河南省2025届高三下学期高考适应性考试数学试题

河南省高考适应性考试 数 学 本试卷共150分考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.若命题p:x>1,x2-3x十2>0，则 A.力是真命题，且p:3x>1,x2-3x+2≤0 B.p是真命题，且p:3x≤1，x2-3x十2≤0 C.p是假命题，且p:3x>1,x2-3x+2≤0 D.p是假命题，且7p:3x≤1，x2-3x十2≤0 2在复平面内，复数：对应的点与2对应的点关于实轴对称，则： A+ B C-3+1 -5+51 D- 3.已知角a满足sina-10)-号，则cos(a1260) A-26 5 号 c- 4.已知x=1是函数f(x)=lnx-&+x的极值点，则a= A.2 B.-2 C.1 D.-1 5.,已知随机变量X~B(a,号)，Y~N4o2),且P(-1Y≤+P0Ym)=0,5,则E(X) A.2 B.4 C.6 D.8 6,将函数f(x)=3sin2红一cos2x图象上所有点的横坐标变为原来的上（如>0），纵坐标不 变，得到函数g(x)的图象，若g(x)在(0，)上单调，则w的取值范围为 A.(0,1] B(0,号] C.[1,+∞) n[2,+o∞j 7.由阿基米德的著作《关于圆锥体和球体》可知，椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长和 短半轴长的乘积已知椭圆C+芳-1a>6>0)的离心率为5号，R,R,分别为C的左， 右焦点，C上一点P满足P丽·PF=0,且△PF,F,的面积为子，则C的面积为 A.7元 B.27x C.14π D.2/14π 【离三数学第1页（共4页）】 ·HEN· 8.已知函数f(x)的定义域为(0，十o∞)，对于任意的y>x>0,都有xf(y)一yf(x)十x2y xy2>0.若f(4)=4,且f(x+a)<x2+(2a-3)x十a2-3a在x∈[1,4]时恒成立，则a的 取值范围为 A.(-1,0) B.(-1,4) C.(0,+o∞) D.(4,+∞) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且斜率为1的直线l与C交于A,B两点， 若|AB|<8,则p的值可能为 A号 B.1 c D.2 10.如图，在直三棱柱ABC-DEF中，AD=AB=BC=2,AB⊥BC,M为AD的中点，则 A.ME⊥EC D B三棱锥F-MEC的体积为号 C直线ME与AC所成角的余弦值为可 5 D.三棱锥E-ABC的外接球的表面积为4√3π 11.设集合A={aa=(a1,a2,a3),a1,d:,a∈R},且Vx∈R,a=(a1,a2,ag)∈A,b=(b1, b2,b3)∈A,a十b=(a1十b1,a2十b2,atb3),xa=(xa1,xa2,xa3）.定义运算‖：若满足 ①Ha∈A,la≥0，且当且仅当a=(0,0,n)时.la=0,②Ha∈A,x∈R,lxa=|xl·a, ③Ha,b∈A,la十b≤la十b这三个条件，则称为A上的范数.下列结论正确的是 A.若为A上的范数，且3x,y∈R,a,b∈A,ru+yb=0,则x=y=0 B.若川为A上的范数，则x,y∈R,a,b∈A,xa+b≤x|·la+|y|·bl C定义运算「1：a=(x,y,z)∈A,「a1=(红++：)3，则「1为A上的范数 D.定义运算L」：Ha=(x,y,z)∈A,La=√x2十y2十z,则」为A上的范数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若圆C:x2+y2十2x+m=0上恰有三个不同的点到直线l:x十√3y十2=0的距离为1，则 m=▲ 18.已知0为坐标原点，直线x=m(0<m<@与函数fx)-。二，g(x)-上的图象分别交于 M,N两点，则△OMN面积的最大值为▲ 14.如图，在1×9的格子中，数字1,2，…，9从左到右为升序排列，现在用计算机随机生成一个 整数a,若a为奇数，则将格子中数字1和9的位置互换，3和7的位置交换，其余位置不变； 若a为偶数，则将格子中数字2和8的位置互换，4和6的位置交换.设电脑随机生成 n(n∈N·)个数字后，1×9格子中的数字恰好从左到右为降序排列的概率为P.,则P。 4 9 【高三数学第2页（共4页）】 ·HEN· 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 某地为了探索中小学人工智能教育实施的有效途径，了解中小学生使用A1工具的情况，随 机地对100名中学生和100名小学生进行调查，其中有120人经常使用AI工具辅助学习， 若在不经常使用AI工具辅助学习的学生中按比例用分层随机抽样的方法抽取4人，则小学 生有3人被选中， (1)根据题中信息，完成下面列联表： 学段 使用AI工具的情况 总计 中学生 小学生 经常使用 不经常使用 总计 (2)根据(1)中的列联表，判断是否有99.9%的把握认为学生使用AI工具的情况与学段 有关 n(ad-bc)* 附：K-a+b十a)a+c6+D其中n=a+b+c+d. P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16.(15分) △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin(C-B)=bsin(A一C). (1)若C=2B,求A的值： (2)求C的最大值. 【高三数学第3页（共4页）】 17.(15分) 已知数列{a.},{bn}满足bn=an十am+1十…十a2m. (1)若a.=2",求b1-b2+b3的值. ②者aa证明哈+公+…十公<号 (3)若bn=3n2十2n-1,设cn=an一2n+1,证明：c2+1十c2m+2=cm 18.(17分)》 已知函数fx)=x+是-2e(x>0. (1)求f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程： (2)求f(x)的零点个数： (3)证明：f(x)≥3nx. 19.(17分) 在平面直角坐标系xOy中，将双曲线C,二-1a>0,b>0)绕着y轴旋转一周构成双 曲面D,其中C在旋转过程中的所有实轴落在xOz平面内，设xOz所在的平面为a,平面B 满足aB,且a与B之间的距离为3b (1)若点P(x,z,y)在D上，试用含x,x,y的方程表示D(不用说明理由) (2)设T。,T。分别是a,3截得D的截面. (1)设L。,le分别为T。,Tg上的弦，求l。,lg所在直线间的距离的取值范围； (I)已知截面Tg的圆周上的点A1,A2,…,A.恰好构成正n边形的顶点，P为D上一 动点，若对任意a>b>0,A2PA,≥mVa2-b恒成立，求入的取值范围。 【高三数学第4页（共4页）】 ·HEN· 河南省高考适应性考试 数学参考答案 题序 1 2 3 4 5 8 9 10 11 12 13 14 0,n为奇数， 1 1 答案 B D B C D ABC BC BD 2+2e 1 ”为偶数 评分细则： 【1】第1~8题，凡与答案不符的均不得分. 【2】第9题，全部选对的得6分，有选错的不得分，每选对一个得2分：第10,11题，全部选对的 得6分，有选错的不得分，每选对一个得3分 【3】第13题的结果还可以写为 【4】第12,14题，凡与答案不符的均不得分 1.C【解析】本题考查命题的真假与否定，考查逻辑推理的核心素养 当x=号时2-3x+2=-<0,所以p是假命题，且p:3x>1x-3x+2<0, 2.B【解析】本题考查复数的运算，考查数学运算的核心素养. 8骨-号+则=号吉 3.D【解析】本题考查三角函数诱导公式，考查数学运算的核心素养， c0s(a+260)=cos[(a-109+270]=sin(a-10)）=号 4.B【解析】本题考查函数的极值，考查数学运算的核心素养 由f)=hx一是十，得了x)-+号+1.因为x=1是fx)的极值点，所以了1) 2十a=0,得a=一2，经检验知当a=一2时，满足x=1是f(x)的极值点. 5.C【解析】本题考查二项分布与正态分布，考查逻辑推理的核心素养 因为YN(4,a2),且P(一1≤Y≤4)+P(Y>n)=0.5,所以n-4=4-(-1),得n=9,则 X~B(9,号》，EX)=9x号=6 6.A【解析】本题考查三角函数的图象与性质，考查逻辑推理的核心素养 f(x)=3sin2x-cos2x=2sin(2x-君)，则g(r)=2sin(2ax-).由0<x<号，得-君 <2r-吾<g-吾因为gx)在(0，)上单调，所以g-晋<受得0<w<1 63 【高三数学·参考答案第1页（共8页）】 ·HEN· 7.D【解析】本题考查椭圆的性质，考查逻辑推理的核心素养。 由PF,·PF2=O,可得PF1⊥PF2,则IPF,I2+|PF2I2=|F,F2I2.因为△PF,F:的面积 为，所以号PF,IPF,=,则PF,PF,=7,从面(PF,+1PF,)-2PF,PE,= |FF,即4a2-14=4.又C的离心率为5 ,所以S=52 5号，解得a2=16c2-空从而 =名，则C的面积为ab=2个元 8.A【解析】本题考查抽象函数的性质，考查数学抽象的核心素养， 因为y>x>0.所以由xf(y)-fx)+xy-xy2>0,可得2-四+x-y>0,即 y y》-y>八-x.令g(x)=卫-x,则可知g(r)在0，+oo)上单调递增.g(x+a) y -g(4)=xta-(x+a)-f4+4=fxta-(x+a)+3= x十a x十d fx+a)-x2-(2a-3)x-a13.由fx+a)<x2+(2a-3)x+a2-3a可得gx+a） x十a 一g(4)<0,即g(x十a)<g(4),则0<、x+a<4在x∈[1,4]时恒成立，解得-1<a<0. 9.ABC【解析】本题考查抛物线的性质，考查数学运算的核心素养， 由题可知的方程为y=x一台，联立 整理得x-3px+2=0,则x1十x2= 4 y*=2px, 3p,|AB|=x1+x2+p=4p<8,得0<p<2. 10.BC【解析】本题考查立体几何综合问题，考查直观想象的核心素养 如图，设V,G分别为EB,FC的中点，连接MN,MG,EG,AF,在直 三棱柱ABC-DEF中，有MD⊥DE,CF⊥EF,AM⊥AC.因为AD= AB=BC=2,M为AD的中点，所以ME2=MD2+DE2=5,CE2= BE2+BC2=8.又AB⊥BC,所以AC2=AB2+BC2=8,MC2=MA2 +AC2=9,则ME+CE2≠MC2,从而ME与EC不垂直，A不正确. 易得MN⊥平面EFC.则Vm=Vwa=号Sar·MN=专×号×2X2X2=专，B正 确.易知MG∥AC,则ME与AC所成的角为∠EMG,由MG2=AC2=8,EG2=EF2+FG2 =5,得oBMG=ME2。C_香C正确.易知三校维EABC的外接球为 2ME·MG 直三棱柱ABC-DEF的外接球，该外接球的直径为AF=√AC+CF=2√3，则三棱锥 EABC的外接球的表面积为4标×(2)”=12x,D不正确. 11.BD【解析】本题考查新定义运算，考查数学抽象的核心素养 【高三数学·参考答案第2页（共8页）】 ·HEN· 因为1为A上的范数，所以由xa+yb=0,可得xa十yb=(0,0,0),取a=(1,1,1),b= (一1，一1，一1)，可得x十y=0,A不正确.因为I为A上的范数，所以由②③可得引xa+ ybl≤lxa+llybll==xl·la+lyl·b,B正确.取a=(0,一1,0)，则Ta1=(+一I+ 6)3=-1<0,「1不为A上的范数，C不正确.由La」=√x2+y+2,可知La>0,且当 且仅当a=(0,0,0)时，La」=0，满足①.k∈R,a∈A,可得Lka」= √k.x)+(ky)+(kz)=|kWx2+y+2=|k|·LaJ小，满足②.设a,b∈A,且a=(x1, y1,1),b=(x2,y2,2),则La+b」=(x1十x2)+(y1+y2)+(1+2),La」= √+y+2Lb」=√x++,则(La」+LbJ)2-(La+bJ)2= 2√(x+yi+)(x+yi+)-2(x1x2+y1y:+12.因为(x+y听+)(x+yi+ 经)-(x1x2十y1y:十12)2=(x1y2-x2y1)2+(x1x2一x201)2+(y12一y2x1)2≥0，所 以La+b>a+Lb」小，满足③.故L」为A上的范数，D正确. 12.-号 【解析】本题考查直线与圆的位置关系，考查数学运算的核心素养。 由题可知，C的圆心坐标为(10，且圆心到1的距离d==·因为C上恰有三 1+3 个不同的点到1的距离为1所以C的半径为号则-，解得m=一。 4 【解析】本题考查函数的图象与性质，考查直观想象的核心素养。 作出f(x),g(x)的图象可知，f(x)在(0，十∞)上单调递增，g(x) 在(0，+∞)上单调递减，且f(e)=g(e)=二，所以当0<r<e时， fx)gr,设M(m,g四).N(m,),则Som=m( 四)-号m.令A)-号0<<e则Az) 2e 六1+nx),当x∈(o,)时，Ax)>0,A()单调递增，当x∈（合e)时，hW(x)<0, A(x)单调递减，则A(x)<A(白)=+是，故△OMN面积的最大值为号十亮· 11 0,n为奇数， 14. 【解析】本题考查概率，考查逻辑推理的核心素养. 2”为偶数 由题可知，要使格子中的数字从左到右为降序排列，则生成的”个数字中，奇数与偶数的个 数均为奇数，则n为偶数.故当n为奇数时，P。=0.当n为偶数时，设n=2k(k∈N·),设电 脑随机生成的n个数字中，恰有X个为奇数，则X的所有可能取值为1,3,5，·，2k一1. 【高三数学·参考答案第3页（共8页）】 ·HEN· p(x=21-1=C-().(分》-=C(分》r=1,2,k.则p.-名p(x =2i-1)=(2)”·C-1=(2)”·2c.因为2c+C8+c%=2c=24=2, 且c=CG+含c,所以2c=×2=2,则P.=(号)厂×cg=()广× 0,n为奇数， 2=放P, 2n为偶数. 15.【解析】本题考查独立性检验，考查数据分析的核心素养. 解：(1)由题可知，不经常使用A1工具的学生共有200一120=80人.…1分 设不经常使用AI工具的小学生有x人，按比例用分层随机抽样的方法抽取4人，小学生有 3人被选中，则高×4=3，得x=60, 2分 故列联表完成如下 学段 使用AI工具的情况 总计 中学生 小学生 经常使用 80 40 120 不经常使用 20 60 80 总计 100 100 200 6分 (2)根据(1)中的列联表，可得K:-200X(80×60-10×20)_100 100×100X120×80 3 ≈33.333>10.828， 11分 所以有99.9%的把握认为学生使用AI工具的情况与学段有关、…13分 评分细则： 【1】第(1)问表格中中（小）学生、经常（不经常）使用对应的4个数据，每填对1个得1分. 【第(2间中，1设有化成小数，而是直接与10.828比较大小，不扣分 16.【解析】本题考查解三角形，考查数学运算的核心素养. 解：(1)由asin(C-B)=bsin(A-C),可得sin Asin(C-B)=sin Bsin(A-C).…1分 因为C=2B,所以sin(C-B)=sinB,… …2分 sin Asin B=sin Bsin(A-C). 又sinB≠0，所以sinA=sin(A-C).…3分 因为0<A<π，一π<A一C<π，且A≠A一C,…4分 所以A十A一C=元。…6分 由A+B+C=x,C=2B,可得A=5 8· …7分 【高三数学·参考答案第4页（共8页）】 ·HEN· (2)sin(C-B)=sin Ccos B-cos Csin B,sin(A-C)=sin Acos C-cos Asin C,... …9分 所以由asin(C-B)=bsin(A-C),可得a(sin Ccos B-cos Csin B)=b(sin Acos C cos Asin C),则accos B一abcos C=abcos C-bccos A.…10分 根据余弦定理，可得a2+b2=2c2. 12分 cosC-a'tbi-c_a'tb2ab1 2ab 4ab4ab2' 13分 当且仅当a=b时，等号成立， 14分 由cosC>分，可得0<C≤行，故C的最大值为号 15分 评分细则： 【1】第(1)问没写sinB≠0，不扣分 【2】第(1)问没讨论A≠A一C的情况，扣1分. 【3】第(2)问没说明基本不等式的取等条件，扣1分， 17.【解析】本题考查数列，考查逻辑推理的核心素养 (1)解：由题可知b1=a1十a2,b:=a2十ag十a4,b3=a3十a4十a5十a6,…3分 则b1-b2十b,=a1十a6十a6=2十2十25=98.…4分 (2)证明：因为a,=,所以b.=a,十ae1+…+a=n十n+1+…+2m=n+2m）n+ 2 -3n(n+1) 2 …6分 2 …8分 则哈+坊++坛--+号片++日)=1-中)号 …10分 (3)证明：由b.=3n2+21-1,可得b.+1=3(十1)2+2(n+1)-1, …11分 则b+1-bn=a2w+1十a2w+2一an=6n+5,则a2m+1十a2m+2=am+6n+5. …12分 因为cn=am-2n+1,所以c2+1十c2m+2=a2m+1-2(2n+1)+1+a2m+2-2(2n+2)+1 13分 =a2w+1十a2w+2-8n-4=an+6n+5-8n-4=am-2n+1=cw. …15分 评分细则： 【1】第(1)问也可具体求出b1=6,b2=28,b3=120,每算对1个得1分. 【第2②间求出+++-号-市得1分 18.【解析】本题考查导数的应用，考查逻辑推理的核心素养 1)解：由f)=r2+-2e-(>0),得了)=2z-之+20，…1分 则f(1)=0,f(1)=3, 44444404088444448448804440404440005484440444444444华03分 【高三数学·参考答案第5页（共8页）】 ·HEN· 故f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为y=3x一3. …4分 (2)解：由f(x)=0,得c[(x2+）e1-2]=0. …5分 令g)=(+e1-2>0则u)-(+2x+》e-+2x+ x-1). …6分 令h(x)=x十2x3十x一1，x>0,显然h(x)在(0，十o∞)上单调递增，…7分 且h(分)=君<0A1）=3>0,故3，E(分小h,)=0.…8分 当x∈(0，xo)时，h(x)<0,则g'(x)<0,g(x)单调递减：当x∈(xo,+∞)时，h(x)>0,则 g'(x）>0,g(x)单调递增.…9分 因为（信）-0。-20-2>0g=0,所以∈（信g) =0,从而g(x)的零点个数为2，即f(x)的零点个数为2.…12分 (3)i证明：要证fx)≥3h.端证e-(x2+是-3hz)≥2.… 13分 令px)=e(x2+-3nx2>0,则p'(x)=e-(x+2x-2- 044884804*400044…】4分 令H)=2+2x-是-是-3hx0.则H()=2x+2+是+号-2 2二3x十2士2十2>0则H(在0，+o∞)上单测递增。……15分 x2 因为H(1)=0,所以当x∈(0,1)时，H(x)<0,则p'(x)0g(x)单调递减，当x∈(1， +∞)时，H(x)>0,则p'(x)>0,g(x)单调递增， 16分 从而9(x)≥0(1)=2，证毕.… …17分 评分细则： 【1】第(1)问中f(1)=0,f'(1)=3,每算对1个得1分 【2】第(2)问中h(x)的隐零点所在的区间可以根据解题步骤具体酌情给分 【3】第(2)问还可以将函数零点转化成两个函数图象的交点处理，过程如下： 由f(x)=0,得x2+1=2e-.…5分 令Fx)=2+Gx)=2,则F'x)=2x-是=2 …6分 当xE(0)时，F()<0,F(x)单调递减，当x∈(，+o∞)时，F'(x)>0,Fx)单 调递增. …7分 显然函数y=2-在(0，十0∞)上单调递减…8分 【高三数学·参考答案第6页（共8页）】 ·HEN·