精品解析：甘肃省多校联考2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

2024~2025学年度第二学期期中考试 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：湘教版选择性必修第二册第一章~第三章3.1. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间直角系对称的特征，直接求出答案即可. 【详解】点关于平面对称的点的坐标是. 故选：B 2. 已知函数，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据极限的运算法则，求得，再由导数的运算法则，即可求解. 【详解】由， 因为函数，可得，所以， 所以. 故选：C. 3. 已知直线l的方向向量为，平面α的一个法向量为，若直线平面α，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，根据空间向量的坐标表示建立方程，解之即可求解. 【详解】由直线平面，可得， 所以，得. 故选：D. 4. 对任意的，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的运算法则可得，由代入计算即得. 【详解】由可得， 又代入上式可得， 则. 故选：B. 5. 下图是函数的导函数的图象，则函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导函数的正负决定原函数的增减性，从而可判断出函数图象 【详解】解：导函数的正负决定原函数的增减，由导数图象知， 原函数的单调性是递减、递增、递减，符合此规律的只有 A， 故选：A 6. 已知某班级中，喜欢科幻小说的学生占，喜欢科幻小说且喜欢推理小说的学生占，若从这个班级的学生中任意抽取一人，则在抽到的学生喜欢科幻小说的条件下，该学生也喜欢推理小说的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，从这个班级的学生中任意抽取一人，记事件 “抽到的学生喜欢科幻小说”， “抽到的学生喜欢推理小说”，分析、的值，计算可得答案． 【详解】根据题意，从这个班级的学生中任意抽取一人， 记事件 “抽到的学生喜欢科幻小说”， “抽到的学生喜欢推理小说”， 则，， 故． 故选：D． 7. 在函数的图象与x轴围成的封闭图形内作一内接矩形ABCD，则可作矩形的最大面积为（ ） A. B. C. D. 27 【答案】B 【解析】 【分析】设A，B在抛物线上，由矩形的性质可得出A，B坐标的关系，表示出矩形面积的表达式，通过求导得出单调性从而得出最值. 【详解】设A，B在抛物线上，若，则点B的坐标为， 所以矩形ABCD的面积可表示为，， 则， 令，解得或（舍去）， 可得在上单调递增，在上单调递减， 所以矩形的最大面积为：． 故选：B. 8. 在空间中，若向量，，共面，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由共面定理建立等量关系列方程组即可求解. 【详解】，，， 因为向量，，共面，所以存在有序实数对，使得， 即， ，解得，即. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 今年“五一”假期，各大商业综合体、超市等纷纷抓住节日商机，积极开展各类促销活动．在某超市购买80元以上商品的顾客可以参加一次抽奖活动，若顾客小王中奖的概率为0.4，顾客小张中奖的概率为0.2，则（ ） A. 小王和小张都中奖的概率为0.08 B. 小王和小张都没有中奖的概率为0.46 C. 小王和小张中只有一个人中奖的概率为0.44 D. 小王和小张中至多有一个人中奖的概率为0.92 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据相互独立事件和对立事件的概率公式即可求解. 【详解】由题意知：小王和小张都中奖的概率为，故A正确； 小王和小张都没有中奖的概率为，故B错误； 小王和小张中只有一个人中奖的概率为，故C正确； 小王和小张中至多有一个人中奖的概率为，故D正确. 故选：ACD． 10. 下列函数在定义域内不是单调函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对各选项中函数求导，根据导数可判断其单调性可得. 【详解】A中：，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，故A满足； B中：令，得，易知时函数单调递减，时函数单调递增，B满足； C中：令，得，易知时函数单调递减，时函数单调递增，C满足； D中：恒成立，故在R上单调递减. 故选：ABC 11. 已知是棱长为的正方体，与相交于点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算逐项检验即可得结论. 【详解】如图，建立空间直角坐标系， 则， 对于A，因，则，故A正确； 对于B，因则，故B错误； 对于C，因则，故C正确；， 对于D，因，则，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，且，则__________. 【答案】##2.5 【解析】 【分析】根据空间向量数量积的坐标运算即可. 【详解】因， 则， 解得. 故答案为：. 13. 已知，则不等式的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到在上单调递减，把不等式转化为，即可求解. 【详解】由函数，可得成立，所以在上单调递减， 因为，可得，解得， 即实数不等式的解集为． 故答案为：. 14. 有3台车床加工同一类型的零件，第1台加工的次品率为4%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，30%，50%，现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意可知，次品是由3台机床共同造成的，利用全概率公式和条件概率公式即可求得结果. 【详解】记为事件“零件为第台车床加工”，为事件“任取一个零件为次品”， 则，， 所以由全概率公式可得 ; 由条件概率公式可得. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤. 15. 已知函数的图象过点，且． （1）求a，b的值； （2）求曲线在点处的切线方程． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）根据点以及列方程，从而求得的值. （2）利用切点和斜率求得切线方程. 【小问1详解】 因为函数的图象过点，所以①． 又，， 所以②， 由①②解得：，． 【小问2详解】 由（1）知， 又因为，， 所以曲线在处的切线方程为， 即． 16. 如图，在四棱柱中，平面，底面是平行四边形，． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）证明出平面，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，，求出，再利用角三角函数的基本关系求解即可； （2）直接利用空间向量求解点到面的距离即可． 【小问1详解】 连接，相交于点O，连接，相交于点， 由，可得为等边三角形， 又由O为的中点，可得，，， 因为，， 所以， 又因为平面，所以平面， 由上知，，两两垂直，以O为坐标原点，，，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 有，，，，，，， 设平面的法向量为， 由，， 有， 取，，，可得平面的一个法向量为， （1）由， 有，，， 有， 故直线与平面所成角的正弦值为； 【小问2详解】 由，有， 可得点到平面的距离为． 17. 已知函数在区间上的值域为. （1）求实数、的值； （2）若函数有且仅有两个极值点，求实数的取值范围. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数在区间上的单调性，求出函数在区间上的最大值和最小值，可得出关于、的方程组，即可解得这两个未知数的值； （2）分析可知有两个零点，可得出，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）， 令可得或，令可得， 可得函数的增区间为、，减区间为， 可得函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 由，，，，① 又由， 可得，可得，有， 又由， 可得，有，可化为，② 解方程①②可得； （2）由（1）有，有， 若函数有且仅有两个极值点，必有，可得. 18. 如图，在三棱锥中，，平面平面，二面角为，已知. （1）求的长； （2）求锐二面角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理证明得平面，从而得，再根据线面垂直的判定定理证得平面，于是可得二面角的平面角，结合勾股定理即可得的长； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算分别求解平面、平面的法向量，由向量夹角余弦公式得锐二面角的余弦值即可. 【小问1详解】 如图，作，垂足为，连接， 因为平面平面， 平面平面，且平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为平面，所以， 又，且平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以二面角的平面角为， 即， 因为， 所以，所以， 即， 所以； 【小问2详解】 如图，以为原点，所在直线为轴，过作垂直于平面，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则 取，则， 所以为平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 则 取，则， 所以为平面的一个法向量， 设锐二面角为， 所以. 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有两个零点，，且，曲线在这两个零点处的切线的交点的横坐标为，证明：． 【答案】（1） 当时，函数单调递增，增区间为，没有减区间； 当，的减区间为，增区间； （2） 令，由，有，可得， 曲线在处的切线方程为， 曲线在处的切线方程为， 联立两条切线方程，消去，有， 有， 有， 有， 有，即， 可得，代入， 有， 要证，即证，只需证，即证， 令（），有， 可知函数单调递增，由，可知，， 故． 【解析】 【分析】（1）对求导，利用导函数的正负讨论单调性即可； （2）结合导数的几何意义求出曲线在和处的切线，联立求出的表达式，通过构造函数利用导数证明不等式. 【小问1详解】 函数，定义域为 ， ①当时，，此时函数单调递增，增区间为，没有减区间； ②当，令，解得，，解得，此时函数的减区间为，增区间； 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛： 1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第二学期期中考试 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：湘教版选择性必修第二册第一章~第三章3.1. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. 2 C. D. 3. 已知直线l的方向向量为，平面α的一个法向量为，若直线平面α，则（ ） A. B. C. D. 2 4. 对任意的，则（ ） A. B. C. D. 5. 下图是函数的导函数的图象，则函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 6. 已知某班级中，喜欢科幻小说的学生占，喜欢科幻小说且喜欢推理小说的学生占，若从这个班级的学生中任意抽取一人，则在抽到的学生喜欢科幻小说的条件下，该学生也喜欢推理小说的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 在函数的图象与x轴围成的封闭图形内作一内接矩形ABCD，则可作矩形的最大面积为（ ） A. B. C. D. 27 8. 在空间中，若向量，，共面，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 6 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 今年“五一”假期，各大商业综合体、超市等纷纷抓住节日商机，积极开展各类促销活动．在某超市购买80元以上商品的顾客可以参加一次抽奖活动，若顾客小王中奖的概率为0.4，顾客小张中奖的概率为0.2，则（ ） A. 小王和小张都中奖的概率为0.08 B. 小王和小张都没有中奖的概率为0.46 C. 小王和小张中只有一个人中奖的概率为0.44 D. 小王和小张中至多有一个人中奖的概率为0.92 10. 下列函数在定义域内不是单调函数的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知是棱长为的正方体，与相交于点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，且，则__________. 13. 已知，则不等式的解集是___________． 14. 有3台车床加工同一类型的零件，第1台加工的次品率为4%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，30%，50%，现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤. 15. 已知函数的图象过点，且． （1）求a，b的值； （2）求曲线在点处的切线方程． 16. 如图，在四棱柱中，平面，底面是平行四边形，． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 17. 已知函数在区间上的值域为. （1）求实数、的值； （2）若函数有且仅有两个极值点，求实数的取值范围. 18. 如图，在三棱锥中，，平面平面，二面角为，已知. （1）求的长； （2）求锐二面角的余弦值. 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有两个零点，，且，曲线在这两个零点处的切线的交点的横坐标为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $