精品解析：新疆乌鲁木齐市八一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

2024-2025学年新疆乌鲁木齐市八一中高一（下）期中数学试卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算法则化简复数，然后根据其对应点所在象限列出实部、虚部满足的不等式组求解. 【详解】设， 因为复数对应的点在第二象限，所以，解得：， 所以实数的取值范围是. 【点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可. 2. 已知复数，其中i为虚数单位，若复数z为纯虚数，则实数m的值为（ ） A. -3 B. 3 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据纯虚数的定义可得实部为零，虚部不为零，可得答案. 【详解】复数为纯虚数，则，解得 故选：A 3. 在中，D是的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线线性运算法则计算． 【详解】由题意， ， 故选：A． 4. 有两个面平行的多面体不可能是 A. 棱柱 B. 棱锥 C. 棱台 D. 以上都错 【答案】B 【解析】 【分析】由棱柱、棱台、棱锥的定义判断即可. 【详解】棱柱、棱台的上、下底面是平行的，而棱锥的任意两面均不平行． 故选B． 【点睛】本题考查棱柱、棱台、棱锥的定义，属基础题. 5. 已知A，B，C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若，则下列结论正确的是（ ） A. 点P在△ABC内部 B. 点P在△ABC外部 C. 点P在直线AB上 D. 点P在直线AC上 【答案】D 【解析】 【分析】由向量的运算可得，进而可得解. 【详解】∵， ∴， ∴， 即. 故点P在边AC所在的直线上. 故选：D. 6. 已知向量，若对任意的，恒成立，则必有． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将不等式平方得到关于二次不等式，二次恒成立，则 ，化简计算得到答案. 【详解】因为恒成立， 两边平方化简得:对任意的恒成立， 又， 则， 即， 所以， 所以， 即， 故选C． 【点睛】本题考查了向量的计算，恒成立问题，二次不等式，将恒成立问题转化为是解题的关键. 7. 已知圆锥的底面半径为，若其底面上存在两点，使得，则该圆锥侧面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据可确定，由圆锥侧面积公式可求得最大值. 【详解】设圆锥的母线长为， ，，又（当且仅当为底面圆直径时取等号）， ，即， 圆锥侧面积，即所求最大值为. 故选：A. 8. 设的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，，且B为钝角．的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理的边化角公式化简得出，，，最后由结合正弦函数的性质得出的取值范围. 【详解】由以及正弦定理得，所以 即，又B为钝角，所以，故 于是 ，因为，所以 由此，即的取值范围是 故选：A 二、多选题（每题6分，全部选对得全部分，部分选对得部分分，共18分） 9. 对于任意向量，，，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则与中至少有一个为 B. 向量与向量夹角的范围是 C. 若，则 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据向量的数量积、夹角、垂直、运算律等知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】A，当为非零向量，且时，，所以A选项错误. B，向量与向量夹角的范围是，所以B选项错误. C，若，则，C选项正确. D，，D选项正确. 故选：CD 10. 如图，在中，是的中点，是上的一点，且，若，其中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据向量的线性运算法则及平面向量的基本定理，可得，，又，根据题意，化简计算，可得m，n的值，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】在平行四边形中，，， 因为是中点，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 因为， 所以， 所以，解得， 所以，，， 故选：ABC． 11. 在中，在线段上，且，若，，则（ ） A. B. 的面积为8 C. 的周长为 D. 为钝角三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】设，在中，由余弦定理可得，利用平方关系可判A；由正弦定理得，利用面积公式求出的面积可判断B；由余弦定理求出可得的周长可判断C；由余弦定理可判断D. 【详解】设，在中， 由余弦定理可得， 可得，解得(负值舍去)，所以， 对于A，因为，所以， ，故A错误； 对于B，在中，由正弦定理得，即， 可得，所以的面积为，故B正确； 对于C，因为，所以为钝角， 可得， 在中，由余弦定理可得， 所以，所以的周长为，故C正确； 对于D，在中，，由余弦定理可得， 所以为钝角三角形，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 如图所示，表示水平放置的在斜二测画法下的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为 ________________ ． 【答案】6 【解析】 【分析】过作，结合斜二测的性质进行求解即可． 【详解】过作，则， ∵与轴垂直，且， ∴， 则的边上的高等于， 故答案为： 13. 设，，则与的夹角为钝角时，的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用数量积公式知向量的夹角为钝角时数量积小于0且不是方向相反的向量，即可求解. 【详解】因为，， 所以， 当与的夹角为钝角时，， 解得：， 当与反向共线时，，解得，, 所以的取值范围为 故答案为： 14. 如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段的延长线与的延长线交于圆O外的一点D，若，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，由，，三点共线，利用向量共线定理可得：存在实数满足，，，，即，与两比较，即可得出． 【详解】解：如图所示， ，，三点共线， 存在实数满足， 又，， ， 即，与两比较， 可得，， 则． 的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题（15题13分，16、17小题15分，18、19小题17分，共77分） 15. 已知复数． （1）求复数； （2）若，求实数，的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数乘方和除法法则计算； （2）根据复数相等列方程，解方程即可. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 把代入，得， 整理得，所以，解得. 16. 用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3cm,求圆台的母线长. 【答案】9cm 【解析】 【详解】设圆台的母线长为lcm,截得圆台的上、下底面半径分别为rcm,4rcm. 根据相似三角形的性质得=,解得l=9.所以,圆台的母线长为9cm. 17. 已知向量，且，求： （1）及； （2）若的最小值为，求实数的值． 【答案】（1）， （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积和向量的模的坐标运算公式，直接运算，即可求解； （2）由（1）求得函数，令，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由题意，向量， 可得， 又由 所以. （2）由（1）可得， 即， 令，所以， 对称轴为， 若，则，不符合题意； 若，则，解得（舍去）； 若，则，解得， 综上可得：. 18. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝(b2＋c2－a2)(1－tan A). （1）求角C； （2）若c＝2，D为BC的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度. 条件①：S△ABC＝4且B>A；条件②：cos B＝. 【答案】 （1）已知2b2＝(b2＋c2－a2)(1－tan A).由余弦定理，得2b2＝2bccos A·(1－tan A)，所以b＝c(cos A－sin A). 由正弦定理，得sin B＝sin C(cos A－sin A)，所以sin(A＋C)＝sin Ccos A－sin Csin A， 所以sin Acos C＝－sin Csin A， 又sin A≠0，所以tan C＝－1， 又C∈(0，π)，所以C＝π. （2）任意选择条件①②：AD＝. 【解析】 【分析】(1)由余弦定理，得2b2＝2bccos A·(1－tan A)，再由正弦定理，得sin B＝sin C(cos A－sin A)，根据正弦和角公式可求得角C. (2)若选择条件①：根据三角形面积公式和余弦定理可求得答案； 若选择条件②：根据同角三角函数间的关系求得sin B＝.再由正弦定理和余弦定理，可求得答案. 【详解】(1)略 (2)若选择条件①：S△ABC＝4且B>A. 因为S△ABC＝4＝absin C＝absin，所以ab＝8. 由余弦定理，得c2＝(2)2＝40＝a2＋b2－2abcos，所以a2＋b2＋ab＝40. 由解得或 因为B>A，所以b>a，所以所以CD＝. 在中，AD2＝CA2＋CD2－2CA·CD·cos C＝16＋2－2×4×cos＝26，所以AD＝. 若选择条件②：cos B＝. 因为cos B＝，B∈(0，π)，所以sin B＝. 因为sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝， 所以结合正弦定理＝，得a＝＝2. 在中，由余弦定理，得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos B＝(2)2＋()2－2×2××＝26，解得AD＝. 【点睛】方法点睛：（1）在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件； （2）如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件； （3）如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式. （4）与三角形有关的最值问题，我们可以利用基本不等式来求最值或利用正弦定理把边转化为关于角的三角函数式，再利用三角变换和正弦函数、余弦函数的性质求最值或范围. 19. 记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 【答案】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理， 得， 因为，所以，即． 又因为，所以． （2）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论. （2）方法一：两次应用余弦定理，求得边与的关系，然后利用余弦定理即可求得的值. 【详解】（1）略 （2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理 因为，如图，在中，，① 在中，．② 由①②得，整理得． 又因为，所以，解得或， 当时，（舍去）． 当时，． 所以． [方法二]：等面积法和三角形相似 如图，已知，则， 即， 而，即， 故有，从而． 由，即，即，即， 故，即， 又，所以， 则． [方法三]：正弦定理、余弦定理相结合 由（1）知，再由得． 在中，由正弦定理得． 又，所以，化简得． 在中，由正弦定理知，又由，所以． 在中，由余弦定理，得． 故． [方法四]：构造辅助线利用相似的性质 如图，作，交于点E，则． 由，得． 在中，． 在中． 因为， 所以， 整理得． 又因为，所以， 即或． 下同解法1． [方法五]：平面向量基本定理 因为，所以． 以向量为基底，有． 所以， 即， 又因为，所以．③ 由余弦定理得， 所以④ 联立③④，得． 所以或． 下同解法1． [方法六]：建系求解 以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴， 长为单位长度建立直角坐标系， 如图所示，则． 由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动． 设，则．⑤ 由知，， 即．⑥ 联立⑤⑥解得或（舍去），， 代入⑥式得， 由余弦定理得． 【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； 方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； 方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； 方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； 方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； 方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年新疆乌鲁木齐市八一中高一（下）期中数学试卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，其中i为虚数单位，若复数z为纯虚数，则实数m的值为（ ） A. -3 B. 3 C. D. 0 3. 在中，D是的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 有两个面平行的多面体不可能是 A. 棱柱 B. 棱锥 C. 棱台 D. 以上都错 5. 已知A，B，C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若，则下列结论正确的是（ ） A. 点P在△ABC内部 B. 点P在△ABC外部 C. 点P在直线AB上 D. 点P在直线AC上 6. 已知向量，若对任意的，恒成立，则必有． A. B. C. D. 7. 已知圆锥的底面半径为，若其底面上存在两点，使得，则该圆锥侧面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 设的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，，且B为钝角．的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，全部选对得全部分，部分选对得部分分，共18分） 9. 对于任意向量，，，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则与中至少有一个为 B. 向量与向量夹角的范围是 C. 若，则 D. 10. 如图，在中，是的中点，是上的一点，且，若，其中，，则（ ） A. B. C. D. 11. 在中，在线段上，且，若，，则（ ） A. B. 的面积为8 C. 的周长为 D. 为钝角三角形 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 如图所示，表示水平放置的在斜二测画法下的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为 ________________ ． 13. 设，，则与的夹角为钝角时，的取值范围为___________. 14. 如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段的延长线与的延长线交于圆O外的一点D，若，则的取值范围是___________. 四、解答题（15题13分，16、17小题15分，18、19小题17分，共77分） 15. 已知复数． （1）求复数； （2）若，求实数，的值． 16. 用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3cm,求圆台的母线长. 17. 已知向量，且，求： （1）及； （2）若的最小值为，求实数的值． 18. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝(b2＋c2－a2)(1－tan A). （1）求角C； （2）若c＝2，D为BC的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度. 条件①：S△ABC＝4且B>A；条件②：cos B＝. 19. 记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $