精品解析：广西壮族自治区来宾市忻城县高级中学2024-2025学年高一下学期5月期中质量检测数学试题

5月高一期中质量检测 数学 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第八章. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 2. 设是两个不同的平面，是两条直线，且.则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知向量和的夹角为，，，则等于（　　） A. 15 B. 12 C. 6 D. 3 4. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ） A. B. 2 C. D. 5. 如图，在中，为上靠近的三等分点，为的中点，设，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知正四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为2，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和，则方亭的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得3分，有选错或不选得0分.） 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，为共扼复数，则为实数 B. 若为虚数单位，为正整数，则 C. 复数在复平面内对应的点在第三象限 D. 复数的共轭复数为 10. 下列命题中不正确的是（ ）． A. 在中，，则 B. 在锐角中，恒成立 C. 在中，若，则必是等腰直角三角形 D. 在中，若，，则必是等边三角形 11. 若正四面体外接球的表面积为，则（ ） A. 该正四面体的体积 B. 该正四面体的表面积为 C. 该正四面体内切球的半径为 D. 该正四面体的外接球上一动点M到内切球上一动点N距离的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量，若，则____________. 13. 已知平面向量、的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为_______．（用向量坐标表示） 14. 如图，在中，为线段AC上靠近点的三等分点，若，则_________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答时写出必要的过程和文字说明.） 15. 已知复数是纯虚数，且是实数，其中是虚数单位. （1）求复数； （2）若复数所表示的点在第一象限，求实数的取值范围 16. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； （3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 17. 如图，已知空间四边形，E，F分别是AB，BC的中点，G，H分别在CD和AD上，且满足. 求证： （1），，，四点共面； （2），，三线共点． 18. 在中，角，，的对边分别是，，，且，． （1）求的值； （2）若，，求的面积． 19. 如图,四边形为矩形,且平面, ,为的中点. （1）求证:； （2）求三棱锥的体积； （3）探究在上是否存在点,使得平面，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5月高一期中质量检测 数学 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第八章. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z的值. 【详解】由题意可得：. 故选：C. 2. 设是两个不同的平面，是两条直线，且.则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】通过面面平行的性质判断充分性，通过列举例子判断必要性. 【详解】，且，所以，又，所以，充分性满足， 如图：满足，，但不成立，故必要性不满足， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 3. 已知向量和的夹角为，，，则等于（　　） A. 15 B. 12 C. 6 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积运算求解即可. 【详解】∵向量和的夹角为，，， ∴. 故选：B. 4. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意计算可得，还原图形后可得原图形中各边长，即可得其高. 【详解】在直角梯形中，，， 则， 直角梯形对应的原平面图形为如图中直角梯形， 则有， 所以该平面图形的高为. 故选：C. 5. 如图，在中，为上靠近的三等分点，为的中点，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量基本定理得到，，，故，得到答案. 【详解】因为为上靠近的三等分点， 所以，， 为的中点，所以， 所以， 又因为，，所以. 故选：C. 6. 已知正四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为2，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作正四棱锥，为底面中心，由数据判断其外接球球心在高的延长线上，设球心为，在内，根据勾股定理求得外接球半径即可． 【详解】如图，作正四棱锥，连结，，交于点，连结， 则平面，则，， 根据对称性，正四棱锥的外接球球心在高的延长线上，设为E，连接EC， 则球的半径，则， 则在内，由可得， 解得，故正四棱锥外接球的体积为﹒ 故选：B． 7. 在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：的面积， ， ， 则， ， ， ， ，，， ， ． 故选：D． 8. 《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和，则方亭的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知，设，则，，过点、在平面内分别作，，垂足分别为点、，根据正四棱台的侧面积计算出的值，再利用台体的体积公式可求得结果. 【详解】由题意得，设，则，. 过点、在平面内分别作，，垂足分别为点、， 在等腰梯形中，因为，，，则四边形为矩形， 所以，，， 因为，，，所以，， 所以，，所以，， 所以等腰梯形的面积为，得. 所以，，，故方亭的体积为. 故选：C. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得3分，有选错或不选得0分.） 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，为共扼复数，则为实数 B. 若为虚数单位，为正整数，则 C. 复数在复平面内对应的点在第三象限 D. 复数的共轭复数为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据共轭复数的概念可判断A项；利用复数的乘方运算可判断B项；利用复数的几何意义可判断C项；利用复数的除法运算结合共轭复数的概念可判断D项. 【详解】解：设，则，故，故A正确； 因为，故B错误； 因为复数在复平面内对应点的坐标为，所以在第三象限，故C正确； 因为，其共轭复数为，故D错误； 故选：AC. 10. 下列命题中不正确的是（ ）． A. 在中，，则 B. 在锐角中，恒成立 C. 在中，若，则必是等腰直角三角形 D. 在中，若，，则必是等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理可判断A；由正弦函数的单调性可判断B；由正弦定理边化角判断C，利用余弦定理可判断D. 【详解】对于A，在中，若，则，由正弦定理可得，A正确； 对于B，锐角中，，则， 故，B正确； 对于C，在中，若，则， 即得，故或， 故或，即是等腰三角形或直角三角形，C错误； 对于D，，，则， 故，，结合，可知是等边三角形，D正确， 故选：C 11. 若正四面体外接球的表面积为，则（ ） A. 该正四面体的体积 B. 该正四面体的表面积为 C. 该正四面体内切球的半径为 D. 该正四面体的外接球上一动点M到内切球上一动点N距离的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A：利用公式，求出半径，将正四面体放到正方体中考虑，即可快速求出答案； 对于选项B：利用体积差法，总体积减去四个规则小三棱锥的体积即可得解； 对于选项C：根据内切球和外接球球心重合，求出正四面体的高减去外接球的半径，即为内切球的半径； 对于选项D：外接球半径减去内切球的半径即可得解. 【详解】 设正四面体的外接球半径为R，则， 得. 把正四面体A－CFG补形为正方体ABCD－EFHG， 则， 得，AF＝3. ，A正确. 该正四面体的表面积为，B错误. 设正四面体的高为h，则，得，因为正四面体的外接球球心与内切球球心重合，所以内切球半径，C正确. 该正四面体的外接球上一动点M到内切球上一动点N距离的最小值为，D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量，若，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用空间向量的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，解得. 故答案为：. 13. 已知平面向量、的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为_______．（用向量坐标表示） 【答案】 【解析】 【分析】结合投影向量的公式，即可求解． 【详解】因为，所以， 因为平面向量、的夹角为，且， 则在方向上的投影向量为. 故答案为：. 14. 如图，在中，为线段AC上靠近点的三等分点，若，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】结合图形由向量的减法和三点共线可求； 【详解】， 因为为线段AC上靠近点的三等分点，所以， 所以， 又三点共线，所以， 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答时写出必要的过程和文字说明.） 15. 已知复数是纯虚数，且是实数，其中是虚数单位. （1）求复数； （2）若复数所表示的点在第一象限，求实数的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设且，化简得到，结合题意得到，即可求解； （2）由，求得，根据题意得到且，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意，设，其中且， 可得， 因为为实数，可得，解得，即. 【小问2详解】 解：由，则， 因为复数所表示的点在第一象限，可得且， 解得，所以实数的取值范围为. 16. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； （3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）且 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标运算列式求解的值，从而得模长； （2）根据向量的坐标的线性运算得的坐标，再根据向量垂直的坐标运算求解实数的值； （3）根据向量夹角与数量积的关系求解即可. 【小问1详解】 因为向量，且， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 因为，且， 所以，解得. 【小问3详解】 因为与的夹角是钝角， 则且与不共线， 即且， 所以且. 17. 如图，已知空间四边形，E，F分别是AB，BC的中点，G，H分别在CD和AD上，且满足. 求证： （1），，，四点共面； （2），，三线共点． 【答案】（1） 因为，分别为，的中点， 所以. 又因为， 所以. 所以， 所以E，F，G，H四点在同一平面内， 即E，F，G，H四点共面． （2） 因为E，F分别为AB，BC的中点，所以，. 由题意知＝，，， 所以四边形为梯形，直线和必相交，设交点为M， 即， 因为平面， 所以点平面， 同理可得点平面. 又因为平面平面， 所以点直线， 所以直线，，三线共点． 【解析】 【分析】（1）根据利用三角形的中位线平行于第三边，平行线分线段成比例，得到分别平行于和，利用平行线的传递性，即可得到，即可证明四点共面； （2）利用分别在两个平面内的点在两个平面的交线上，即可证得三线共点. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 在中，角，，的对边分别是，，，且，． （1）求的值； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）2； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得. （2）由（1）的结论求出c，再利用余弦定理及三角形面积公式求解即得. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 整理得，由余弦定理得， 于是，而，即，又， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，由余弦定理，得， 整理得，而，解得， 所以的面积. 19. 如图,四边形为矩形,且平面, ,为的中点. （1）求证:； （2）求三棱锥的体积； （3）探究在上是否存在点,使得平面，并说明理由. 【答案】 （1）连结，∵为的中点，， ∴为等腰直角三角形， 则，同理可得，∴，∴， 又，且， ∴， 又∵，∴，又，∴. （2）； （3）在上存在中点，使得.理由如下： 取的中点，连结. ∵是的中点， ∴，且， 又因为E为BC的中点，且四边形ABCD为矩形，所以EC//AD，且EC=AD， 所以EC//GH，且EC=GH，所以四边形EGHC是平行四边形，所以EG//CH， 又EG平面PCD，CH平面PCD，所以EG//平面PCD. 【解析】 【分析】(1)连结，由几何体的空间结构可证得，利用线面垂直的定义可知. (2)由(1)知为腰长为1的等腰直角三角形，结合题意转化顶点可得. (3)在上存在中点，使得.取的中点，连结. 易证得四边形EGHC是平行四边形，所以EG//CH，结合线面平行的判断定理可知EG//平面PCD. 【详解】(1)略 (2)由(1)知为腰长为1的等腰直角三角形， ∴，而是三棱锥的高， ∴. (3)略 【点睛】本题主要考查线面垂直的判断定理，线面垂直的判断定理，棱锥的体积公式，立体几何中探索问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $