精品解析：云南省富宁上海新纪元实验学校2024-2025学年高一下学期云贵第二次统一考试数学试题

上海新纪元2025年春云贵第二次统一考试试题 数学（高一） 本试题共4页，19小题，满分150分，考试时间：120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（ ） A. 4 B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 4. 在菱形中，，对角线，给出以下结论： ①与是平行向量； ②与是共线向量； ③ ④ 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知向量，，且与方向相反，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 已知平面向量与的夹角为，则（ ） A. B. C. 4 D. 2 7. 在四边形ABCD中，O为任意一点，若，则（ ） A. 四边形ABCD是矩形 B. 四边形ABCD是菱形 C. 四边形ABCD是正方形 D. 四边形ABCD是平行四边形 8. 在正三棱锥P－ABC中，O为△ABC的中心，已知AB=6，∠APB=2∠PAO，则该正三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. 49π B. 36π C. 32π D. 28π 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 向量在向量上的投影向量可表示为 B. 若，则与的夹角的范围是 C. 若是等边三角形，则、的夹角为 D. 若，，则 10. 如图所示的圆台，在轴截面中，，则（ ） A. 该圆台的高为1 B. 该圆台轴截面面积为 C. 该圆台的体积为 D. 一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为5 11. 在中，a、b、c分别是内角A、B、C所对的边，已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是锐角三角形 D. 是钝角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若，则________． 13. 边长为4的正三角形绕其一边所在的直线旋转一周所形成的曲面所围成的几何体的表面积为__________. 14. 正四棱柱容器（表面厚度和忽略不计）底面正方形边长为，在容器中恰好能放入半径分别为和的大小两个玻璃球，则正四棱柱容器的高的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演拿步骤． 15. 已知. （1）求向量的坐标； （2）设向量的夹角为，求的值； （3）若向量与互相垂直，求的值. 16. 已知分别为的内角的对边，且. （1）求； （2）若，的面积为2，求. 17. 《九章算术》中对一些特殊的几何体有特殊的称谓，例如，将底面为直角三角形的直三棱柱叫堑堵，将一个堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥，即四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体，即三棱锥）．在如图所示的堑堵中，已知，若鳖臑的体积等于12，求： （1）求堑堵的侧棱长； （2）求阳马的体积； （3）求阳马的表面积． 18. 如图，在直角梯形OABC中，，，，M为AB上靠近B的三等分点，OM交AC于D，P为线段BC上的一个动点. （1）用和表示； （2）以O为原点，和方向为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，当P为BC中点时，写出点M，P，D的坐标； （3）设，求的取值范围. 19. 如图，设中角所对的边分别为为边上的中线，已知，且． （1）求的值； （2）求的面积； （3）设点分别为边上的动点（含端点），线段交于，且的面积为面积的，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海新纪元2025年春云贵第二次统一考试试题 数学（高一） 本试题共4页，19小题，满分150分，考试时间：120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测画法得到原图，进而求出原图的面积. 【详解】还原直观图为原图形，如图所示， 因为，所以， 还原回原图形后，， 所以原图形面积为. 故选：B 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的周期性以及复数的除法运算化简即可求解. 【详解】， 故选：B 3. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的四则运算即可求解. 【详解】由， 可得， 所以， 故选：A 4. 在菱形中，，对角线，给出以下结论： ①与是平行向量； ②与是共线向量； ③ ④ 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行向量（共线向量）的定义即可判断. 【详解】对于①，因为和在同一条直线上，根据平行向量的定义，平行向量又称共线向量，方向相同或相反，正确； 对于②，因为四边形是菱形，所以，根据平行向量的定义，平行向量又称共线向量，方向相同或相反，正确； 对于③，在菱形中，对角线，所以为等边三角形，则,所以，正确； 对于④，不平行，所以与不共线，错误. 故选：C. 5. 已知向量，，且与方向相反，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知向量、不共线，根据题意可知，所以存在实数使，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，结合可解得的值. 【详解】因为，，且， 所以向量、不共线，且向量，方向相反， 所以存在实数使， 即， 所以，整理得，解得或， 又，所以. 故选：B. 6. 已知平面向量与的夹角为，则（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件计算，，由计算可得结果. 【详解】∵，∴， ∵与的夹角为，，∴， ∴. 故选：D. 7. 在四边形ABCD中，O为任意一点，若，则（ ） A. 四边形ABCD是矩形 B. 四边形ABCD是菱形 C. 四边形ABCD是正方形 D. 四边形ABCD是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的减法可得，进而分析求解即可. 【详解】因为，则，即， 可知两边平行且相等，所以四边形ABCD是平行四边形， 但没有足够条件判断ABCD是否为矩形、菱形或正方形，故ABC错误，D正确. 故选：D. 8. 在正三棱锥P－ABC中，O为△ABC的中心，已知AB=6，∠APB=2∠PAO，则该正三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. 49π B. 36π C. 32π D. 28π 【答案】A 【解析】 【分析】设侧棱长为x，由求得和的余弦值，利用二倍角公式可求得，从而求得棱锥的高，设球心为M，球半径为，表示出，然后由勾股定理可求得，得球表面积． 【详解】设侧棱长为x，且易知 则， 因为，则,所以，解得， 所以， 设球心为M，则MP=MA=R，， 因为，所，解得，所以表面积， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 向量在向量上的投影向量可表示为 B. 若，则与的夹角的范围是 C. 若是等边三角形，则、的夹角为 D. 若，，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据投影向量的定义即可判断A；根据数量积的计算公式即可判断B；根据向量夹角的定义即可判断C；举例，即可判断D. 【详解】对于A，根据投影向量的定义可得向量在向量上的投影向量为，故A正确； 对于B，因为，所以，又，所以，故B正确； 对于C，若是等边三角形，则、的夹角为，故C错误； 对于D，若，则满足，，但不一定共线，故D错误. 故选：AB. 10. 如图所示的圆台，在轴截面中，，则（ ） A. 该圆台的高为1 B. 该圆台轴截面面积为 C. 该圆台的体积为 D. 一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为5 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据梯形性质利用勾股定理计算可得A错误；利用梯形面积公式计算可得B正确；代入圆台体积公式可知C正确；利用圆台侧面展开图以及勾股定理计算可得D正确. 【详解】对于A，在梯形中，即代表圆台的高， 利用勾股定理计算可得，所以A错误； 对于B，轴截面梯形的面积为，因此B正确； 对于C，易知下底面圆的面积为，上底面圆的面积为； 所以该圆台的体积为，可得C正确； 对于D，将圆台侧面沿直线处剪开，其侧面展开图如下图所示： 易知圆弧的长度分别为，设扇形圆心为，圆心角为，； 由弧长公式可知，解得； 所以可得， 设为的中点，连接，当小虫从点沿着爬行到的中点，所经过路程最短， 易知，且， 由勾股定理可知，可知D正确. 故选：BCD 11. 在中，a、b、c分别是内角A、B、C所对的边，已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是锐角三角形 D. 是钝角三角形 【答案】BD 【解析】 【分析】先设出，利用正弦定理判断AB选项，利用余弦定理判断CD选项. 【详解】设，解得，故，故A错误，B正确， ，为最大内角，，为钝角，故C错误，D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题可用表示，后由B，P，N三点共线可得答案. 【详解】． 因为N为线段AC上靠近A点的三等分点，所以． 又B，P，N三点共线，所以，． 故答案为： 13. 边长为4的正三角形绕其一边所在的直线旋转一周所形成的曲面所围成的几何体的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知所得几何体是两个以为底面圆半径，以2为高的两个圆锥组合体，然后根据圆锥的侧面积公式求解即可. 【详解】将该三角形绕其一边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是两个以为底面圆半径，以2为高的两个圆锥组合体， 所以表面积为. 故答案为： 14. 正四棱柱容器（表面厚度和忽略不计）底面正方形边长为，在容器中恰好能放入半径分别为和的大小两个玻璃球，则正四棱柱容器的高的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】当两球相外切，且同时相切于四棱柱的两个侧面时高最小，作出截面，数形结合可得解. 【详解】 设四棱柱为 由已知半径为的玻璃球与四棱柱的四个侧面均相切， 则当两球相外切，且同时相切于四棱柱的两个侧面时高最小， 假设半径为的球与侧面和均相切， 作出平面如图所示， 易知此时，，，， 且四边形为直角梯形， 则， 则四棱柱的高， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演拿步骤． 15. 已知. （1）求向量的坐标； （2）设向量的夹角为，求的值； （3）若向量与互相垂直，求的值. 【答案】（1） （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）利用向量的坐标线性运算计算即得； （2）利用向量的数量积的定义式和坐标式列出方程求解即得； （3）利用向量垂直的充要条件列出方程，求解即得. 【小问1详解】 由可得，， 即向量的坐标为：； 【小问2详解】 因， 则； 【小问3详解】 依题意，，即，解得. 16. 已知分别为的内角的对边，且. （1）求； （2）若，的面积为2，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理代入化简，结合角的范围即可求解； （2）根据三角形面积公式和余弦定理代入求解即可. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得，， 代入， 则， 即， 即， 因为，所以，则 【小问2详解】 因为的面积为2， 所以，即， 又因为，，，所以， 则，则 17. 《九章算术》中对一些特殊的几何体有特殊的称谓，例如，将底面为直角三角形的直三棱柱叫堑堵，将一个堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥，即四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体，即三棱锥）．在如图所示的堑堵中，已知，若鳖臑的体积等于12，求： （1）求堑堵的侧棱长； （2）求阳马的体积； （3）求阳马的表面积． 【答案】（1）6 （2）24 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由三棱锥的体积公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由四棱锥的体积公式代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由四棱锥的表面积公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由题设，则，且面， 设，因为，所以，所以. 【小问2详解】 由题意面，面，则， 又，且都在面内，故面， 所以. 【小问3详解】 由（1）可知，， 则， 所以，即为直角三角形， . 18. 如图，在直角梯形OABC中，，，，M为AB上靠近B的三等分点，OM交AC于D，P为线段BC上的一个动点. （1）用和表示； （2）以O为原点，和方向为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，当P为BC中点时，写出点M，P，D的坐标； （3）设，求的取值范围. 【答案】（1） （2），，. （3） . 【解析】 【分析】（1）根据给定条件及几何图形，利用平面向量的线性运算求解而得； （2）建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. （3）由动点P设出，结合平面向量基本定理，建立为x的函数求解. 【小问1详解】 依题意，， ， ； 【小问2详解】 以O为坐标原点，以OA、OC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则，，， 由，可得，又P是BC中点，可得， 又，因为A、C、D三点共线，所以，解得，所以， ∴，则. 【小问3详解】 由已知， 因P是线段BC上动点，则令， ， 又不共线，则有， ， ，在上递增， 所以， 故的取值范围是. 19. 如图，设中角所对的边分别为为边上的中线，已知，且． （1）求的值； （2）求的面积； （3）设点分别为边上的动点（含端点），线段交于，且的面积为面积的，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先利用正弦定理将角化为边，再根据余弦定理，即可求解； （2）首先根据三角形的面积公式求解和的正弦和余弦，再利用两角和的正弦公式求，最后代入三角形的面积公式； （3）根据向量的线性关系，以及平面向量基本定理，表示，再利用所设变量，转化为函数关系求值域. 【小问1详解】 由， 由正弦定理，可得， 由余弦定理，可得， 得，且，所以； 【小问2详解】 由为边上中线，可得， 则， 由，可得， 则，则， 则， ， 则； 【小问3详解】 由，可得， 设， 由的面积为面积的，可得， 则，则，设，由为中线，可得， 则，由共线可得， ， 由可得， 由，可得，则 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是由面积公式得，从而利用向量转化求数量积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $