精品解析：四川广安市2025-2026学年高二下学期期末教学质量评价数学试题

2026年春高二期末教学质量评价 数学试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一质点的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），则该质点在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 2. 根据样本数据，，，，得到的回归直线方程为，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 袋中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．前两次都摸到白球的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，现须用3种颜色对4个区域着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 24 5. 好成绩的取得离不开平时的努力训练．运动场上，甲、乙、丙三名足球运动员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为．已知，，则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列．其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列、如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列，现有二阶等差数列，其前七项分别为2，2，3，5，8，12，17．则该数列的第20项为（ ） A. 173 B. 171 C. 155 D. 151 8. 已知函数，若对于任意满足的实数，都有，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若回归方程为，则变量y与x成正相关 B. 线性回归分析可用决定系数判断模型拟合效果，越趋近于1，则拟合效果越好 C. 随机变量X服从二项分布，则 D. 随机变量X服从正态分布，且，则 10. 某教师统计了本班学生上学方式，制作了两类统计图，因墨迹污染，两类图中都出现了不同程度的遮挡，以此统计近似代表全校学生的上学方式．已知该校学生共2000人，下列说法中正确的是（ ） A. 该班共有50名学生 B. 全校步行上学的人数大约是600人 C. 学校计划建可容纳300辆自行车的停车棚，该计划能满足骑自行车上学的学生能在停车棚内规范停放自行车 D. 学校通过宣传使乘车上学的学生比例不超过学生总数的，那么至少有640名学生须改用其他方式上学 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有三个零点 B. C. 曲线上不同的两点，处的切线分别为，，若，则 D. 若方程有三个不同的实数根，，，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量X的分布列如下图，求________． X 1 2 3 P 0.3 0.3 0.4 13. 某校准备组建2个社团，现将5名同学分配到这2个社团，每名同学只能去其中1个，每个社团至少分配2名同学，则不同的分配方案的种数为___________． 14. 数列的前项和为，且，且，则__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 当前社会正步入老龄化，为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下： 性别 是否需要志愿者 男 女 合计 需要 40 70 不需要 430 合计 200 （1）补充上面表格，并估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例； （2）试根据小概率值的独立性检验，分析该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关． 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. ①只有第7项的二项式系数最大；②第4项与第10项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为．先从上述三个条件中任选一个，补充在下面试题中的横线处，再解答本题．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．） 已知，若的展开式中，________． （1）求的值； （2）求的值． 17. 已知函数，． （1）若，求函数的单调区间； （2）若函数在上的最小值是，求a的值． 18. 已知数列满足，，． （1）求证：是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前n项和． 19. 已知． （1）若函数在定义域上是减函数，求的取值范围； （2）若函数存在两个不同的极值点、，求证：； （3）当时，正项数列满足，，求证：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春高二期末教学质量评价 数学试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一质点的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），则该质点在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】该质点在时的瞬时速度， 所以该质点在时的瞬时速度为. 2. 根据样本数据，，，，得到的回归直线方程为，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】，， 因为点在回归直线上，则，则. 3. 袋中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．前两次都摸到白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设事件表示第次摸到白球， 则. 4. 如图，现须用3种颜色对4个区域着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 24 【答案】C 【解析】 【详解】由分步计数原理，第一步涂区域共有3种着色方法，第二步涂区域只有2种着色方法， 第三步涂区域有1种着色方法，最后涂区域有2种着色方法， 所以一共有种着色方法. 5. 好成绩的取得离不开平时的努力训练．运动场上，甲、乙、丙三名足球运动员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为．已知，，则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，则第n次传球之前球不在甲脚下的概率为， , 即，. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于，通过构造函数，求导确定单调性可判断，对于，通过构造，求导确定单调性可判断，进而可解题. 【详解】由，构造， 则，， 所以在上单调递增， 故，即，故. 由， 构造， 则，， 所以在上单调递增， 故，即，故. 综上，. 7. 数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列．其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列、如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列，现有二阶等差数列，其前七项分别为2，2，3，5，8，12，17．则该数列的第20项为（ ） A. 173 B. 171 C. 155 D. 151 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到的通项公式即可得到答案. 【详解】根据题意得新数列为，则二阶等差数列 的通项公式为，则 故选：A. 8. 已知函数，若对于任意满足的实数，都有，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】通过换元后对函数两边取自然对数，讨论对数真数的值，得到关于的不等式，由不等式组求得的值. 【详解】令,由条件得，则， ， 原函数化简为, 记，对于任意的，都有. 两边取自然对数（单调递增，不等号方向不变）： , 1.当时：，要求恒成立. ，最小值趋近，只需要. 2.当时：，要求恒成立. ，最大值趋近，只需要. 2.当时：，满足等于1. 联立且， 得，所以， 所以. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若回归方程为，则变量y与x成正相关 B. 线性回归分析可用决定系数判断模型拟合效果，越趋近于1，则拟合效果越好 C. 随机变量X服从二项分布，则 D. 随机变量X服从正态分布，且，则 【答案】BD 【解析】 【详解】A选项，，故变量y与x成负相关，A错误； B选项，决定系数越趋近于1，拟合效果越好，B正确； C选项，由公式可得，C错误； D选项，， 故，D正确. 10. 某教师统计了本班学生上学方式，制作了两类统计图，因墨迹污染，两类图中都出现了不同程度的遮挡，以此统计近似代表全校学生的上学方式．已知该校学生共2000人，下列说法中正确的是（ ） A. 该班共有50名学生 B. 全校步行上学的人数大约是600人 C. 学校计划建可容纳300辆自行车的停车棚，该计划能满足骑自行车上学的学生能在停车棚内规范停放自行车 D. 学校通过宣传使乘车上学的学生比例不超过学生总数的，那么至少有640名学生须改用其他方式上学 【答案】ABD 【解析】 【详解】A选项，从扇形统计图可知，乘车学生在班内的比例为， 从条形统计图可知，班内学生乘车人数为26，故该班共有人，A正确； B选项，全校步行上学的学生人数大约是人，B正确； C选项，全校骑自行车上学的学生人数大约是， ，故该计划不能满足骑自行车上学的学生能在停车棚内规范停放，C错误； D选项，全校乘车上学的学生人数大约是， 而，那么至少有名学生须改用其他方式上学，D正确. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有三个零点 B. C. 曲线上不同的两点，处的切线分别为，，若，则 D. 若方程有三个不同的实数根，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】求导，根据导数得函数单调性，根据零点的存在性定理判断A；根据对称性质及单调性计算判断B；根据导数的几何意义解方程判断C；根据题意化简计算判断D. 【详解】由，得， 令，得，令，得或， 所以在区间单调递减，在区间，单调递增. 对于A，因为，，， 所以在区间内存在1个零点，故在上有2个零点，故A错误； 对于B，因为， 所以的图象关于点中心对称， 令，得， 又，所以，故B正确； 对于C，依题意，即， 所以，因为，所以.故C正确； 对于D，设， 所以，所以为定值，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量X的分布列如下图，求________． X 1 2 3 P 0.3 0.3 0.4 【答案】2.1 【解析】 【详解】由分布列知. 13. 某校准备组建2个社团，现将5名同学分配到这2个社团，每名同学只能去其中1个，每个社团至少分配2名同学，则不同的分配方案的种数为___________． 【答案】20 【解析】 【分析】将五名同学分为两组，再将分好的两组同学分配到两个不同的社团中即可. 【详解】将五名同学分为两组，一组2人，一组3人，有种， 再将这两组同学分配到两个不同的社团中，有种分配方式， 则总的分配方案有种. 14. 数列的前项和为，且，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用递推式把数列分成三个子数列，结合已知条件求出及的关联，进而求出通项公式及前项和公式，最后求出． 【详解】， 可分为三个子数列子数列等比，公比为，首项分别为； ，， ，令，则， ，解得， 子数列的通项公式为：， 设， ， ， ， ， ． 故答案为：． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 当前社会正步入老龄化，为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下： 性别 是否需要志愿者 男 女 合计 需要 40 70 不需要 430 合计 200 （1）补充上面表格，并估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例； （2）试根据小概率值的独立性检验，分析该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关． 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） 性别 是否需要志愿者 男 女 合计 需要 40 30 70 不需要 160 270 430 合计 200 300 500 . （2）认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关. 【解析】 【小问1详解】 性别 是否需要志愿者 男 女 合计 需要 40 30 70 不需要 160 270 430 合计 200 300 500 需要志愿者提供帮助的老年人的比例为. 【小问2详解】 零假设为：老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关. 16. ①只有第7项的二项式系数最大；②第4项与第10项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为．先从上述三个条件中任选一个，补充在下面试题中的横线处，再解答本题．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．） 已知，若的展开式中，________． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）选择条件①，12；选择条件②，12；选择条件③，12 （2）. 【解析】 【小问1详解】 选择条件①：若的展开式中只有第7项的二项式系数最大， 则. 选择条件②：若的展开式中第4项与第10项的二项式系数相等， 所以. 选择条件③：若的展开式中所有二项式系数的和为，则. 所以. 【小问2详解】 由(1)知，则， 令，则， 令，则， 所以. 17. 已知函数，． （1）若，求函数的单调区间； （2）若函数在上的最小值是，求a的值． 【答案】（1）的单调递减区间为,单调递增区间为. （2）． 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性， （2）求定义域，求导，分，和三种情况，得到函数单调性和最小值，从而得到方程，求出答案 【小问1详解】 的定义域为，. 当时，， 所以当时，；当时，， 故的单调递减区间为,单调递增区间为； 【小问2详解】 的定义域为，. 当时，在区间上，，， 所以在上单调递增． 则在上的最小值为，故，与矛盾，舍去． 当时：当时，单调递减； 当时：单调递增． 所以在上的最小值为， 由，即，解得，满足． 当时：在区间上，， 所以在上单调递减． 则在上的最小值为， 由，解得，与矛盾，舍去. 综上，的值为． 18. 已知数列满足，，． （1）求证：是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前n项和． 【答案】（1）∵， ∴， ，，∴， ∴， ∴， ∴数列是以12为首项，4为公比的等比数列 （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由(1)得， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴是以2为首项，为公比的等比数列． ∴ ， 即. 【小问3详解】 , , , , , . 19. 已知． （1）若函数在定义域上是减函数，求的取值范围； （2）若函数存在两个不同的极值点、，求证：； （3）当时，正项数列满足，，求证：当时，． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可知，对任意的恒成立，由参变量分离法可得，利用基本不等式求出在时的最大值，即可得出实数的取值范围； （2）分析可知，、是方程的两个不同的正根，根据一元二次方程根的分布求出实数的取值范围，结合韦达定理可将表示为的代数式，然后构造关于的函数，结合函数单调性即可证得结论成立； （3）令，可得出，，利用导数分析函数的单调性，可推导出当时，，然后令，利用导数分析函数的单调性，可得出，再由函数的单调性得出，即可证得结论成立. 【小问1详解】 函数的定义域为，且， 若函数在上为减函数，则对任意的恒成立， 即，即，可得， 因为，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故， 因此，实数的取值范围是. 【小问2详解】 由可得①， 由题意可知，、是方程①的两个不同的正根， 所以，，解得， 所以， ， 因为，由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减， 所以，， 所以，. 【小问3详解】 由题意可知，当时，， 令，则，， 因为， 当时，，即函数在上单调递减， 当上，，即函数在上单调递增， 因为，则， 所以，，， 以此类推可知，当且时，， 即当时，， 由已知，令， 则， 所以，函数在上单调递减， 由于当时，，所以，。 又因为， 所以，，从而可得， 所以，，即，故. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $