精品解析：广东省深圳市2024-2025年下学期九年级中考第二次模拟考试数学试卷

深圳市2024－2025学年初三年级第二次模拟考 数学试题 全卷共6页，满分100分，考试时间90分钟． 注意事项： 1．答题前，请将姓名，考场和座位号写在答题卡指定位置，将条形码写在答题卡指定位置． 2．选择题答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动请用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上．非选择题，答题不能超出题目指定区域． 3．考试结束，监考人员将答题卡收回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一项是正确的） 1. 2025年中国动漫电影《哪吒之魔童闹海》火爆全球．以下四图是某校美术社团绘制的哪吒风火轮的简笔画，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 将图1的三脚插头随机插到图2的插座面板的四组插孔上，能恰好插上的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（ ） A. 如图1，展开后测得∠1=∠2 B. 如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4 C. 如图3，测得∠1=∠2 D. 如图4，展开后再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得OA=OB，OC=OD 5. 《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，体现我国古代劳动人民的智慧．它其中记载了下面一个数学问题：今有粟若干石，分与甲乙两户．甲户得五分之三，乙户得五分之二．后甲户拨粟二十石与乙户，此时甲户余粟为乙户所得粟的三分之二．问原粟共有多少石？设总粟数为石，可列分式方程为（ ） A. B. C. D. 6. 图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量，钢条．则车位锁的底盒长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在等腰直角三角形中，，，将边绕点逆时针旋转至，连接，，若，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知，则的值为_____． 10. 不等式组的解集是_____． 11. 某科创实验小组根据小孔成像的科学原理设置了如图1所示的小孔成像实验．当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，绘制了火焰的像高（单位：）与物距（小孔到㛭烛的距离）（单位：）的函数图象（如图2所示），为便于观察，在实验中要求火焰的像高不得低于，求小孔到蜡烛的距离至多是_____． 12. 如图，已知内接于半径为5的是锐角，，则的值为_____． 13. 如图，在菱形中，点是边上一点，连接并延长，交对角线于点，交边的延长线于点，若，则的值为_____． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 计算：． 15. （1）解方程：； （2）已知两不相等的实数满足，求的值． 16. 为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩． 小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 小悦 83 72 80 78 小涵 86 84 ▲ ▲ （1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是__________分，众数是__________分，平均数是__________分； （2）请你计算小涵的总评成绩； （3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由． 17. 根据以下素材，探索完成任务． 如何购买奖品费用最少 素材1 以诗育德，以诗启智，以诗怡情，以诗塑美．某学校将在4月23日读书节活动中开展诗歌创作比赛，积极营造诗韵书香学生生活．年级决定购买，两种笔记本奖励在此次创作比赛中的优秀学生． 素材2 通过调查，A种笔记本的单价比B种笔记本的单价便宜3元，购买2本A种笔记本和3本B种笔记本共花需39元购． 素材3 根据需要，年级组准备购买A，B两种笔记本共100本，其中购买A种笔记本的数量不超过B种笔记本的2倍． 问题解决 任务1 计算物品单价 请你运用所学知识，求出A种与B种笔记本的单价分别是多少？ 任务2 确定最优方案 请你帮年级探究该如何购买，可使总费用最少？ 18. 如图1，在中，，点在上，以点为圆心，为半径的与边分别交于点． （1）请在不增加新的点和线的情况下，添加一个条件：__________；使得直线为的切线，并加以证明； （2）如图2，点在以为直径的上，请在上求作一点，使得点平分．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 19. 综合与实践 在学习完二次函数后，创新学习小组对一个二次函数的顶点特征展开了如下探究： （1）①列表：填写表格，表格中的与的值分别是____，____； 的值 ．．．．．． ．．．．．． 的顶点横坐标 ．．．．．． 1 2 3 ．．．．．． 的顶点纵坐标 ．．．．．． 0 3 4 0 ．．．．．． ②描点：随着取不同值，请将的顶点描在下面的平面直角坐标系中； ③连线：用光滑的曲线顺次连接各点； （2）①猜想：随着取不同值，的顶点形成的图象的表达式是___________；②请验证你的猜想； （3）若抛物线与轴有两个不同的交点，请求出的取值范围． 20. 综合与探究 【定义】在四边形中，若有一个角是直角，且连接这个直角顶点与它对角顶点的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为对垂四边形． 如图1，在四边形中，是对角线，，则四边形为对垂四边形，记作对垂四边形． 【理解】 （1）如图1，在对垂四边形中，若，求的值（用含的代数式表示）； 【应用】 （2）如图2，在对垂四边形中，已知，点为线段上一点，且，求证：； 【拓展】 （3）在对垂四边形中，已知，点为边上一动点，且，连接，将沿翻折，得到，连接，若，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市2024－2025学年初三年级第二次模拟考 数学试题 全卷共6页，满分100分，考试时间90分钟． 注意事项： 1．答题前，请将姓名，考场和座位号写在答题卡指定位置，将条形码写在答题卡指定位置． 2．选择题答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动请用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上．非选择题，答题不能超出题目指定区域． 3．考试结束，监考人员将答题卡收回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一项是正确的） 1. 2025年中国动漫电影《哪吒之魔童闹海》火爆全球．以下四图是某校美术社团绘制的哪吒风火轮的简笔画，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形．熟练掌握中心对称图形的概念，是解决问题的关键．如果一个图形绕一个点旋转后，能和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的概念逐一判断，即得． 【详解】A. 不是中心对称图形； B. 不是中心对称图形； C. 是中心对称图形； D. 不是中心对称图形 故选：C 2. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂相乘，同底数幂相除等知识，根据合并同类项法则即可判定选项A、B；根据同底数幂相乘法则即可判定选项C，根据同底数幂相除法则即可判断选项D． 【详解】解∶A．与不是同类项，不可以合并，故原计算错误； B．与不是同类项，不可以合并，故原计算错误； C．，故原计算错误； D．，故原计算正确， 故选：D． 3. 将图1的三脚插头随机插到图2的插座面板的四组插孔上，能恰好插上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是利用概率求解随机事件的概率，根据题意可得有四组插孔，又两组可插上，再利用概率公式可得答案． 【详解】解：将图1的三脚插头随机插到图2的插座面板的四组插孔上，能恰好插上的概率是： ， 故选：A 4. 以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（ ） A. 如图1，展开后测得∠1=∠2 B. 如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4 C. 如图3，测得∠1=∠2 D. 如图4，展开后再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得OA=OB，OC=OD 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．∠1=∠2，根据内错角相等，两直线平行进行判定，故正确，不符合题意； B．∵∠1=∠2且∠3=∠4，由图可知∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°， ∴∠1=∠2=∠3=∠4=90°， ∴a∥b（内错角相等，两直线平行），故正确，不符合题意； C．测得∠1=∠2， ∵∠1与∠2即不是内错角也不是同位角， ∴不一定能判定两直线平行，故错误，符合题意； D．在△AOB和△COD中， ， ∴△AOB≌△COD， ∴∠OAC=∠DBO， ∴a∥b（内错角相等，两直线平行），故正确，不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了平行线的判定，灵活运用平行线的判定是解题的关键． 5. 《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，体现我国古代劳动人民的智慧．它其中记载了下面一个数学问题：今有粟若干石，分与甲乙两户．甲户得五分之三，乙户得五分之二．后甲户拨粟二十石与乙户，此时甲户余粟为乙户所得粟的三分之二．问原粟共有多少石？设总粟数为石，可列分式方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据变化后甲户余粟为乙户所得粟的三分之二列方程即可． 【详解】解：设总粟数为石，依题意可知，甲户拨粟二十石与乙户后，甲有石，乙有石； ， 故选D． 6. 图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量，钢条．则车位锁的底盒长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角函数的应用，由题意构建三角形并正确运用相关三角函数是解决问题的关键． 过点A作作于点，根据等腰三角形的性质可知，再利用三角函数知识表示出，则长可表示． 【详解】解：过点作于点， ， ， 在中，，， ， ， 故答案为：C． 7. 已知点在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】点在同一个函数图象上，可得N、P关于y轴对称，当时，y随x的增大而增大，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴得N、P关于y轴对称， ∴选项A、C错误， ∵在同一个函数图象上， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴选项D错误，选项B正确． 故选：B． 【点睛】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键． 8. 如图，在等腰直角三角形中，，，将边绕点逆时针旋转至，连接，，若，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． 如图：过点A作于H，由“”可证可得，，设，则，勾股定理求出，然后利用代入求解即可． 【详解】解：如图：过点A作于H， ∵将边绕点A逆时针旋转至， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴设，则 ∴ ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，三线合一等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知，则的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解此题的关键． 根据比例的性质代入，即可求出答案． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 10. 不等式组的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】解：由得：， 由得：， 则不等式组的解集为， 故答案为：． 11. 某科创实验小组根据小孔成像的科学原理设置了如图1所示的小孔成像实验．当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，绘制了火焰的像高（单位：）与物距（小孔到㛭烛的距离）（单位：）的函数图象（如图2所示），为便于观察，在实验中要求火焰的像高不得低于，求小孔到蜡烛的距离至多是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据题意正确求出反比例函数的解析式是解题关键． 根据题意得到，当时，，得到小孔到蜡烛的距离至多是，即可得到答案． 【详解】解： 根据函数图象得， ， 当时，， 小孔到蜡烛的距离至多是， 故答案为：． 12. 如图，已知内接于半径为5的是锐角，，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，连接，，过点O作交于点D，根据圆周角定理和三线合一得到，勾股定理求出，然后根据正切的定义求解即可． 【详解】如图所示，连接，，过点O作交于点D ∵ ∴ ∵， ∴平分， ∴ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆周角定理，三线合一，求角的正切值，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 13. 如图，在菱形中，点是边上一点，连接并延长，交对角线于点，交边的延长线于点，若，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 由菱形的性质得，，则，，所以，则，而，则，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查绝对值，零次幂，负整数指数幂，特殊角三角函数值，先分别求出绝对值，零次幂，特殊角三角函数值，负整数指数幂，再计算加减即可． 【详解】解： ． 15. （1）解方程：； （2）已知两不相等的实数满足，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，因式分解的应用，熟知解一元二次方程的方法和分解因式的方法是解题的关键． （1）先移项，然后利用提公因式法把方程左边分解因式，进而解方程即可； （2）先移项，然后把等式左边分解因式得到，据此可得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是不相等的两个实数， ∴， ∴． 16. 为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩． 小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 小悦 83 72 80 78 小涵 86 84 ▲ ▲ （1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是__________分，众数是__________分，平均数是__________分； （2）请你计算小涵的总评成绩； （3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由． 【答案】（1）69，69，70 （2）82分 （3） 结论：小涵能入选，小悦不一定能入选 理由：由频数直方图可得，总评成绩不低于80分的学生有10名，总评成绩不低于70分且小宁80分的学生有6名．小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选． 【解析】 【分析】（1）从小到大排序，找出中位数、众数即可，算出平均数． （2）将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出的总评成绩即可． （3）小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选． 【小问1详解】 从小到大排序， 67，68，69，69，71，72， 74， ∴中位数是69， 众数是69， 平均数： 69，69，70 【小问2详解】 解：（分）． 答：小涵的总评成绩为82分． 【小问3详解】 略 【点睛】此题考查了中位数、众数、平均数，解题的关键是熟悉相关概念． 17. 根据以下素材，探索完成任务． 如何购买奖品费用最少 素材1 以诗育德，以诗启智，以诗怡情，以诗塑美．某学校将在4月23日读书节活动中开展诗歌创作比赛，积极营造诗韵书香学生生活．年级决定购买，两种笔记本奖励在此次创作比赛中的优秀学生． 素材2 通过调查，A种笔记本的单价比B种笔记本的单价便宜3元，购买2本A种笔记本和3本B种笔记本共花需39元购． 素材3 根据需要，年级组准备购买A，B两种笔记本共100本，其中购买A种笔记本的数量不超过B种笔记本的2倍． 问题解决 任务1 计算物品单价 请你运用所学知识，求出A种与B种笔记本的单价分别是多少？ 任务2 确定最优方案 请你帮年级探究该如何购买，可使总费用最少？ 【答案】（任务1）A种笔记本的单价为6元，B种笔记本的单价为9元；（任务2）购买66本A种笔记本和34本B种笔记本时，总费用最少，为702元． 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程解应用题，一次函数择优方案选择，解题的关键是找到等量关系式． （1）设A种笔记本的单价是x元，则B种笔记本的单价是元，根据购买2本A种笔记本和3本B种笔记本共花需39元购列式求解即可得到答案； （2）根据A种笔记本m本可得B种笔记本本，根据费用单价数量列函数，结合函数性质求解即可得到答案； 【详解】（任务1）解：设A种笔记本的单价是x元，则B种笔记本的单价是元，根据题意， 得：， 解得， ， 答：A种笔记本的单价为6元，B种笔记本的单价为9元； （任务2）解：准备购买A种笔记本本，则B种笔记本本，购买100本的总费用为元， ， 又， ，且m为整数， 又， W随m的增大而减小， 当时，W取最小值，最小值为元， 购买66本A种笔记本和34本B种笔记本时，总费用最少，为702元． 18. 如图1，在中，，点在上，以点为圆心，为半径的与边分别交于点． （1）请在不增加新的点和线的情况下，添加一个条件：__________；使得直线为的切线，并加以证明； （2）如图2，点在以为直径的上，请在上求作一点，使得点平分．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）添加条件平分，可使得直线为的切线， 证明如下： 如图所示，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2） 如图所示，作的角平分线交于点P，则点P即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，弧与圆周角之间的关系，等边对等角和平行线的性质与判定，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键． （1）添加条件平分，可使得直线为的切线，根据角平分的定义和等边对等角可证明，则可证明，由平行线的性质可推出，据此可证明结论； （2）作的角平分线交于点P，则点P即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 综合与实践 在学习完二次函数后，创新学习小组对一个二次函数的顶点特征展开了如下探究： （1）①列表：填写表格，表格中的与的值分别是____，____； 的值 ．．．．．． ．．．．．． 的顶点横坐标 ．．．．．． 1 2 3 ．．．．．． 的顶点纵坐标 ．．．．．． 0 3 4 0 ．．．．．． ②描点：随着取不同值，请将的顶点描在下面的平面直角坐标系中； ③连线：用光滑的曲线顺次连接各点； （2）①猜想：随着取不同值，的顶点形成的图象的表达式是___________；②请验证你的猜想； （3）若抛物线与轴有两个不同的交点，请求出的取值范围． 【答案】（1）0；3；如图， ； （2）①； ②由题意，二次函数：，其顶点坐标为， ∴可设，， 把代入中， ∴； （3）或． 【解析】 【分析】（1）依据题意，由二次函数配方求得其顶点坐标为； ①当时，顶点为；当时，顶点为，从而可得，，进而得解； ②依据题意，可以作图得解； ③依据题意，可以作图得解； （2）①依据题意，结合表格数据可以判断得解； ②依据题意，二次函数：，其顶点坐标为，，从而可设，，再把代入中，可得，进而得解； （3）依据题意，由与x轴有两个不同的交点，，又由（2）可知：函数：的顶点始终在图象上滑动，其顶点为，当时，从而抛物线与x轴交于，两个点，进而当顶点在下方时，抛物线有两个交点，；又函数：的顶点始终在上，故当的顶点在下方时，，进而可以判断得解． 【小问1详解】 解：由题意，∵二次函数 ， ∴其顶点坐标为． ①当时，顶点为； 当时，顶点为． ∴，． 故答案为：0，3． ②略 ③略 【小问2详解】 解：①猜想：随着k取不同值，的顶点形成的图象的表达式是． 故答案为：； ②略 【小问3详解】 解：由题意，∵与x轴有两个不同的交点，， 由（2）可知：函数：的顶点始终在图象上滑动，其顶点为， 当时， ∴或， 抛物线与x轴交于，两个点， 当顶点在下方时，抛物线与x轴有两个交点，； ∵：，即， ∴当时，即时，． ∴：始终过点． ∵函数：的顶点始终在上， ∴在上． ∴当的顶点在下方时，． 综上可得：或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 20. 综合与探究 【定义】在四边形中，若有一个角是直角，且连接这个直角顶点与它对角顶点的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为对垂四边形． 如图1，在四边形中，是对角线，，则四边形为对垂四边形，记作对垂四边形． 【理解】 （1）如图1，在对垂四边形中，若，求的值（用含的代数式表示）； 【应用】 （2）如图2，在对垂四边形中，已知，点为线段上一点，且，求证：； 【拓展】 （3）在对垂四边形中，已知，点为边上一动点，且，连接，将沿翻折，得到，连接，若，请直接写出的长． 【答案】（1）； （2）证明：∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）或． 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和求解即可； （2）由题得出，进而可证，进而得证； （3）由题证点五点共圆，当在点上方时，可得，再解四边形即可；当在点下方时，可得，再解四边形即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ； （2）略 （3）解：∵， ， ∵， ， 由折叠性质可知， ， 如图，当在上方时， ， ∴点、、、四点共圆， ∵， ∴点、、、四点共圆， ∴点、、、、五点共圆， ∵， ， ， 如简化图，过作于点， 在中，， ， ， 在中，， ∵是顶角为的等腰三角形， ； 如简化图，当在点下方时， 同理可得点、、、、五点共圆， ， ， ， 如简化图，过作于点， 在中，， ， ， 在中，， ∵是顶角为的等腰三角形， ； 综上，的长为线． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、圆的基本性质、解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理等内容，熟练掌握相关知识，正确做出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $