精品解析：安徽省A10联盟2025届高三下学期原创夺冠卷（三）数学试题

高考原创夺冠卷（三） 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分 满分150分，考试时间120分钟.请在答题卷上作答. 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题所给四个选项中，只有一项是符合题意的． 1. 的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用复数的乘法运算可得，即可得其虚部. 【详解】因为， 所以的虚部为. 故选：B. 2. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为， ，故. 故选：A. 3. 已知抛物线恰好经过圆的圆心，则的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆心坐标，将圆心坐标代入抛物线方程，将抛物线方程化为标准方程，即可得出抛物线的准线方程. 【详解】圆的圆心为， 将圆心的坐标代入抛物线的方程得，解得， 故抛物线的方程为，标准方程为， 则，所以，，故抛物线的准线方程为. 故选：C. 4. 某校高三学生的模考数学成绩服从正态分布，按照、、、的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级．若某同学的数学成绩为分，则他的等级是（ ） 附：，，. A. 优秀 B. 良好 C. 合格 D. 基本合格 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布的原则即可求解. 【详解】由题意可知，，所以，， 因为， 所以，根据比例成绩大于分为优秀， 因为，根据比例成绩在到之间的为良好， ，根据比例成绩在到之间的为合格， ，根据比例成绩小于分为基本合格， 因为小张的数学成绩为分，则他的等级是良好. 故选：B. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式即可. 【详解】如图，角的终边与单位圆圆交于点，单位圆与轴正半轴交于点， 过作轴，交角的终边于点， 则，， 则，扇形的面积为，， 由三者的大小关系可知，，即， 因，则，即. 故选：C 6. 在三棱锥的顶点和各棱中点中取个不共面的点，不同的取法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【分析】根据棱锥的结构特征，应用组合数及列举法确定所有选取方法数、共面情况的选取方法数，即可得. 【详解】如下图，共有个点任选个有种， 每个侧面的个点都共面，任选个有种，共个面，则有种共面情况， 如、、分别构成一个平面，有种， 如、、、、、分别构成一个平面，有种， 综上，在三棱锥的顶点和各棱中点取个不共面的点，不同的取法共有种. 故选：D. 7. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数的最大值为1 D. 函数的最小值为1 【答案】C 【解析】 【分析】分析函数与的单调性，判断函数的最值的情况即可. 【详解】分析函数及其导函数的图象，可知虚线表示的是的图象，实线表示的是的图象. 并且当时，；当时，. 对函数，， 因为，在上恒成立，所以在上恒成立. 即函数在上单调递增，无最值； 对函数，， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得最大值，为. 故选：C 8. 已知四面体的顶点均在半径为的同一球面上，且，则该四面体体积的最大值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设为的中点，为的中点，为四面体外接球的球心，通过 ，同样利用进行放缩后可得最大值． 【详解】因为，四面体外接球的半径为，设球心为，设为的中点，为的中点， 则球心到的中点的距离， 球心到的中点的距离； 所以， ， 所以，又，， 所以，当且仅当与垂直，且均与垂直时取等号． 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，且，是以1为公差的等差数列，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式和前项和公式列出关于和的方程组，再结合选项，即可判断. 【详解】由得，所以①， 因为数列是以1为公差的等差数列， 所以，化简得， 所以，即②， 由①②解得， 所以，，，故ABC正确，D错误. 故选：ABC. 10. 设甲袋有3个红球、2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球、3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以，和分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以表示由乙袋取出的球是红球的事件，则（ ） A. B. C. D. 与相互独立 【答案】AC 【解析】 【分析】结合题目给定的背景利用条件概率的公式和全概率公式进行求解，然后结合事件相互独立的概念进行事件是否相互独立进行判断. 【详解】， 选项A正确. ， 故选项C正确。 计算 ： ，选项B错误. 又，选项D错误. 故选：AC. 11. 已知椭圆的左、右两个焦点分别是，，过点的直线与交于两点，则（ ） A. 若的中点在轴上，则 B. C. 若，则椭圆的离心率的取值范围是 D. 若的最小值为，则椭圆的离心率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由与轴垂直，可判断A，根据平面向量的数量积和椭圆的几何性质求出离心率的范围，可判断BC；根据椭圆中过焦点的弦中通径最短求出离心率可知，D正确． 【详解】对于A：设的中点为，坐标原点为，由中位线易知， 若的中点在轴上，则与轴垂直，所以与轴垂直， 即为通径长的一半，所以，A正确； 对于B：设，，，， ，， 又， 所以， 所以，B正确， 对于C，若， 则， 即 可得，所以C错误； 由过焦点的弦中垂直于轴的弦最短，则的最小值为， 则有，即，解得， 所以，故D正确． 故选：ABD 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 在平面直角坐标系中，已知、，，若，则实数的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】求出向量的坐标，由已知可得，结合平面向量数量积的坐标运算可求得实数的值. 【详解】因为、，， 由于，则，解得. 故答案为：. 13. 已知，且，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】变形后得到，利用辅助角公式得到，得到，两边平方后得到，利用同角三角函数关系求出. 【详解】由题可知，所以， 所以， 因为，所以， 又，所以，故， 所以， 两边平方后得，故， ． 故答案为： 14. 已知点不在函数的图象上，且过点有三条直线与的图象相切，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设出切点坐标，由导数的几何意义可得，将问题转化为函数有三个零点问题，然后列出不等式，即可得到结果. 【详解】点不在函数的图象上，则，即， 设过点的直线与的图象相切于， 则切线的斜率，整理可得， 则问题可转化为有三个零点， 且，令，可得或， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 即当时，有极大值，当时，有极小值， 要使有三个零点， 则，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤. 15. 如图，在三棱锥中，平面，，，，． （1）在线段上找一点，使平面平面，求的长； （2）若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取中点为，连接，可得，又可得，进而可得平面，可得平面平面，可求得的长； （2）取中点为，连接，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 取中点为，连接，因为，所以， 又平面，平面，， 因为平面，平面，，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 此时. 【小问2详解】 取中点为，连接，在平面内过点作的平行线为轴，以为坐标原点， 、所在直线分别为、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则,,,,， 所以，，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，， 所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，取，则，， 所以平面的一个法向量为， 所以， 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 16. 在中，、、分别为内角、、的对边，且． （1）求； （2）若，，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由向量建立等量关系，结合基本不等式求得面积的最大值即可. 【小问1详解】 由及正弦定理得， 化简可得，即， 由余弦定理可得，因为，故. 【小问2详解】 因为，则，即， 所以， 即， 所以，当且仅当时， 即当，时，等号成立， 故， 即面积的最大值为. 17. 已知函数． （1）当时，求函数的零点； （2）若在上单调递减，求的取值范围； （3）若，存在两个极值点、，证明：． 【答案】（1） （2） （3） 由（2）知：、满足，则， 不妨设，则， 所以， 则证，即证， 即证，也即证成立， 设函数，则， 所以在单调递减， 又，所以当时，， 故，即． 【解析】 【分析】（1）当时，利用导数分析函数的单调性，结合可得出函数的零点； （2）由在区间恒成立分离常数，利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围； （3）将要证明的不等式转化为证明，利用构造函数法，结合导数来证得不等式成立. 【小问1详解】 当时，，该函数的定义域为， 对任意的恒成立， 此时，函数在上为减函数， 又因为，故当时，函数的零点为. 【小问2详解】 因为，又在区间上单调递减， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立，设，则， 当时，，所以在单调递增，所以， 所以，即实数的取值范围是. 【小问3详解】 略 18. 已知双曲线过点，渐近线方程为． （1）求的方程； （2）已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，点在线段上（不含端点）． ①若为的中点，的面积为，求直线的斜率； ②直线、、分别与轴交于点、、，若为的中点，证明：点恒在定直线上． 【答案】（1） （2）（i）； （ii）证明：设直线的方程为，令，得. 同理可得，，， 因为为中点，所以，即. 又因为点、、都在直线上， 所以， 整理，得， 代入韦达定理，得，所以. 因为，所以点恒在定直线上. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线过的点以及渐近线方程列出方程组求解双曲线方程； （2）（i）先设出直线方程，联立双曲线方程，利用中点坐标公式和三角形面积公式求解直线斜率； （ii）通过设点坐标，利用直线方程求出与轴交点坐标，再根据中点关系证明点在定直线上. 【小问1详解】 由题意，得，则①， 将点代入双曲线方程，得②， 联立①②解得，故的方程为. 【小问2详解】 若直线的斜率不存在，则直线与双曲线右支只有一个交点，不符合题意，故直线的斜率存在. 设直线的方程为， 与联立得. 设、，由题意，得，解得. （i）因为为中点，所以. 由，得. 又，解得，所以直线的斜率为. （ii）略 19. 深圳是一个沿海城市，拥有大梅沙等多样的海滨景点，每年夏天都有大量游客来游玩.为了合理配置旅游资源，文旅部门对来大梅沙游玩的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人选择只游览海滨栈道，另外的人选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩.每位游客若选择只游览海滨栈道，则记1分；若选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩，则记2分.假设游客之间的旅游选择意愿相互独立，视频率为概率. （1）从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望； （2）从游客中随机抽取个人，记这个人的合计得分恰为分的概率为，求； （3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为分的概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由. 【答案】（1） 2 3 4 ， （2） （3） 在随机抽取的若干人的合计得分为分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为分或分， 记“合计得分”为事件，“合计得分”为事件，与是对立事件， 则，，，即， 由，得，则数列是首项为，公比为的等比数列， ，因此， 随着的无限增大，无限趋近于0，无限趋近于， 所以随着抽取人数的无限增加，趋近于常数. 【解析】 【分析】（1）根据题意得到变量的可能取值为，结合独立事件的概率乘法公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，求得期望. （2）由这人的合计得分为分，得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解. （3）记“合计得分”为事件，“合计得分”为事件，得到，结合数列的递推关系式，进而求得数列的通项公式，得到答案. 【小问1详解】 依题意，随机变量的可能取值为， 则，， 所以的分布列如下表所示： 2 3 4 数学期望为. 【小问2详解】 由这人的合计得分为分，得其中只有1人既游览海滨栈道又到海滨公园游玩， 于是，令数列的前项和为， 则， 于是， 两式相减得 ，因此， 所以. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考原创夺冠卷（三） 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分 满分150分，考试时间120分钟.请在答题卷上作答. 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题所给四个选项中，只有一项是符合题意的． 1. 的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线恰好经过圆的圆心，则的准线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 某校高三学生的模考数学成绩服从正态分布，按照、、、的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级．若某同学的数学成绩为分，则他的等级是（ ） 附：，，. A. 优秀 B. 良好 C. 合格 D. 基本合格 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 在三棱锥的顶点和各棱中点中取个不共面的点，不同的取法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 7. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数的最大值为1 D. 函数的最小值为1 8. 已知四面体的顶点均在半径为的同一球面上，且，则该四面体体积的最大值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，且，是以1为公差的等差数列，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 设甲袋有3个红球、2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球、3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以，和分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以表示由乙袋取出的球是红球的事件，则（ ） A. B. C. D. 与相互独立 11. 已知椭圆的左、右两个焦点分别是，，过点的直线与交于两点，则（ ） A. 若的中点在轴上，则 B. C. 若，则椭圆的离心率的取值范围是 D. 若的最小值为，则椭圆的离心率为 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 在平面直角坐标系中，已知、，，若，则实数的值为_____． 13. 已知，且，，则______． 14. 已知点不在函数的图象上，且过点有三条直线与的图象相切，则实数的取值范围为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤. 15. 如图，在三棱锥中，平面，，，，． （1）在线段上找一点，使平面平面，求的长； （2）若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 16. 在中，、、分别为内角、、的对边，且． （1）求； （2）若，，求面积的最大值． 17. 已知函数． （1）当时，求函数的零点； （2）若在上单调递减，求的取值范围； （3）若，存在两个极值点、，证明：． 18. 已知双曲线过点，渐近线方程为． （1）求的方程； （2）已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，点在线段上（不含端点）． ①若为的中点，的面积为，求直线的斜率； ②直线、、分别与轴交于点、、，若为的中点，证明：点恒在定直线上． 19. 深圳是一个沿海城市，拥有大梅沙等多样的海滨景点，每年夏天都有大量游客来游玩.为了合理配置旅游资源，文旅部门对来大梅沙游玩的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人选择只游览海滨栈道，另外的人选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩.每位游客若选择只游览海滨栈道，则记1分；若选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩，则记2分.假设游客之间的旅游选择意愿相互独立，视频率为概率. （1）从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望； （2）从游客中随机抽取个人，记这个人的合计得分恰为分的概率为，求； （3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为分的概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $