=x) =fx)-x.即fx)-f(-x)=2x'②.由①+②得，2f（x)=2x3-2,则fx)=x3-1,所 以∫6=6y-1=8,故选C. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 愿号 9 10 11 答案 ABC ABD BC 【解析】 9.如图2，球心0到截面ABC的距离为d=1,截而小圆0的半径r=√R-d产=2√巨，由 AC⊥BC知AB为△ABC外接圆0的直径故AB=4N5,AC2+BC=AB=32,所以 AC,BC≤AC+BC 2=16.即5x=4C,BC≤8.所以A正确： 由于直三校柱ABC-4B,C的高为2，所以直三校柱ABC-4B,C,体 积最大值为8×2=I6,所以B正确：过点C作CH⊥AB于点H,由 于CH⊥AA,AB∩A4=A,所以CH⊥平面ABBA,而CH的最大 图2 值为r=2反，即点C到平面ABB4距离的最大值为2反，则四棱锥C-ABB4体积的最 大值为×25x45x2=兰，所以C正确，D错误，故选ABC. 10.对于A,在频奉分布直方图中，各长方形的面积之和为1，则(a+3a++5a+6a+3a+2a) ×10=200a=1,解得a=0.005,所以A正确：对于B,前三个矩形的面积之和为 (a+3a+5a)x10=90a=0.45<0.6,前四个矩形的面积之和为(a+3a+5a+6a)×10= 150a=0.75>0.6,设该年级学生跳绳次数的60%分位数为m·则m∈(130.140)，根据 60%分位数的定义可得0.45+(m-130)×0.03=0.6,解得m=135,所以，估计该年级学 生跳绳次数的60%分位数钓为135，所以B正确：对于C,估计该年级学生跳绳次数在140 次及以上的学生跳绳次数的平均数为，30x145+,2口x155=149,所以C错误：对 3a+2a 3a+2a 数学参考答案·第2页（共8页） 于D,估计该年级学生跳绳次数在140次及以上的学生跳绳次数的方差为 ×+045-149门+x25+055-149]=262,故D正确，故选ABD 11.对于A.点(2.2)在曲线C上，所以A错误：对于B,由于x-y=4 化为y=x-4≠0)，当x>0时.y=x-4在0.+o)上单调递增： 当x<0时，y=2x+12心+2.则当x<5时，y<0. x23 y=x-4在(0.)上单调递减，当互<x<0时，y>0, 图3 y=x-在(，0)上单调递增：又当x→-0时，y→切：当x→0时，y→： 当x→0时，y→-0：当x→+0时，y→+：则曲线C的图象如图3所示，所以y轴 为曲线C的一条渐近线·所以B正确：对于C,当x<0时， 2诉+疗=诉+2x年>2x2x车=2风5,4，所以当x>0时.曲线y=-生 与直线y=4有且仅有一个交点，所以C正确：对于D,当x<0时，y>4,所以曲线 y=x-4与閩O:x+y=9无公共点：当x>0时，曲线y=X-4与圆0：r+y=9有 两个公共点，所以曲线y=x-4与圆0：x+y=9有两个交点，所以D错误，故选BC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 愿号 12 13 14 答案 x-2 1 3π 【解析】 2.由于a-bf=a-b=-2ab+=1-2ab+4=5,则ab=0.所以a与6夹角为 13.因X~N(3.G),则μ=3，由PX)=p和正态曲线的对称性，可得P(X>≥)=PX) =p.故PI<X<)=l-PX2-PXq)=1-2p=2p,所以p=4 数学参考答案·第3页（共8页） 14.由图象可知四边形4BCD为平行四边形.如图4.|AB1=2红（a>0.inox=cosr.即 anr=1,所以交点横坐标为x=工+冬keZ, AD +25,设ABCD周长为 =22,则 +25=11 2红，令还=1.则0<1<3. 所以VF+25=11-2,即3°-44+96=0. 即(61-8X-12)=0,解得1=8或1=12（舍 3 去)，则= 8 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小您满分13分) 解：(1)因为bsin B+(b+c)sinC=asin A, 所以bsin B+csin C-asinA=-bsinC. 由正弦定理.得b2+c2-a°=-bc, …（2分) 由余弦定理，得cosA=6+c-a_1 …(4分) 2hc 2 因为A∈0.)，所以A=2 …(7分) 3 (2)由(1)可知b+c2-a2=bc,所以(b+c)-a2=bc, 由于a=7,b+c=8,所以bc=8-7=15: …(10分) 所以△10C的面积为ca4=15x盟-15 （13分) 24 16.(本小恩满分15分) (1)证明：由己知CD=二AB=2,AC=BC,D为AB的中点， 2 所以△4CB为等腰直角三角形，且4C=BC=54B=25. 故AC⊥BC. …(1分) 数学参考答案·第4页（共8页） 因为平面PBC⊥平面ABC,且BC为交线，ACC平面ABC, 所以AC⊥平面PBC. 所以AC⊥PB· …(3分) 又PB=PC=2,所以PB+PC=BC, 则PC⊥PB, 又AC∩PC=C,所以PB⊥平面PAC. …(5分) 而PBC平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAC, …(6分) (2)解：设O为BC的中点，连接PO,则PO⊥平 面ABC,连接OD,同理DO⊥平面PBC 以OD、OB、OP方向建立如图5所示的空间直角坐 标系0-.则D反.0.0)，C(0.-反.0). P0.0.5),42反.-5.0)，CP=0.5.5). 田5 cD=5.√5.0，C=(25.0.0). ……(9分) 设平面PCD的法向量为n=(x,y,),则 n.CP=0.[5y+5:=0. n.CD=0 5x+5y=0. 令：=1，则n=(.-1,1) …（11分) 同理可得平面PAC的一个法向量为m=(0.-1,), …(13分） 设平面PAC与平面PCD的夹角为B, 则cos0=mm=2=5 …(15分） m‖n√迈x√万3 17.(本小题滴分15分) 解：(1)由愿意4(-a.0),B(a.0), 1.11 故如22+a25-a子解得。=4 将P2反.)代入￡-上= 4=1,所以6=1. 故双曲线C的方程为兰-y=1. …（5分) 4 数学参考答累·第5页（共8页） (2)过点Q(3,0)的直线1（与x轴不重合），故设直线上：x=y+3. -y= 设M(,yN(x·y),联立4 ”整理得：(m-4y2+6my+5=0, x=y+3, △=36m°-20(m2-4)=16(m°+)>0且m2-4≠0： 6m y+y=- 故 m2-4 …(10分) 5 yiy:= m-4 故+m×+r-4= 3 即V+m×6m+与_8W5 …(12分) 1m-41 3 则3m+6m+5)=4m2-4), 即m-50m°+49=0， 解得m°=1或m2=49,即m=±1或m=±7： 故1的方程为：上x±y-3=0或x±7y-3=0. (15分) 18.(本小咫满分17分) 解：(1)由愿意，两次传球后球在乙处的情况只有一类：甲→甲→乙， 其概率为5×2名 …(3分) 339 三次传球后球在丙处的情况只有一类：甲→甲→乙→丙， 1212 其概率为二×二×一= …(6分) 33327 (2》G)由愿意知。：次传造后.球在丙处的概率为1-月-2且月=兮？一号 第n+1n∈N)次传递后、球在甲处的概率为P1·球在乙处的概率为9a: 121 11 由咫意，得 P=+59+0-p-9. 则 P=+9 22 22 9=jP+0-p。-9.h 94=39 …（9分) 数学参考答案·第6页（共8页） 2224 又9-亏355 所以{红一引是首项为音公比为号的等比数列， …(12分） )由①知g子言气引八，所以-号号（引 …(14分) 于非后()” 所以a=+引2： 由于A=号满足上式，得n,=名+写(： 综上.释n*(引g号（引aeN. ……（17分) 19.(本小您满分17分) 解：(1)由f(x)=x+3ar2-15,可得∫"(x)=3x2+6a: 令'(x)=0,解得x=0或x=-20. …(2分） 由函数(x)为“r函数”，则书+x<2<(g)+∫（比）， 可得0+(-2a)<2<-15+(-2a)?+3a(-2a)2-15, 解得a>2. …（6分) (2)(i)8(x)=2e--x-bx+b,xER. 可得g'(x)=2c-2x-b,令h(x)=g'(x), 由题意可得函数h(x)存在两个不同的变号零点，则N(x)=2(c--), 令N(x)=0,解得x=1,当x<1时，(x)<0,则(x)在(-o,)上单画递减： 数学参考答案·第7页（共8页） 当x>1时，(x)>0,则h(x)在几，+∞)上单调递增，所以(x)≥h)=b, 当x→0时，h(x)→+0，当x→+0时，Mx)→+0： 所以函数g(x)存在两个不同的变号罗点，-b<0, 即be(0.+o). …（10分) (i)由(i)可得 当b∈(0.+∞)时，方程h(x)=0存在两个不相等的实数根x,,x: 不妨设x<x,则x<1<x 令H(x)=hx)-h2-x)=2c-2c-2x+2(2-x)=2c-2c-4r+4, 可得H'(x)=2c+2c-4,由于c+c≥2，当且仅当x=1时取等号， 则H'(x)≥0. 所以函数H(x)在R上单调递增，由H)=0,则当x>1时，H(x)>0, 可得h(x)>h(2-x), 由h(x)=h(x,)>h(2-x),且函数(x)在(-，)上单调递减，由于x<1,2-x,<1, 则出<2-x,可得x+x<2: ……（13分） 由于当x<x<1时，g(x)=h(x)<0.则函数g(x)在(x,)上单调递减. 由x<2-x<1,则g(x)>g(2-x),所以8(x)+8(x)>g(2-x,)+g(x). 由于g(2-x,)+g(x,)=2c4-1+2c--x-(2-x,)2-bx,-b(2-x)+2b =2c1+2c4-2x+4x,-4. 则令G(x)=2c+2c-2x2+4x-4,xeR. 可得G（x)=2e-4-2c-4x+4,令G(x)=P(x),则P(x)=2c-1+2c-4>0, 所以函数P(x)在R上单调递增，则当x>1时，Px)>P(I=0,即G(x)>0, 所以函数G(x)在1.+∞)上单调递增，则当x>1时，G(x)>G)=2, 所以不等式2c-1+2c-2X+4x-4>2在(1，+∞)上恒成立， 可得g(2-x,)+g(x)P2,即8(x)+g(x)>2, 综上所述，名+x<2<g(:)+g(:),所以函数g(x)为“【函数”. …（17分) 数学参考答案·第8页（共8页）