精品解析：贵州省桐梓县第一中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

贵州省桐梓一中2024-2025学年高一上学期期末考试 高一数学 注意事项: 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解一元二次不等式求出集合A，再根据交集的定义计算即可求解. 【详解】由得，则， 又，所以. 故选：B 2. 命题“，”的否定是（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据特称命题的否定性质进行判断即可. 【详解】命题“，”的否定是“，”， 故选：D 3. 设实数满足，函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】由题意知， 则， 当且仅当即时，等号成立. 所以的最小值为. 故选：A 4. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式，再根据，求得集合，进而得到. 【详解】集合， 又因为，所以. 故选：C. 5. 规定，则函数的值域为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由定义求的解析式，结合函数单调性求其值域. 【详解】根据题意，， 因为函数，在上都为增函数， 所以函数在是增函数， 所以，即函数的值域为， 故选：A. 6. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.下面的图象对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先由函数的定义域排除CD，再由时，排除A，即可得答案. 【详解】由图象可知，函数的定义域为， 因为的定义域为，所以排除C， 因为的定义域为，所以排除D， 因为当时，，所以排除A， 故选：B 7. 已知：，则的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解出的解集，的充分不必要条件是其子集，选出即可. 【详解】解：由得，的充分不必要条件是的子集，C符合， 故选：C. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，是基础题. 8. 已知，则下列选项中正确是（ ） A. B. 关于中心对称 C. 关于直线对称 D. 的值域为 【答案】C 【解析】 【分析】代入验证即可求解AB,利用,即可判定C，根据三角函数的有界性即可判定D. 【详解】对于A，因为， 所以，故A不正确； 对于B，，故B不正确； 对于C，可得， ， 所以， 所以可得是函数的对称轴，故C正确； 对于D，因为,，所以,，故D不正确． 故选：C． 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数在上最大值为 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在上单调递增 D. 函数最小正周期为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的图象性质，逐项分析判断作答. 【详解】对于A，当时，，，最大值为2，A错误； 对于B，因为，则函数的图象关于点对称，B正确； 对于C，当时，，函数在上不单调，则在上不单调，C错误； 对于D，函数的最小正周期，D正确. 故选：BD. 10. 已知不等式的解集为，则以下选项正确的有（ ） A. B. C. 函数有两个零点2和3 D. 的解集为或 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意，方程的根为和，由韦达定理可知，，判断；结合二次函数的图象知当时，，判断；由不等式的解集为，判断；由韦达定理可知，，代入，求解不等式即可. 【详解】不等式的解集为， 所以根据一元二次不等式解法可知， 且，，，，则，正确； 由二次函数的图象知当时，，故，错误； 方程的根为和，显然正确； 由,可知:，， 代入，得， 由可得，解得或， 故的解集为或，正确； 故选：. 11. 已知关于的方程，则（ ） A. 当时，方程的两个实数根之和为 B. 方程无实数根的一个充分条件是 C. 方程有两个小于的不等根的充要条件是 D. 方程有一个正根和一个负根的充要条件是 【答案】BC 【解析】 【分析】一元二次方程的判别式来判断A选项； 利用一元二次方程无实数根的条件和充分条件的性质即可判断B选项； 构造函数，利用二次函数的性质即可判断C选项，方程有一个正根和一个负根的充要条件是，进而判断D选项. 【详解】对于A，当时，方程为，，此时方程无实根，故A错误； 对于B，方程无实数根的充要条件是，即，解得， 所以方程无实数根的一个充分条件是的子集，符合条件，故B正确； 令．对于C，方程有两个小于的不等根的充要条件是，即或，解得，故C正确； 对于D:方程有一个正根和一个负根的充要条件是，即，故D错误． 故选：BC. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正实数满足，则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由条件等式，利用基本不等式求的最小值. 【详解】正实数满足，有， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 13. 已知函数在区间上有两个零点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】将函数零点个数问题转化成方程解的个数问题，进一步转化成图像的交点个数问题. 【详解】函数在区间上有两个零点， 即在区间上有两个不同的解， 即在区间上有两个不同的解， 转化成与在区间上有两个不同的交点， 结合对勾函数的性质可知在单调递减，在单调递增， 且，所以，解得， 故答案为：. 14. 如图是一个弓形（由弦与劣弧围成）展台的截面图，是弧上一点，测得，，，则该展台的截面面积是______. 【答案】. 【解析】 【分析】设出弓形所在圆的半径为，用扇形面积减去三角形面积即可. 【详解】 如图：设展台所在的圆的圆心为，半径为，， 则， 即，， 所以展台的面积为 故答案为：. 四、解答题:本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式可得集合，由交集结果可求得的取值范围为； （2）根据必要非充分条件可知集合是集合的真子集，解不等式可得的取值范围为； 【小问1详解】 解不等式可得，显然 若，可得或， 解得或， 即实数的取值范围为； 【小问2详解】 若“”是“”的必要非充分条件，可得集合是集合的真子集； 可得，解得， 因为不等式两端等号不会同时成立， 所以实数的取值范围为. 16. 某村原有一块矩形场地建有健身器材，为了满足村民对体育锻炼的需求，计划在原有矩形场地的基础上扩建成一个更大的矩形场地．为了不影响原有的锻炼环境，建造时要求点在上，点在上，且对角线经过点，如图所示．已知，，设，矩形的面积为． （1）写出关于表达式，并求出为多少时，有最小值； （2）要使矩形的面积大于，则的长应在什么范围内？ 【答案】（1），当时，取得最小值 （2）或 【解析】 【分析】（1）先根据平行得出比例关系计算得，再应用基本不等式计算即可； （2）应用已知列不等式再求解一元二次不等式即可. 【小问1详解】 由题图知， 所以，即， 解得， 所以． 因为 ，当且仅当时，等号成立， 所以即当时，取得最小值． 【小问2详解】 因为矩形的面积大于， 所以，化简得， 即， 解得或． 17. 已知函数（且）的图象过点． （1）求a的值； （2）若 （i）求的定义域并判断其奇偶性； （ii）求的单调递减区间． 【答案】（1）2 （2）（i）；偶函数（ii） 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入函数式即可求得； （2）（i）求出的表达式，根据真数大于零可求得定义域，根据与之间的关系得到奇偶性；（ii）复合函数根据“同增异减”原则可得到单调递减区间. 【小问1详解】 因为函数（且）的图象过点， 所以，所以； 【小问2详解】 （i）根据（1）可得， 所以，， 则， ，解得， 所以的定义域为，显然定义域关于原点对称， 又， 所以为偶函数； （ii）因，的定义域为， 令，则， 函数在定义域上单调递增，而函数在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可得的单调递减区间为. 18. 已知集合，，设函数. （1）当时，证明：函数是常数函数； （2）已知，写出所有使函数是常数函数的集合； （3）当为奇数时，写出函数是常数函数的一个充分条件，并说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）， （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）直接利用题设定义和平方关系，即可证明结果； （2）根据题设，利用倍角公式及余弦的差角公式得到，再利用平方关系可得间的关系，再结合题设条件，即可求解； （3）根据条件，利用倍角公式及平方关系，得到，，再分奇和偶讨论，结合题设条件，即可求解. 【小问1详解】 当时，， 所以是常数函数. 【小问2详解】 设，不妨令， 则 . 若函数是常数函数，则， 则， 得，所以， 得或，，所以或，， 同理或，，或，， 则①，又， 所以集合有，，共2个. 【小问3详解】 不妨令， 因为 ， 若函数是常数函数，则， 两式平方相加得，所以， 得，，所以，， ①当为偶数时，可以拆分成组两项（，）的和， 每一组为定值时，也为定值， 所以函数是常数函数的一个充分条件可以是 ②当为奇数时，可以拆分成1组三项的和 与组两项（，）的和， 每一组为定值时，也为定值， 所以当为奇数时，函数是常数函数的一个充分条件可以是. 【点睛】方法点晴：“新定义问题”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算等，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 19. 已知，其中a为常数. （1）当时，解不等式； （2）已知是以2为周期的偶函数，且当时，有.若，且，求函数的解析式； （3）若在上存在n个不同的点，使得，求实数a的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）分类讨论去绝对值，转化为不等式组，进而即得； （2）利用函数的奇偶性及周期性结合条件即得； （3）分，，，讨论，根据二次函数的性质结合条件进而即得. 【小问1详解】 当时，则， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上，原不等式的解集为； 【小问2详解】 当时，， 因为是以2为周期的偶函数， 所以， 由，且，得， 所以当时，， 所以当时，， ， 即当时，； 【小问3详解】 ①当时，函数在上单调递增， 所以， 所以， 解得； ②当时，函数在上单调递增， 所以， 所以， 解得； ③当时，则，所以在上单调递增，在上单调递减， 于 令，解得或，不符合题意； ④当时，则函数分别在、上单调递增，在上单调递减， 所以 ， 令，解得或，不符合题意； 综上，所求实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是去绝对值后，转化为最值问题，然后结合二次函数的图象和性质即得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 贵州省桐梓一中2024-2025学年高一上学期期末考试 高一数学 注意事项: 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设实数满足，函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 6 4. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 5. 规定，则函数的值域为 A. B. C. D. 6. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.下面的图象对应的函数可能是（ ） A B. C. D. 7. 已知：，则的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 关于中心对称 C. 关于直线对称 D. 的值域为 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数在上最大值为 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在上单调递增 D. 函数的最小正周期为 10. 已知不等式的解集为，则以下选项正确的有（ ） A B. C. 函数有两个零点2和3 D. 的解集为或 11. 已知关于的方程，则（ ） A. 当时，方程两个实数根之和为 B. 方程无实数根的一个充分条件是 C. 方程有两个小于的不等根的充要条件是 D. 方程有一个正根和一个负根的充要条件是 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正实数满足，则的最小值为__________. 13. 已知函数在区间上有两个零点，则的取值范围是__________. 14. 如图是一个弓形（由弦与劣弧围成）展台的截面图，是弧上一点，测得，，，则该展台的截面面积是______. 四、解答题:本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围. 16. 某村原有一块矩形场地建有健身器材，为了满足村民对体育锻炼的需求，计划在原有矩形场地的基础上扩建成一个更大的矩形场地．为了不影响原有的锻炼环境，建造时要求点在上，点在上，且对角线经过点，如图所示．已知，，设，矩形的面积为． （1）写出关于的表达式，并求出为多少时，有最小值； （2）要使矩形的面积大于，则的长应在什么范围内？ 17. 已知函数（且）的图象过点． （1）求a的值； （2）若 （i）求的定义域并判断其奇偶性； （ii）求的单调递减区间． 18. 已知集合，，设函数. （1）当时，证明：函数是常数函数； （2）已知，写出所有使函数是常数函数的集合； （3）当为奇数时，写出函数是常数函数的一个充分条件，并说明理由. 19. 已知，其中a为常数. （1）当时，解不等式； （2）已知是以2为周期的偶函数，且当时，有.若，且，求函数的解析式； （3）若在上存在n个不同的点，使得，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$